时间序列分析与预测教程
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同样可简化为： y=T×S × I y=T×S
实际工作中，一般用乘法模型对现象进行分析
时间数列常用分析方法
指标 分析法
通过时间数列的分析指标来 揭示现象的发展变化状况和 发展变化程度
构成因素 分析法
通过对影响时间数列的构成 因素进行分解分析，揭示现 象随时间变化而演变的规律
时间序列的水平分析
增长量 指报告期水平与基期水平之差
设时间序列中各 期发展水平为：
a 0 ,a 1 , ,a n 1 ,a n
逐期增长量 a 1 a 0 ,a 2 a 1 , ,a n a n 1
累计增长量 a 1 a 0 ,a 2 a 0 , ,a n a 0
二者的关系：
⒈ a 1 a 0 a 2 a 1 a n a n 1 a n a 0 ⒉ a i a 0 a i 1 a 0 a i a i 1 i 1 , 2 , , n
设时间序列中各 期发展水平为：
a 0 ,a 1 , ,a n 1 ,a n
环比发展速度 定基发展速度
a1 , a2 ,, an
a0 a1
an1
a1 , a2 ,, an
a0 a0
a0
环比发展速度与定基发展速度的关系：
a1a2an1an a n
a0 a1
an2 an1 a 0
时间序列
（一个例子）
年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
表10- 1 国内生产总值等时间序列
国内生产总值 年末总人口 人口自然增长率 居民消费水平
(亿元)
(万人)
(‰)
(元)
18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74772.4 79552.8
线性模型法
（a和b的最小二乘估计）
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Ynab t tYa tb
t2
解得： b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上
式可化简为
ai ai1 ai 10﹪ 0
ai1
ai1
ai a0 ai 10﹪ 0
a0
a0
时间序列的速度分析
一、发展速度和增长速度 二、平均发展速度和平均增长速度
各环比发展速度的平均
平均发展速度 数，说明现象每期变动
的平均程度
平均增长速度
说明现象逐期增长的平 均程度
增平 长均 速度 发平 展均 速1度 0﹪ 0
b
n ty t y n t2 ( t)2
4.不规则变动（随机变动）（I）
指时间序列由于偶然因素的影响而表现出的不 规则波动。
时间序列分析模型
时间序列是上述四种变动的叠加组合。时间序 列分析对这4类变动的构成形式提出了两种假 设模型：
1.加法模型（时间序列的变化在每个周期内有 相同的大小时较适用）
假定四种变动因素相互独立
时间序列的分类
时间序列
绝对数序列
相对数序列
平均数序列
时期序列 时点序列
时间序列的分类
1. 绝对数时间序列
一系列绝对数按时间顺序排列而成 时间序列中最基本的表现形式 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 分为时期序列和时点序列
• 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 • 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的
甲企业
乙企业
利润额(万元) 增长率(%) 利润额(万元) 增长率(%)
2002
500
—
60
—
2003
600
20
84
40
速度高可能掩盖低水平，低速度可能隐藏着高水平，因此 要结合基期水平进行分析。
增长1%绝对值
一个既考察速度又兼顾水平的指标
1. 速度每增长一个百分点而增加的绝对量 2. 用于弥补速度分析中的局限性 3. 计算公式为
注3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有 周期变动，则以周期为长度。例，季度资料 可四项移动平均；各年月资料，可十二项移 动平均；五年一周期，可五项移动平均。移 动平均法可消除周期变动。
资料：wk.baidu.com
月份 y
12 3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
50.5 45 52 51.4 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
第十三章 时间序列分析和预测
PowerPoint
时间序列
(概念要点)
1. 同一现象在不同时间上的相继观察值 排列而成的数列
2. 形式上由现象所属的时间和现象在不 同时间上的观察值两部分组成
3. 排列的时间可以是年份、季度、月份 或其他任何时间形式
两个构成要素： 现象所属的时间 反映现象发展水平的指标数值
