第11讲 指数与对数的运算(解析版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第11讲：指数与对数的运算

一、课程标准

1、理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.

2、理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；

3、了解对数的发现历史以及对简化运算的作用

二、基础知识回顾

1. 有关指数幂的概念

(1)n次方根

正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是__0__；正数的偶次方根是两个绝对值相等、符号相反的数，0的偶次方根是__0__，负数没有偶次方根．

(2)方根的性质

①当n为奇数时，n a n＝a；

②当n为偶数时，n a n＝||a＝

,0 -a0.

a a

a

⎧

⎨

⎩

≥，

，＜

(3)分数指数幂的意义

①m n a

(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)；

②m n

a-＝

1

m

n

a

(a＞0，m、n都是正整数，n＞1)．

2. 有理数指数幂的运算性质

设s，t∈Q，a>0，b>0，则：(1)a s a t＝as＋t；

(2)(a s)t＝ast；(3)(ab)t＝a t b t．

3. 对数的相关概念

(1)对数的定义：如果a b＝N(a＞0，a≠1)，那么b叫做以a为底数N的对数，记作log a N＝b．

(2)常用对数和自然对数：①常用对数：以10为底N的对数，简记为：lg N；②自然对数：以e为底N 的对数，简记为：ln N．

(3)指数式与对数式的相互转化：a b＝N⇔log a N＝b(a＞0，a≠1，N＞0)．

4. 对数的基本性质

设N＞0，a＞0，a≠1，则：(1)log a a＝1；(2)log a1＝0；

(3)log a a N ＝N ；(4)a log aN ＝N ．

5. 对数运算的法则

设M ＞0，N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则： (1)log a (MN)＝ log a M ＋log a N ； (2)log a M

N ＝log a M －log a N ； (3)log a M n ＝ n log a M ． 6. 对数的换底公式

设N ＞0，a ＞0，a≠1，b ＞0，b≠1，则log b N ＝log a N

log a b .

三、自主热身、归纳总结

1、化简4a 23

·b －13÷⎝⎛⎭⎫

－23a －13b 23的结果为( ) A ．－2a

3b B ．－8a b C ．－6a b D ．－6ab

【答案】C

【解析】原式＝－6a 23－⎝⎛⎭⎫－13b －13－23＝－6ab －1

＝－6a

b . 2、(log 29)(log 32)＋log a 54＋log a ⎝⎛⎭⎫

45a (a >0，且a ≠1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 【答案】B

【解析】 原式＝(2log 23)(log 32)＋log a ⎝⎛⎭⎫

54×45a ＝2×1＋log a a ＝3.

3、 若lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，则x 的值等于（ ）

A . 1

B . 0或18

C . 1

8 D . log 23

【答案】D .

【解析】由lg 2，lg (2x ＋1)，lg (2x ＋5)成等差数列，知lg 2＋lg (2x ＋5)＝2lg (2x ＋1)， ∴2(2x ＋5)＝(2x ＋1)2，即(2x )2－9＝0，即2x ＝3，∴x ＝log 23.故选D .

4、．(多选)已知a ＋a －

1＝3，在下列各选项中，其中正确的是( )

A ．a 2＋a －2＝7

B ．a 3＋a －3＝18

C ．a 12

＋a －1

2＝± 5 D ．a a ＋1

a a ＝25

【答案】ABD

【解析】在选项A 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 2＋a －2＝(a ＋a －

1)2－2＝9－2＝7，故A 正确；在选项B 中，因为a ＋a －1＝3，所以a 3＋a －3＝(a ＋a －1)(a 2－1＋a －2)＝(a ＋a －1)·[(a ＋a －

1)2－3]＝3×6＝18，故B 正确；在选

项C 中，因为a ＋a －1＝3，所以(a 12

＋a －12)2

＝a ＋a －1＋2＝5，且a ＞0，所以a 1

2＋a －12＝5，故C 错误；在

选项D 中，因为a 3＋a －3

＝18，且a ＞0，所以⎝⎛⎭⎫a a ＋1a a 2＝a 3

＋a －3＋2＝20，所以a a ＋1a a ＝25，故D

正确．

5、log 225·log 3(22)·log 59＝________． 【答案】6

【解析】法一：log 225·log 3(22)·log 59＝log 252·log 3232

·log 532＝6log 25·log 32·log 53＝6. 法二：log 225·log 3(22)·log 59＝lg 25lg 2·lg （22）lg 3·lg 9lg 5＝lg 52lg 2·lg 232

lg 3·lg 32

lg 5＝6. 6、 已知2lg x －y

2＝lg x ＋lg y ，则x

y 的值为 ．

【答案】1＋ 2.

【解析】 利用对数的性质消去对数符号，得到关于x ，y 的方程再求解．

由已知得lg ⎝⎛⎭⎫x －y 22＝lg (xy)，∴⎝⎛⎭⎫x －y 22

＝xy ， 即x 2

－6xy ＋y 2

＝0，∴⎝⎛⎭⎫x y 2－6⎝⎛⎭⎫

x y ＋1＝0，

∴x

y ＝3±2 2.

又∵x －y 2>0且x 、y ＞0，∴x ＞y ＞0，即x

y ＞1，