第7讲 多元函数微分学及其应用II
第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)
![第七讲 多元函数微分学(基础班 专转本第七章)](https://img.taocdn.com/s3/m/e19a8a751711cc7931b7169d.png)
类似地,当 x固定在 x 0,而 y 在 y 0处有改变量 y ,如 极 限 lim
y0
存在,则称此极限为函
z f ( x, y )在点( x 0 ,y 0 )处对 y 的偏导数,记为
则称二元函数 z f ( x , y) 在点 P0 ( x 0 , y 0 )处连续.如果 f ( x , y) 在区域 D 内的每一点都连续, 则称 f ( x , y) 在区域 D 上连续. 注:类似的,我们也可以定义二元函数间断点的概念 二、偏导数与全微分 引例 一定量理想气体的压强 P,体积 V,热力学 度 T 三者之间的关系为 RT P (R 为常量 ).
第七讲 多元函数微分学 §1 多元函数微分学 一、多元函数的概念 人们在实践中,还会遇到许多依赖与两个或两个以上自变 量的函数,称这种函数为多元函数。
2
RT
定量理想气体的压强 p V (R是常数) 1.二元函数的定义 设有三个变量 x, y和 z,如果当变量 x, y在它们的
(V , T ) V 0, T T
x 0 0 y
xy 1 1
,
f y
x 0 0 y
,zy
x 0 y 0
或f y ( x 0 , y 0 )
.
lim
lim
xy 1 1
t 11
2
lim f ( x , y ) f ( x 0 , y0 )
dPT常数
第七讲 多元函数微分学
e x cos y
x 1 o y x 2 yo 2
求 极 限 例4 求极限 lim
xy
l i m
解: 这里 就不能直 接带入 x 0, y 0
多元函数微分法及应用
![多元函数微分法及应用](https://img.taocdn.com/s3/m/56b973d52cc58bd63186bde4.png)
开区域连同它的边界一起称为闭区域.
例如,{( x, y ) | 1 x y 4}.
2 2
设 E 是平面上的一个非空点集, P 是 E 的一个点, 如果存在点 P 的一个去心邻域不含点集 E 的 点,则称 P 为 E 的孤立点.
多元函数的基本概念(52)
y
o
x
6
对于点集 E 如果存在正数 K ,使一切点 P E 与某一定点 A 间的距离 AP 不超过 K , 即 AP K 对一切 P E 成立,则称 E 为有界点集,否 则称为无界点集. 例如, y
{( x , y ) | 1 x 2 y 2 4}
有界闭区域;
o
x
{( x , y ) | x y 0}
无界开区域.
多元函数的基本概念(52)
7
聚点: 设 E 是平面上的一个点集,P 是平面上
的一个点,如果点 P 的任何一个邻域内总有无 限多个点属于点集 E,则称 P 为 E 的聚点.
特殊地当 n 1, 2, 3 时,便为数轴、平面、 空间两点间的距离; n维空间中邻域、区域等概念:
邻域: U ( P0 ) U ( P0 , ) P | | PP0 | , P R n
内点、边界点、区域、聚点等概念类似.
多元函数的基本概念(52) 11
二元函数:设 D 是平面上的一个点集,如果对于
如果非空点集 E 的点都是内点, 则称 E 为开集 .
例如,
2 2
P
E1 {( x , y ) 1 x y 4}
即为开集.
多元函数的基本概念(52)
E
4
如果点 P 的任一个邻域内既有属 于 E 的点, 也有不属于 E 的点(点 P 本身可以属于 E ,也 可以不属于 E ),则称 P 为 E 的边界点.