平均增长量 逐期增长量的序时平均数
n
平均增 i长 1(ai量 ai1)ana0
n
n
即：平均增长量逐 逐期 期增 增长 长量 量个 之数 和
累积增长量 观察值个数1
时间序列的速度分析
一、发展速度和增长速度 二、平均发展速度和平均增长速度
发展速度
指报告期水平与基期水平的 比值，说明现象的变动程度
（要点）
1. 构成因素 长期趋势 (Secular trend ) 季节变动 (Seasonal Fluctuation ) 循环波动 (Cyclical Movement ) 不规则波动 (Irregular Variations )
长期趋势(T)
（概念要点）
1. 现象在较长时期内持续发 展变化的一种趋向或状态
Yt Yt Yt1k Yt(k1)
注1：
若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)， 则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可 得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中， 因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数， 故一般都用奇数项移动平均。
注2：
修匀后的数列，较原数列项数少。(在进 行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜 使用)
排序
2. 相对数时间序列
一系列相对数按时间顺序排列而成
3. 平均数时间序列
一系列平均数按时间顺序排列而成
时间数列常用分析方法
指标 分析法
通过时间数列的分析指标来 揭示现象的发展变化状况和 发展变化程度
构成因素 分析法
通过对影响时间数列的构成 因素进行分解分析，揭示现 象随时间变化而演变的规律
时间序列的构成要素
移动平均法
(Moving Average Method)
1. 测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一 定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移 动平均数
由移动平均数形成的新的时间序列对原时 间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出 现象发展的变动趋势
2. 移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为
2. 由影响时间序列的基本因 素作用形成
3. 时间序列的主要构成要素 4. 有线性趋势和非线性趋势
2.季节变动（S）
由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季 节因素（节假日）的印象，时间序列随季节更 替而呈现的周期性变动。周期长度有一年、一 月、一周等。
3.循环变动（C）
时间序列中出现以若干年为周期上升与下降交 替出现的循环往复运动，以若干年、十几年甚 至几十年为周期，且周期长度可变。
ai ai1 ai a0 ai (i 1,2,n) a0 a0 a0 ai1 ai1
指增长量与基期水平的比值， 增长速度 说明报告期水平较基期水平
增长的程度
增 速 长 度 报告 基期 期 基水 水 期 平 平 发 速 水 展 度 平 10 ﹪ 0
环比增长速度 定基增长速度
时间序列的构成要素
长期趋势
季节变动
循环波动 不规则波动
线性趋势 非线性趋势
移动平均法
二次曲线 指数曲线
按月(季)平均法 趋势剔出法
修正指数曲线
线性模型法
Gompertz曲线 Logistic曲线
剩余法
平稳序列的预测
主要预测方法： （1）简单平均法 （2）移动平均法 （3）指数平滑法
y=T+S+C+I
对许多模型，一般没有足够的数据来识别循环 周期，故常简化为：y=T+S+I
若再排除I的影响，假设I=0或误差序列的平均 值为0，再简化为：y=T+S
2.乘法模型（时间序列的变化在每周期有 与趋势相同的比例时适用）
假定四种变动因素之间存在着交互作用 y=T×S × C × I
增1% 长 绝对环 值 逐 比 ＝ 期 增 增 1长 0长 0前 速 1量 0 期 度 0水
ai ai1
ai1
( ai 1)100 100
ai1
甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元 乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元
时间序列的构成要素与模型
（构成要素与测定方法）
Y na tY bt 2
a Y
解得：
b
tY t2
仍用上例资料：
t -11
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 合计
