高二数学空间向量的坐标运算知识精讲
高二数学空间向量的坐标运算人教版知识精讲.doc
高二数学空间向量的坐标运算人教版【本讲教育信息】 一. 教学内容： 空间向量的坐标运算［教学目标］理解空间直角坐标系；掌握空间向量的坐标运算；掌握空间向量平行、垂直的充要条件及向量的坐标与点的坐标的关系；掌握夹角和距离公式。
二. 重点、难点：重点：用坐标运算求数量积及夹角。
难点：会用空间向量处理一些空间线面关系；法向量的应用。
［知识点］1. 坐标运算规则：设，，，，，a a a a b b b b →=→=()()123123 则，，a b a b a b a b →+→=+++()112233 a b a b a b a b →-→=---()112233，， λλλλλa a a a R →=∈()()123，， a b a b a b a b →→=++²112233a b a b a b a b a b →→⇔→=→⇔===∥λλλλ112233a b a b a b a b →→⇔++=⊥1122330若，，，，，A x y z B x y z ()()111222则，，AB OB OA x x y y z z →=→-→=---()2121212. 夹角距离公式若，，，，，a a a a b b b b →=→=()()123123则，cos <→→>=+++++++a b a b a b a b a a a b b b112233122232122232d x x y y z z AB =-+-+-()()()212212212 A x y z B x y z ()()111222，，，，，【典型例题】 例1.已知，，为一基底，判断是()e e e e e e 1231122330→→→→+→+→=→λλλλλλλλλ1222321230++=∈的什么条件、、()?R解：∵、、不共面e e e 123→→→∴由λλλλλλ11223312300e e e →+→+→=→⇒===∴λλλ1222320++=反之，由λλλλλλ12223212300++=⇒===⇒→+→+→=λλλ1122330e e e∴是充要条件。
空间向量的坐标运算精选全文完整版
| AC | | BB1 | cos 900 0 AD1 DB1 AD1 DA AD1 AB AD1 BB1 | AD1 | | DA | cos1350 | AD1 | | AB | cos 900
| AD1 | | BB1 | cos 450 0 又AD1 AC A,
AD1 DB1, AC DB1. DB1 平面ACD1.
xA‘
y B(3,4,0)
与y轴垂直的坐标平面是___x_o__z___ A'(3, 4, 5)
与z 轴垂直的坐标平面是___x_o_y____
(2)点P(2,3,4)在 xoy平面内的射影是_(_2_,3_,_0_)
在 xoz 平面内的射影是_(2_,_0_,4_)_
在 yoz平面内的射影是_(0_,_3_,4_)_
(2)a 6b 8c _(2_,_-3_,_1_)_+_(_12,0,18)+(0,0,-16)
=(14,-3,3)
练习Ｐ39 8.判定下列各题中的向量是否平行: (1) (1,2,-2)和(-2,-4,4), (2) (-2,3,5)和(16,-24,40). 解: (1) (-2,-4,4) = -2 (1,2,-2)
数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样
就建立了一个空间直角坐标系O — x y z .
点O叫做原点，向量 i, j, k
z k
都叫做坐标向量.通过每两个
y
i 坐标轴的平面叫做坐标平面。
O
j
x
三、向量的直角坐标系
给定一个空间坐标系和向量
a ,且设 i, j, k为坐标向量，由空z a
间向量基本定理，存在唯一的有
D1 A1
D
专题03 空间向量及其运算的坐标表示(知识精讲)高二数学新教材知识讲学(人教A版选择性必修第一册)
专题三 空间向量及其运算的坐标表示一 知识结构图二.学法指导1．在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要记住规律：“在谁的轴上，谁属于R ，其它为零；在谁的平面上，谁属于R ，其它为零．”“关于谁对称谁不变，其余变成相反数．” 2．空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标系，一般选择两两垂直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所求向量的坐标．3．进行空间向量的数量积坐标运算的技巧利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法则，同时掌握下列技巧． (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝|a |2－|b |2，(a ＋b )·(a ＋b )＝(a ＋b )2等．(2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a )·(－b )，既可以利用运算律把它化成－2(a ·b )，也可以求出2a ，－b 后，再求数量积；计算(a ＋b )·(a －b )，既可以求出a ＋b ，a －b 后，求数量积，也可以把(a ＋b )·(a －b )写成a 2－b 2后计算． 4.判断空间向量垂直或平行的步骤(1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标；(3)对于a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，根据x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2是否为0判断两向量是否垂直；根据x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2(λ∈R )或x 1x 2＝y 1y 2＝z 1z 2(x 2，y 2，z 2都不为0)判断两向量是否平行．5.利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤(1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系；(2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐标；(3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹角，并将它转化为异面直线所成的角．6．利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤(1)建立适当的空间直角坐标系；(2)求出线段端点的坐标；(3)利用两点间的距离公式求出线段的长．三.知识点贯通知识点1 求空间点的坐标例题1.如图，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝4，|AD |＝3，|AA 1|＝5，N 为棱CC 1的中点，分别以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．(1)求点A ，B ，C ，D ，A 1，B 1，C 1，D 1的坐标； (2)求点N 的坐标． 【解析】(1)显然D (0,0,0)，因为点A 在x 轴的正半轴上，且|AD |＝3， 所以A (3,0,0)．同理，可得C (0,4,0)，D 1(0,0,5)．因为点B 在坐标平面xOy 内，BC ⊥CD ，BA ⊥AD ，所以B (3,4,0)．同理，可得A 1(3,0,5)，C 1(0,4,5)，与B 的坐标相比，点B 1的坐标中只有竖坐标不同，|BB 1|＝|AA 1|＝5，则B 1(3,4,5)．(2)由(1)知C (0,4,0)，C 1(0,4,5)， 则C 1C 的中点N 为⎝⎛⎭⎫0＋02，4＋42，0＋52，即N ⎝⎛⎭⎫0，4，52. 知识点二 求对称点的坐标在空间直角坐标系中，任一点P (a ，b ，c )的几种特殊的对称点的坐标如下：(1)求点P 关于x 轴的对称点的坐标； (2)求点P 关于xOy 平面的对称点的坐标；(3)求点P 关于点M (2，－1，－4)的对称点的坐标【解析】 (1)由于点P 关于x 轴对称后，它在x 轴的分量不变，在y 轴、z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 1(－2，－1，－4)．(2)由于点P 关于xOy 平面对称后，它在x 轴、y 轴的分量不变，在z 轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P 2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P 3(x ，y ，z )，则点M 为线段PP 3的中点．由中点坐标公式，可得x ＝2×2－(－2)＝6，y ＝2×(－1)－1＝－3，z ＝2×(－4)－4＝－12，所以P 3(6，－3，－12)． 知识点三 空间向量的坐标表示若),,(),,(2211y x B y x A 则),(1212y y x x --=。
第03讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)高二数学讲义(人教A版2019
所以 M 1M 2 ( 2, 0, 6) .
