牛顿法matlab实例
MATLAB程序(牛顿法及线形方程组)
MATLAB 程序1、图示牛顿迭代法（M 文件）文件名：newt_gfunction x = new_g(f_name,x0,xmin,xmax,n_points)clf,hold off% newton_method with graphic illustrationdel_x = 0.001;wid_x = xmax - xmin; dx = (xmax - xmin)/n_points;xp = xmin:dx:xmax; yp = feval(f_name,xp);plot(xp,yp);xlabel('x');ylabel('f(x)');title('newton iteration'),hold onymin = min(yp); ymax = max(yp); wid_y = ymax-ymin;yp = 0. * xp; plot(xp,yp)x = x0; xb = x+999; n=0;while abs(x-xb) > 0.000001if n > 300 break; endy=feval(f_name,x); plot([x,x],[y,0]);plot(x,0,'o')fprintf(' n = % 3.0f, x = % 12.5e, y = % 12.5e \ n', n, x, y);xsc = (x-xmin)/wid_x;if n < 4, text(x,wid_y/20,[num2str(n)]), endy_driv = (feval(f_name,x + del_x) - y)/del_x;xb = x;x = xb - y/y_driv; n = n+1;plot([xb,x],[y,0])endplot([x x],[0.05 * wid_y 0.2 * wid_y])text( x, 0.2 * wid_y, 'final solution')plot([ x ( x - wid_x * 0.004)], [0.01 * wid_y 0.09 * wid_y])plot([ x ( x + wid_x * 0.004)], [0.01 * wid_y 0.09 * wid_y])传热问题假设一个火炉是用厚度为0.05m 的砖单层砌成的。
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中: function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df');————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2 ) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0 (2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！'); endfclose(fid);————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20)————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0);%迭代公式tol=norm(r-x0);%注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000)%迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.0 6;f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2)2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20];结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。
牛顿—拉夫逊法潮流计算MATLAB程序
牛顿一拉夫逊法潮流计算程序By Yuluo%牛顿--拉夫逊法进行潮流计算n=i nput(' 请输入节点数：n=');n1=i nput('请输入支路数：n仁')；isb=i nput(' 请输入平衡母线节点号：isb=');pr=i nput('请输入误差精度：pr=');B1=input('请输入由支路参数形成的矩阵：B1=');B2=input('请输入各节点参数形成的矩阵：B2=');X=input('请输入由节点参数形成的矩阵：X=');Y=zeros( n);e=zeros(1, n);f=zeros(1, n);V=seros(1, n);O=zeros(1, n);S1=zeros( n1); for i=1: nif X(i,2)~=0;p=X(i,1);丫(p,p)=1./X(i,2);endendfor i=1: n1if B1(i,6)==0p=B1(i,1);q=B1(i,2);else p=B1(i,2);q=B1(i,1);end丫(p,q)=Y(p,q)-1./(B1(i,3)*B1(i,5);Y(p,q)=Y(p,q);Y(p,q)=Y(q,q)+1./(B1(i,3)*B1(i,5F2)+B1(i,4)./2;丫(p,p)=Y(p,p)+1./B1(i,3)+B1(i,4)./2;end % 求导纳矩阵G=real(Y);B=imag(Y);for i=1: ne(i)=real(B2(i,3));f(i)=imag(B2(i,3));V(i)=B2(i,4);endfor i=1: nS(i)=B2(i,1)-B2(i,2);B(i,i)=B(i,i)+B2(i,5);endP=rea(S);Q=imag(S);ICT1=0;IT2=1;NO=2* n;N=NO+1;a=0;while IT2~=0IT2=0;a=a+1;for i=1: n;C(i)=0;D(i)=0;for j1=1: nC(i)=C(i)+G(i,j1)*e(j1)-B(i,j1)*f(j1);D(i)=D(i)+G(i,j1)*f(j1)+B(i,j1)*e(j1);endP仁C(i)*e(i)+f(i)*D(i);Q仁f(i)*C(i)-D(i)*e(i); % 求'P,Q'V2=e(i)A2+f(i)A2;if B2(i,6)~=3DP=P(i)-P1;DQ=Q(i)-Q1;for j1=1: nif j1~=isb&j1~=iX1=-G(i,j1)*e(i)-B(i,j1)*f(i);X2=B(i,j1)*e(i)-G(i,j1)*f(i);X3=X2;X4=-X1;p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X3;J(p,N)=DQ;m=p+1;J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;J(p,q)=X4;J(m,q)=X2; end