复变函数复习

合集下载

复变函数复习资料

(一)复数的概念1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.21i =-. 注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. ①两个复数相等，当且仅当它们的实部与虚部分别相等。

②一个复数等于零，当且仅当它的实部与虚部同时等于零。

③称复数x+iy 和x-iy 互为共轭复数。

2.复数的表示1）模：z=2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是位于[)π2,0中的幅角。

（()Arg z 有无穷个值，()arg z 是复数z 的辐角的主值()Arg z =()arg z +2k π3）()arg z 与arctan y x之间的关系如下：当0,x > arg arctanyz x=；当0,arg arctan 0,0,arg arctan yy z x x y y z xππ⎧≥=+⎪⎪<⎨⎪<=-⎪⎩； 4）三角表示：)sin (cos z θθi r +=，其中)(r z g A =θ；注：中间一定是“+”号。

（r=|z|）5）指数表示：θi re =z ，其中)(r z g A =θ。

(二) 复数的运算 1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±··2.乘除法：1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；()()()()112211112121221222222222222222x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。

复变函数复习题

复变函数复习题复变函数复习题复变函数是数学中一个重要的分支，它研究的是定义在复数域上的函数。

复变函数的研究不仅在理论上具有重要意义，而且在实际应用中也有广泛的应用。

在这篇文章中，我将为大家整理一些复变函数的复习题，希望能够帮助大家巩固相关知识。

1. 计算下列复变函数的导数：a) f(z) = z^3 - 2z^2 + z + 1b) f(z) = e^z + z^2c) f(z) = sin(z) + cos(z)d) f(z) = ln(z) + z^22. 计算下列复变函数的积分：a) ∫(z^2 - 3z) dz，其中积分路径为沿着单位圆逆时针方向b) ∫(e^z + z) dz，其中积分路径为从0到1的直线段c) ∫(sin(z) + cos(z)) dz，其中积分路径为沿着单位圆逆时针方向d) ∫(1/z) dz，其中积分路径为沿着单位圆逆时针方向3. 判断下列函数是否解析：a) f(z) = z^2 + 3z + 2b) f(z) = e^z + sin(z)c) f(z) = ln(z) + z^2d) f(z) = 1/z4. 判断下列函数是否是调和函数：a) f(z) = x^2 - y^2b) f(z) = e^x * sin(y)c) f(z) = ln|z|d) f(z) = x^3 - 3xy^25. 利用柯西-黎曼方程，求下列函数的实部和虚部：a) f(z) = z^2 + 2z - 1b) f(z) = e^z + sin(z)c) f(z) = ln(z) + z^2d) f(z) = 1/z在解答这些问题时，我们需要熟练掌握复数的运算规则、复变函数的导数和积分计算方法，以及判断函数解析性和调和性的条件。

此外，柯西-黎曼方程是判断函数实部和虚部的关键工具，需要灵活运用。

通过复习这些复变函数的问题，我们可以加深对复变函数理论的理解，并提高解题能力。

掌握复变函数的基本概念和计算方法，对于后续学习更高级的数学分析、物理学和工程学等学科都具有重要的作用。

复变函数总复习资料

总结词
导数与微分在解决实际问题中具有广泛的应用。
详细描述
导数与微分的应用包括求函数的极值、判断函数的单调性、求函数的拐点、近似计算等。这些应用在物理学、工程学、经济学等领域都有广泛的应用，如波动方程、热传导方程、弹性力学等领域的研究都需要用到复变
函数的导数与微分。
04
复变函数的积分
积分的定义与性质
解析性是实变函数的导数的定义基础，因此解析性在实变函数中有着广泛的应用。
在复变函数中的应用
解析性是复变函数的导数的定义基础，因此解析性在复变函数中有着广泛的应用。
在物理中的应用
解析性在物理中也有着广泛的应用，例如在电磁学、光学等领域中，解析性可以帮助我们更好地理解物理现象。
THANKS
感谢观看
总结词
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛应用。
详细描述
复数与复变函数在物理、工程等领域有广泛的应用。例如，在电路分析中，电压和电流可以用复数表示，方便计算；在信号处理中，复数可以用于表示和处理信号；在量子力学中，波函数通常用复数表示。此外，许多数学问题也可以通过复数和复变函数得
总结词
复变函数是定义在复数域上的函数，具有连续性、可微性等性质。
详细描述
复变函数是定义在复数域上的函数，其定义与实数域上的函数类似，但具有更丰富的性质。复变函数可以具有连续性、可微性、解析性等性质，这些性质在研究复变函数的积分、微分、级数等数学问题中具有重要作用。
复数与复变函数的应用
幂级数的概念与性质
定义
幂级数是无穷多个形如$a_n x^n$的项按照一定的顺序排列的数列，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
性质
收敛半径，幂级数的展开式，幂级数的加减乘除等。

复变函数复习资料

THANKS
感谢观看
06
复变函数的积分方程与微分方程
积分方程的概念与解法
概念
复变函数积分方程是描述函数在某个路径上的积分值的等式。
VS
解法
通过适当的变换和代数运算，将积分方程转化为更易于解决的形式，如转化为微分方程或代数方程。
微分方程的概念与解法
要点一
概念
复变函数微分方程是描述函数及其导数之间关系的等式。
解析函数的积分表
示
解析函数在复平面上的积分可以用实部和虚部来表示，也可以用极坐标形式表示。
柯西积分公式
01
柯西积分公式是复变函数中一个重要的公式，它可以用来计算复变函数沿着曲线的积分。
02
柯西积分公式由三个部分组成：被积函数、被积函数的导数和被积函数的二阶导数。
03
柯西积分公式的应用范围很广，可以用于解决很多复变函数的问题。
三角形式
复数可以表示为三角形式 r(cosθ + i sinθ)，其中 r 是模长，θ 是辐角。
三角函数的定义
cosθ = x/r, sinθ = y/r，其中 x 和 y 是复数的实部和虚部。
复变函数的概念
定义域
函数自变量 x 的取值范围。
可微性
函数在定义域内每一点都可微分。
值域
函数因变量 y 的取值范围。
要点二
解法
通过求解微分方程，可以得到函数的表达式或找到函数的特定性质。
解析函数的应用
解析函数的定义
如果一个复变函数在某个区域内的导数存在且连续，则称该函数在该区域内解析。
应用
解析函数在复变函数理论中具有重要地位，它们具有许多良好的性质，如柯西定理、泰勒级数展开等。这些性质在解决各种数学问题中具有广泛的应用，如求解积分方程、微分方程等。