多元函数的微分法及其应用
![多元函数的微分法及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/d67679776edb6f1aff001fac.png)
F(x,y,z)=0的图形.(如上图) 下面来解决关于曲面的两个基本问题:
1. 巳知曲面的几何轨迹, 建立曲面的方程
12
例2 一动点M( x, y, z)与两定点A(-1,0,4)和B(1,2,-1)的 距离相等, 求此动点M的轨迹方程. 解因MAMB
( x 1 ) 2 y 2 ( z 4 ) 2 ( x 1 ) 2 ( y 2 ) 2 ( z 1 ) 2
z R2x2y2 是 此 球 面 的 下 半 部 .
O
x
y
R
15
2. 巳知曲面的方程, 研究方程的图形
通常情况下,三元方程的图形为一张空间曲面;至于
一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定. 一般的三元方程,通常很难立即想出其图形的形状.
但若依次用平行于坐标面的平面x = a、y = b和z = c去截
4 x 4 y 1 0 z 1 1 0 故M( x, y, z)的轨迹方程 (即A、B两点连线的垂直平分 面的方程)为 4x4y 1 0z 1 10 因x y平面上任意一点的坐标满足z = 0;而凡满足z = 0的 点又都在 x y平面上;故坐标平面的方程分别为
x y面的方程为 z = 0 y z面的方程为 x = 0 x z面的方程为 y = 0
空间平面方程的一般形式为 Ax + By + Cz + D = 0
其中A、B、C、D均为常数, 且A、B、C不全为0.
14
例3 求球心在点 M0(x0,y0,z0),半径为R的球面方程. 解 设 球 面 上 任 意 一 点 为 M ( x , y , z ) , 则 动 点 M ( x , y , z ) 与
9
这六个平面围成一个以 M 1 M 2 为对角线的长方体;
多元函数微分学的应用
![多元函数微分学的应用](https://img.taocdn.com/s3/m/9449bbc1900ef12d2af90242a8956bec0875a55a.png)
多元函数微分学的应用一、多元函数微分学在物理学中的应用多元函数微分学在物理学中有重要的应用,可以用于描述和分析物体的运动和力学性质。
例如,当我们研究一个物体在空气中自由落体的过程时,可以通过建立物体的位置、速度和加速度之间的多元函数关系来描述物体的运动规律。
通过对这个多元函数进行微分,我们可以计算出物体的速度和加速度,并进一步研究物体的运动轨迹和运动的特性。
二、多元函数微分学在工程技术中的应用工程技术领域广泛应用多元函数微分学,其中一个重要的应用是工程优化。
通过建立多元函数模型,可以描述工程系统的性能与各种因素之间的关系,例如工程结构的刚度、强度和稳定性与材料、尺寸和几何形状等因素之间的关系。
通过对这些多元函数进行微分,可以找到使性能最优化的设计变量组合,从而优化工程系统的设计。
三、多元函数微分学在经济管理中的应用多元函数微分学在经济管理中也有广泛的应用,可以用于分析和优化经济系统的运行和决策问题。
例如,在经济学中,我们可以建立多元函数模型来描述生产函数、成本函数和效用函数等与经济生产和消费相关的关系。
通过对这些多元函数进行微分,可以分析生产效率、最小化成本和最大化效用的最优决策策略,从而实现经济系统的优化和管理。
四、多元函数微分学在生物学中的应用多元函数微分学也被广泛应用于生物学领域,可以用于描述和分析生物系统中的各种生物过程和生物现象。
例如,在生态学中,我们可以建立多元函数模型来描述种群数量与环境因素之间的关系。
通过对这些多元函数进行微分,可以研究种群的增长速率、极限状态和稳定性等生态学性质,从而深入理解和预测生态系统的动态演化。
总之,多元函数微分学具有广泛的应用领域,可以用于自然科学、工程技术和经济管理等各个领域中的建模、优化和解决实际问题。
通过对多元函数的微分,我们可以深入理解各种系统和过程的特性和规律,从而实现对这些系统和过程的优化和控制。
多元函数微分法及其应用
![多元函数微分法及其应用](https://img.taocdn.com/s3/m/e9b44373941ea76e58fa04dd.png)
引例: • 圆柱体的体积
r h
• 定量理想气体的压强
定义1. 设非空点集
映射
在 D 上的 n 元函数 , 记作
称为定义
点集 D 称为函数的定义域 ; 数集 u u f ( P ) ,P D
称为函数的值域 . 特别地 , 当 n = 2 时, 有二元函数
当 n = 3 时, 有三元函数
例如, 二元函数 z 1 x2 y2
0
x x0
y y0
• 若当点 P(x, y) 以不同方式趋于P0 (x0 , y0 ) 时, 函数趋于
不同值或有的极限不存在,则可以断定函数极限不存在 .