2
2
2
考点五：空间两点中点坐标的运算
x1 x2 y1 y2 z1 z2
,
,
2
2
2
空间中有两点 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则线段 AB 的中点 C 的坐标为
.
考点六：向量加减法、数乘、数量积的坐标运算
若 a x1 , y1 , z1 , b x2 , y 2 , z 2 ，则
x 2 y 2z 2 0
x2 y2 z2
② a b a b 0 x1x 2 y1 y 2 z1z 2 0
规定： 0 与任意空间向量平行或垂直
典型例题
题型一：空间向量的坐标表示
【例 1】
（2022·江苏·高二课时练习）已知 O 0,0,0 ， N 5, 1, 2 ， A 4, 2, 1 ，若 ON AB ，则点 B 的坐标
点 P 关于坐标平面 xOz 的对称点是 P7 x, y , z .
考点四：空间中向量的坐标运算及距离公式
①空间中知道两点求向量：若 A x1 , y1 , z1 , B x2 , y2 , z 2 ，则
AB OB OA x 2 , y 2 , z 2 x1 , y1 , z1 x 2 x1 , y 2 y1 , z 2 z1
点 P 关于纵轴(y 轴)的对称点是 P3 x , y , z ；
点 P 关于竖轴(z 轴)的对称点是 P4 x , y , z ；
高二数学最新课件-96空间向量的坐标运算1空间直角坐标
i
x
O j
y
间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底i, j, k中与向A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
三、向量的直角坐标运算.
设
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a (a1 , a2 , a3 )( R); a b a1b1 a2b2 a3b3 ; a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) 则
设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则
AB=OB-OA=(x2,,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标. 空间向量坐标运算法则，关键是注意空 间几何关系与向量坐标关系的转化，为此在 利用向量的坐标运算判断空间几何关系时， 首先要选定单位正交基，进而确定各向量的 坐标。
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a b
D1
Z
例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE
空间向量运算的坐标表示(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册1
向量表示
坐标表示
加法
a+b
减法
a—b
数乘
λa
λ∈R
数量积
空间向量的坐标运算a2,
知 识 点1设a=(a₁,
有
做一做：设{i,j,k} 是空间向量的一个单位正交基底，a= 2i—4j+5k,b=i+2j—3k, 则a+b 的坐标是(3,—2,2) _.
[解析] a=(2,—4,5),b=(1,2,—3),故a+b=(3,—2,2).
设P₁(x₁,y₁,z₁),P₂(x₂,y₂,z₂) 是空间中任意两点，则|P ₁ P₂ I=IP₁ P₂ I(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)² .思考2: 已知点A(x,y,z), 则 点A 到原点的距离是多少?提示：| OAI=10A|= √x²+y²+z.
(1)一个向量的坐标等于这个向量的终点的坐标减去起点的坐标.(2)空间向量的坐标运算法则类似于平面向量的坐标运算，牢记运算 公式是应用的关键.(3)运用公式可以简化运算：(a±b)²=a²± 2a.b+b²;(a+b)·(a—b)=a²—b2.
空间向量的坐标运算注意以下几点：
[规律方法]
[规律方法] 向量平行与垂直问题主要题型(1)平行与垂直的判断.(2)利用平行与垂直求参数或解其他问题，即平行与垂直的应用.解 题时要注意：①适当引入参数(比如向量a,b 平行，可设a=λb), 建立关 于参数的方程；②最好选择坐标形式，以达到简化运算的目的.