复变函数复习资料

复变函数论（A ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1173，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of convergence of∑∞=++13)123(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(22+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (3z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of i -1 are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i -= .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is analytic at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（）3. A bounded entire function must be a constant.（）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable at ),(00y x .（）5. If f is continuous on the plane and =+⎰Cdz z f z ))((cos 0 for every simpleclosed path C , then z e z f z 4sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(5z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+228122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=345)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin 1)(2+-+=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f k ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order k <.2. Show that 012797lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unite disk复变函数论（B ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1162，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰Cn dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function )1(sin )(2+=z z zz f are . 5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2cos . 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then 0z is a zero of order m off /1.（）3. An entire function which maps the plane into the unite disk must be aconstant.（）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the CauchyRiemann conditions hold there.（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z z f sin )( is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that the function iy x e e z z f ---=)2()(2is an entire function.2. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of orderm <.3. Show that 0651lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .复变函数论（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3131，thenlim =+∞→n n z .2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(sin 0=-⎰Cn dz z z z, where n is an integer. 3. The radius of convergence of the power series∑∞=-12)63(n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(244-+=z z z z z f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛m z z , where m is a positive integer.6. The main argument and the modulus of the number iie 45π are . 7. The integral of the function )(sin )(2ti t t t w += on ]1,1[- is . 8. The definition of z sin is . 9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 013=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，thenit is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is a function ϕ that isanalytic at 0z with 0)(0≠z ϕ such that mz z z z f )()()(0-=ϕ on somedeleted neighborhood of 0z .（）3. An entire function which is identically zero on a line segment must beidentically zero.（）4. A function f is differentiable on open set D if and only if whose real andimaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed path C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=++1||)23)(13(9z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+-222142)1(sin z z z dzz dz z zz . 3. Let )2)(1(3)(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C ⎰-++=543)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'.5. Find ⎪⎪⎭⎫⎛+i z z ,)1(4Res 222. Ⅳ. Verifications (30310=⨯ Points)1. Show that 0233lim 242=+++⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is analytic and ||f is a constant on a domain a domainD , prove that a z f =)( for some constant a and all D z ∈.3. Show that the equation z z z z -=+-127234 has just three roots in the unite disk.《复变函数论》试题（D ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1153，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z positively oriented and n is apositive integer ，then)(10=-⎰C n dz z z . 3. The radius of the power series∑∞=++13)12(n n z n nis .4. The singular points of the function )3(cos )(2+=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=)sin (5z e dzd z. 7. The main argument and the modulus of the number i -1 are . 8. The square roots of 1+i are . 9. The definition of z e is . 10. Log )1(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is analytic at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order k of f ，then 0z is a zero of order k off /1.（）3. A bounded entire function must be a constant.（）4. A function f is analytic a point 000iy x z += if and only if whose real andimaginary parts are differentiable and the Cauchy Riemann conditions hold in a neighborhood of ),(00y x .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then z e z f z sin )(+ is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find⎰=-+1||)2)(12(z z z zdz.2. Find the value of ⎰⎰==-+223122)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1()(--=z z zz f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=142)(2，where {}3|:|==z z C ，find )1(i f +-'.5. Given )1)(1(sin )(2+-=z z zz f ，find )1),(Res()1),(Res(-+z f z f .Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that if )(0)()(C z z f m ∈∀≡, then )(z f is a polynomial of order m <.2. Show that 012783lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .3. Show that the equation 012524=-+-z z z has just two roots in the unitedisk.《复变函数论》试题（E ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nn n i n n z ⎪⎭⎫⎝⎛++-=211，thenlim =+∞→n n z . 2. If C denotes the circle centered at 0z and n is an integer ，then)(1210=-⎰C n dz z z i π. 3. The radius of the power series∑∞=+12)1(n n z nis .4. The singular points of the function 1cos )(2+=z zz f are . 5. 0 ,sin s Re 2=⎪⎭⎫⎝⎛n z z , where n is a positive integer.6.=z e dzd z2sin . 7. The main argument and the modulus of the number i +1 are . 8. The square roots of )0(>A Ai are . 9. The definition of z cos is . 10. Log )22(i += .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is differentiable at a point 0z ，then it is continuous at 0z .（）2. If a point 0z is a zero of order n of f ，then 0z is a pole of order n off /1.（）3. There is a non-constant entire function which maps the plane into the disk1000||<z .（）4. A function f is differentiable at a point 000iy x z += if and only if whosereal and imaginary parts are differentiable at ),(00y x and the Cauchy Riemann conditions hold there.（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰Cdz z f )(0 for everysimple closed contour C , then it is an entire function. ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find the integral ⎰+C zdz z e 12, where C is the circle 7||=z .2. Find the value of ⎰⎰==+-+235121)1(sin z z z z dzz dz z ze . 3. Let )2)(1(1)(--=z z z f ，find the Laurent expansion off on the annulus{}1||0:<<=z z D .4. Given λλλλd z z f C⎰-++=765)(2，where {}4|:|==z z C ，find )1(i f +'.5. Given )0(2:,2)(πθθ≤≤=+=i e z C zz z f ，find dz z f C⎰)(.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 020914lim 242=++-⎰+∞→RC R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is an entire function and there is a constant M and apositive integer m such that )(|||)(|C ∈∀≤z z M z f m . Prove thatm m z a z a z a z f +++= 221)(for some constants 1a , m a a ,,2 and all z in the plane.3·Show that the equation 01438=-+-z z z has just three roots in the unite disk2005－2006学年第一学期期末考试2003级数学与应用数学专业《复变函数论》试题（C ）Ⅰ. Cloze Tests （20102=⨯ Points ）1. If nnn n i i z ⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2121，then lim =+∞→n n z . 2. If C denotes any simple closed contour and 0z is a point inside C , then)(10=-⎰Cn dz z z , where n is an integer. 3. The radius of the power series∑∞=123n n z nis .4. The singular points of the function )2(cos )(24-=z z zz f are .5. 0 ,)ex p(s Re =⎪⎭⎫⎝⎛nz z , where n is a positive integer. 6. The main argument and the modulus of the number iie 42π are . 7. The integral of the function )(sin )(4i t t t w += on ]1,1[- is .8. The definition of z cos is .9. Log )1(i -= .10. The solutions of the equation 012=-zi e are .Ⅱ. True or False Questions (1553=⨯ Points)1. If a function f is continuous at a point 0z ，then it is differentiable at 0z .（）2. If a point 0z is a pole of order m of f ，then there is analytic function ϕat 0z with 0)(0≠z ϕ such that m z z z z f )()()(0-=ϕ on some deleted neighborhood of 0z .（）3. An entire function which is identically zero on the real axis must be zero.（）4. A function f is differentiable on a domain D if and only if whose realand imaginary parts are differentiable on D and the Cauchy Riemann conditions hold on D .（）5. If a function f is continuous on the plane and=⎰C dz z f )(0 for everysimple closed contour C , then 0)(=z f for all z . ( )Ⅲ. Computations (3557=⨯ Points)1. Find ⎰=++1||)23)(13(z z z zdz .2. Find the value of ⎰⎰==-+-22216)1(sin z z z dz z dz z z z . 3. Let )2)(1()(2++=z z z z f ，find the Laurent expansion of f on the annulus {}1||0:<<=z z D .4. Given ξξξξd z z f C⎰-++=143)(2，where {}4|:|==z z C ，find )2(i f +'. 5. Evaluate ),)1((Res 222i z z +.Ⅳ. Proving (30310=⨯ Points)1. Show that 02316lim 242=+++⎰+∞→R C R dz z z z , where R C is the circle centered at 0 with radius R .2. Suppose that f is differentiable and ||f is a constant on a domain D , prove that A z f =)( for some constant A and all D z ∈.3. Show that the equation 0127234=-++-z z z z has just three roots in the unite disk.复变函数考试试题（G ）1. 求通过1z 和2z 的线段的参数方程（用复数形式表示）。

