高三数学 习题 单元质量评估(二)

单元质量评估(二)

(第二讲) (90分钟 120分)

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.已知a>b>c>0,A=a 2a b 2b c 2c ,B=a b+c b c+a c a+b ,则A 与B 的大小关系是 ( ) A.A>B B.Ab>c>0,所以A>0,B>0, 所以A

B

=a a a a b b b b c c c c

a a

b b

c c =a

a-b a a-c b b-c b b-a c c-a c c-b

=(a b )

a−b (a c

)

a−c (b c )

b−c

.

因为a>b>0,所以a b

>1,a-b>0, 所以(a b )

a−b

>1,同理(a c

)

a−c

>1,(b c

)

b−c

>1.

所以A B >1,即A>B.

2.若实数x,y 适合不等式xy>1,x+y ≥-2,则 ( ) A.x>0,y>0 B.x<0,y<0 C.x>0,y<0 D.x<0,y>0

【解析】选A.x,y 异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C,D.假设x<0,y<0,则x<1

y .

所以x+y

y

≤-2与x+y ≥-2矛盾,故假设不成立.又xy ≠0,所以x>0,y>0.

3.(·威海高二检测)使不等式√3+√8>1+√a 成立的正整数a 的最大值是

( )

A.10

B.11

C.12

D.13

【解析】选C.用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立. 4.设a>0,b>0,a+b=1,M=1a +1

b +1

ab ,则M 与8的大小关系是 ( )

A.M=8

B.M ≥8

C.M<8

D.M ≤8 【解析】选B.因为a>0,b>0,a+b=1, 所以1=a+b ≥2√a b ,所以√a b ≤1

2

,所以1

ab

≥4.

所以1a +1b +1ab =(a+b)(1a

+1b

)+1ab

≥2√a b ·2√1

ab

+4=8.

所以1

a +1

b +1

ab

≥8,即M ≥8. 当且仅当a=b=1

2时等号成立.

5.(·石家庄高二检测)已知a>b,则不等式①a 2>b 2;②1a <1b

;③

1

a−b >1

a

中不成立的个

数是 ( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】选D.因为a>b,①a 2-b 2=(a-b)(a+b)符号不确定,即a 2>b 2不一定成立; ②1a -1b =

b −a

ab

符号不确定,即1a <1b

不一定成立;③

1

a−b -1a =

b

(a−b)a

符号不确定,即

1

a−b >1

a

不

一定成立,故三个不等式不成立的个数为3. 6.已知△ABC 中,∠C=90°,则

a +

b c

的取值范围是 ( )

A.(0,2)

B.(0,√2]

C.(1,√2]

D.[1,√2] 【解析】选C.因为∠C=90°,所以c 2=a 2+b 2, 即c=√a 2+b 2.又有a+b>c,

所以1<

a +

b c

=

22

≤√22

=√2.

7.若x,y,a ∈R +,且√x +√y ≤a √x +y 恒成立,则a 的最小值是 ( ) A.√2

2

B.√2

C.1

D.1

2

【解题指南】根据√

x 2+y 22

≥

x +y 2

得到√x +y ≥√2

2

(√x +√y )求解.

【解析】选B.因为√

x 2+y 22≥

x +y 2

,即√x 2+y 2≥

√22

(x+y),所以√x +y ≥√22

(√x +√y ),

而√x +√y ≤a √x +y ,

即√x +y ≥1

a

(√x +√y )恒成立,得1

a

≤√2

2

,

即a ≥√2.

8.(·济南高二检测)已知实数a,b,c 满足a+b+c=0,abc>0,则1a +1b +1

c 的值的情况为

( )

A.一定是正数

B.一定是负数

C.可能是0

D.正负不能确定 【解析】选B.因为实数a,b,c 满足a+b+c=0,abc>0, 不妨设a>b>c,则a>0>b>c,

1a +1b +1c

=

b c+ac+ab abc

=

b c+a(c+b)

abc

=b c−a 2abc

<0.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)

9.(·菏泽高二检测)已知a>0,b>0,若P 是a,b 的等差中项,Q 是a,b 的正的等比中项,1R

是1a ,1

b

的等差中项,则P,Q,R 按从大到小的排列顺序为 .