y 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5 651.0
ty -555.5 -405 -364 -257.5 -151.2
平均发展速度的计算
几何平均法（水平法）
基本要求
从最初水平a0出发，每期按一定 的平均发展速度X G 发展，经过n 个时期后，达到最末水平an，有
2
a1a0XG, a2a1XGa0XG,
n
, anan1XGa0XG
即有：
n
an a0 XG
平均发展速度的计算
几何平均法（水平法）
114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 12489
14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 9.55 9.42 9.06 9.53
803 896 970 1331 1781 2311 2726 2944 3094
线性趋势
线性模型法
（概念要点与基本形式）
1. 现象的发展按线性趋势变化时，可用线 性模型表示
2. 线性模型的形式为 Yˆt abt
Yˆt — 时间序列的趋势值
t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观 察值的平均变动数量
线性模型法
四项移动平均
49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正
49.8 51.1 52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可 见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)
趋势型序列的预测
-55.5 53 175.2 285 414.4 522 665.5 326.4
t2
yc
121 47.98
81 49.12
49 50.26
25 51.40
9 52.54
1 53.68
1 54.82
9 55.96
25 57.10
49 58.24
81 59.38
121 60.52
572 651.00
逐期增长量 -
（a 和 b 的最小二乘估计）
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二 乘法(Least-square Method）求得 根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和 为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可 用于配合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
-5.5 7 -0.5 -0.9 5.1 -2.5 5.4 -1.4 2.2 -1.2 2.5 -
yNa 65112 a
a54 .25
tybt2 32.4 657b2 b0.57
yc 54 .250.57 t
yyc 该方程配合得较好
由联立方程也可直接推 导出：
计算公式 XG n
an a0
n Rn
X1 X2
Xn
n a1 a2 总..速.度an 环n 比X速度
a0 a1
an1
速度指标的分析与应用
（算例）
【例10.6】 假定有两个生产条件基本相同的企业， 各年的利润额及有关的速度值如表6-5
年份
表10- 5 甲、乙两个企业的有关资料
实际工作中，一般用乘法模型对现象进行分析
时间数列常用分析方法
指标 分析法
通过时间数列的分析指标来 揭示现象的发展变化状况和 发展变化程度
构成因素 分析法
通过对影响时间数列的构成 因素进行分解分析，揭示现 象随时间变化而演变的规律
时间序列的水平分析
增长量 指报告期水平与基期水平之差
设时间序列中各 期发展水平为：
a 0 ,a 1 , ,a n 1 ,a n
逐期增长量 a 1 a 0 ,a 2 a 1 , ,a n a n 1
累计增长量 a 1 a 0 ,a 2 a 0 , ,a n a 0
二者的关系：
⒈ a 1 a 0 a 2 a 1 a n a n 1 a n a 0 ⒉ a i a 0 a i 1 a 0 a i a i 1 i 1 , 2 , , n
设时间序列中各 期发展水平为：
a 0 ,a 1 , ,a n 1 ,a n
环比发展速度 定基发展速度
a1 , a2 ,, an
a0 a1
an1
a1 , a2 ,, an
a0 a0
a0
环比发展速度与定基发展速度的关系：
a1a2an1an a n
a0 a1
an2 an1 a 0
时间序列
（一个例子）
年份
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
表10- 1 国内生产总值等时间序列
国内生产总值 年末总人口 人口自然增长率 居民消费水平
(亿元)
(万人)
(‰)
(元)
