《平行线的有关证明》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《平行线的有关证明》全章复习与巩固（基础）知识讲解

【学习目标】

1．了解定义及命题的概念与构成，并能通过证明或举反例判定命题的真假；

2. 区别平行线的判定与性质，并能灵活运用；

3. 理解并能灵活运用三角形的内角和定理及其推论.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一、定义、命题及证明

1.定义：一般地，用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义.

2.命题：判断一件事情的句子，叫命题.

3.反例：要判断一个命题是假命题，只要能够举出一个例子，使之具备命题的条件，而不具有命题的结论，就可以说明这一命题是假命题，这种例子通常称为反例.

要点诠释：

（1）命题一般由条件和结论组成.

（2）正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.

（3）被人们公认的真命题叫公理.

(4) 经过证明的真命题叫定理.

3.证明:要判断一个命题是不是真命题，仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的，必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程就是证明.

要点二、平行线的判定与性质

1．平行线的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行．

判定方法2：内错角相等，两直线平行．

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行．

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的判定方法还有：

（1）平行线的定义：在同一平面内，如果两条直线没有交点（不相交），那么两直线平行. （2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行（平行线的传递性）. （3）在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行.

（4）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2．平行线的性质

性质1：两直线平行，同位角相等；

性质2：两直线平行，内错角相等；

性质3：两直线平行，同旁内角互补.

要点诠释：根据平行线的定义和平行公理的推论，平行线的性质还有：

（1）若两条直线平行，则这两条直线在同一平面内，且没有公共点．

（2）如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直，那么它必与另一条直线垂直．

要点三、三角形的内角和定理及推论

三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°．

推论：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．

要点诠释：

（1）由一个公理或定理直接推出的真命题，叫做这个公理或定理的推论.

（2）推论可以当做定理使用.

【典型例题】

类型一、定义、命题及证明

1.指出下列命题的条件和结论,并判断命题的真假,如果是假命题,•请举出反例.

如果等腰三角形的两条边长为5和7,那么这个等腰三角形的周长为17.

【答案与解析】

解：条件:等腰三角形的两条边长为5和7

结论:等腰三角形的周长为17

是假命题；反例:当腰长为7,底边长为5时,周长为19

【总结升华】本题考查了命题与定理的相关知识．关键是明确命题与定理的组成部分，会判断命题的题设与结论．

举一反三：

【变式1】某工程队，在修建兰定高速公路时，有时需将弯曲的道路改直，•根据什么公理可以说明这样做能缩短路程（）

A．直线的公理; B．直线的公理或线段最短公理

C．线段最短公理; D．平行公理

【答案】B

【变式2】下列命题真命题是( )

A．互补的两个角不相等 B．相等的两个角是对顶角

C．有公共顶点的两个角是对顶角 D．同角或等角的补角相等

【答案】D

2.叙述并证明三角形内角和定理．

要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证明过程．

【思路点拨】欲证明三角形的三个内角的和为180°，可以把三角形三个角转移到一个平角上，利用平角的性质解答．

【答案与解析】

定理：三角形的内角和是180°；

已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C；

求证：∠A+∠B+∠C=180°．

证明：如下图，过点A作直线MN，使MN∥BC．

∵MN∥BC，

∴∠B=∠MAB，∠C=∠NAC（两直线平行，内错角相等）．

∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°（平角定义），

∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）．

即∠A+∠B+∠C=180°．

【总结升华】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形的内角和是180°．

类型二、平行线的判定与性质

3.(佳木斯中考)如图所示，请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．

【思路点拨】欲证AD∥BC，结合图形，故可按同位角相等、内错角相等和同旁内角互补两直线平行来补充条件．

【答案】∠FAD＝∠FBC，或∠ADB＝∠CBD，或∠ABC+∠BAD＝180°.

【解析】

解：本题答案不唯一，如：利用“同位角相等，两直线平行”，可添加条件∠FAD＝∠FBC；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加条件∠ADB＝∠CBD；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加条件∠ABC+∠BAD＝180°．

【总结升华】这是一道开放性试题，分清题设和结论：结论：AD∥BC，题设可根据平行线的判定方法，逐一寻找即可.

4.如图，已知∠ADE ＝∠B，∠1 ＝∠2，那么CD∥FG吗？并说明理由.

【答案与解析】

解：平行，理由如下：

因为∠ADE=∠B，所以DE∥BC（同位角相等，两直线平行），

所以∠1=∠BCD（两直线平行，内错角相等）.

又因为∠1=∠2（已知），

所以∠BCD=∠2.

所以CD∥FG（同位角相等，两直线平行）.

【总结升华】反复应用平行线的判定与性质，见到角相等或互补，就应该想到判断直线是否平行，见到直线平行就应先想到角相等或角互补.

【高清课堂：相交线与平行线单元复习403105经典例题3】

举一反三：

【变式】如图，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B，试判断∠AED

与∠ACB的大小关系，并说明理由．

【答案】∠AED=∠ACB，理由如下：

∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＋

∠4＝180°,

∴∠2＝∠4.

∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）.

∴∠5＝∠3.

又∠3=∠B,

∴∠5＝∠B.

∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行）.

∴∠AED=∠ACB(两直线平行,同位角相等).

类型三、三角形的内角和定理及推论

5.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360°”.四边形ABCD 如图所示.

D

A

【思路点拨】将四边形转化为三角形去解决.

【答案与解析】

C

B