第一章空间向量与立体几何
1.3 空间向量及其运算的坐标表示1.3.2 空间向量运算的坐标表示
课程目标1. 掌握空间向量的线性运算的坐标表示.2.掌握空间向量的数量积的坐标表示.教学目标1.会利用空间向量的坐标运算解决简单的运算问题. (数学运算)2.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或 垂直. (逻辑推理、数学运算)3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间的距离公式，并能运用 这些公式解决简单几何体中的问题. (逻辑推理、数学运算)
《空间向量运算的坐标表示》知识解读
《空间向量运算的坐标表示》知识解读1、空间向量的坐标在空间直角坐标系O xyz -中,分别沿x 轴、y 轴、z 轴正方向作单位向量,,i j k ,这三个互相垂直的单位向量就构成空间向量的一组基{,,}i j k ,这组基叫作标准正交基.根据空间向量基本定理,对于任意一个向量p ,都存在唯一的三元有序实数组(,,)x y z ,使得p xi yj zk =++反之,任意给出一个三元有序实数组(,,)x y z ,,也可找到唯一的一个向量x y z =++p i j k 与之对应.这样,就在空间向量与三元有序实数组之间建立了一一对应的关系,把三元有序实数组(,,)x y z 叫作向量p 在标准正交基{,,}i j k 下的坐标,记作(,,)x y z =p单位向量,,i j k 都叫作坐标向量.,,x y z i j k 实际上分别是向量p 在,,i j k 方向上所作的投影向量,,,x y z 分别是向量p 在,,i j k ,方向上所作投影向量的数量. 在空间直角坐标系O xyz -中,对于空间任意一个向量p ,一定可以把它平移,使它的起点与原点O 重合,得到向量OP =p ,.若点p 的坐标为(,,)x y z ,由空间向量的加法不难得出OP =x y z ++i j k (如图),于是向量OP 的坐标也是(,x y ,)z(1)标准正交基是两两互相垂直且长度为1的向量,即i i ⋅=1,0.⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=j j k k i j j k i k(2)只有在标准正交基下的分解才是空间向量的坐标,其他基下的分解不是向量的坐标.空间中任一向量的坐标是唯一的. (2)空间向量的坐标表示 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b ,则()121212,,.x x y y z z +=+++a b ()121212,,.x x y y z z -=---a b()111,,().x y z λλλλλ=∈R a 121212x x y y z z ⋅=++a b3空间向量平行和垂直的条件 设()()111222,,,,,x y z x y z ==a b . (1)向量平行的坐标表示212121,//(),,x x y y z z λλλλ=⎧⎪≠⇔=⇔=⎨⎪=⎩a b a 0b a当a 与三个坐标平面都不平行时,222111//x y z x y z ⇔==a b . (2)向量垂直的坐标表示12121200x x y y z z ⊥⇔⋅=⇔++=a b a b .4空间向量长度公式的坐标表示若()111,,x y z =a ,则||===a即||=a .空间向量长度公式表示的是向量的长度,其形式与平面向量长度公式一致,它的几何意义是相应长方体的体对角线的长度. 5空间向量夹角公式的坐标表示 若()()111222,,,,,x y z x y z ==a b 则cos ,||||⋅〈〉==a ba b a b空间向量坐标运算实质上是平面向量坐标运算的推广(只是在平面向量坐标的基础上增加了一个的坐标),与平面向量的坐标运算相比,空间向量的坐标运算适用范围更广,它可以解决立体几何中的相关问题.。
高二数学人教A版选修2-1课件：3.1.5 空间向量运算的坐标表示(共22张ppt)
2.两个向量夹角公式
cos a,b a b
a1b1 a2b2 a3b3
ห้องสมุดไป่ตู้
.
| a || b |
a12 a22 a32 b12 b22 b32
注意：
rr
rr
（1）当
cos
a
r
,b
r
1
E1 B1
立空间直角坐标系 Dxyz ，则
3 B(1 , 1 , 0) , E1(1 , 4 , 1) ,
D
A
x
C
y
B
D(0 , 0 , 0)
,
1 F1(0 , 4
，1) .
uuuur BE1
(1
,
3 4
,
1)
(1
,
1
,
0)
(0
,
1 4
,
1)
,
uuuur DF1
(0
,
1 4
，1)(0 , 0 , 0) (0 ,
1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单 几何体的顶点坐标.
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个 向量的共线或垂直.（重点）
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离 公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
（难点）
探究点1 空间向量运算的坐标表示
r
r
设r a r (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)则
arb(a1ab11,
a2b2
a2 ,
a3
a3b3
), (
;
R).
拥有梦想只是一种智力，实现梦想才 是一种能力.
2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示(解析版)
第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
②掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。
③掌握空间向量的数量积及其坐标表示。
知识梳理1.空间向量运算的坐标表示若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则：(1)a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；(2)a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)；(3)λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)(λ∈R )；(4)a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3；(5)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )；(6)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0；(7)|a |＝a ·a ＝a 21＋a 22＋a 23；(8)cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23.2．空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则：(1)AB →＝(a 2－a 1，b 2－b 1，c 2－c 1)；(2)d AB ＝|AB →|＝(a 2－a 1)2＋(b 2－b 1)2＋(c 2－c 1)2.名师导学知识点1空间直角坐标系【例1-1】（武汉期末）点(1P ，2，3)-关于xOz 平面对称的点的坐标是()A ．(1，2，3)B ．(1，2-，3)-C ．(1-，2，3)-D ．(1-，2-，3)【变式训练1-1】（河南月考）在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1，2-，4)关于y 轴对称的点为()A ．(1-，2-，4)-B ．(1-，2-，4)C ．(1，2，4)-D ．(1，2，4)2025高二上数学专题第3讲 空间向量及其运算的坐标表示（解析版）知识点2空间向量的坐标运算【例2-1】（钦州期末）已知(1a = ，2，1)，(2b = ，4-，1)，则2a b +等于()A ．