例1. 讨论函数
f (x, y)
xy x2 y2
在点 (0, 0) 的极限.
解: 设 P(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) , 则有
y
y
闭区域
o
x
o 1 2x
y
o
x
y
o 1 2x
整个平面是最大的开域 , 也是最大的闭域;
点集(x, y) x 1是开集,
y
1o 1 x
但非区域 . • 对区域 D , 若存在正数 K , 使一切点 PD 与某定点
A 的距离 AP K , 则称 D 为有界域 , 否则称为无
界域 .
二、多元函数的概念
内 • 区域
连通的开集
容 • R n 空间
小 2. 多元函数概念
结 n 元函数 u f (P) f (x1, x2, , xn )
PD Rn
二元函数 (图形一般为空间曲面) 常用
三元函数
3. 多元函数的极限
lim f (P) A
《多元函数的微积分》课件
![《多元函数的微积分》课件](https://img.taocdn.com/s3/m/1f82933ff56527d3240c844769eae009581ba2e8.png)
在资源分配和生产计划中,多元函数微积分可以用于求解最优化问 题,例如最大化利润或最小化成本等。
风险评估
在金融学中,多元函数微积分可以用于评估投资风险和回报,以及 制定风险管理策略。
THANKS
感谢观看
多元函数的定义域
函数中各个自变量可以取值的范围。例如,对于函数z = f(x, y),其定义域是x和y的所有可能取值的集合。
多元函数的值域
函数中因变量可以取值的范围。例如,对于函数z = f(x, y) ,其值域是z的所有可能取值的集合。
多元函数的几何意义
平面上的曲线
对于二元函数z = f(x, y),其图像 在二维平面上表现为一条曲线。 例如,函数z = x^2 + y^2表示 一个圆。
体积计算
通过多元函数微积分,可以计算出由曲面围成的三维空间的体积 ,这在工程和科学领域中具有广泛的应用。
曲线积分
在几何学中,曲线积分是计算曲线长度的一种方法,而多元函数 微积分可以提供更精确和更高效的计算方法。
多元函数微积分在物理上的应用
力学分析
在分析力学中,多元函数微积分 被广泛应用于解决质点和刚体的 运动问题,例如计算物体的速度 、加速度和力矩等。
三维空间中的曲面
对于三元函数z = f(x, y, z),其图 像在三维空间中表现为一个曲面 。例如,函数z = x^2 + y^2表 示一个球面。
多元函数的极限与连续性
多元函数的极限
当自变量趋近于某个值时,函数值的趋近值。例如,lim (x, y) → (0, 0) (x^2 + y^2) = 0,表示当(x, y)趋近于(0, 0)时,函数x^2 + y^2的值趋近于0。
《多元函数的微积分》 ppt课件
多元函数微分学及其应用II
![多元函数微分学及其应用II](https://img.taocdn.com/s3/m/0715693ea216147917112852.png)
四 应用1 几何应用例42(大连理工)求曲线32,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。
解 曲线上任意一点切线的切向量为)3,2,1(2t t -,平面的法向量为)1,2,1(,由题设得0)1,2,1()3,2,1(2=⋅-t t ,解之得1=t ,或31=t 。
当1=t 时,切点为)1,1,1(-,切向量为)3,2,1(-,所以切线方程为112111-=-+=-z y x 。
当31=t 时,切点为)271,91,31(-,切向量为)31,32,1(-,所以切线方程为312713291131-=-+=-z y x ,即9127619313-=-+=-z y x 。
例43(北京科技大学2001)求曲线 在点)0,1,1(-P 处的切线与法平面方程。