复变函数复习题详细答案

复变函数复习题详细答案复变函数复习题详细答案如下：1. 复数的代数形式和几何解释复数 $ z = a + bi $ 可以表示为平面上的一个点 $ (a, b) $，其中 $ a $ 是实部，$ b $ 是虚部。

复数的模 $ |z| $ 表示该点到原点的距离，即 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

2. 复数的运算两个复数 $ z_1 = a + bi $ 和 $ z_2 = c + di $ 的加法和乘法运算如下：\[ z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \]\[ z_1 \cdot z_2 = (ac - bd) + (ad + bc)i \]3. 复数的共轭和模复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $，模为 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $。

4. 复数的指数形式复数 $ z $ 可以表示为指数形式 $ z = re^{i\theta} $，其中$ r = |z| $ 是模，$ \theta $ 是 $ z $ 的辐角，满足$ \cos\theta = \frac{a}{r} $ 和 $ \sin\theta = \frac{b}{r} $。

5. 复数的对数复数 $ z $ 的对数定义为 $ \log z = \log r + i\theta $，其中 $ r = |z| $，$ \theta $ 是 $ z $ 的主辐角。

6. 复数的导数设 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $ 是复函数，其中 $ z = x +iy $，则 $ f(z) $ 的导数为：\[ f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partialv}{\partial x} \]前提是 $ u $ 和 $ v $ 的偏导数满足柯西-黎曼方程。

复变函数复习

技巧小结：
3.零点与极点的关系
34
二、利用留数求积分
1.留数定理
说明：
2.留数的计算方法
三、在无穷远点的留数
2.定理2
记作注意积分路线取顺时针方向
3.在无穷远点处留数的计算
前提：
可设：
41
例4 计算积分
分析：分母在实轴上无零点，次数为6，符只需找在上半平面的所有奇点。合要求。解：
可导、连续、解析
函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导. （与柯西黎曼定理区分，其为在某点的实部虚部分函数在区域内解析与在区域内可导是等别可微，而非整体可微）
价的。
但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等价的概念。即函数在一点处可导, 不一定在该点处解析。
B
C
2. 复合闭路定理
•
•
C
C1
C2
C3
D
21
二、柯西积分公式
高阶导数公式
解析函数的导函数仍是解析函数，并且
复数项级数绝对收敛的充要条件
解：原级数通项的实、虚部构成的实数项级数分别为
前者为交错调和级数，
收敛，但不绝对收敛；
为绝对收敛。因此，原级数收敛，但不绝对收敛。
对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有二、幂级数的敛散性三种: (1) 对所有的正实数都收敛. 1.收敛定理 (阿贝尔Abel定理) 级数在复平面内处处绝对收敛. (2) 对所有的正实数除 z=0 外都发散. 此时, 级数在复平面内除原点外处处发散 (3) 既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收敛的正实数.
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z

复变函数复习资料

复变函数复习资料复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的研究对于数学的发展和应用有着重要的意义。

在这篇文章中，我将为大家提供一些复变函数的复习资料，希望对大家的学习有所帮助。

一、复变函数的基本概念复变函数是指定义在复数域上的函数，它的自变量和因变量都是复数。

复变函数可以表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z=x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别是实部和虚部函数。

复变函数的导数和积分也有相应的定义，与实数函数的导数和积分有一些不同之处。

二、复变函数的解析性与调和性复变函数的解析性是指函数在某个区域内处处可导，它是复变函数的重要性质。

根据柯西—黎曼方程，只有满足一定条件的函数才能是解析函数。

解析函数具有很多重要的性质，例如它的实部和虚部都是调和函数，它的导数也是解析函数。

三、复变函数的级数表示复变函数可以用级数表示，这是复变函数研究中常用的一种方法。

泰勒级数是复变函数的一种重要的级数表示形式，它可以将函数展开成一系列幂函数的和。

而洛朗级数则是将函数展开成一系列幂函数和互补幂函数的和，适用于具有奇点的函数。

四、复变函数的积分复变函数的积分是复分析中的重要内容，它与实数函数的积分有一些不同之处。

复变函数的积分可以沿着一条曲线进行，这就是复积分的概念。

复积分有一些重要的性质，例如柯西—黎曼积分定理和柯西公式等，它们在复分析中有着广泛的应用。

五、复变函数的应用复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

它可以用来描述电磁场、流体力学和信号处理等问题。

复变函数的解析性和级数表示等性质使得它在实际问题的求解中具有很大的优势。

总结：复变函数是数学中的一个重要分支，它研究的是具有复数变量和复数值的函数。

复变函数的解析性、级数表示和积分等性质是复变函数研究的核心内容。

复变函数在物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。

希望通过这些复习资料，能够帮助大家更好地理解和掌握复变函数的知识。

复变函数总复习

复平面上的区域复变函数设 f (z) = u(x, y) + iv(x, y), A = a + bi, z0 = x0 + iy0
z→z0
lim f (z) = A ⇔ lim u(x, y) = a, lim v(x, y) = b
x→x0 y→y0 x→x0 y→y0
复变函数的极限和连续
满足下列条件的点组成何种图形? 例满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域. 若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.
c c
复积分的性质１、 ∫ f (z)dz = −∫ f (z)dz c c
−
２、３、
∫ kf (z)dz = −k∫
c c
c
f (z)dz f (z)dz ± ∫ g(z)dz
c
∫ [ f (z) ± g(z)]dz = ∫
c
４、 ∫c f (z)dz ≤ ∫c f (z) ds ≤ ML 曲线Ｃ的长度为Ｌ，函数在Ｃ上满足 f (z) ≤ M
复积分计算的一般方法设 f (z) 沿曲线Ｃ连续，曲线Ｃ的参数方程为 z = z(t ) (α ≤ t ≤ β ) ，其中起点为 z(α) ，终点为 z(β ) ，则
1 1 x − iy 1 = 2 又 w= = 2 = ( x − iy), z x + iy x + y 9
1 1 1 1 于是 w = u + iv = x − iy ⇒ u = x, v = − y 9 9 9 9 1 2 2 1 2 2 平面上的圆. 表示 w 平面上的圆 u + v = (x + y ) = 81 9
2
•

复变函数考试复习资料

一、单选题1.设f(z)=sin z，则下列命题中，不正确的是( )。

A、f(z)在复平面上处处解析B、f(z)以2T为周期C、D、丨f(z)丨是无界的答案： C2.A、iB、-iC、1D、-1答案： B3.下列命题中，不正确的是（）。

A、B、C、若在区域D内有f '(z)=g(z)，则在D内g'(z)存在且解析D、答案： D4.设f(z)在区域D内解析，c为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部全属于D．如果f(z)在c上的值为2，那么对c内任一点z0，f(z0)( )A、等于0B、等于1C、等于2D、不能确定答案： C5.下列函数中，为解析函数的是（）。