(4，2-，0)B ．(4，0，3)C ．(4-，0，3)D ．(4，0，3)-【例2-2】（济南模拟）已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.(1)求a 与b 夹角的余弦值；(2)若k a ＋b 与k a －2b 互相垂直，求k 的值；(3)设|c |＝3，c ∥BC →，求c .【变式训练2-1】（菏泽期末模拟）已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(0，－1,2)．求：(1)a ＋b ；(2)2a －3b ；(3)a ·b ；(4)(a ＋b )·(a －b )．【变式训练2-2】（烟台期末）已知A (1,0,0)，B (0，－1,1)，若OA →＋λOB →与OB →(O 为坐标原点)的夹角为120°，则λ的值为()A.66B ．－66C ．±66D ．±6知识点3空间两点间的距离【例3-1】（淄博调研）已知△ABC 的三个顶为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为()A ．2B ．3C ．4D ．5【变式训练3-1】（温州期中）点(1M -，2，3)是空间直角坐标系Oxyz 中的一点，点M 关于x 轴对称的点的坐标为，||OM =．名师导练A 组-[应知应会]1．（安徽期末）空间直角坐标系中，点(2P ，1-，3)关于点(1M -，2，3)的对称点Q 的坐标为(()A ．(4，1，1)B ．(4-，5，3)C ．(4，3-，1)D ．(5-，3，4)2．（金牛区校级期中）点(3A ，2，1)关于xOy 平面的对称点为()A ．(3-，2-，1)-B ．(3-，2，1)C ．(3，2-，1)D ．(3，2，1)-3．（东阳市校级月考）已知点(1A ，2-，3)，则点A 关于原点的对称点坐标为()A ．(1-，2，3)B ．(1-，2，3)-C ．(2，1-，3)D ．(3-，2，1)-4．（茂名期末）已知向量(1,1,2)a =-- 及(4,2,0)b =- 则a b + 等于()A ．(3-，1，2)-B ．(5，5，2)-C ．(3，1-，2)D ．(5-，5-，2)5．（高安市校级期末）已知空间向量()()()1,,1,3,1,,,0,0,,(a xb yc z a b c xyz =-==+= 则的值为)A ．2±B ．2-C ．2D ．06．（丰台区期末）已知(2AB = ，3，1)，(4AC = ，5，3)，那么向量(BC = )A ．(2-，2-，2)-B ．(2，2，2)C ．(6，8，4)D ．(8，15，3)7．（多选）（三明期末）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，5AB =，4AD =，13AA =，以直线DA ，DC ，1DD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则()A ．点1B 的坐标为(4，5，3)B ．点1C 关于点B 对称的点为(5，8，3)-C ．点A 关于直线1BD 对称的点为(0，5，3)D ．点C 关于平面11ABB A 对称的点为(8，5，0)8．（公安县期末）在空间直角坐标系中，已知两点(5P ，1，)a 与(5Q ，b ，4)关于坐标平面xOy 对称，则a b +=．9．（温州期末）在平面直角坐标系中，点(1,2)A -关于x 轴的对称点为(1,2)A '--，那么，在空间直角坐标系中，(1B -，2，3)关于x 轴的对称轴点B '坐标为，若点(1C ，1-，2)关于xOy 平面的对称点为点C '，则||B C ''=．10．（浙江期中）空间直角坐标系O xyz -中，点(1M ，1-，1)关于x 轴的对称点坐标是；||OM =．11．（兴庆区校级期末）已知(2a = ，3-，1)，(2b = ，0，3)，(1c = ，0，2)，则68a b c +-= ．12．（辽阳期末）已知向量(2,3,1)a =- ，(1,2,4)b =- ，则a b +=．13．（越秀区期末）已知点(1A ，2，0)和向量(3a = ，4，12)-，若2AB a = ，则点B 的坐标是．14．（黄浦区校级月考）已知向量(7,1,5),(3,4,7)a b =-=- ，则||a b +=15．（青铜峡市校级月考）已知点A ，B 关于点(1P ，2，3)的对称点分别为A '，B '，若(1A -，3，3)-，(3A B ''= ，1，5)，求点B 的坐标．16．（福建期中）已知空间三点(1A -，2，1)，(0B ，1，2)-，(3C -，0，2)（1）求向量AB AC与的夹角的余弦值，（2）若向量3AB AC AB k AC -+与向量垂直，求实数k 的值．17．（扶余县校级月考）（Ⅰ）设向量(3a = ，5，4)-，(2b = ，0，3)，(0c = ，0，2)，求：()a b c -+ 、68a b c +- ．（Ⅱ）已知点(1A ，2-，0)和向量(1a =- ，2，3)求点B 坐标，使向量AB 与a同向，且．B 组-[素养提升]1.（襄阳期中）已知向量a，b ，c 是空间的一个单位正交基底，向量a b + ，a b - ，c 是空间的另一个基底，若向量p 在基底a，b ，c 下的坐标为(3，2，1)，则它在a b + ，a b - ，c 下的坐标为()A ．15(,,1)22B ．51(,1,)22C ．15(1,,22D ．51(,,1)222.（安庆质检）已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．(1)若AP →∥BC →，且|AP →|＝214，求点P 的坐标；(2)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积．第3讲空间向量及其运算的坐标表示新课标要求①了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
第04讲 空间向量及其运算的坐标表示 2024年新高二暑假数学专题化复习与重点化预习(解析版)
【典题１】在空间直角坐标系０－ｘｙｚ中，点（１，－２，３）关于ｘ轴对称的点的坐标为（ ）
Ａ．（－１，２，－３） Ｂ．（１，２，－３）
Ｃ．（１，－２，－３） Ｄ．（－１，－２，－３）
【答案】Ｂ
【分析】根据给定条件，利用关于坐标轴对称的特点求出坐标即可．
【详解】点（１，－２，３）关于ｘ轴对称的点的坐标为（１，２，－３）．
λā＝（λａ？ ，λａ？，λａ？） （λ∈Ｒ）
ａ·ｂ＝ａ？ ｂ？＋ａ？ ｂ？＋ａ？ ｂ？，
ａ ｜｜ｂ ＝ ａ？＝λｂ？，ａｚ＝λｂ？，ａ？＝ λｂ？（λ∈ Ｒ）
ａ１ｂ＝ａ·ｂ＝０＝ ａ？ｂ？＋ａ？ ｂ？＋ａ？ ｂ？＝０，
②若Ａ（ｘ？，ｙ？，ｚ？）， Ｂ（ｘ？，ｙ？，ｚ？），则 ＡＢ＝（ｘ？－ｘ？，ｙ？－ｙ？，Ｚ？－ｚ？）．
交于点Ｄ，
则ＢＤ，ＢＢ？，ＢＡ三线两两垂直，可建立空间直角坐标系得各个点的坐标． 【详解】在平面ＢＢ？Ｃ？Ｃ上过Ｂ点作垂直ＢＢ？的直线，与ＣＣ？相交于点Ｄ，
如图所示，ＡＢ１侧面ＢＢ？Ｃ？Ｃ，ＢＤｃ侧面ＢＢ？Ｃ？Ｃ，ＢＢ？ｃ侧面ＢＢ？Ｃ？Ｃ，∴ ＡＢＩＢＤ，ＡＢＩＢＢ？，
又∵ＢＢ？ＩＢＤ，所以ＢＤ，ＢＢ？，ＢＡ两两垂直，以Ｂ为原点，
０ｙｚ平面，它们把空间分成八个部分．
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向ｘ轴的正方向，食指指向ｙ轴的正方向，如果中指指向ｚ轴的正方向，
则称这个坐标系为右手直角坐标系．
２
；
ｙ
ｘ
（２）空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系０－ｘ ｙ ｚ中，对空间任一点Ａ，存在唯一的有序实数组（ｘ ，ｙ，ｚ），使ＯＡ＝ｘｉ＋ｙｊ＋
求解． 【详解】法一：设点Ｍ在ｘ轴、ｙ轴、ｚ轴上的射影分别为Ｍ？，Ｍ？，Ｍ？，
1.3.2+空间向量运算的坐标表示+课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
z
如图示,以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,
证明：
设正方体的棱长为 2 ,则有
D1
F
A1
B1
E (2,2,1), F (1,1,2), D(0,0,0), A1 (2,0,2).