解 记1),,(,2),,(2222-++=-++=y xy x z y x G ze y x z y x F z,则1022),(),(=++=∂∂Pzz Py x ze e y z y G F ,同理可得0),(),(,1),(),(=∂∂=∂∂PPy x G F x z G F ,因此,曲线在点)0,1,1(-的切线方程和法平面方程分别为 和0=+y x 。
思考题12(北京科技大学1999)求曲线 在点)1,2,1(-P 处的切线与法平面方程。
思考题13(四川大学2000)求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程。
例44(武汉水利电力学院)已知平面p nz my lx =++与椭球面1222222=++cz b y a x 相切,证明:2222222p n c m b l a =++。
证 设已知平面与椭球面的切点为),,(000z y x ,则过该点的切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z cz y y b y x x a x , 即1202020=++z cz y b y x a x ,这样它与p nz my lx =++表示同一个平面,因此有0≠p ,且p n c z p m b y p l ax ===202020,,, 又p nz my lx =++000,从而有2000000222222)(p n z m y l x p pn z pm y pl x n c m b l a =++=++=++。
多元函数微分学(2)
![多元函数微分学(2)](https://img.taocdn.com/s3/m/8638e1224b73f242336c5f55.png)
目录
上页
下页
返回
结束
全微分形式不变性 设函数 都可微, 则复合函数 z f ( ( x, y ) , ( x, y ) ) 的全微分为 z z dz dx d y x y z u z v ( )dy u y v y u u v v ( dx d y ) ( dx d y ) x y x y
A
B
C
目录 上页 下页 返回 结束
最值应用问题
依据 函数 f 在闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点
特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时,
f (P) 为极小值
(大)
f (P) 为最小值
(大)
目录 上页 下页 返回 结束
第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)
(隐函数求导公式)
目录
上页
下页
返回
结束
2z 2 2 2 例2. 设 x y z 4 z 0 , 求 2 . x 解 利用隐函数求导 z x z z 2x 2z 4 0 x 2 z x x
再对 x 求导
2
z 2 1 ( ) x
z 4 2 0 x
目录 上页 下页 返回 结束
由一个方程确定的隐函数的微分法
则
两边对 x 求导
在
的某邻域内 Fy 0
Fx dy dx Fy
目录 上页 下页 返回 结束
则
F ( x, y , z) 0, 其中 z f ( x , y )
两边对 x 求偏导
z Fx Fz 0 x
Fx z x Fz Fy z 同样可得 y Fz
高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件
![高等数学 多元函数微分法及其应用ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/a3a80a75ba0d4a7302763acc.png)
其余类推
fxy( x,
y)
lim
y0
fx(x, y
y) y
fx(x, y)
(2) 同样可得:三阶、四阶、…、以及n 阶偏导数。
(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例
1】设 z
x3
y2
3 xy 3
xy
1,求二阶偏导数及
3z x 3
.