A、x²-y²-2xyB、x²+xyiC、2(x-1)y+i(y²-x²+2x)D、x³+iy³答案： C6.下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为( ).A、B、C、D、答案： B7.函数f(z)在点z可导是f(z)在点z解析的( )A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既非充分条件也非必要条件答案： B8.A、2B、2iC、1+iD、2+2i答案： A9.A、不存在的B、唯一的C、纯虚数D、实数答案： D10.A、有界区域B、无界区域C、有界闭区域D、无界闭区域答案： D11.设v(x,y)在区域D内为u(x,y)的共辄调和函数，则下列函数中为D内解析函数的是（）。

A、v(x,y)+iu(x,y)B、v(x,y)-iu(x, y)二、判断题C 、u(x,y)-iv(x,y)D 、答案： B12.下列数中，为实数的是（）。

A 、B 、cos iC 、In iD 、答案： B1.若f (z )在z 0解析，则f (z )在z 0处满足柯西-黎曼条件.A 、正确B 、错误答案：正确2.若a 是f(z)和g(z)的一个奇点,则a 也是f(z)+g(z)的奇点。

复变函数总复习

在圆环域
, 双边幂级数才收敛！
5.2 洛朗展开定理
定理(洛朗展开定理)设 f (z)在圆环域内解析, 则
其中这里 C 为在圆环域内绕 z0 的任何一条闭曲线。
28
5.3 函数展成洛朗级数的方法（一般用间接展开）洛朗级数是泰勒级数的推广。圆环内的解析函数展成洛朗级数的一般方法并不是按照公式计算洛朗系数，而是根据洛朗级数展开式的唯一性，利用已知的幂级数展开式去求所需要的洛朗展开.
5.4 洛朗级数的应用 —— 计算积分在洛朗级数的系数公式
中取
时，有
c1
2 i
1
C
f ( z )dz
或

其中C 为
C
f ( z )dz 2 i c1
内的任一简单闭曲线.
30
例函数
在圆环域：
i) 0<|z-1|<1；
ii) 1<|z-1|<+； iii) 0<|z-2|<1； iv) 1<|z-2|<+；内处处解析, 试把 f (z)在这些区域内展开成洛朗级数。
第四章
1、复数列 1.1 复数列收敛的定义
级数
1.2 复数列收敛的充要条件
定理一
复数列
收敛于 α 的
充要条件是
2、复数项级数 2.1 复数项级数收敛的定义 2.2 复数项级数绝对收敛，条件收敛及发散定理二级数和定理三式收敛的充要条件是级数
都收敛。
如果收敛，则也收敛，且不等
成立。绝对收敛的充要条件是和绝对收敛。
1) 它的和函数是收敛圆内的解析函数。 2) f (z) 在收敛圆内的导数可将其幂函数逐项求导得到，即 3) f (z)在收敛圆内可以逐项积分, 即

复变函数总复习资料

q 2k
n
, (n 1)
n 得到n个不同的根。
i sin
q 2k
)
注意根的多值性！ 5
区域的概念
区域：平面点集D称为区域, 必须满足下列两个条件：
1）D是一个开集。 2）D是连通的。单连通域：区域B中任做一条简单闭曲线，曲线内
部总属于B，称B为单连通区域。多连通域：不满足单连通域条件的区域。
4
x
3
3、复数运算
加法、减法：乘法:
z1 x1 iy1
z2 x2 iy2
z1 z2 ( x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1 z2 ( x1 i y1 )( x2 i y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 )
7、f ( z )
w g ( z)
1 , w f ( z )与z ( w)是两个互为反函数的单值函数, 且 ( w) 0. 10 ( w)
4、解析 f ( z)在z0及z0的邻域内处处可导,则w f ( z)在点z0解析
f ( z )在z0不解析 z0为奇点。
不连通
单连通域多连通域
6
复变函数的极限、连续性、可导、解析性的判定
复变函数 w=f(z), z=x+iy, w=u(x,y)+iv(x,y)
单值函数：z 的一个值对应一个w值。多值函数：z的一个值对应两个或以上w值。
反函数：z=g(w)
复变函数的讨论两个实变函数的讨论
7
f ( z) A 1、极限 zlim z
有理多项式 w P( z ) a0 a1 z P( z ) 有理分式 w （两个多项式的商）除分母不为0的点外， Q( z ) 处处解析, 使分母为零的点是它的奇点。

