极坐标系的旋转公式

极坐标系的旋转公式

邱兆理

(山东省高密市三中,山东　261519)

中图分类号:O123.1 文献标识码:A 文章编号:0488-7395(2001)10-0011-01

收稿日期:2001-02-05

作者简介:邱兆理(1964—

),男,山东高密市人,山东省高密市三中一级教师,学士. 人教版《平面解析几何》

(必修)P 144第10题:O 是极点,Ox 是极轴,点M 的坐标是(ρ,θ

),把Ox 绕点O 旋转角度α以后,Ox 转到Ox ′的位置,对于

新的极坐标系,点M 的坐标是(ρ′,θ′

),求点M 的新旧坐标之间的关系.

图1　极坐标系的旋转

我们易求得点M 的新旧坐标之间有如下的关系:

ρ=ρ′,θ=α+θ′(1)或者写成

ρ′=ρ,θ′=θ-α

(2)公式(1),(2)叫做旋转公式.由推导过程我们可知,在

公式中,若α>0,极轴Ox 沿逆时针方向旋转;若α<0,极轴Ox 沿顺时针方向旋转.

下面结合高考题说明公式的应用.1　用于判断曲线的形状

例1　(1994年高考题)极坐标方程ρ=cos (

π

4

-θ

)所表示的曲线是( )(A )双曲线. (B )椭圆.(C )抛物线.(D )圆.

解　由于ρ=cos (π4-θ

)=cos (θ-π

4

),作变换θ-π4

=θ′,ρ=ρ′,在新的极坐标系Ox ′中,方程化为ρ′=cos θ′,由课本P 130例2知,它表示的曲线

是圆,因此选(D ).

说明　利用旋转公式,将曲线方程化为课本常见曲线的方程的形式,易于我们判断曲线的形状.2　用于研究曲线的几何性质

例2　(1999年高考题)在极坐标系中,曲线ρ

=4sin (θ-π

3

)关于( )(A )直线θ=π

3轴对称.

(B )直线θ=5

π6轴对称.

(C )点

(2,π

3

)中心对称.

(D )极点中心对称.

解　由于ρ=4cos (-

π2+θ-π

3

)=4cos (θ-5π6),作变换θ-5

π6

=θ′,ρ=ρ′,即将极轴Ox 沿逆

时针方向旋转5

π6

.在新的极坐标系Ox ′中,方程为

ρ′=4cos θ′,它表示半径为2,以(2,0)为圆心的圆;

在原极坐标系Ox 中,此圆的圆心为(2,5

π6

),因此选

(B ).

图2　例3图

例3　(1997年高考题)已知直线的极坐标方程为ρsin (θ+

π4)=22

,则极点到该直线的距离为.

解　作变换ρ=ρ′,θ+

π4

=θ′,即把极轴Ox 绕点O 按顺时针方向旋转π

4.在新的极坐标系Ox ′中,直

线方程为ρ′sin θ′=2

2

,由此可知直线与极轴Ox ′平

行,∴极点到该直线的距离为2

2

.

3　用于判断两曲线的位置关系

例4　(2000年春季高考题)直线l 1:θ=α和

直线l 2:ρsin (θ-α

)=1的位置关系( )(A )垂直. (B )平行.(C )相交但不垂直.　(D )重合.图3　例4图

解　不妨设α>0,在极坐标系Ox 中作出直线l 1,作变换ρ=ρ′,θ-α=θ′,即把极轴Ox 绕点O 按逆时针方向旋转α后到Ox ′位置,在新极坐标系

Ox ′中,l 2的方程为ρ′sin θ′=1,由此可知l 2与Ox ′平行,又∵l 1与Ox ′重合,∴l 1∥l 2.

1

12001年第10期 数学通讯