【解】 z 3x2 y2 3 y3 y, x
x2 y2 sin x2 y2 ( x2 y2 )3 2
y0
换元,化为一元 函数的极限
机动 目录 上页 下页 返回 结束
【阅读与练习】 求下列极限
5/51
x2
(1)lim sin( xy) (a 0); (2) lim (1 1 )x2 y2 ;
x0 x
x
x
ya
ya
1
(3)lim(1 sin xy)xy; x0
(2) 【复合函数求导链式法则】
①z
u
v
t t
dz z du z dv dt u dt v dt
全导数
u
x z z u z v y x u x v x
②z
v
x z z u z v
y y u y v y
③ z f (u, x, y)
u x z f f u
y x x u x
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
10/51
4. 【偏导数的几何意义】 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
第七章 多元函数的微分学
![第七章 多元函数的微分学](https://img.taocdn.com/s3/m/a0fe0496856a561253d36f5c.png)
第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念,理解二元函数的几何意义。
2.了解二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分,了解全微分存在的必要条件和充分条件,了解全微分形式的不变性。
4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
5.会求多元隐函数的偏导数。
6.理解多元函数极值和条件极值的概念,掌握多元函数极值存在的必要条件,了解二元函数极值存在的充分条件,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单多元函数的最大值和最小值,并会解决一些简单的应用问题。
重点多元函数偏导数和全微分的概念,多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。
难点多元复合函数二阶偏导数的求法。
用拉格朗日乘数法求条件极值,求简单多元函数的最大值和最小值,解决一些简单的应用问题。
三、概念、定理的理解与典型错误分析1.求多元函数极限的方法(1)利用初等多元函数的连续性,即若是初等函数,在的定义域中,则注:所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. (2)利用多元函数极限的四则运算。
(3)转化为一元函数的极限,利用一元函数的极限来计算.(4)对于证明或求时,感觉极限可能时零,而直接又不容易证明或计算,这时可用夹逼定理,即而由夹逼定理知从而2.判断多元函数极限不存在的方法(1)选取两条特殊的路径,而函数值的极限存在,但不相等,则不存在。
注意:与的区别,前面两个本质是两次求一元函数的极限,我们称为求累次极限,而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例1而知不存在. 例2在原点的两个累次极限都不存在,但是由于,因此.由例1知两个累次极限存在,但二重极限不存在,由例2知两个累次极限不存在,但二重极限存在,但我们有下面的结论。
定理7。
《多元函数微分学》PPT课件
![《多元函数微分学》PPT课件](https://img.taocdn.com/s3/m/9d28ffa4f9c75fbfc77da26925c52cc58bd6902e.png)
0 V .
14
定义1 设D是xOy平面上的点集, 若变量z与D
多 元
函
中的变量x, y之间有一个依赖关系, 使得在D内
数 的
基
每取定一个点P(x, y)时,按着这个关系有确定的
本 概
z值与之对应, 则称z是x, y的二元(点)函数.记为 念
z f ( x, y) (或z f (P) )
称x, y为自变量,称z为因变量,点集D称为该函数
P0 称为 E 的内点:如果存在一个正数 使得U (P0 ) E P0 称为 E 的外点:如果存在一个正数 使得
U (P0 ) E
P0 称为 E 的边界点:如果对任意一个正数 使得
U (P0 ) 中即有E中点又有非E中点
P0 即不是E的内点也不是E的外点
闭区域: G G G
12
(3)Rn 中的集合到 Rm的映射
的 基 本
和方法上都会出现一些实质性的差别, 而多元
概 念
函数之间差异不大. 因此研究多元函数时, 将以
二元函数为主.
24
3、多元函数的极限
多
讨论二元函数 z f ( x, y),当x x0 , y y0 ,
元 函
即P( x, y) P0 ( x0 , y0 )时的极限.
数 的 基
怎样描述呢? 回忆: 一元函数的极限
多 元 函 数
的
基
解 定义域是 ( x 1)2 y2 1且x2 y2 1
本 概
念
y
•
O
1
x
有界半开半闭区域
18
3 求 f ( x, y) arcsin(3 x2 y2的) 定义域. x y2
解
3 x2 y2 1
多元函数微分学(共184张PPT)
![多元函数微分学(共184张PPT)](https://img.taocdn.com/s3/m/b8fa02e12dc58bd63186bceb19e8b8f67c1cefe6.png)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1,是上一没条有曲定线义,. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数,在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ,使得 为最大 值而 为最小值,P 即1 对于一切P 2 P∈D,有f ( P1 )
•
P
于E的点,也有不属于E的点,
•
E
则称P为E的边界点(图8-2).