《复变函数》期末复习题及答案

复变函数复习题及答案一、判断题(红色的是错误的)1.0的幅角为0.2.i i 2<.3.z z ln 2ln 2=. 4.Lnz Lnz 22=.5.Lnz z Ln 21=. 6.0=-Lnz Lnz .7.z z Re ||>. 8.z z z Im Re ||+≤.9.Lnz Lnz z Lnz Lnz +=+=ln 2.10.函数()()231z z f +=在复平面内没有奇点. 11.若0z 是函数()z f 的奇点，则()0/z f不存在.12.设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，函数则()y x u ,也是()y x v ,的共轭调和函数. 13．设()y x v ,是()y x u ,的共轭调和函数，则22v u +一定是调和函数.14.函数()zzz f =的奇点只有一个0=z . 15.设C 是不经过原点的简单闭曲线，则⎰=Cdz z 012. 16.解析函数的导数还是解析函数. 17.Argz nArgz n11=. 18.1|cos |≤z . 19.1cos sin 22=+z z .20.∑+∞==-011n n z z .21.0sin lim=∞→zzz .22.若c z f z z =→)(lim 0，则z 0是函数的可去奇点.23.若函数f (z )在z 0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. 24. 若∞=z 是函数)(z f 的可去奇点，则[]0),(Re =∞z f s .25. 设0z 是)(z f 的孤立奇点,如果∞=→)(lim 0z f z z ,则0z 是)(z f 的极点.二、选择题1．下列各式中表示有界区域的是（ C ）.A.0Re >zB.0Im >zC.2|2|<-zD.2||>z 2．在映射2z w =下，双曲线122=-y x 在w 平面上的象是（A ）. A.平行于u 的直线 B.平行于v 的直线 C.双曲线 D.圆3.方程2|||1|=+++i z z 所表示的曲线是（ B ）.A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线4.下列方程中表示直线的是（ C ）.A.1Re 2=z B.1=z z C.1=+z z D.1||||=+z z5.复数iiz -+=21在第（ A ）象限. A.一 B.二 C.三 D.四 6．=Lni ( A )，其中k 是整数. A.i k ⎪⎭⎫⎝⎛+ππ22 B.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ22 C.i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+ππ24 D. i k ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππ24 7．对于幂级数，下列命题中正确的是（ B ）.A.在收敛圆内，其条件收敛B.在收敛圆内，其绝对收敛C.在收敛圆上，其处处收敛 D 在收敛圆上，其处处发散8．0=z 是()zz z f 2sin =的（ D ）.A.本性奇点B.极点C.连续点D.可去奇点 9．在复平面内，关于z sin 的命题中，错误的是（ C ）.A.z sin 是周期函数B.z sin 是解析函数C.1|sin |≤zD.()z z cos sin /=10．设C 为正向曲线1||=z ，则()=--⎰Ci z dz21( A ).A.0B.iπ1C.i πD. i π2 11．设()zz z z f 222-+=，则()[]=0,Re z f s ( C ).A.0B.1C.1-D. 212.函数()zz f 1=将z 平面上的曲线1=x 映射成w 平面内的一条（ A ）. A ．圆 B.椭圆 C ．双曲线 D.直线13. 下列积分中，值不为零的是（ D ）（其中C 是正向曲线1||=z ）. A.⎰Czdz B.⎰C dz z z sin C.()⎰-C dz z z 5.01 D.()⎰-Cdz z z 2114. 下列级数中，绝对收敛的级数为（ D ）. A.∑∞=1n )1(1n i n + B.∑∞=1n ]2)1([n n i n +- C.∑∞=2n n i n ln D. ∑∞=1n nni 2 15. 2lim1n n nini→∞+-=（ A ）.A.12i -+B.12i +C.2i +D.∞16. 0=z 为函数()()zz z z z f 1sin11)(+-=的（ A ）.A.非孤立奇点B.极点C.本性奇点D.可去奇点17.下列式子中成立的是（ D ）.A.i i 2<B.1sin ≤zC.z z ln 2ln 2=D.z Lnz Lnz ln 2+=18.若幂级数∑+∞=0n nn z c 在点12i +收敛，则∑+∞=1n nn n z c 在点2=z 处的敛散性为（ A ）.A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.不能确定(∑+∞=1n nn n z c 与∑+∞=0n n n z c 收敛半径是一样的，再根据阿贝尔定理)19.0=z 是函数()zzz f 1sin =的（ D ）.A.可去奇点B.极点C.本性起点D.非孤立奇点 20.下列级数中条件收敛的是（ B ）.A. nn i ∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+021 B. ∑+∞=0n n n i C. ∑+∞=02n n n i D. ∑+∞=+021n n n i21.下列级数绝对收敛的是（ B ）.()()()()()221111112nnnn n n n i i i A B C i D nnn ∞∞∞∞====⎛⎫++⎪⎝⎭∑∑∑∑22、级数∑∞=++-111)1(n n n nz 的收敛半径R 和和函数为（ B ）. A.1),1ln(=+R z B.1),1ln(=+R z z C.1),1ln(=-R z D.1),1ln(=-R z z （∑∞=++-111)1(n n n n z =∑⎰∑∑∞=∞=++∞=+-=+-=-0001211d )1(1)1()1(n z n nn n n n n n z z z n z z n z z()z z dz zz dz z z z z zzz n n n znn +=+=-=-=⎰⎰∑∑⎰∞=∞=+1ln 11)(d )1(001) 23.设C 为椭圆1422=+y x ，则积分⎰Cz z d 1= （ A ）. A.i π2 B.π C.0 D.i π2-24.设),(y x v 在区域D 内为),(y x u 的共轭调和函数，则( B )为D 内解析函数.A.),(),(y x iu y x v +B.),(),(y x iu y x v -C.),(),(y x iv y x u -D.xvi x u ∂∂-∂∂ 25. 级数∑∑+∞=+∞=+01n n nn n n bz z a b a ,(是复常数），则其收敛域是（ D ）.A.||||a z <B.||||b z <C.+∞<<||0zD.当||||b a <时||||||b z a << 三、填空题 1．设42πiez -=，则=z Re 12． ()()112-+=z z z z f 在奇点0=z 附近的洛朗级数的收敛圆环域为1||0<<Z .3．方程0=chz 的根是i k π⎪⎭⎫ ⎝⎛+21 4．=-⎰=1||12sin z dz z zπ____i π_________. 5． =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,sin Re 4z z z s 61. 6．=⎰=1||z dz z i π2.7． ()()by x i ay x z f +++=在复平面内解析，则=a 1-,=b 1 .8.设i e z +=1，则=z Im i k ⎪⎭⎫⎝⎛+24π；9.函数2z w =将z 平面内的曲线222=-y x 映射成w 平面内曲线的方程为2=u . 10.=⎰+idz z 102()3131i +. 11.设()12-=z ze z f z，则()=0///f__-９_____________.(()12-=z ze z f z zz z e zz e z z z ze 222111--=-=-= ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++-=...!31 (3)253z z z z z z z = (2)332----=z z z ()()()()()32///!3002100z f z f z f f z f '''+++=所以()()9!3230,23!30-=-='''-='''f f ） 12.设()∑+∞=-=+02111n nn z c z ，则此幂级数的收敛半径是2 .13.=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+0,1sin Re 6z chz z s 1201. 14.=-⎰=3||24z dz z i π2 15. =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+,11Re 3z s ___０_______. 16. 设i z 22-=,则z arg =4π-,z ln =i 48ln π-.17.dz zez z⎰=11= i π18.设i z 432+=，则=||z 5.19. 若函数23),(axy x y x u +=为某一解析函数的虚部，则常数=a ____－３ .20. 0=z 是函数()121sin z e z z f z --=的__10__级极点.21. =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∞,Re 1z e 0 .22.函数()4ln 2-=z zz f 的奇点的集合是}2{]0,( -∞ 23. 若n n ni n n z )11(12++-+=，则=∞→n z n lim __-1+ie________. 24.()1-=z zz f 将区域2||=z 映射成___________________.25. z=0为()()122-=z e z z f 的 4 级零点.四、计算题1. 计算()i -1ln ，()1sin -i π和21的值解：()()i i i i i 42ln 211arg |1|ln 1ln π-=-+-=- ()i ee sh i ch i 211cos 1sin sin 2--=+=+πππ（()xshy i xchy iy x cos sin sin +=+）()()ππππ2sin 2cos 12)1(ln 2122i eeeii Ln +====+2. 求解析函数()iv u z f +=其中()01,22=+=f y x yu解：()()()222222222/2ziy xy x iy x xy y u i x u z f =+-++=∂∂-∂∂= ()()c zidz z fz f +-==⎰/由()01=f 得到，i c = 3. 求满足方程i y iix 21+=++的x 和y 的值。

复变函数复习

不考内容《复变函数》第一章：§复球面§区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用、《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。

复变函数复习第一章复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +==复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg = , 复数的辐角的主值argzArgz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π当0=z 时,|z|=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z|=+∞,没有实部,虚部和辐角. argz(0≠z )与反正切xy Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xy arctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹤0 正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i 22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0)(5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z|=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=n k i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k (7)共轭 z = x-iy=re -i θ , 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= ,()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章解析函数1. 复变函数的导数(1)定义函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()000000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdwz f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f zg f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ. 2.解析函数(1)定义如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数.(2)性质两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数定义定义区域单值多值性解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面多值整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bki多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义定义区域解析区域单值多值性基本周期奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+=2i 偶2zz e e shz --=整个复平面单值奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ; (2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针. 推论:(1) ()()dz z f dz z f Z Z C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x u y v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x). 也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y v x u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到 ()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章级数1.幂级数形为()()()() +-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 +++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛(3)对于幂级数∑∞=0n nn z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径 λ1=R .(包括R=0或R=)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点的距离为半径R=-z 0的解析圆域z-z 0<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为+++++=-nz z z z2111 , 1<z . ++++++=!!3!2132n z z z z e n z 3.洛朗级数函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<z-z 0<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()() ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数可去奇点存在且有限没有负幂项极点 ∞有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m nz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()() ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21 外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s ])。

复变函数复习题答案

复变函数复习题答案1. 复数的代数形式是什么？复数的代数形式为 $ z = a + bi $，其中 $ a $ 和 $ b $ 是实数，$ i $ 是虚数单位，满足 $ i^2 = -1 $。