∴ EF ( 1, 1,1)，
DA1 (2,0,2).
∴ EF DA1 ( 1, 1,1) (2,0,2) 1 2 ( 1) 0 1 2 0,
3
3
3 3
C'
B'
A'
M
C
O
1
1 2
2 2 2
5
2
∴MN ( a a ) (a a ) ( a 0)
a.
3
3
3
3
3
A
x
N
B
y
思
练习巩固
5. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 AB 2 BB1，则AB1与BC1所成角的大
小为( B ).
(A) 60°
(B) 90°
平面向量坐标运算
空间向量坐标运算
a b a b = 0 a1b1 a2b2 0
a b a b=0 a1b1 a2b2 a3b3 0
a a a a a2
a a a a12 a2 2 a32
2
1
ab
cos a, b
| a || b |
解得z 3,∴M (0,0, 3).
思
思
课本P21
练习巩固
4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，
向量坐标知识点总结高中
向量坐标知识点总结高中一、向量坐标的概念向量是具有大小和方向的物理量。
在坐标系中，我们可以用坐标表示向量的位置。
向量坐标表示了向量在空间中的位置和方向。
向量的坐标通常用一组有序数对或有序数组来表示，这些数对或数组就是向量的坐标，也被称为分量。
在笛卡尔坐标系中，向量的坐标可以表示为一个n维空间，即n个坐标数的有序组。
二、向量坐标的表示方法1. n维向量的表示在n维空间中，向量的表示方法是用n个有序数组成的有序数对(a1, a2, ..., an)来表示。
这种表示方法也被称为向量的分量表示。
例如，一个三维空间中的向量可以表示为(a1, a2,a3)。
2. 向量的坐标表示在二维空间中，一个向量的坐标可以表示为一个有序数对(x, y)，在三维空间中，一个向量的坐标可以表示为一个有序数组(x, y, z)。
而在n维空间中，一个向量的坐标表示为一个有序数组(x1, x2, x3, ..., xn)。
3. 向量的坐标表示的意义向量的坐标表示出了向量在空间中的位置和方向。
通过坐标表示，我们可以方便地进行向量的运算，并求出向量的模长、方向余弦等属性。
三、向量坐标的运算1. 向量加法在向量坐标中，向量的加法就是将两个向量的对应分量相加。
例如，向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)相加得到的结果向量为A+B=(a1+b1, a2+b2)。
向量的加法满足交换律和结合律。
2. 向量的数乘向量的数乘就是将向量的每一个分量乘以一个实数。
例如，向量A(a1, a2)数乘k得到的结果向量为kA=(ka1, ka2)。
向量的数乘满足分配律和结合律。
3. 向量的减法向量的减法是将两个向量的对应分量相减。
例如，向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)相减得到的结果向量为A-B=(a1-b1, a2-b2)。
4. 向量的夹角两个向量之间的夹角可以通过它们的坐标表示来求解。
设向量A(a1, a2)和向量B(b1, b2)，它们之间的夹角θ可以通过以下公式计算得到：cosθ=(a1b1+a2b2)/(|A||B|)，其中|A|和|B|分别表示向量A和向量B的模长。
原创1：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
跟踪训练
设a＝(1，－2,4)，求同时满足下列条件的向量x：
①Ԧx⊥a；②|Ԧx|＝10；③Ԧx在yOz平面上．
解：由③知，可设Ԧx=(0,y,z)
由①知，-2y+4z=0
由②知，y2+z2=100
解得：y=4 5，z=2 5
或y=−4 5，z=−2 5
∴Ԧx=(0，4 5， 2 5)或Ԧx=(0，−4 5， −2 5).
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
则a＋b＝_______________________，
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
a－b＝_______________________，
λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b＝___________________，
空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任一向量a，由空间向量分解定理可知，
存在有序实数组{x，y，z}，使得a= xԦi + Ԧj +zkԦ
x，y，z称为向量p在单位正交基底下的坐标，
记作a=(x，y，z).