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点,都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ,再令 x 0而极限,就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ,x 偏0导数 z 存 在x,而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页 下一页 返 回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
第七章 多元函数的微分法
![第七章 多元函数的微分法](https://img.taocdn.com/s3/m/a828731b3968011ca3009147.png)
第七章 多元函数的微分法前五章我们介绍了一元函数的极限,连续,导数和微分等基本概念.现在我们将把这些基本概念推广到依赖多个自变量的函数,即多元函数.本章主要讨论含两个自变量的函数即二元函数的情况.§7.1 多元函数的基本概念一、二元函数及其图形在自然现象中常遇到依赖于两个变量的函数关系,举例如下:例1 任意三角形的面积S 与底x 高y 有下列关系: S=)0,0(21>>y x xy底与高可以独立取值,是两个独立的变量(称为自变量)。
在它们的变化范围内,当的值取定后,三角形的面积就有一个确定的值与之对应。
例2 从物理学中知道,理想气体的体积V 与绝对温度T 、压强P 之间有下列关系: ),0,0(是常数R P T P RTV >>=T ,P 可以独立取值,是两个独立的变量,在它们的变化范围内,当T ,P 的值取定后,体积V 就有一个确定的值与之对应。
以上两个例子的具体意义虽然不同,但却具有一个共同的特征,抽去它们的共性,就得到二元函数的定义如下:定义1 设有三个变量x 、y 、z ,若对于变量x 、y 在各自变化范围内独立取定的每一组值,变量z 按照一定的规律,总有一个确定的值与之对应,则z 称为x 、y 的二元函数,记作z =f (x ,y )。
称x 、y 为自变量,z 为因变量。
自变量的变化范围称为函数的定义域。
当自变量x 、y 分别取值x 0、y 0时,因变量z 的对应值z 0称为函数z =f (x ,y )的当x =x 0, y =y 0时的函数值,记作z 0= f (x 0、y 0)。
类似地,可以定义三元函数以及三元以上的函数。
二元以及二元以上的函数都称为多元函数。
注意:二元函数的定义域通常是由一条或几条曲线所围成的平面区域,围成区域的曲线叫做该区域的边界。
不包括边界的区域叫做开区域,连同边界在内的区域叫做闭区域。
如果区域可延伸到无限远,称这区域是无界的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
四 应用1 几何应用例42(大连理工)求曲线32,,t z t y t x =-==上与平面42=++z y x 平行的切线方程。
解 曲线上任意一点切线的切向量为)3,2,1(2t t -,平面的法向量为)1,2,1(,由题设得0)1,2,1()3,2,1(2=⋅-t t ,解之得1=t ,或31=t 。
当1=t 时,切点为)1,1,1(-,切向量为)3,2,1(-,所以切线方程为112111-=-+=-z y x 。
当31=t 时,切点为)271,91,31(-,切向量为)31,32,1(-,所以切线方程为 312713291131-=-+=-z y x ,即9127619313-=-+=-z y x 。
例43(北京科技大学2001)求曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++,1,22222y xy x ze y x z 在点)0,1,1(-P 处的切线与法平面方程。
解 记1),,(,2),,(2222-++=-++=y xy x z y x G ze y x z y x F z ,则1022),(),(=++=∂∂PzzPyx zee y z y G F ,同理可得0),(),(,1),(),(=∂∂=∂∂PPy x G F x z G F ,因此,曲线在点)0,1,1(-的切线方程和法平面方程分别为⎪⎩⎪⎨⎧=+=-,0,1111z y x 和0=+y x 。
思考题12(北京科技大学1999)求曲线⎩⎨⎧=++=++,0,6222z y x z y x 在点)1,2,1(-P 处的切线与法平面方程。
思考题13(四川大学2000)求曲面3=+-xy z e z在点)0,1,2(处的切平面方程。
例44(武汉水利电力学院)已知平面p nz my lx =++与椭球面1222222=++cz by ax 相切,证明:2222222p n c m b l a =++。