2. 复数的模和辐角的定义是什么？复数 $ z = a + bi $ 的模定义为 $ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} $，辐角定义为 $ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) $（考虑主值）。

3. 复数的乘法和除法如何进行？两个复数 $ z_1 = a_1 + b_1i $ 和 $ z_2 = a_2 + b_2i $ 的乘法为：\[ z_1 \cdot z_2 = (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)i \]除法为：\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{(a_1 + b_1i)(a_2 - b_2i)}{a_2^2 +b_2^2} \]4. 复数的共轭是什么？复数 $ z = a + bi $ 的共轭为 $ \overline{z} = a - bi $。

5. 复数的实部和虚部如何表示？复数 $ z = a + bi $ 的实部表示为 $ \Re(z) = a $，虚部表示为 $ \Im(z) = b $。

6. 复数的指数形式和对数形式是什么？复数的指数形式为 $ z = |z|e^{i\arg(z)} $，对数形式为$ \log(z) = \ln|z| + i\arg(z) $。

7. 复变函数的导数定义是什么？设 $ f(z) $ 在 $ z_0 $ 处可导，则导数定义为：\[ f'(z_0) = \lim_{\Delta z \to 0} \frac{f(z_0 + \Delta z) -f(z_0)}{\Delta z} \]8. 柯西-黎曼方程是什么？对于复变函数 $ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) $，柯西-黎曼方程为：\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \]\[ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partialv}{\partial x} \]9. 复变函数的积分定义是什么？复变函数 $ f(z) $ 在曲线 $ C $ 上的积分定义为：\[ \int_C f(z) \, dz = \int_C (u(x, y) + iv(x, y)) \, (dx + idy) \]10. 留数定理的内容是什么？留数定理指出，对于在简单闭合曲线 $ C $ 内部及其上除了有限个奇点外处处解析的函数 $ f(z) $，其在 $ C $ 上的积分可以表示为：\[ \int_C f(z) \, dz = 2\pi i \sum \text{Res}(f, z_k) \]其中 $ z_k $ 是 $ f(z) $ 在 $ C $ 内部的奇点，$ \text{Res}(f, z_k) $ 是 $ f(z) $ 在 $ z_k $ 处的留数。

《复变函数》复习大纲及例题

dz
2 i 2!
sin
z
2 z1
i
sin1
法2（留数定理）
z
1是函数
f
z
sin z
z 13
的三级极点，则
Re s
f
z ,1
1 lim 2! z1
z
13
sin z
z 13
2
1 2
，由留数定理得
C
sin z
z 13
dz
2 i
Re s
f
z ,1
i sin1
.
9. 复合闭路定理联合柯西积分公式（或留数定理、规则）
0
x2 2
ix
3 0
9 2
3i
.
11. 原函数与不定积分
例 11-1 计算积分： 3i e2zdz . i
解： 3i e2zdz 1 3i e2zd 2z 1 e2z 3i 0
i
2 i
2
i
1
例 11-2 计算积分： z sin zdz . 0
解：
1 z sin zdz
0
1 0
zd
cos
z
z
cos
z
1 0
1 0
cos
zdz
sin
1
cos1
.
12. 函数可导、解析的充要条件
例 12-1 函数 f x x2 iy 何处可导，何处解析.
解：由题得 u x, y x2,v x, y y ，则 u 2x, v 1, u 0, v 0 ，
x
y
y x
故当且仅当 2x 1 时柯西黎曼方程 u v , u v ，解得 x 1 ，
i

《复变函数》复习题

1 dz.
1 dz. y
z 1 2z 3
z- 3 1 2z 3
2
C1
C2
o
•
3
x
2
复习题
21
例 3.2.6
计算积分
C
2z 1
z2
dz, z
其中Ｃ为包含圆周
z 1 在内的任意分段光滑正向简单闭曲线.
例 3.3.1
解:
求积分(1)
cos z dz,
|z2|1 z 2
复习题
22
z2
(2)
lim cn1 c n
n
n3
lim
n
(n 1)3
1
R 1
复习题
24
复习题
25
例4.8 求 (n 1)zn 的收敛半径.
n0
解因为 lim cn1 lim n 2 1, 所以 R 1.
c n n
n n 1
25
附: 常见函数的Taylor展开式
复习题
26
(1) ez 1 z z2
3
2
由复合闭路定理，得：
dz
dz
dz
C z(z2 1) C1 z(z2 1) C2 z(z2 1)
1
1
(z2 1) dz z(z i) dz
z C1
C2 (z i)
2 if1(0) 2 if2 (i)
2 i 2 i( 1 ) i.
2
幂级数
zn n3
n1
的收敛半径为？
复习题
29
例4.15 将函数 f (z)
1
在圆环域
(z 1)(z 2)
(1) 0 z 1;
(2) 1 z 2;

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

不考内容《复变函数》第一章：§2.2 复球面§2.4 区域§5 第二部分：映射的概念§6 复变函数的极限与连续性第四章§1 复数项级数第五章§3 留数在定积分上的应用《积分变换》第一章：傅立叶变换第二章：§4 卷积注意：第二章一般不算积分，除了周期函数的公式以外。