Ԧi
x
kԦ
a
O
Ԧj
y
知识点二：空间向量的坐标运算
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b2)，
解：由已知， a ∙ < 0
即6m-6<0
解得：m＜1
又显然a与b不共线
∴m的取值范围是(-∞，1)
归纳小结
1．注意正确写出各点的坐标，利用坐标运算可解决许多
以前的复杂问题．
2．数量积及夹角公式也是计算立体角相关题的有力工具，但要记
住角的范围，避免错误．
3．有关平行与垂直及共面、共线的结论应用广泛一定要掌握好！
高二数学第二十六讲 空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算【知识要点】1．单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→k j i ,,表示．2．空间直角坐标系在空间选定一点O 和一个单位正交基底⎭⎬⎫⎩⎨⎧→→→k j i ,,，以点O 为原点，分别以→→→k j i ,,的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴，则建立了一个空间直角坐标系O—xyz ，点O 叫原点，向量→→→k j i ,,都叫坐标轴．注：①笛卡尔系．②右手系 3．空间向量的坐标①坐标()z y x a ,,=． ②向量的坐标记法：→→→→++=k z j y i x a ．③点的坐标()z y x A ,,．④两点的距离公式：设点()()22221111,,,,,z y x P z y x P ，则． 4．向量的数量积①向量→a 和→b 的夹角，记为：<→→b a ,>，且π≤><≤→→b a ,0． ②正射影． ③数量积．称)cos(→→→→→→⋅⋅⋅=⋅b a b a b a 为空间两个向量→a ，→b 的数量积，又称点乘积，内积． 性质：（1）)()(→→→→⋅=⋅b a b a λλ（2）→→→→⋅=⋅a b b a（3）→→→→→→→⋅+⋅=⋅+c b c a c b a )(（4）→→→→⋅≤⋅b a b a ．注：→→→→→→=⇒⋅=⋅c a c b b a ．5．向量坐标运算法则，设()()222111,,,,,z y x b z y x a ==→→． （1）()212121,,z z y y x x b a +++=+→→ （2）()212121,,z z y y x x b a ---=-→→ （3）()321,,x x x a λλλλ=→（4）212121z z y y x x b a ⋅+⋅+⋅=⋅→→x ()()()21221221221z z y y x x P P -+-+-=→6．空间向量平行和垂直的条件，设向量()()222111,,,,,z y x b z y x a ==→→（1）→a ∥212121332211)0(z z y y x x ba b a b a b a b b ==⇔⎪⎩⎪⎨⎧===⇔=⇔≠→→→→λλλλ．（2）00212121=++⇔=⋅⇔⊥→→→→z z y y x x b a b a【经典例题】例1 已知ABCD 为边长等于1的正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA=2．设G 是ABC ∆的重心，E 是SD 上一点，且SE=3ED ．（1）试用基底 表示向量GE ；（2）求线段GE 的长．例2 已知空间向量b a ,满足︒>=<==120,,4,3b a b a ，试求()()b a b a 223+⋅-．例3 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：< >．例4 已知ABC ∆的三个顶点A （1,－1,7），B （3,－2,5），C （2,－3,9）．（1）试求ABC ∆的各边之长；（2）求ABC ∆的三个内角的大小；（3）写出ABC ∆的重心坐标及外心坐标．→ {}AS AD AB ,, → → →A G BFC DES1,AD AC → →A 1例5 在如图所示的正方体AC 1中，已知E 、F 、G 、H 分别是CC 1、BC 、CD 和A 1C 1的中点． 证明：AB 1⊥EH ．例6 试问向量()()()1,3,1,5,3,2,13,3,8-===c b a 是否共面？例7 如图所示，正方形ABCD 与正方形ABEF 边长均为1，且平面ABCD ⊥平面ABEF ，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若()20<<==a a BN CM ．（1）求MN 的长度；（2）当a 为何值时，MN 的长最小．【经典练习】1．已知O 、A 、B 、C 是空间四点，有下列各命题：①若存在实数y x ,，使 ，则O 、A 、B 、C 四点共面；ANFEBCD M→yOB xOA OC += → → → yOB xOA OC +=→ →z②若不存在实数y x ,，使 ，，则O 、A 、B 、C 四点不共面；③若 构成空间的一个基底，则O 、A 、B 、C 四点共面；④若 构成空间的一个基底，则O 、A 、B 、C 四点不共面．其中正确的有（ ） A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2．下列结论中，不正确的是（ ）A 、两个非零向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==垂直的充要条件是0332211=++b a b a b aB 、若()()321321,,,,,b b b b a a a a ==．则232221232221b b b a a a b a ++⋅++≤⋅C 、两个非零向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==，则()22arccos ba b a b a ⋅=⋅D 、0=⋅b a 的充要条件是0=a 或0=b3．已知空间三点()()()333222111,,,,,,,,z y x C z y x B z y x A ，则131213121312z z z z y y y y x x x x --=--=--是A 、B 、C 三点共线的（ ） A 、充分但不必要条件 B 、必要但不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件4．模等于72且方向与向量()3,2,1=a 相同的向量为 ．5．已知()()C B A ,1,5,2,3,1,4-为线段AB 上一点，满足 ，则点C 的坐标为 ．6．设c b a ,,是任意的非零向量，且互不共线，则下列四个命题 ①()()0=⋅-⋅b a c c b a②b a b a -<-③()()b a c a c b ⋅-⋅不与c 垂直； ④()()22492323b a b a b a -=-⋅+．其中是真命题的有（ ） A 、①②B 、②③C 、③④D 、②④7．如果向量b a ,满足2,3==b a 且︒>=<60,b a ，那么=⋅b a ．8．如果1,2,4==-=+b b a b a ，则=a ．9．如果3,2=-=+b a b a ，且41,cos >=-+<b a b a ，则=a ，=b ．10．已知向量k j i a -+=3λ与向量k j i b μ++=4，则=λ ，=μ ． 11．已知()()12,4,2,2,1,10,5,02==⋅--=--=+b c a c b a ，则>=<c b , ．12．已知()()211,4,3,0,3,1b b b a +=-==，其中1b ∥a ，a b ⊥2，则=1b ，=2b ．13．如图所示，已知线段AB ⊥平面BC ,α α，BC CD ⊥，DF ⊥平面α，且︒=∠30DCF ，D 与A 在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求 的模．→ OC OB OA ,, → → → OC OB OA ,, → → AB AC 31= → → ⊂ ≠AD →14．如图，点O 是正ABC ∆平面外的一点，若OA=OB=OC=AB=1，E 、F 分别是AB 、OC 的中点，试求 与 所成的角．15．如图，ABOD 与ODEF 都是边长为2的正方形，且OF BO ⊥，点P 是AF 的中点． （1）求OP ；（2）求异面直线BD 与OP 所成的角．16．如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求向量 与 的夹角的大小．17．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1AB 、AD 的中点，计算（1） （2） （3） ．OE→ BF → 1BC →AC →BA EF ⋅ → → BD EF ⋅ → → DC EF⋅ → → x1D 1A 1BDCE O F18．如图所示,已知平行六面体ABCD- A 1B 1C 1D 1中，AB=4，AD=3，AA 1=5，=∠︒=∠1,90BAA BAD ︒=∠601DAA ．求 的值．19．已知向量()()2,3,6,4,2,4--=-=b a ．求a b a ,⋅及()()b a b a 232-⋅+．20．已知点A(2,―5,―1)，B(―1,―4,―2)，C(3+λ,－3,μ)在同一直线上，求实数λ与μ的值．1AC →1。
空间向量及其运算的坐标表示(课件)高二数学《知识素养思维》精讲课件(人教A版2019选择性)
x
横轴
2 空间点的坐标
z
P
k
p
Oj i
y
x
Q
点P的位置与有序实数对(x, y, z)一一对应. 称(x, y, z)为点 P在空间直角坐标系中的坐标; x, y, z依次叫做点P的横坐标、
纵坐标、竖坐标. 记作：P(x, y, z)
特殊位置的点的坐标
z
•C
1
•E
F•
O• 1 •B
•A1 • D
x
心题 素
(2)求EB’与A’C’所成角的余弦值.