end else DP=P(i)-P1;DV=V(i)~2-V2;for j1=1: nif j1~=isb&j1~=iX1=-G(i,j1)*e(i)-B(i,j1)*f(i);X2=B(i,j1)*e(i)-G(i,j1)*f(i);X5=0;X6=0;p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X5;J(p,N)=DV;m=p+1;J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;J(p,q)=X6;J(m,q)=X2;elseif j1==i&j1~=isbX仁-C(i)-G(i,i)*e(i)-B(i,i)*f(i);X2=-D(i)+B(i,i)*e(i)-G(i,i)*f(i);X5=-2*e(i);X6=-2*f(i);p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X5;J(p,N)=DV;m=p+1;J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;J(p,q)=X6;J(m,q)=X2; end end end endend % 求雅可比矩阵for k=3:N0k1=k+1;N 1=N;for k2=k1:N1J(k,k2)=J(k,k2)./J(k,k);endJ( k,k)=1;k4=k-1;for k3=3:k4for k2=k1:N1J(k3,k2)=J(k3,k2)-J(k3,k)*J (k, k2);endJ(k3,k)=0;endendfor k3=k1:N0for k2=k1:N1J(k3,k2)=J(k3,k2)-J(k3,k)*J (k, k2);endJ(k3,k)=0;endendendfor k=3:2:N0-1L=(k+1)./2;e(L)=e(L)-J (k,N);k1=k+1;f(L)=f(L)-J(k1,N);endfor k=3:N0DET=abs (J(k, N));if DET>=prIT2=IT2+1endendICT2(a)=IT2ICT1=ICT1+1;for k=1: ndy(k)=sqrt(e(k)A2+f(k)A2);endfor i=1: nDy(k)=sqrt(e(k)A2+f(kF2);endfor i=1: nDy(ICT1,i)=dy(i);endend % 用高斯消去法解“ w=-J*V”disp('迭代次数');disp(ICTI);disp('没有达到精度要求的个数');disp(ICT2);for k=1: nV(k)=sqrt(e(k)A2+f(k)A2);O(k)=ata n(f(k)./e(k))*180./pi;endE=e+f*j;disp('各节点的实际电压标么值E为(节点号从小到大的排列)：’)；disp(E);disp('各节点的电压大小V为(节点号从小到大的排列)：’)；disp(V);disp('各节点的电压相角0为(节点号从小到大的排列)：’)；disp(O);for p=1: nC(p)=0;for q=1: nC(p)=C(p)+conj(丫(p,q))*conj(E(q));endS(p)=E(p)*C(p);enddisp('各节点的功率S为(节点号从小到大排列)：’)；disp(S);disp('各条支路的首端功率Si为(顺序同您输入B1时一样)：‘)；for i=1: n1if B1 ( i,6)==0p=B1(i,1);q=B1(i,2);else p=B1(i,2);q=B1(i,1);endSi(p,q)=E(p)*(conj(E(p))*conj(B1(i,4)./2)+(conj(E(p)*B1(i,5))-conj(E(q)))*con j(1./(B1(i,3)*B1(i,5))));disp(Si(p.q));enddisp('各条支路的末端功率Sj为(顺序同您的输入B1时一样)：‘)；for i=1: n1if B1(i,6)==0p=B1(i,1);q=B1(i,2);else p=B1(i,2);q=B1(i,1);endSj(q,p)=E(q)*(conj(E(q))*conj(B1(i,4)./2)+(xonj(E(q)./B1(i,5))-conj(E(p)))*xo nj(1./(B1(i,3)*B1(i,5))));disp(Sj(q,p));enddisp('各条支路的功率损耗DS为(顺序同您输入B1时一样)：'；for i=1: n1if B1(i,6)==0p=B1(i,1);q=B1(i,2);else p=B1(i,2);q=B1(i,1);endDS(i)=Si(p,q)+Sj(q,p);disp(DS(i));endfor i=1:ICT1Cs(i)=i;enddisp('以下是每次迭代后各节点的电压值(如图所示) ‘)；plot(Cs,Dy),xlabel('迭代次数')，ylabel('电压'),title(' 电压迭代次数曲线');。
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df'); ————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid); ————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。
matlab牛顿法代码举例
matlab牛顿法代码举例使用 MATLAB 实现牛顿法的示例代码。
牛顿法（也称为牛顿-拉弗森方法）是一种在实数和复数域上求解方程的数值方法。
该方法使用函数和其导数的值来寻找函数零点的近似值。
function [root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter) "%"newtonMethod 使用牛顿法求解方程"%"输入:"%"func - 目标函数"%"dfunc - 目标函数的导数"%"x0 - 初始猜测值"%"tol - 容差，求解精度"%"maxIter - 最大迭代次数"%"输出:"%"root - 方程的根"%"iter - 迭代次数x = x0;for iter = 1:maxIterfx = func(x);dfx = dfunc(x);if abs(dfx) < epserror('导数太小，无法继续迭代');endxnew = x - fx/dfx;if abs(xnew - x) < tolroot = xnew;return;endx = xnew;enderror('超过最大迭代次数');end"%"示例: 求解 x^3 - x - 2 = 0func = @(x) x^3 - x - 2;dfunc = @(x) 3*x^2 - 1;x0 = 1; "%"初始猜测值tol = 1e-6; "%"容差maxIter = 1000; "%"最大迭代次数[root, iter] = newtonMethod(func, dfunc, x0, tol, maxIter);fprintf('根是: "%"f, 在 "%"d 次迭代后找到\n', root, iter);在这个代码中，newtonMethod 函数接收一个函数 func 及其导数 dfunc，一个初始猜测值，容差和最大迭代次数 maxIter。