复变函数复习第一章复数与复变函数1.复数的表示(1)复数的代数表示:复数z = x + i y ,其中x,y 为实数.(2)复数的几何表示:复数z = x + i y 可以用xy 平面上的点P(x,y)来表示,因而也能用原点指向P 点的平面向量来表示.(3)复数的三角表示:复数()θθsin cos i r z += 复数的模 22y x r z +== 复数的辐角Argz=θ, ()xyArgz tg =, 复数的辐角的主值argz Argz=argz+2k π(k 为整数). 规定-π＜argz ≤π 当0=z 时,|z |=0,辐角没有意义.当∞=z 时,|z |=+∞,没有实部,虚部和辐角.argz (0≠z )与反正切x y Arctg 的主值x y arctg ⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-22ππx y arctg 的关系：第一、四象限 xyarctg z =arg x ﹥0第二象限 π+=xy arctg z arg x ﹤0,y ﹥0第三象限 π-=xyarctg z arg x ﹤0,y ﹤0正虚轴 2arg π=z x=0,y ﹥0 负虚轴 2arg π-=z x=0,y ﹤0负实轴 π=z arg x ﹤0,y=0(4)复数的指数表示：θi re z z =≠,0时2.复数的运算设z 1= x 1+iy 1=()111sin cos θθi r +, z 2 = x 2+iy 2()222sin cos θθi r +=(1)相等 z 1= z 2 ⇔ x 1=x 2 y 1=y 2 (2)加(减)法 z 1±z 2=(x 1±x 2)+i(y 1±y 2) (3)乘法 z 1z 2=(x 1x 2-y 1y 2)+i(x 2y 1+x 1y 2)()()[]212121)(21sin cos 21θθθθθθ+++==+i r r e r r i(4)除法 222121z z z z z z ⋅⋅==22222121y x y y x x +++i22222112y x y x y x +-()2121θθ-=i e r r )]sin()[cos(212121θθθθ-+-=i r r (z 2≠0) (5)乘幂 )sin (cos θθθn i n r e r z n in n n +==特别 |z |=1时, (cos θ+isin θ)n =cosn θ+isinn θ (棣莫弗公式) (6)方根,2sin 2cos1⎪⎭⎫⎝⎛+++=nk i n k r z n nπθπθ ()1,,2,1,0-=n k Λ (7)共轭 z = x -iy=re-i θ, 21z z ±=1z 2z ±, 121z z z =2z , 2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ ;z z = ; 22y x z z += ; x z z 2=+, iy z z 2=- .注意:(1)在复数的运算中,除加减法用代数表示较方便外,其它运算宜采用三角表示,特别是用指数表示最方便.(2)关于复数的模与辐角有以下计算公式:2121z z z z ⋅= , ()2121Argz Argz z z Arg +=2121z z z z = , Arg ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21z z =21Argz Argz - (z 2≠0) 3.复变函数的概念复变函数的定义,极限,连续以及导数等概念在形式上几乎与实变函数完全相同.但需注意的是,复变函数的定义域是复平面上的点集,因此在讨论有关概念时,应注意复变量z 变化方式的任意性,即z →z 0可以以任意方式(直线,曲线…),而一元实变函数中实变量x →x 0只能沿x 轴.4.简单曲线是研究复变量的变化范围时经常用到的重要概念之一,特别是简单闭曲线经常作为区域的边界出现.在复变函数的积分运算中,常常需要把曲线表示为复参量的形式,通常用得最多的是一元实参量t 的复值函数 z=z(t)=x(t)+iy(t) (α≤t ≤β) 其中 x=x(t), y=y(t) (α≤t ≤β) 是该曲线在直角坐标系中的参数方程.第二章解析函数1. 复变函数的导数(1)定义函数w = f (z)在其定义域D 内一点z 0处(可导)的导数()()()()()00000000limlim lim z z z f z f z z f z z f z wdzdw z f z z z z z z --=∆-∆+=∆∆=='→→∆→∆= 若函数w = f (z)在区域D 内处处可导,称 f (z)在D 内可导. (2) f(z)在z 0可导连续(3)求导法则若f(z),g(z)在点z 可导,则()1-='b bbzz(b 为复数);()()[]()()z g z f z g z f '±'='±; ()()[]()()()()z g z f z g z f z g z f '+'=';()()()()()()()[]z g z f z g z f z g z g z f '-'='⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,()0≠z g .()[]{}()()z g w f z g f ''=',其中 ()z g w = . ()()w z f ϕ'='1,其中()z f w =与()w z ϕ=是两个互为反函数的单值函数,且 ()0≠'w ϕ.2.解析函数(1)定义如果函数f(z)在z 0及z 0的邻域内处处可导,那末称f(z)在z 0解析.如果f(z)在z 0不解析,则称z 0为f(z)的奇点. 如果f(z)在区域D 内每一点解析,那末称f(z)在D 内解析,或称f(z)是D 内的一个解析函数. (2)性质两个解析函数的和,差,积,商(分母不为零)及复合函数仍然解析有理分式函数)()(z Q z P 在复平面内除了使分母为零的点外处处解析 (3)柯西-黎曼方程 (C-R 方程)函数()()()y x iv y x u z f ,,+=在定义域D 内(解析)一点iy x z +=可导⇔u(x,y)与v(x,y)在(D 内)点(x,y)可微,并且满足C-R 方程 yv x u ∂∂=∂∂,x v y u ∂∂-=∂∂.推论若f (z)在z 处可导, 则 ()yui y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=' . 3.初等函数定义定义区域单值多值性解析区域 (1) 对数函数Lnz=lnz+2 kπi 整个复平面多值整个复平面iArgz z Lnz +=ln (z ≠0) (除原点和负实轴)(k=0,±1,±2,…) 主值分支z i z z arg ln ln +=(2)乘幂 a b = e bL n a =e blna+2bk πi 多值(k=0,±1,±2,…) 主值分支e b l n ab 为正整数n 单值整个复平面nb 1= n 个分支 (除原点和负实轴)定义定义区域解析区域单值多值性基本周期奇偶性(3)指数函数 e z(4)双曲函数2zz e e chz -+= 2πi 偶2zz e e shz --=整个复平面单值奇(5)三角函数2cos iziz e e z -+=2π 偶ie e z iziz 2sin --= 奇第三章复变函数的积分1.积分的计算 ()()[]()t d t z t z f z d z f C '=⎰⎰βα光滑曲线C 参数方程: ()()()βα≥≤+==t t iy t x t z z ,, 正向t 增加()⎰+-Cn z z dz10⎩⎨⎧≠==0002n n i πC 是包围z 0的任何一条正向简单闭曲线2.积分的性质 f(z),g(z)沿曲线Ｃ连续(1) ()()dz z f dz z f C C ⎰⎰-=- ;(2) ()()dz z f k dz z kf C C ⎰⎰=;(k 为常数) (3) ()[()]()()dz z g dz z f dz z g z f C C C ⎰⎰⎰±=±(4)设曲线C 的长度为L,函数f(z)在C 上满足()M z f ≤,那末()()ML ds z f dz z f C C ≤≤⎰⎰.3.柯西-古萨基本定理如果函数f(z)在单连域B 内处处解析，那末函数f(z)沿B 内任何一条封闭曲线C 的积分为零: ()0=⎰dz z f C.推广:(1)闭路变形原理在区域内的—个解析函数f(z)沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变其值,只要在变形过程中曲线不经过f(z)的奇点.(2)复合闭路定理设C 为多连域D 内的一条简单闭曲线，C 1，C 2，…，C n 是在C 内部的简单闭曲线,它们互不包含也互不相交,并且以 C ，C 1，C 2，…，C n 为边界的区域全含于D.如果f(z)在D 内解析,那末1) ()()dz z f dz z f nk C CK∑⎰⎰==1 ,其中C 及C k 均取正向.2) 0)(=⎰Γdz z f ,这里г为由C 及C k ―（k=1，2，…，n ）所组成的复合闭路,其方向是:C 逆时针，C k ―顺时针.推论:(1) ()()dz z f dz z f ZZ C ⎰⎰=10,Ｃ是连结z 0与z 1的任一曲线.