上海市华东师范大学第三附属中学2020-2021学年高二上学期12月月考数学试题

上海市华东师范大学第三附属中学2020-2021学年高二上学

期12月月考数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．已知直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-，则其点法向式方程为________

2．双曲线2

2:13

x C y -=的焦距是________ 3．若直线与直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m =_______ 4．已知向量(3,)a m =，(1,2)b =-，若向量a ∥b ，则实数m =________

5．行列式421

354112

---中，元素3-的代数余子式的值为________

6．已知向量(1,2)a =，(1,3)b =-，则b 在a 方向上的投影为__________.

7．已知圆225x y +=和点()1,2A ，则过点A 的圆的切线方程为______

8．以椭圆22

12515

x y +=的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程标准方程__________. 9．直线10ax y ++=与连接A （4，5），B （-1，2）的线段相交，则a 的取值范围是___．

10．已知O 为坐标原点，点(5,4)A -，(,)M x y 为平面区域212x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩

内的一个动点，

则⋅OA OM 的最小值为__________.

11．如图，在ABC ∆中，若3AB AC ==，3BAC π∠=

，2DC BD =，则AD BC ⋅=

________.

12．已知()200,0a b ab a b +-=>>，当ab 取得最小值时，曲线||||1x x y y a b

-=

上

的点到直线y =

的距离的取值范围是________

二、单选题 13．如果0pr <，0qr <，那么直线0px qy r ++=不通过（ ）．

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

14．已知方程22

212

x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2,21m m >-<<-

B ．2,1m m ><-

C ．2

m >- D ．12m -<< 15．已知ABC ∆的周长为12，()()0,2,0,2B C -，则顶点A 的轨迹方程为（ ）

A ．()22

101216

x y x +=≠ B ．()22101216x y y +=≠ C ．()22

101612x y x +=≠ D ．()22101612

x y y +=≠ 16．设点M 、N 均在双曲线22

:143

x y C -=上运动，1F 、2F 是双曲线C 的左、右焦点，则122MF MF MN +-的最小值为（ ）

A ．

B ．4

C ．

D ．以上都不对

三、解答题 17．已知关于x 、y 的方程组（*）60(2)32x my m x y m ++=⎧⎨-+=-⎩

. （1）写出方程组（*）的增广矩阵；

（2）解方程组（*），并对解的情况进行讨论.

18．已知(1,0)a =，(2,1)=b

（1）当k 为何值时，ka b -与3a b +平行：

（2）若()

b a tb ⊥+，求a tb +的值

19．设直线1:210l x y --=与22:(3)30l m x my m m -++-=.

（1）若1l ∥2l ，求1l 、2l 之间的距离；

（2）若直线2l 与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求直线2l 的方程.

20．已知椭圆Γ：22

221(0)x y a b a b

+=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B 的边长为4的等边三角形．

()1写出椭圆的标准方程；

()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； ()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：

12PB B 与12RB B 的面积之比为

定值． 21．已知双曲线Γ：22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，左、右两顶点分别是1A 、2A ，弦AB 和CD 所在直线分别平行于x 轴与y 轴，线段BA 的延长线与线段CD 相交于点(P 如图)． ⑴若()2,3d =是Γ的一条渐近线的一个方向向量，试求Γ的两渐近线的夹角θ； ⑵若1PA =，5PB =，2PC =，4PD =，试求双曲线Γ的方程；

⑶在⑴的条件下，且124A A =，点C 与双曲线的顶点不重合，直线1CA 和直线2CA 与直线l ：1x =分别相交于点M 和N ，试问：以线段MN 为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

参考答案

1．()()31420x y ---=

【分析】

根据直线方程的点法向式方程的写法,可直接得点法向式方程.

【详解】

由点法向式方程的定义, 直线l 过点()1,2P ，法向量()3,4=-

则点法向式方程为:()()31420x y ---=

故答案为:()()31420x y ---=

【点睛】

本题考查了直线的方程表示形式, 点法向式方程的定义即方程写法,属于基础题.

2．4

【解析】

【分析】

直接利用焦距公式得到答案.

【详解】 双曲线2

2:13

x C y -=，2224,2c a b c =+== 焦距为24c =

故答案为：4

【点睛】

本题考查了双曲线的焦距，属于简单题.

3．1

【解析】 ：121212,,,12k k k k m =

=-∴⋅=-直线互相垂直，即12()1,12m m

⋅-=-∴=

4．6-

【解析】

【分析】