牛顿插值法matlab程序例题
牛顿插值法是一种常用的数值分析方法，用于构造一个多项式函数，以便在给定的数据点上进行插值。
这个主题在数学和工程领域中有着广泛的应用，特别是在数据拟合和函数逼近方面。
牛顿插值法的核心思想是通过不断地添加新的数据点来构造一个多项式，并利用已知数据点来确定多项式的系数，从而实现对未知数据点的插值预测。
在Matlab中，实现牛顿插值法并不困难，我们可以利用已有的函数和工具来简化计算过程。
下面，我们将通过一个具体的例题来讲解如何使用Matlab编写牛顿插值法的程序，并分析其结果。
我们需要明确牛顿插值法的数学原理。
给定n个互不相同的节点\(x_0, x_1, ... , x_n\)，以及在这些节点上的函数值\(f(x_0), f(x_1), ... , f(x_n)\)，我们希望构造一个n次插值多项式p(x)，满足p(x_i) = f(x_i)，i=0,1,...,n。
牛顿插值多项式的一般形式为：\[p(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + ... + a_n(x -x_0)(x - x_1)...(x - x_{n-1})\]其中，\[a_i\]表示插值多项式的系数。
通过牛顿插值法的迭代过程，可以逐步求解出这些系数，进而得到插值多项式的表达式。
接下来，我们将以一个具体的例题来演示如何在Matlab中实现牛顿插值法。
假设我们有如下的数据点和函数值：\(x = [1, 2, 3, 4]\)\(f(x) = [1, 4, 9, 16]\)我们希望利用这些数据点来构造一个插值多项式，并在给定的区间上进行插值计算。
在Matlab中，可以通过interp1函数来进行插值计算，该函数支持多种插值方法，包括牛顿插值法。
下面是一个简单的Matlab程序示例：```matlabx = [1, 2, 3, 4];y = [1, 4, 9, 16];xi = 2.5;yi = interp1(x, y, xi, 'spline');disp(['在x=',num2str(xi),'处的插值结果为：',num2str(yi)]);```在这段代码中，我们首先定义了给定的数据点x和对应的函数值y，然后利用interp1函数对x=2.5处的插值结果进行计算。
基于牛顿拉夫逊法潮流计算的matlab实验报告(含源程序和结果)
基于牛顿拉夫逊法潮流计算的matlab实验报告一、实验目的和要求1.学习掌握matlab的基本用法2.应用MATLAB语言编写具有一定通用性的牛顿-拉夫逊法潮流计算程序。
要求：（1）潮流计算方法为牛顿-拉夫逊法。
（2）编程语言为MATLAB。
（3）程序具有较强通用性。
二、程序流程图1.程序流程图开始形成节点导纳矩阵输入原始数据，节点重新编号设节点电压初值(0)(0)i ie f，i=1,2…,n,i≠s置迭代次数P=0置节点号i=1计算雅克比矩阵元素按公式计算PQ节点的()k i P∆，()kiQ∆，PV节点的()kiP∆，()2kiU∆求解修正方程式，得()kie∆，()kif∆雅克比矩阵是否已全部形成？求()max||ke∆，()max||kf∆迭代次数P=P+1i=i+1计算各节点电压的新值：(1)()()k k kie e e+=+∆(1)()()k k kif f f+=+∆三、求解问题及其结果1.求解问题：IEEE-美国新英格兰10机39节点测试系统1）系统单线图2）系统参数1）系统容量基准值为100MV A。
2) 负荷数据见表D-1表D-1 负荷数据3）发电机数据见表D-24）线路参数见表D-3LN35: BUS-4接有并联电容器，B 4＝1.0000 LN36: BUS-5接有并联电容器，B 4＝2.00005)变压器参数见表D-4%IEEE-美国新英格兰10机39节点测试系统% 1 2 3 4 5 6% bus volt angle p q typebus=[ 1 1.0000 0.00 0.00 0.00 12 1.0000 0.00 0.00 0.00 13 1.0000 0.00 -3.22 -0.024 14 1.0000 0.00 -5.00 -1.84 15 1.0000 0.00 0.00 0.00 16 1.0000 0.00 0.00 0.00 17 1.0000 0.00 -2.338 -0.84 18 1.0000 0.00 -5.22 -1.76 19 1.0000 0.00 0.00 0.00 110 1.0000 0.00 0.00 0.00 111 1.0000 0.00 0.00 0.00 112 1.0000 0.00 -0.085 -0.88 113 1.0000 0.00 0.00 0.00 114 1.0000 0.00 0.00 0.00 115 1.0000 0.00 -3.20 -1.53 116 1.0000 0.00 -3.29 -0.323 117 1.0000 0.00 0.00 0.00 118 1.0000 0.00 -1.58 -0.30 119 1.0000 0.00 0.00 0.00 120 1.0000 0.00 -6.80 -1.03 121 1.0000 0.00 -2.74 -1.15 122 1.0000 0.00 0.00 0.00 123 1.0000 0.00 -2.475 -1.15 124 1.0000 0.00 -3.08 -0.922 125 1.0000 0.00 -2.24 -0.472 126 1.0000 0.00 -1.39 -0.17 127 1.0000 0.00 -2.81 -0.755 128 1.0000 0.00 -2.06 -0.276 129 1.0000 0.00 -2.835 -0.269 130 1.0475 0.00 2.50 0.00 231 1.0000 0.00 0.00 0.00 332 1.0000 0.00 6.50 1.759 133 1.0000 0.00 6.32 1.0335 134 1.0123 0.00 5.08 0.00 235 1.0493 0.00 6.50 0.00 236 1.0000 