养
z
之
数解
学
建 模答
y
+
数
学
x
运
算方
法
引入空间向量坐标运算之后，只要将元素向量化，就将几何
总 关系转化为代数关系，利用代数计算就可解决几何问题.
结
1.3空间向量及其运算的坐标表示
思维篇
素养篇 知识篇
问 1.如图，正三棱柱ABC-A'B'C'底面边长为2，E、F分别
核 心题 素 养
求△ABC的面积.
之 逻解 辑 推 理答
+
数 学 运方
算 法 1.空间三角形也就是平面三角形，故面积公式依然可用；
总 结
2.本题还可以先求一边上的高，再算面积.
3.如图，正方体ABCD-A’B’C’D’的边长为2，M、N、E分
问 核
别为AB、DD’、BC中点. (1)求证：MN⊥EB’ ;
点P的位置 原点O x轴上A y轴上B z轴上C
坐标形式 (0,0,0) (x,0,0) (0, y,0) (0,0, z)
点P的位置 xOy面内D yOz面内E zOx面内F y 坐标形式 (x, y,0) (0, y, z) (x,0, z)
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高二数学空间向量的坐标运算【本讲主要内容】空间向量的坐标运算空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，空间向量的坐标运算，空间向量平行，垂直的坐标表示形式。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 空间直角坐标系（1）单位正交基底，空间直角坐标系，右手直角坐标系（2）坐标：在空间直角坐标系O-xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA →，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使OA xi yj zk =++，则实数组（x ，y ，z ）叫做点A 在此空间直角坐标系中的坐标。
2. 向量的直角坐标运算设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则a b a b a b a b +=+++()112233，，a b a b a b a b -=---()112233，，a b a b a b a b ⋅=++112233a b a b a b a b R //⇔===∈112233λλλλ，，，或a b a b a b 112233==a b a b a b a b ⊥⇔++=11223303. 夹角和距离公式（1）夹角公式：设a a a ab b b b ==()()123123，，，，，则cos <>=++++⋅++a b a b a b a b a a a b b b ，112233122232122232（2）距离公式：设A x y z B x y z ()()111222，，，，， 则d x x y y z z AB =-+-+-()()()122122122（3）平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作a ⊥α。
如果 a ⊥α，那么向量a 叫做平面α的法向量。
【解题方法指导】1. 在证明线线平行时，利用a b a b //⇔=λ即()()a a a b b b 123123，，，，=λλλ，在证明线面平行或面面平行时，需转化为线线平行问题。
2. 在证明线线垂直时，利用a b a b ⊥⇔⋅=0即a b a b a b 1122330++=，在证明线面垂直或面面垂直时，需转化为线线垂直问题。
3. 在计算异面直线所成角时，转化为求向量的夹角，cos ||||θ=⋅⋅ a ba b即cos θ=++++⋅++a b a b a b a a a b b b 1122331222321222324. 利用平面的法向量解决立体几何的角和距离的问题应首先了解如何利用空间坐标求法向量，方法是：设n 是平面ABC 垂直的一个向量，已知A a b c ()111，，，B a b c ()222，，，C a b c ()333，，，可通过解方程组 n AB nAC ⋅→=⋅→=⎧⎨⎪⎩⎪00，求得法向量n （其中可设 n x y =()，，1或()1，，x y 或()x y ，，1）利用平面的法向量可以解决以下几个方面的问题：（1）求线面角，如图，AB 为平面α的斜线， n 为平面α的法向量，如果AB →与n 之间所成的角ϕ为锐角，则斜线AB 与平面α所成的角θπϕ=-2。
（2）求二面角，如图，设θ表示欲求的二面角α—l —β的平面角，又设n n 12，分别表示平面α及β的法向量，这两个法向量的方向应当满足如下条件：当α或β半平面绕其棱转动到与另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在此条件下cos ||||θ=⋅⋅ n n n n 1212。
BAnϕ θα（3）求点到面的距离，求点P 到平面M 的距离d ，可以在平面M 上任取一点A ，则PA→在M 的单位法向量n 0上的射影长就是所求的距离：d AP n AP n n =→⋅=→⋅||||0（n 为平面M 的一个法向量）例1. 如图，在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点 （1）求直线AO 1与B 1E 所成角的大小（2）作O 1D ⊥AC 于D ，求点O 1到D 的距离思路：建立空间坐标系，把向量坐标化。
解：（1）由题意：A （2，0，0），O 1（0，0，2），B 1（2，3，2），E （1，3，0）∴→=-→=--AO B E 11202102()()，，，，，∴<→→>=→⋅→→⋅→=-cos ||||AO B E AO B E AO B E 1111111010， ∴AO 1与B 1E 所成角为arccos 1010（2）由题意：O D AC AD AC 1→⊥→→→，//∵C （0，3，0），设D （x ，y ，0）∴O D x y AD x y 1220→=-→=-()，，，（，，） AC →=-()230，，∴-+=--=⎧⎨⎪⎩⎪220223x y x y解得x y ==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪18131213∴D()181312130，， ∴=→=||||O D O D 11228613点评：解决本题的关键是将空间几何向量化，将向量坐标化，从而使问题代数化，即将问题转化为运算推理。
