九年级数学 相似三角形的判定(教案、导学案)

27.2相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时相似三角形的判定（1)
【知识与技能】
1.了解相似三角形的概念及其表示方法；
2.掌握平行线分线段成比例定理及平行于三角形一边的直线的性质定理；
3.掌握相似三角形判定的预备定理.
【过程与方法】
经历从探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力和逻辑思维能力.
【情感态度】
体验从一般到特殊及由特殊到一般的认知规律，发展辩证思维能力. 【教学重点】
平行线分线段成比例定理及判定三角形相似的预备定理.
【教学难点】
探索平行线分线段成比例定理的过程.
一、情境导入，初步认识
问题1相似多边形的性质是否也适用于相似三角形呢？
问题2如果△ABC与△A1B1C1相似，能类似于两个三角形全等，给
出一种相似表示方法吗？△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为k ，那么△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比也是k 吗？
问题3 如何判定两个三角形相似呢？
【教学说明】通过上述三个问题的设置，既帮助学生认识了相似三角形的一些基本知识，又为引出平行线分线段成比例定理作些铺塾，教师可釆用自问自答形式讲述这部分内容. 二、思考探究，获取新知
问题1 如图，任意画两条直线l 1，l 2，再画三条与l 1，l 2相交的平行线l 3，l 4，l 5分别度量AB ，BC ，DE ，EF 长度，则EF
DE
BC AB 与
相等吗？
呢？与DF DE AC AB 呢？
与DF
EF
CA BC
【教学说明】教师可让学生在自己准备的 白纸上画出类似图形，测出所截各条线段的长度（尽可能准确些），然后求出相应比值的近似值，便于作出说明.教师巡视，发现问题及时引导.对出现比值相差较大情形，帮助他们分析，找出原因，尽量让学生们获得对应线段的比值近似相等这一结果，形成感性认知.最后，教师可综合大多数同学的认知，给予总结，得出结论.
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等.
【教学说明】这一结论不要求学生证明，只需形成感性认识.为了便于记忆，上述定理的结论可使用下面形象化的语言，如：
.等全
下
全下，全上全上，上下上下，下上下上==== 问题 2 如图，当l 1//l 2//l 3时，在（1）中是否仍有
呢？，，AF EF
AC BC
AF AE AC AB EF AE BC AB ===在（2）中是否仍有
呢？
，，DF
BF
AC
BC
DF DB AC AB BF DB BC AB ===
【教学说明】针对问题2，教师应引导学生利用“平行线分线段成比例定理”来进行说明，不可继续用测量方法得到，这样就由感性认识 上升到理性思考.这里建议将学生进行分组，小组讨论，相互交流，形成认识，最后教师再与全 班同学一道分析，得出结论.
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得到的对应线段的比相等.
问题3 如图，在△ABC 中，DE// BC ，DE 分别交AB 、AC 于D 、E ，则△ABC 与△ADE 能相似吗？为什么？
问题4如图，已知DE//BC，DE分别交AB.AC的反向延长线于D、E，则△ADE与△ABC能相似吗？为什么？
【教学说明】将全班学生分成两组，分别完成问题3、4的探究，教师应先给予点拨，突破难点（即添加辅助线，达到两个三角形的三边的比能相等的目的），然后学生自主完成，锻炼逻辑思维能力和推理能力.
平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 (相似三角形判定的预备定理).
三、运用新知，深化理解
1.如图，DE//BC，EF//AB，请尽可能多地找出图中的相似三角形，并用符号表示出来.
2.如图D 为△ABC 中BC 边的中点，E 为AD 中点，连接并延长BE 交 AC 于F.过E 作EG//AC 交BC 于G. （1） 求
AC EG 的值；（2)求CF EG 的值；（3)求FC
AF
的值.
3.如图，已知在△ABC 中，DE//BC ，AD=EC ，BD=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ， 求 DE 的长.
【教学说明】 让学生自主完成，也可合作完成，在练习中加深理解.教师巡视指导，及时点拨.在完成上述题目后，教师引导学生完成创 优作业中本课时的“名师导学”部分.