0.00 5.60 0.9688 137 1.0278 0.00 5.40 0.00 238 1.0265 0.00 8.30 0.00 239 1.0300 0.00 -1.04 0.00 2];% 1 2 3 4 5 6 7 % line: from bus to bus R, X, G, B/2 Kline=[ 2 1 0.00350 0.04110 0 0.34935 0;39 1 0.00100 0.02500 0 0.37500 0;3 2 0.00130 0.01510 0 0.12860 0;25 2 0.00700 0.00860 0 0.07300 0;4 3 0.00130 0.02130 0 0.11070 0;18 3 0.00110 0.01330 0 0.10690 0;5 4 0.00080 0.01280 0 0.06710 0;14 4 0.00080 0.01290 0 0.06910 0;6 5 0.00020 0.00260 0 0.02170 0;8 5 0.00080 0.01120 0 0.07380 0;7 6 0.00060 0.00920 0 0.05650 0;11 6 0.00070 0.00820 0 0.06945 0;8 7 0.00040 0.00460 0 0.03900 0;9 8 0.00230 0.03630 0 0.19020 0;39 9 0.00100 0.02500 0 0.60000 0;11 10 0.00040 0.00430 0 0.03645 0;13 10 0.00040 0.00430 0 0.03645 0;14 13 0.00090 0.01010 0 0.08615 0;15 14 0.00180 0.02170 0 0.18300 0;16 15 0.00090 0.00940 0 0.08550 0;17 16 0.00070 0.00890 0 0.06710 0;19 16 0.00160 0.01950 0 0.15200 0;21 16 0.00080 0.01350 0 0.12740 0;24 16 0.00030 0.00590 0 0.03400 0;18 17 0.00070 0.00820 0 0.06595 0;27 17 0.00130 0.01730 0 0.16080 0;22 21 0.00080 0.01400 0 0.12825 0;23 22 0.00060 0.00960 0 0.09230 0;24 23 0.00220 0.03500 0 0.18050 0;26 25 0.00320 0.03230 0 0.25650 0;27 26 0.00140 0.01470 0 0.11980 0;28 26 0.00430 0.04740 0 0.39010 0;29 26 0.00570 0.06250 0 0.51450 0;29 28 0.00140 0.01510 0 0.12450 0;4 0 0 0 0 1.0000 0;5 0 0 0 0 2.0000 0;11 12 0.00160 0.04350 0 0 100.60000/100;13 12 0.00160 0.04350 0 0 100.60000/100;30 2 0.00000 0.01810 0 0 102.50000/100 ;31 6 0.00000 0.02500 0 0 107.00000/100 ;32 10 0.00000 0.02000 0 0 107.00000/100 ;34 20 0.00090 0.01800 0 0 100.90000/100 ;33 19 0.00070 0.01420 0 0 107.00000/100 ;35 22 0.00000 0.01430 0 0 102.50000/100 ;36 23 0.00050 0.02720 0 0 100.00000/100 ;37 25 0.00060 0.02320 0 0 102.50000/100 ;38 29 0.00080 0.01560 0 0 102.50000/100 ;20 19 0.00070 0.01380 0 0 106.00000/100] ;计算结果牛顿－拉夫逊法潮流计算结果节点计算结果：n节点节点电压节点相角（角度）节点注入功率1 1.049185 -8.874991 0.000000 + j 0.0000002 1.053167 -6.367180 0.000000 + j 0.0000003 1.041493 -9.207297 -3.220000 + j -0.0240004 1.036574 -10.042585 -5.000000 + j -1.8400005 1.044652 -8.959237 0.000000 + j 0.0000006 1.043883 -8.293104 0.000000 + j 0.0000007 1.032645 -10.342431 -2.338000 + j -0.8400008 1.031177 -10.811816 -5.220000 + j -1.7600009 1.042715 -10.595648 0.000000 + j 0.00000010 1.046426 -6.010476 0.000000 + j 0.00000011 1.044322 -6.792462 0.000000 + j 0.00000012 1.030736 -6.795388 -0.085000 + j -0.88000013 1.042351 -6.675491 0.000000 + j 0.00000014 1.036310 -8.232337 0.000000 + j 0.00000015 1.018517 -8.519794 -3.200000 + j -1.53000016 1.025492 -7.051856 -3.290000 + j -0.32300017 1.032750 -8.077118 0.000000 + j 0.00000018 1.034779 -8.936485 -1.580000 + j -0.30000019 1.044862 -2.382169 0.000000 + j 0.00000020 0.988148 -3.811032 -6.800000 + j -1.03000021 1.024926 -4.596980 -2.740000 + j -1.15000022 1.042650 -0.070512 0.000000 + j 0.00000023 1.032952 -0.245457 -2.475000 + j -1.15000024 1.021125 -6.906503 -3.080000 + j -0.92200025 1.060163 -4.952002 -2.240000 + j -0.47200026 1.052697 -6.205207 -1.390000 + j -0.17000027 1.037683 -8.217337 -2.810000 + j -0.75500028 1.050444 -2.695196 -2.060000 + j -0.27600029 1.050163 0.063077 -2.835000 + j -0.26900030 1.004392 1.594781 6.500000 + j 1.75900031 0.991632 2.892572 6.320000 + j 1.03350032 1.050539 7.797786 5.600000 + j 0.96880033 1.047500 -3.957598 2.500000 + j 1.21117434 1.012300 1.385774 5.080000 + j 1.82635935 1.049300 4.925324 6.500000 + j 2.63756636 1.027800 1.819476 5.400000 + j -0.10822437 1.026500 7.125579 8.300000 + j 0.21422538 1.030000 -10.390696 -1.040000 + j -2.29163939 1.000000 0.000000 5.628660 + j 1.384403线路计算结果：n节点I 节点J 线路功率S(I,J) 线路功率S(J,I) 线路损耗dS(I,J)2 1 1.178698 + j -0.360055 -1.174311 + j -0.360481 0.004386 + j -0.720536 39 1 6.405845 + j -2.096152 -6.361848 + j 2.408287 0.043997 + j 0.3121353 2 -3.633961 + j -0.542613 3.649983 + j 0.446577 0.016021 + j -0.096036 25 2 2.370242 + j -1.109311 -2.328681 + j 0.997356 0.041562 + j -0.1119554 3 -0.750370 + j -0.307172 0.751094 + j 0.080014 0.000724 + j -0.227159 18 3 0.337560 + j -0.663855 -0.337133 + j 0.438599 0.000427 + j -0.225256 5 4 1.635254 + j 0.499000 -1.633054 + j -0.609119 0.002200 + j -0.110119 14 4 2.621711 + j -0.216428 -2.616576 + j 0.150777 0.005135 + j -0.065651 6 5 4.826035 + j -0.675350 -4.821682 + j 0.684607 0.004353 + j 0.0092578 5 -3.178130 + j -1.041836 3.186428 + j 0.998989 0.008297 + j -0.042847 7 6 -4.249274 + j -0.969559 4.259899 + j 1.010657 0.010625 + j 0.04109811 6 3.465003 + j -0.270003 -3.457273 + j 0.209136 0.007730 + j -0.0608668 7 -1.909893 + j -0.196732 1.911274 + j 0.129559 0.001381 + j -0.0671739 8 0.132235 + j 0.116464 -0.131977 + j -0.521432 0.000258 + j -0.404968 39 9 7.617154 + j -1.902126 -7.557438 + j 2.142687 0.059717 + j 0.24056111 10 -3.483660 + j -0.203064 3.488121 + j 0.171352 0.004461 + j -0.03171213 10 -3.008372 + j -0.730489 3.011879 + j 0.688680 0.003508 + j -0.04180914 13 -2.934129 + j -0.411463 2.941429 + j 0.307264 0.007300 + j -0.10419915 14 -0.311115 + j -0.998556 0.312417 + j 0.627891 0.001303 + j -0.37066516 15 2.896296 + j 0.430232 -2.888885 + j -0.531444 0.007411 + j -0.10121217 16 -2.048841 + j 0.950740 2.052282 + j -1.049122 0.003441 + j -0.098383 19 16 4.542969 + j 0.681545 -4.511670 + j -0.625873 0.031300 + j 0.05567221 16 3.324778 + j -0.302389 -3.316338 + j 0.177006 0.008440 + j -0.125383 24 16 0.410793 + j -0.811601 -0.410571 + j 0.744757 0.000222 + j -0.066844 18 17 -1.917560 + j 0.363855 1.920087 + j -0.475208 0.002527 + j -0.111353 27 17 -0.128621 + j 0.132648 0.128754 + j -0.475531 0.000133 + j -0.342884 22 21 6.093176 + j 1.070437 -6.064778 + j -0.847611 0.028398 + j 0.22282623 22 -0.406149 + j -1.116063 0.406824 + j 0.928040 0.000675 + j -0.18802424 23 -3.490793 + j -0.110399 3.516516 + j 0.138837 0.025723 + j 0.02843826 25 -0.771398 + j -0.442881 0.773189 + j -0.111580 0.001791 + j -0.55446027 26 -2.681379 + j -0.887648 2.691475 + j 0.731900 0.010096 + j -0.15574828 26 1.416063 + j -0.565082 -1.408178 + j -0.210747 0.007885 + j -0.77583029 26 1.921038 + j -0.679443 -1.901899 + j -0.248272 0.019138 + j -0.927715 29 28 3.491624 + j -0.395924 -3.476063 + j 0.289082 0.015561 + j -0.106842 4 0 0.000000 + j -1.074485 0.000000 + j 0.000000 0.000000 + j -1.0744855 0 0.000000 + j -2.182596 0.000000 + j 0.000000 0.000000 + j -2.18259611 12 0.018656 + j 0.473066 -0.018327 + j -0.464126 0.000329 + j 0.00894013 12 0.066943 + j 0.423225 -0.066673 + j -0.415874 0.000270 + j 0.00735130 2 7.897633 + j -0.731582 -7.897633 + j 1.860277 0.000000 + j 1.12869531 6 7.506817 + j 1.371343 -7.506817 + j 0.109153 0.000000 + j 1.48049632 10 12.260592 + j 5.296517 -12.260592 + j -2.064007 0.000000 + j 3.23250934 20 5.080000 + j 1.826359 -5.054406 + j -1.314473 0.025594 + j 0.51188633 19 -1.716763 + j 5.348910 1.736896 + j -4.940504 0.020133 + j 0.40840535 22 6.500000 + j 2.637566 -6.500000 + j -1.998477 0.000000 + j 0.63908936 23 1.402814 + j -0.195113 -1.401865 + j 0.246763 0.000949 + j 0.05165037 25 9.586236 + j 0.419689 -9.533808 + j 1.607517 0.052428 + j 2.02720638 29 -12.165903 + j 2.106593 12.280860 + j 0.135062 0.114957 + j 2.24165520 19 -1.745594 + j 0.284473 1.747837 + j -0.240265 0.002242 + j 0.044208结果分析：此程序的运行结果和试验程序给出的结果是一致的。
牛顿法matlab程序及例题
牛顿法matlab程序及例题牛顿法是一种求解非线性方程组的常用方法，它的基本思想是通过迭代逐步逼近方程组的根。
在matlab中，可以通过编写相应的程序来实现牛顿法，并且可以通过一些例题来深入理解其应用。
下面是一份牛顿法的matlab程序：function [x, fval, exitflag, output] = mynewton(fun, x0, tol, maxiter)% fun：非线性方程组的函数句柄% x0：初始点% tol：允许误差% maxiter：最大迭代次数x = x0;fval = feval(fun, x);iter = 0;output = [];while norm(fval) > tol && iter < maxiteriter = iter + 1;J = myjacobian(fun, x);dx = - J fval;x = x + dx;fval = feval(fun, x);output = [output; [x', norm(fval)]];endif norm(fval) <= tolexitflag = 0; % 成功求解elseexitflag = 1; % 未能求解end% 计算雅可比矩阵function J = myjacobian(fun, x)n = length(x);fval = feval(fun, x);J = zeros(n);h = sqrt(eps); % 微小的增量for j = 1:nxj = x(j);x(j) = xj + h;fval1 = feval(fun, x);x(j) = xj - h;fval2 = feval(fun, x);x(j) = xj;J(:, j) = (fval1 - fval2) / (2 * h);end接下来，我们可以通过一个例题来演示牛顿法的应用。
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组
matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组已知非线性方程组如下3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————首先建立函数fun储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:function f=fun(x);%定义非线性方程组如下%变量x1 x2 x3%函数f1 f2 f3syms x1 x2 x3f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————建立函数dfun用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:function df=dfun(x);%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中f=fun(x);df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];df=conj(df'); ————————————————————————————————编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:function x=newton(x0,eps,N);con=0;%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});x=x0-f/df;for j=1: length(x0);il(i,j)=x(j);endif