18547.9 21617.8 26638.1 34634.4 46759.4 58478.1 67884.6 74772.4 79552.8
线性模型法
（a和b的最小二乘估计）
1. 根据最小二乘法得到求解 a 和 b 的标准方程为
Ynab t tYa tb
t2
解得： b
ntY tY
nt 2 t2
a Y bt
2. 取时间序列的中间时期为原点时有 t=0，上
式可化简为
ai ai1 ai 10﹪ 0
ai1
ai1
ai a0 ai 10﹪ 0
a0
a0
时间序列的速度分析
一、发展速度和增长速度 二、平均发展速度和平均增长速度
各环比发展速度的平均
平均发展速度 数，说明现象每期变动
的平均程度
平均增长速度
说明现象逐期增长的平 均程度
增平 长均 速度 发平 展均 速1度 0﹪ 0
b
n ty t y n t2 ( t)2
4.不规则变动（随机变动）（I）
指时间序列由于偶然因素的影响而表现出的不 规则波动。
时间序列分析模型
时间序列是上述四种变动的叠加组合。时间序 列分析对这4类变动的构成形式提出了两种假 设模型：
1.加法模型（时间序列的变化在每个周期内有 相同的大小时较适用）
假定四种变动因素相互独立
时间序列的分类
时间序列
绝对数序列
相对数序列
平均数序列
时期序列 时点序列
时间序列的分类
1. 绝对数时间序列
一系列绝对数按时间顺序排列而成 时间序列中最基本的表现形式 反映现象在不同时间上所达到的绝对水平 分为时期序列和时点序列
• 时期序列：现象在一段时期内总量的排序 • 时点序列：现象在某一瞬间时点上总量的
甲企业
乙企业
利润额(万元) 增长率(%) 利润额(万元) 增长率(%)
2002
500
—
60
—
2003
600
20
84
40
速度高可能掩盖低水平，低速度可能隐藏着高水平，因此 要结合基期水平进行分析。
增长1%绝对值
一个既考察速度又兼顾水平的指标
1. 速度每增长一个百分点而增加的绝对量 2. 用于弥补速度分析中的局限性 3. 计算公式为
注3：
取几项进行移动平均为好，一般若现象有 周期变动，则以周期为长度。例，季度资料 可四项移动平均；各年月资料，可十二项移 动平均；五年一周期，可五项移动平均。移 动平均法可消除周期变动。
资料：wk.baidu.com
月份 y
12 3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
50.5 45 52 51.4 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5
第十三章 时间序列分析和预测
PowerPoint
时间序列
(概念要点)
1. 同一现象在不同时间上的相继观察值 排列而成的数列
2. 形式上由现象所属的时间和现象在不 同时间上的观察值两部分组成
3. 排列的时间可以是年份、季度、月份 或其他任何时间形式
两个构成要素： 现象所属的时间 反映现象发展水平的指标数值
平均增长量 逐期增长量的序时平均数
n
平均增 i长 1(ai量 ai1)ana0
n
n
即：平均增长量逐 逐期 期增 增长 长量 量个 之数 和
累积增长量 观察值个数1
时间序列的速度分析
一、发展速度和增长速度 二、平均发展速度和平均增长速度
发展速度
指报告期水平与基期水平的 比值，说明现象的变动程度
（要点）
1. 构成因素 长期趋势 (Secular trend ) 季节变动 (Seasonal Fluctuation ) 循环波动 (Cyclical Movement ) 不规则波动 (Irregular Variations )
长期趋势(T)
（概念要点）
1. 现象在较长时期内持续发 展变化的一种趋向或状态
Yt Yt Yt1k Yt(k1)
注1：
若采用奇数项移动平均(如上例“三项”)， 则平均值是对准在奇项的居中时间处。一次可 得趋势值；
若采用偶数项移动平均，则平均值也居中， 因未对准原来的时间，还要再计算一次平均数， 故一般都用奇数项移动平均。
注2：
修匀后的数列，较原数列项数少。(在进 行统计分析时，若需要两端数据，则此法不宜 使用)
排序
2. 相对数时间序列
一系列相对数按时间顺序排列而成
3. 平均数时间序列
一系列平均数按时间顺序排列而成
时间数列常用分析方法
指标 分析法
通过时间数列的分析指标来 揭示现象的发展变化状况和 发展变化程度
构成因素 分析法
通过对影响时间数列的构成 因素进行分解分析，揭示现 象随时间变化而演变的规律
时间序列的构成要素
移动平均法
(Moving Average Method)
1. 测定长期趋势的一种较简单的常用方法
通过扩大原时间序列的时间间隔，并按一 定的间隔长度逐期移动，计算出一系列移 动平均数
由移动平均数形成的新的时间序列对原时 间序列的波动起到修匀作用，从而呈现出 现象发展的变动趋势
2. 移动步长为K(1<K<n)的移动平均序列为
2. 由影响时间序列的基本因 素作用形成
3. 时间序列的主要构成要素 4. 有线性趋势和非线性趋势
2.季节变动（S）