证 设已知平面与椭球面的切点为),,(000z y x ,则过该点的切平面方程为0)()()(020020020=-+-+-z z cz y y by x x ax ,即1202020=++z cz y by x ax ,这样它与p nz my lx =++表示同一个平面,因此有0≠p ,且pn cz pm by pl ax ===202020,,,又p nz my lx =++000,从而有2000000222222)(p n z m y l x p pn z pm y pl x nc mb l a =++=++=++。
例45(浙江理工大学,东北师范大学)证明:若函数),(v u F 有连续的偏导数,则曲面S :0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的切平面都平行于直线L :nz m y l x ==。
证 曲面0),(=--mz ny lz nx F 上任一点的法向量为),,(),,(y x y u z y x mF lF nF nF F F F --=,直线L 的切向量为),,(n m l ,于是0)(),,(),,(=--++=⋅y x yx z y x mF lF n mnFnlF n m l F F F ,此说明曲面S 上任一点处的切平面都平行于直线L 。
例46(长沙铁道学院)求过直线⎩⎨⎧=-+=-+,0,272210z y x z y x 与曲面273222=-+z y x 相切的切平面方程。
解 过直线⎩⎨⎧=-+=-+,0,272210z y x z y x 的平面方程为0)(272210=-++--+z y x z y x λ,其法向量为)2,2,10(λλλ--++。
设曲面上的切点为),,(000z y x ,则该点的切平面法向量为),,3(000z y x -,于是有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=+-++++=+=+,273,27)2()2()10(,22310202020000000z y x z y x z y x λλλλλλ 解之得1,1,1,3000-====λz y x ,或 19,17,17,3000-=-=-=-=λz y x ,故所求的切平面方程为279=-+z y x ,或 2717179-=-+z y x 。
2 函数的极值与最值多元函数最值问题较一元函数复杂,难点在于边界曲线上极值的计算。
例47(中国人民大学2000)证明:函数()()y y ye x e y x f z -+==cos 1,有无穷多个极大值,但无极小值.证 ()()x e f y x s i n 1-+=,()yy e y x f --=1cos ,令⎩⎨⎧==,0,0yx f f 得稳定点()()1cos ,,-=ππn n y x n n ,Z n ∈.()x ef yxx cos 1+-=,()yyye y x f--=2cos ,x e f yxy sin -=,当n 为偶数时,022>=-=∆xy yy xx f f f ,02<-=xx f ,故f 在()0,2πk 上取极大值,当n 为奇数时()01222<+-=-=∆--eef f f xyyy xx此处无极值,故f 为无穷多个极大值无极小值.例48(北京科技大学2001)求函数928222+--+=y x y x z 在D :1222≤+y x 上的最大值和最小值。
解 22,84-=-=y z x z y x ,令其为零得1,2==y x ,点D ∉)1,2(,故z 在D 上的最大最小值只能在D 的边界1222=+y x 上取到。
于是问题转化为:求1028+--=y x z 在条件1222=+y x 下的最大最小值。
构造Lagrange 乘法函数)12(102822-+-+--=y x y x L λ,求L 的所有偏导数,并令其等于零得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--,012,022,04822y x y x λλ 解之得,31,32==y x 或 31,32-=-=y x ,代入得4,16min max ==z z 。
思考题14(北京科技大学1998)求函数xy y x y x f 2),(22+-=在有界区域122≤+y x 上的最大值和最小值。
例49(华中师大2001)设),(y x f z =在有界闭区域D 上有二阶连续偏导数,且0,022222≠∂∂∂=∂∂+∂∂yx z yz xz 。
(1)证明:),(y x f z =的最大值和最小值只能在D 的边界上取得。