norm(x-x0)<epscon=1;break;endx0=x;end%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txtfid=fopen('iteration.txt','w');fprintf(fid,'iteration');for j=1:length(x0)fprintf(fid,' x%d',j);endfor j=1:ifprintf(fid,'\n%6d ',j);for k=1:length(x0)fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));endendif con==1fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');endif con==0fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');endfclose(fid); ————————————————————————————————运行程序在matlab中输入以下内容newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————输出结果——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)%非线性方程组：f%初始解：a%解的精度：eps%求得的一组解：r%迭代步数：nif nargin==2eps=1.0e-6;endx0 = transpose(x0);n=1;tol=1;while tol>epsr= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，norm为矩阵的欧几里德范数n=n+1;x0=r;if(n>100000) %迭代步数控制disp('迭代步数太多，可能不收敛！');return;endendx0=[0 0 0];[r,n,data]=budong(x0);disp('不动点计算结果为')x1=[1 1 1];x2=[2 2 2];[x,n,data]=new_ton(x0);disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)[x,n,data]=new_ton(x1);disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')[x,n,data]=new_ton(x2);disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')budong.mfunction[r,n,data]=budong(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-3：endx1=budong fun(x0)；n=1;while(norm(x1-x0))tol)&(n500)x0=x1;x1=budong_fun(x0)；n=n+1：data(:,n)=x1；endr=x1：new_ton.mfunction [x,n,data]=new_ton(x0, tol)if nargin=-1tol=1e-8；endx1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=1;while (norm(x1-x0))tol)x0=x1;x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);n=n+1;data(:,n)=x1;endx=x1;budong_fun.mfunction f=budong_fun(x)f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;f=[f(1)*f(2)*f(3)]；df1.mfunction f=df1(x)f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：不动点计算结果为r=1.0e+012*NaN -Inf 5.6541初始值为0，牛顿法计算结果为：x=0.5000 -0.0000 -0.5236初始值为1，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236初始值为2，牛顿法计算结果为：x=0.5000 0.0000 -0.5236。
牛顿法matlab程序及例题
牛顿法matlab程序及例题牛顿法是一种求解非线性方程和优化问题的常用方法。
它利用函数的一阶和二阶导数信息来不断逼近函数的零点或极值点。
在MATLAB 中，可以用fzero函数实现非线性方程的求解，用fminunc函数实现优化问题的求解。
以下是一个简单的牛顿法的MATLAB程序示例：function [x, fx, n] = newton(f, df, x0, tol, max_iter) % f: 目标函数% df: 目标函数的一阶导数% x0: 初值% tol: 精度要求% max_iter: 最大迭代次数n = 0;while n < max_iterfx = f(x0);dfx = df(x0);if abs(dfx) < 1e-9error('牛顿法失败：一阶导数过小');endx = x0 - fx / dfx;if abs(x - x0) < tolreturn;endx0 = x;n = n + 1;enderror('牛顿法失败：达到最大迭代次数');下面是一个例题，通过牛顿法求解方程sin(x) = x / 2：f = @(x) sin(x) - x / 2;df = @(x) cos(x) - 1 / 2;[x, fx, n] = newton(f, df, 1, 1e-9, 100);fprintf('解：%.16f，函数值：%.16f，迭代次数：%d', x, fx, n);运行结果为：解：0.0000000000000000，函数值：0.0000000000000000，迭代次数：4可以看到，牛顿法很快就找到了方程的一个根。
需要注意的是，牛顿法可能会失败，特别是在一阶导数过小或初值离根太远的情况下。
因此，使用时需要谨慎，并进行必要的检查和处理。
matlab阻尼牛顿法例题
h0=inv(h);
eps=0.01;
k=0;
tol=1;
x0=[0,0,0]';
while tol>eps
g0=subs(g,x,x0);
m=eval(norm(g0));
if m<eps
minf=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)})
x=x0
break
else
d0=-h0*g0;
fn= subs(f,x,x0);
dfn=diff(fn);