【答案】1.解：△ADE ～△ABC ，△CEF ～△CAB, △ADE ～△EFC. 2.解：（1）∵EG//AC ，∴△DGE ～△DCA ，∴
2
1
==DA DE AC EG . （2）∵EG//AC ，E 是AD 的中点，∴G 是CD 的中点，即CG=DG.又D 是BC 的中点，∴BD=CD ，∴BG=3CG ，BC=4CG ，∴3
4
BG BC = . ∵EG//FC, ∴△BEG ～△BFC,∴
4
3
==BC BG FC FG . （3）过D 点作DH//CF ，交BF 于H.易得DH=AF ，∴21
==FC DH FC AF . 3.解：∵DE//BC ，∴
EC
AE
DB AD =,又AD=CE ，∴AD 2=4，∴AD=2，∴AB=3.
由DE//BC 可知△ADE ～△ABC ，∴）
（cm 3
10
352=⨯==BC DE AB AD . 四、师生互动，课堂小结 1.这节课你学到了哪些知识？ 2.你还有哪些疑惑？
【教学说明】师生以交谈方式回顾本节知识，重点应关注哪些内容，还有什么地方不太明白，及时解疑.
完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.
本课时教学思路应从探究、猜想、验证归纳出发，遵循学生的理解认知能力，由浅入深、逐步推进，激发学生自主探究的学习热情，培养学生的自主学习能力.
27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1课时 相似三角形的判定（1）
一、新课导入 1.课题导入
问题1：我们学过哪些判定两个三角形全等的方法？
问题2：类比上面这些方法，猜一猜判定两个三角形相似的方法有哪些？ 由此导入课题(板书课题). 2.学习目标
（1）能用符号表示两个三角形相似，能确定它们的相似比、对应边和对应角.
（2）能叙述平行线分线段成比例定理及其推论，并能结合图形写出正确的比例式.
（3）能用平行线分线段成比例定理的推论证明三角形相似的判定引理. 3.学习重、难点
重点：平行线分线段成比例定理及其推论. 难点：正确理解定理中的“对应线段”. 二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P29~P30思考上面的内容. （2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：学生分小组采用度量的方法和已学知识探究平行线分线段成比例定理，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①三个角相等，三条边成比例的两个三角形相似.
在△ABC 和△A′B′C′中, 如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=C′,
AB BC CA
k A B B C C A ===''''''
, 那么△ABC 和△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△
A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k，△A′B′C′与△ABC的相似比为1 k .
全等三角形也是相似三角形, 它们的相似比为1.
②相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
③完成教材P29探究：
a.如图1，量一量，算一算，AB
BC
与
DE
EF
相等吗？
BC
AB
与
EF
DE
呢？
AB
AC
与
DE
DF
呢？BC
AC
与
EF
DF
呢?
b.由上一步可得：∵l3∥l4∥l5,∴AB
BC
=
DE
EF
，
BC
AB
=
EF
DE
，
AB
AC
=
DE
DF
，
BC AC =
EF
DF
.
c.平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段
成比例.
d.指出图1中的所有对应线段(如AB与DE)：BC与EF,AC与DF.
④把平行线分线段成比例定理应用到三角形中，会出现图2和图3两个基本图形：
在这两个图形中，把DE看成平行于△ABC的边BC的直线，截其他两边（如图1）或其他两边的延长线（如图2），于是可得推论：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
即：∵DE∥BC,∴AD
DB
=
AE
EC
，
AD
AB
=
AE
AC
，
BD
AB
=
CE
AC
.
2.自学：结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：能否正确理解“对应线段”，尤其是在推论的两个图形中.
②差异指导：根据学情，指导学生结合图形理解“对应线段”.
（2）生助生：小组交流、研讨.
4.强化
（1）分清平行线分线段成比例定理的条件与结论,弄清哪些是“对应线段”.
（2）平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等（强调“对应”）.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P30思考~P31.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：学生分小组对不同类型的相似三角形进行证明，并完成自学参考提纲.
（4）自学参考提纲：
①已知DE∥BC,运用定义证明△ADE∽△ABC(如图1，作EF∥AB).
证三个角相等：∠A公共，由DE∥BC可得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C.
证三条边成比例：由DE∥BC可得AD
AB
＝
AE
AC
，由EF∥AB可得
BF
BC
＝
AE
AC
.