由于自然季节因素（气候条件）或人文习惯季 节因素（节假日）的印象，时间序列随季节更 替而呈现的周期性变动。周期长度有一年、一 月、一周等。
3.循环变动（C）
时间序列中出现以若干年为周期上升与下降交 替出现的循环往复运动，以若干年、十几年甚 至几十年为周期，且周期长度可变。
ai ai1 ai a0 ai (i 1,2,n) a0 a0 a0 ai1 ai1
指增长量与基期水平的比值， 增长速度 说明报告期水平较基期水平
增长的程度
增 速 长 度 报告 基期 期 基水 水 期 平 平 发 速 水 展 度 平 10 ﹪ 0
环比增长速度 定基增长速度
时间序列的构成要素
长期趋势
季节变动
循环波动 不规则波动
线性趋势 非线性趋势
移动平均法
二次曲线 指数曲线
按月(季)平均法 趋势剔出法
修正指数曲线
线性模型法
Gompertz曲线 Logistic曲线
剩余法
平稳序列的预测
主要预测方法： （1）简单平均法 （2）移动平均法 （3）指数平滑法
y=T+S+C+I
对许多模型，一般没有足够的数据来识别循环 周期，故常简化为：y=T+S+I
若再排除I的影响，假设I=0或误差序列的平均 值为0，再简化为：y=T+S
2.乘法模型（时间序列的变化在每周期有 与趋势相同的比例时适用）
假定四种变动因素之间存在着交互作用 y=T×S × C × I
增1% 长 绝对环 值 逐 比 ＝ 期 增 增 1长 0长 0前 速 1量 0 期 度 0水
ai ai1
ai1
( ai 1)100 100
ai1
甲企业增长1%绝对值＝500/100＝5万元 乙企业增长1%绝对值＝60/100＝0.6万元
时间序列的构成要素与模型
（构成要素与测定方法）
Y na tY bt 2
a Y
解得：
b
tY t2
仍用上例资料：
t -11
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9 11 合计
y 50.5 45 52 51.5 50.4 55.5 53 58.4 57 59.2 58 60.5 651.0
ty -555.5 -405 -364 -257.5 -151.2
平均发展速度的计算
几何平均法（水平法）
基本要求
从最初水平a0出发，每期按一定 的平均发展速度X G 发展，经过n 个时期后，达到最末水平an，有
2
a1a0XG, a2a1XGa0XG,
n
, anan1XGa0XG
即有：
n
an a0 XG
平均发展速度的计算
几何平均法（水平法）
114333 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 12489
14.39 12.98 11.60 11.45 11.21 9.55 9.42 9.06 9.53
803 896 970 1331 1781 2311 2726 2944 3094
线性趋势
线性模型法
（概念要点与基本形式）
1. 现象的发展按线性趋势变化时，可用线 性模型表示
2. 线性模型的形式为 Yˆt abt
Yˆt — 时间序列的趋势值
t —时间标号 a—趋势线在Y 轴上的截距 b—趋势线的斜率，表示时间 t 变动一个单位时观 察值的平均变动数量
线性模型法
四项移动平均
49.8 49.7 52.4 52.6 54.3 56.0 56.9 58.2 58.7
二项移正
49.8 51.1 52.5 53.5 55.2 56.5 57.6 58.5
用四项移动平均后的资料作图，趋势更明显，上升得更均匀，可 见修匀的项数越多，效果越好。(但丢掉的数据多一些)
趋势型序列的预测
-55.5 53 175.2 285 414.4 522 665.5 326.4
t2
yc
121 47.98
81 49.12
49 50.26
25 51.40
9 52.54
1 53.68
1 54.82
9 55.96
25 57.10
49 58.24
81 59.38
121 60.52
572 651.00
逐期增长量 -
（a 和 b 的最小二乘估计）
1. 趋势方程中的两个未知常数 a 和 b 按最小二 乘法(Least-square Method）求得 根据回归分析中的最小二乘法原理 使各实际观察值与趋势值的离差平方和 为最小 最小二乘法既可以配合趋势直线，也可 用于配合趋势曲线
2. 根据趋势线计算出各个时期的趋势值
-5.5 7 -0.5 -0.9 5.1 -2.5 5.4 -1.4 2.2 -1.2 2.5 -
yNa 65112 a
a54 .25
tybt2 32.4 657b2 b0.57
yc 54 .250.57 t
yyc 该方程配合得较好
由联立方程也可直接推 导出：
计算公式 XG n
an a0
n Rn
X1 X2
Xn
n a1 a2 总..速.度an 环n 比X速度
a0 a1
an1
速度指标的分析与应用
（算例）
【例10.6】 假定有两个生产条件基本相同的企业， 各年的利润额及有关的速度值如表6-5
年份
表10- 5 甲、乙两个企业的有关资料