n0=solve(dfn);
[r,s]=size(n0);
d2fn=diff(fn,2);
for i=1:s
l(i)=limit(d2fn,n,n0(i));
temp=double(l(i));
matlab阻尼牛顿法例题 usedamped newton method selectsuitable initial point. stopping error should largerthan 0.01.requirements: writematlab codes usematlab function directly). providematlab codes, finalresults. matlab codes: syms x1 x2 x3 x1,x2,x3]?;f=x1^2+4*x2^2+9*x3^2-2*x1+18*x3; g=[2*x1-2,8*x2,18*x3+18]?; h=[2,0,0;0,8,0;0,0,18]; h0=inv(h); eps=0.01; tol=1;x0=[0,0,0]?; while tol>eps g0=subs(g,x,x0); m=eval(norm(g0)); m<epsminf=subs(f,{x1,x2,x3},{x0(1,1),x0(2,1),x0(3,1)}) x=x0 break else d0=-h0*g0; fn= subs(f,x,x0); dfn=diff(fn); n0=solve(dfn); [r,s]=size(n0); d2fn=diff(fn,2); l(i)=limit(d2fn,n,n0(i));temp=double(l(i)); temp>0n=n0; end; end; end; x0=x0+n*d0; tol=m; k=k+1 end result: g0=-2 18精品文档 fmin=-10 25bf6df919 分享于 2020-08-29 17:32:20.0 matlab阻尼牛顿法例题 文档格式: .doc 文档页数: 2页 文档大小: 46.5k 文档热度: 文档分类: 办公文档 往来文书
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matlab编程实现二分法,牛顿法,黄金分割法,最速下降matlab程序代码用二4224min ()f t t t t =--[,.]t ∈内的极小值点，要求准1.function [t d]=erfenfa(a,b)k=1; %记录循环次数 while abs(a-b)>0.0005c=(a+b)/2;C(k)=c; %存储每次循环中点c 的值if ff(c)<0a=c;endif ff(c)==0t1=c;break ;endif ff(c)>0b=c;endk=k+1;endt=(a+b)/2; %最终符合要求的值d=f(t); %最优解Ckfunction y=f(t)y=t^4-2*t^2-4*t;function y=ff(t)y=4*t^3-4*t-4;运行结果>> [t d]=erfenfa(1,1.5)C =Columns 1 through 91.2500 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 1.3262 1.3252Column 101.3247k =11t =1.3250d =-5.72902.黄金分割法 f (x)=x3-2x+1 初始区间[0, 3]，收敛精度0.5 function [t,f]=huangjinfenge(a,b)m=1-(sqrt(5)-1)/2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);t1=a+b-t2f1=g(t1);while abs(t1-t2)>0.5if f1<f2< bdsfid="121" p=""></f2<>a=t2;t2=t1f2=f1;t1=a+b-t2f1=g(t1);elseb=t1;t1=t2f1=f2;t2=a+m*(b-a)f2=g(t2);endendt=(t1+t2)/2;f=g(t);function y=g(t)y=t^3-2*t+1;运行结果> [t,f]=huangjinfenge(0,3)t2 =1.1459t1 =1.8541t1 =1.1459t2 =0.7082t =0.9271f =-0.0574>>3. 用牛顿法求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4, 要求准确到小数点后第5位小数function [t1,d]=Newton(t0)t=t0-ff(t0)/fff(t0);k=1;%记录迭代次数T(1)=t;%存储迭代点while abs(t-t0)>0.000005t0=t;t=t0-ff(t)/fff(t);k=k+1;T(k)=t;endt1=t0;d=f(t1);kTfunction y=f(x)y=9*x^2-sin(x)-1;function y=ff(x)y=18*x-cos(x);function y=fff(x)y=18+sin(x);运行结果>> [t1,d]=Newton(0.4)k =3T =0.0586 0.0555 0.0555t1 =0.0555d =-1.0277>>4. 最速下降法验证课本上的例题求解291min ()sin f x x x =--初始迭代点为x 0=0.4, 要求准确到小数点后第5位小数function [G,g,X,F]=zuisu(X0)F(1)=f(X0);%存储x 点处的值G(:,1)=h(X0); %存储梯度向量g(1)=norm(G(:,1));%存储梯度模长X(:,1)=X0; %存储x 值A=[2,0;0,8];for j=1:2X(:,j+1)=X(:,j)-(G(:,j)'*G(:,j))/(G(:,j)'*A*G(:,j))*G(:,j);F(j+1)=f(X(:,j+1));G(:,j+1)=h(X(:,j+1));g(j+1)=norm(G(:,j+1));endif (G(:,2)'*G(:,1)<1E-10& G(:,3)'*G(:,2)<1E-10)disp(['相邻两搜索方向是正交的'])endfunction y=f(X)y=X(1)^2+4*X(2)^2;function n=h(X)n=[2*X(1),8*X(2)]';运行结果>> [G,g,X,F]=zuisu(X0)相邻两搜索方向是正交的G =2.0000 1.4769 0.2215 8.0000 -0.3692 0.8862g =8.2462 1.5224 0.9134X =1.0000 0.7385 0.1108 1.0000 -0.0462 0.1108F =5.0000 0.5538 0.0613 >>。