由DE∥BC，EF∥AB可得四边形BFED是平行四边形，所以BF=DE.故
DE BC
AD
AB
=
AE
AC
=
BF
BC
.所以△ADE∽△ABC.
②如图2, DE∥BC分别交BA、CA的延长线于点D、E，那么△ADE与△ABC 相似吗？能否给予证明？
相似.
∵DE ∥BC,∴∠E=∠C,∠D=∠B.过E 作EF ∥BD 交CB 的延长线于点F. ∵DE ∥BC ，EF ∥BD ，∴
,AE AD BF AE
AC AB BC AC
==
. 又∵四边形BDEF 是平行四边形，∴DE=BF,∴AE AD DE
AC AB BC
==
. ∴△ADE ∽△ABC.
③如图3，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，求证:△ADE ∽△EFC. ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，
∴∠CEF=∠A,∠ADE=∠B=∠EFC,AD AE DB EC =,BF AE
FC EC
=
. 又∵四边形BDEF 是平行四边形， ∴BD=EF,DE=BF. ∴
AD AE DE
EF EC FC
==
, ∴△ADE ∽△EFC.
④如图4，DE ∥FG ∥BC ，找出图中所有的相似三角形. 由DE ∥FG ∥BC ，易知△ADE ∽△AFG ∽△ABC. 2.自学：结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生：
①明了学情：看学生能否添加辅助线构造比例线段进行转化. ②差异指导：根据学情指导学生弄清引理的证明思路和方法. （2）生助生：小组交流、研讨. 4.强化
（1）判定三角形相似的预备定理及其两个基本图形. （2）点两名学生板演自学参考提纲中第③、④题，并点评. 三、评价
1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？还有哪些不足？
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：从学生的课堂参与程度、思维状况、小组协作等方面的课堂表现去评价.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时先给出相似三角形的定义，说明有关概念，明确相似三角形的符号表示和相似比的意义.由于三角形的相似与比例线段密不可分，因此在形成相似三角形的概念之后，主要安排学习比例线段，进而讨论平行于三角形一边的平行线的性质与判定以及平行线分线段成比例定理，为研究相似三角形提供了必要的知识准备.教学过程中应遵循学生的理解认知能力，由浅入深，逐步推进.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)如图，在△ABC中，DE∥BC, 且AD=3，DB=
2.图中的相似三角形
是△ADE∽△ABC，其相似比是3
5
.
第1题图第2题图
2.(10分)如图，DE∥BC，DF∥AC，则图中相似三角形一共有（C）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
3.(10分)如图，DE∥BC，
1
2
AD
DB
，则
AE
AC
=(B)
A.1
2
B.
1
3
C.
2
3
D.
3
2
第3题图第4题图
4.(10分)如图，已知AB ∥CD ∥EF ，那么下列结论正确的是（A ）
5.(10分)如图，AB ∥CD ∥EF,AF 与BE 相交于点G ，且AG=2，GD=1，DF=5，求BC CE .
解：∵AB ∥CD ∥EF,
∴35
BC AD AG GD CE DF DF +===. 6.(20分)如图，DE ∥BC.
（1）如果AD=5，DB=3，求DE ∶BC 的值;
（2）如果AD=15，DB=10，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长.
解：（1）∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC,
∴58
DE AD BC AB ==. （2）
AE AD AC AB =,即151525AE =,求得 AE=9. DE AD BC AB =,即71525BC =,求得 BC=353
. 二、综合应用（20分）
7.(20分)如图,△ABC ∽△DCA ，AD ∥BC ，∠B=∠DCA.
（1）写出对应边的比例式；
（2）写出所有相等的角；
（3）若AB=10,BC=12,CA=6,求AD 、DC 的长．
解：（1）BC AB AC CA DC DA
==; (2)∠BAC=∠CDA,∠B=∠ACD,∠ACB=∠DAC; (3)由（1）中的结论和已知条件可知
121066DC AD
==,求得AD=3，DC=5. 三、拓展延伸（10分）
8.(10分)如图，在△ABC 中，DE ∥BC 分别交AB 、AC 于点D 、E ，试证明：ADAB=DOCO.
证明：∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC,△DOE ∽△COB,
∴,AD DE DO DE AB BC CO CB
==. ∴
AD DO AB CO =.。