证 由于),(y x f z =在有界闭区域D 上连续,故必存在最大最小值,因此只需证:D 内任意点不可能是极值点,由二元函数极值的充分条件知,只需证:在D 内恒有0)(2<-xy yy xx f f f 。
事实上,由已知条件(1)得0)()()(222<--=-xy xx xy yy xx f f f f f 。
思考题15(西北工业大学)在平面上求一点,使它与n 个定点的距离之平方和最小。
3 条件极值条件极值问题有时可转化为无条件极值来计算,但有时这种转化很繁,或不可能,因此必须使用Lagrange 乘数法。
此时的最大困难是方程组的求解和极值的判别。
当方程组的解唯一时,往往可根据实际意义去判断;有时这种判别是十分困难的,需要较高的技巧;当求最值时,而根据实际意义最值一定存在,这时可直接计算其值,然后比较大小即可。
例50(厦门大学)求函数()444,,z y x z y x f ++=在条件1=xyz 下的极值.该极值是极大值还是极小值?为什么?解 令()()1,,,444-+++=xyz z y x z y x L λλ,则043=+=yz x L x λ,043=+=xz y L y λ,043=+=xy z L z λ,.01=-=xyz L λ解之得四组解:()1,1,1,()1,1,1--,()1,1,1--,()1,1,1--.在这些点上,()3,,=z y x f .又在1=xyz 上,()3131,,344444444=⋅⋅≥++=yx y x yx y x z y x f ,且当44441yx yx==,即z y x ==时取等号,四组解均为极小值.例51(清华大学2000)求函数xz ky z y x f +=3),,(在条件0,1222≥=++z z y x 下的最大值和最小值。
解 Lagrange 乘法函数为)1(2223-++++=z y x xz ky L λ,求L 的偏导数,并令它们等于零得:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=,01,02,023,022222z y x L z x L y ky L x z L z y xλλλλ由第一和第三个方程得0=x ,或21±=λ。
因此,当0=k 时,解为,0,22=±==y z x 或 ,0,22,22==±=y z x或 1,0±===y z x 。
当0≠k 时,若31≥k ,则解为1,0±===y z x ,或 ,0,22=±==y z x或 ,0,22,22==±=y z x或 ky kkz x 31,219312±=-=±=,当31<k 时,解为,0,22=±==y z x 或 ,0,22,22==±=y z x又f 为有界闭区域0,1222≥=++z z y x 上的连续函数,所以最大最小值一定存在,因此, 当0=k 时,其边界上函数值为零,从而最大值为21,最小值为21-;当0≠k 时,其最大值与最小值仍然是21与21-,因此,所求的最大最小值21与21-。
例52(武汉大学2000)求函数222),,(z y x z y x f ++=在1=++cz by ax 下的最小值。
解 令)1(),,,(222-+++++=cz by ax z y x z y x L λλ,则1,2,2,2-++=+=+=+=cz by ax L c z L b y L a x L z y x λλλλ,令0====λL L L L z y x 得唯一解⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=,,,222222222c b a c z c b a b y c b a a x 显然f 有最小值,而稳定点唯一,故该点即为最小值点,因此最小值为222222222222222min 1)()()(cb a cb ac cb a b cb a a f ++=++++++++=。
例53(复旦大学1999)已知222cz byax u ++=,其中0,0,0>>>c b a 。
求在条件1=++z y x 下的最小值。
解 Lagrange 乘法函数为)1(222-+++++=z y x cz by ax L λ,求L 的所有一阶偏导数,并令其等于零得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=,01,02,02,02z y x L cz L by L ax L z y x λλλλ解之得,,,cabc ab ab z cabc ab ca y cabc ab bc x ++=++=++=显然f 存在最小值,而稳定点唯一,故该点即为最小值点,因此最小值为=min u cabc ab abcca bc ab abc ca bc ab cab ca bc ab bca ++=++++++++222)()()(。