(2)函数()()ςςd f z F ZZ ⎰=0必为B 内的—个解析函数,并且()()z f z F ='.5.原函数如果在区域B 内φ/(z)=f(z),那末φ(z)称为f(z)在区域B 内的原函数不定积分 ()()c z dz z f +=⎰ϕ ,其中ｃ为任意复常数.()()()0110z z dz z f Z Z ϕϕ-=⎰,其中z 0 ,z 1是B 内任意两点6.柯西积分公式如果f(z)在区域D 内处处解析,C 为D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于D,z 0为C 内的任一点,那末()()dz z z z f i z f C ⎰-=0021π 解析函数f(z)的导数仍为解析函数,上式两边形式上对z 0求n 阶导数得到高阶导数公式 ()()()()dz z z z f i n z fC n n ⎰+-=1002!π . 7.调和函数如果二元实变函数φ(x,y)在区域D 内具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程02222=∂∂+∂∂yxϕϕ,那末称φ(x,y)为区域D 内的调和函数任何在区域D 内解析的函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的实部和虚部都是D 内的调和函数,并且其虚部v(x,y)为实部u(x,y)的共轭调和函数. 8.已知实部或虚部求解析函数(1)偏积分法如已知u(x,y),可利用柯西一黎曼方程 x uy v ∂∂=∂∂,将x 当成常数,对y 积分得 ()()x g dy xuy x v +∂∂=⎰,,再利用 x v y u ∂∂-=∂∂ 确定g(x).也可以利用 yux v ∂∂-=∂∂ ,将y 当成常数，对x 积分得()()y h dx yu y x v +∂∂-=⎰, ,再利用 y vx u ∂∂=∂∂ 确定h(y).(2)不定积分法由于 ()xvi x u z f ∂∂+∂∂=', 利用柯西一黎曼方程得到()()z U yui x u z f =∂∂-∂∂=' ,则 ()()c dz z U z f +=⎰ .或 ()()z V xv i y v z f =∂∂+∂∂=' ,则 ()()c dz z V z f +=⎰ . 第四章级数1.幂级数形为()()()()ΛΛ+-++-+-+=-∑∞=n n n n n a z c a z c a z c c a z c 22100或 ΛΛ+++++=∑∞=n n n n n z c z c z c c z c 22100的级数称为幂级数.(1)阿贝尔定理如果级数∑∞=0n n n z c 在()00≠=z z 收敛,那末对满足0z z <的z,级数必绝对收敛. 如果在0z z =级数发散,那末对满足0z z >的z,级数必发散.(2)对于幂级数()nn n a z c -∑∞=0或 ∑∞=0n n n z c ,存在以a 或0为中心,R 为半径的圆周C R .在C R 的内部,级数绝对收敛;在C R 的外部，级数发散.圆周C R 称为幂级数的收敛圆,收敛圆的半径R 称为收敛半径. 特别1)R=0,级数在复平面内除原点外处处发散2)R=∞,级数在复平面内处处收敛 (3)对于幂级数∑∞=0n n n z c ,如果λ=+∞→nn n c c 1lim或λ=∞→n n n c lim 那末收敛半径λ1=R .(包括R=0或R=∞)(4)在收敛圆内幂级数()n n n a z c -∑∞=0的和函数f(z)是解析函数.在收敛圆R a z <-内,式()()nn n a z c z f -=∑∞=0,可进行有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算.2.泰勒级数函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心,z 0到f(z)的最近的一个奇点α的距离为半径R=|α-z 0|的解析圆域|z-z 0|<R 内展开为泰勒级数.()()()()n n n z z n z f z f 000!-=∑∞= 泰勒展开式具有唯一性,因此可以借助于一些已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的泰勒展开式. 常用的已知函数的展开式为ΛΛ+++++=-n z z z z2111, 1<z . ΛΛ++++++=!!3!2132n z z z z e nz 3.洛朗级数函数f(z)可在以展开中心z 0为圆心的解析的圆环域 R 1<|z-z 0|<R 2内展开为洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=,其中 ()()()Λ,2,1,0.2110±±=-=⎰+n d z f i c C n n ςςςπ 这里C 为在圆环域内绕z 0的任何一条正向简单闭曲线.洛朗展开式具有唯一性,因此也可以借助于已知函数的展开式,利用幂级数的有理(加,减.乘法)运算,代换(复合)运算和微积分运算来得出一个函数的洛朗展开式.第五章留数1.孤立奇点的概念和分类(1)定义如果函数f(z)虽在z 0不解析，但在z 0的某一个去心邻域δ<-<00z z 内处处解析，则将z 0称为f(z)的孤立奇点.(2)孤立奇点的分类和判定z 0为f(z)的 ()z f z z 0lim → f(z)在z 0的去心邻域内的洛朗级数可去奇点存在且有限没有负幂项极点 ∞ 有限多个负幂项本性奇点不存在且不为∞ 无穷多个负幂项z 0是f(z)的m 级极点()()()z g z z z f m01-=⇔ ,其中g(z)是在δ<-0z z 内解析的函数，且 ()00≠z g .(3)函数的零点及其与极点的关系不恒等于零的解析函数f(z)如果能表示成 ()()()z z z z f m ϕ0-= 其中()z ϕ在z 0解析并且()00≠z ϕ,m 为某一正整数,那末z 0称为f(z)的m 级零点.如果f(z)在z 0解析，那末z 0为f(z)的m 级零点 ⇔ ()()()()()0,1,,2,1,0,000≠-==z f m n z f m n Λz 0是f(z)的m 级极点⇔z 0是()z f 1的m 级零点.如果()()()z h z g z f =,而z 0是g(z)的m 级零点,h(z)的n 级零点,那末z 0为()z f 1的(n-m)级零点,为f(z)的(n-m)级极点.(4)函数在无穷远点的性态如果函数f(z)在无穷远点∞=z 的去心邻域+∞<<z R 内解析，那末称点∞为f(z)的孤立奇点.f(z)在+∞<<z R 内的洛朗展开式 ()n n n nn n z c c zc z f ∑∑∞=-∞=-++=101其中 ()()Λ,2,1,0,211±±==⎰+n d f ic C n n ςςςπ,C 为+∞<<z R 内绕原点的任一正向简单闭曲线.洛朗级数 z=∞是f(z)的 ()z f z ∞→lim没有正幂项 → 可去奇点 ← 存在且有限有限正幂项(最高m 次) → 极点(m 级) ← ∞ 无限正幂项 → 本性奇点 ← 不存在且不为∞ 2.留数与留数的计算(1)留数定义如果z 0为f(z)的一个孤立奇点,C 是z 0的去心邻域..R z z <-<00 内包围z 0的任意一条正向简单闭曲线,函数f(z)在此邻域内展开成洛朗级数 ()()n n n z z c z f 0-=∑∞-∞=, 则f(z)在z 0处的留数 ()[]()dz z f ic z z f s C⎰==-π21,Re 10 (2)留数定理设函数f(z)在区域D 内除有限个孤立奇点n z z z ,,,21Λ外处处解析.C 是D 内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线，那末()()[]∑⎰==nk k Cz z f s i dz z f 1,Re 2π(3)留数的计算1)可用洛朗级数计算 ()[]10,Re -=c z z f s当z 0为可去奇点时, ()[]0,Re 0=z z f s ;当z 0为本性奇点时,只能用此法, 2)当z 0为一级极点时, ()[])]()[(lim ,Re 000z f z z z z f s z z -=→若()()()z Q z P z f =，P(z)及Q(z)在z 0都解析，如果()(),0,000=≠z Q z P()00≠'z Q ，那末z 0为f(z)的一级极点，而 ()[]()()000,Re z Q z P z z f s '=. 3)如果z 0为f(z)的m 级极点,那末()[]()()(){}z f z z dzd m z z f s mm m z z 01100lim !11,Re --=--→4.无穷远点处的留数函数f(z)在圆环域+∞<<z R 内解析，C 为这圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线， f(z)在∞点的留数 ()[]()dz z f i z f s C ⎰-=∞π21,Re . 如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点，那末f(z)在所有各奇点（包括∞点）的留数的总和必等于零.()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∞0,11Re ,Re 2z z f s z f s。