中考数学系统复习第六单元圆滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习

滚动小专题(八) 三角形的外心与内心

类型1三角形外心

1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D)

A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点

2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B)

A．D点B．E点C．F点D．G点

3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C)

A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心

C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心

4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C)

A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE

5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C)

A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处

C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处

6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)．

8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA.

(1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数．

解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ，

∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝1

2

∠BAC＝35°.

(2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO.

∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°.

类型2 三角形内心

9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B )

A ．△ACD 的外心

B ．△AB

C 的外心 C ．△AC

D 的内心 D ．△ABC 的内心

10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C )

A ．点O 是△ADE 的内心

B ．点O 是△ADE 的外心

C ．点O 不是△ABE 的内心

D ．点O 是△ABC 的外心

提示：易知OA平分∠BAC，由于OA不平分∠BAE，所以点O不是△ABE的内心．

11．如图，I点为△ABC的内心，D点在BC上，且ID⊥BC.若∠B＝44°，∠C＝56°，则∠AID的度数为(A) A．174° B．176° C．178° D．180°

提示：连接CI，∠AID＝∠AIC＋∠CID＝112°＋62°＝174°.

12．如图，△ABC中，AB＝7 cm，AC＝8 cm，BC＝6 cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC，BC分别交于点E，F，则△CEF的周长为(A)

A．14 cm B．15 cm C．13 cm D．10.5 cm

提示：连接OA，OB.C△CEF＝CE＋CF＋EF＝CE＋EA＋CF＋FB＝CA＋CB＝14 cm.

13．如图，I是△ABC的内心，AI的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接BI，BD，DC.下列说法中错误的一项是(D)

A．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DC重合

B．线段DB绕点D顺时针旋转一定能与线段DI重合

C．∠CAD绕点A顺时针旋转一定能与∠DAB重合

D．线段ID绕点I顺时针旋转一定能与线段IB重合

提示：根据I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，BI平分∠ABC，由角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，∠AB I ＝∠CBI.根据三角形外角的性质得到∠DBI＝∠DIB，根据等腰三角形的性质得到BD＝DI.

14．(2018·娄底)如图，P是△ABC的内心，连接PA，PB，PC，△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为S1，S2，S3.则S1＜S2＋S3.(填“＜”“＝”或“＞”)

15．如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB＝90°，在斜边AB 上分别截取AD ＝AC ，BE ＝BC ，DE ＝6，点O 是△CDE 的外心，则点O 到△ABC 的三边的距离之和是9．

提示：由题意知：点O 是EC ，CD 垂直平分线的交点，∵AD＝AC ，BE ＝BC ，∴EC 的垂直平分线经过点B 且平分∠B，CD 的垂直平分线经过点A 且平分∠A.∴点O 是△ABC 的内心．∵∠ACB＝90°，∴r＝12(AC ＋BC －AB)＝1

2(AD ＋

BE －AB)＝1

2

DE ＝3.∴点O 到△ABC 的三边的距离之和是3r ＝9.

16．三角形内角平分线的交点为三角形的内心．如图，D 是△ABC 的内心，E 是△ABD 的内心，F 是△BDE 的内心．若∠BFE 的度数为整数，则∠BFE 至少是113°．

17．已知I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D ，连接BD.

(1)在图1中，求证：DB ＝DI ；

(2)如图2，若AB 为直径，且OI⊥AD 于点I ，DE 切圆于点D ，求sin ∠ADE 的值．

解：(1)证明：连接BI. ∵I 是△ABC 的内心，

∴AD 平分∠CAB，BI 平分∠ABC. ∴∠CAD＝∠BAD，∠ABI＝∠CBI. ∵∠CAD＝∠DBC，∴∠DAB＝∠DBC. ∵∠DBI＝∠DBC＋∠CBI， ∠DIB＝∠DAB＋∠ABI， ∴∠DIB＝∠DBI.∴DB＝DI. (2)连接BD ，DO.

∵AB 为直径，∴∠ADB＝90°. ∵OI⊥AD，∴AD＝2DI. ∵BD＝DI ，∴AD＝2BD.

∴AB＝AD 2

＋BD 2

＝5BD.

∵DE 切圆于点D ，∴∠ADE＋∠ADO＝90°.