例2. 如图，已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1和C 1D 1的中点，求A 1到平面DBEF 的距离。
y思路：本题可以通过解出A 1到平面DE 的垂线段来求；也可以利用几何体的性质，建立坐标系，通过平面的法向量以及向量在法向量上的射影，求点到平面的距离。
解：如图，建立坐标系则A 1（1，0，1），B （1，1，0），D （0，0，0），F （0，12，1），A （1，0，0） ∴→=DB ()110，，，DF →=()0121，，，A B 1011→=-（，，）设平面DBEF 的法向量是)z y 1(n ，，=则有 n DB n DF ⋅→=⋅→=⎧⎨⎪⎩⎪00，可得x y z ==-=1112，，∴=-n ()1112，，则A 1到平面DBEF 的距离为 n A B n ⋅→=-⋅--=1111201111121||()()|()|，，，，，， 点评：通过平面的法向量以及向量在法向量上的射影是求点到平面距离的常用方法。
【考点突破】【考点指要】从近年以来的新课程高考试题中可以看出，在新增内容中，立体几何为必考内容，而空间向量法解决立体几何问题可以大大简化分析证明的过程，充分体现数形结合思想。
【典型例题分析】例1. 如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，求异面直线A 1B 与B 1C 所成角的大小（结果用反三角函数表示）1AA B剖析：方法1：平移法方法2：向量法，建立适当的空间直角坐标系，运用向量的坐标运算可求解。
解：（只提供方法2）如图，以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系。
则A1（4，0，3），B（4，4，0），B1（4，4，3），C（0，4，0）以A B B C11043403→=-→=--（，，），，，()以A B1→与B C1→夹角为θ∴=→⋅→→→=cos||||θA B B CA B B C1111925∴异面直线A1B与B1C所成的角为arccos925例2. 如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE＝EB，F为CE 上的点，且BF⊥平面ACE（1）求证：AE⊥平面BCE（2）求二面角B—AC—E（3）求点D到平面ACE的距离y证明：（1）∵BF ⊥平面ACE ，∴BF ⊥AE ∵二面角D —AB —E 是直二面角，且CB ⊥AB ∴CB ⊥平面ABE ，∴CB ⊥AE ∴AE ⊥平面BCE（2）以线段AB 的中点为原点O ，OE 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，过O 点平行于AD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O —xyz 。
∵AE ⊥面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴AE ⊥BE在Rt △AEB 中，AB ＝2，O 为AB 的中点，故OE ＝1 于是A （0，-1，0），B （0，1，0），E （1，0，0），C （0，1，2）AE →=()110，，，AC →=()022，，设平面AEC 的一个法向量n x y z =()，，则AE n AC n →⋅=→⋅=⎧⎨⎪⎩⎪0，即x y y z +=+=⎧⎨⎩0220解得x yy z =-=-⎧⎨⎩令y =-1，得n =-()111，，又平面BAC 的一个法向量m =()100，，，故cos ||||<>=⋅⋅= m n m n m n ，33∴二面角B —AC —E 的大小为arccos33。
（3）∵AD//z 轴，AD ＝2，∴AD →=()002，，∴点D 到平面ACE 的距离d AD AD n AD n n =→⋅<→⋅>=→⋅=||cos ||||233【综合测试】一. 选择题1. 下列各组向量不平行的是（ ）A.a b ==-()()100300，，，，，B.a b ==()()010101，，，，，C. a b =-=-()()011011，，，，，D.a b ==()()100000，，，，，2. 下列各组向量共面的是（ ）A.a b c ===()()()123302425，，，，，，，，B.a b c ===()()()100010001，，，，，，，， C.a b c ===()()()110101011，，，，，，，， D.a b c ===()()()111110101，，，，，，，，3. 已知向量a xb y ==()2422，，，（，，），若|| a =6，且 a b ⊥，则x+y 的值为（ ）A. -3或1B. 3或-1C. -3D. 14. 已知向量a b x y ==()()2453，，，，，，若 a b //，则（ ） A. x y ==615， B. x y ==3152， C. x y ==315， D. x y ==6152，二. 填空题5. 已知向量a b k =-=()()23003，，，，，，若 a 与 b 成120°角，则k ＝________。
6. 已知空间三个向量a zb xc y =-=-=-()()()122413，，，，，，，，，若它们两两垂直，则x ＝__________，y ＝__________，z ＝_________。
三. 解答题7. 如图直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点。
（1）求BN →的长；（2）求直线A 1B 与B 1C 所成的角； （3）求证：A 1B ⊥C 1MA综合测试答案1. B提示：A. b a =-3；C. b a =-；D.b a =⋅0 2. A提示： c a b =+，故a b c ，，共面 3. A提示：a b a b ⊥⇔⋅=0，∴++=4420y x又||a x =++=41662，∴=±x 4∴==-⎧⎨⎩x y 43或x y =-=⎧⎨⎩41∴+=x y 1或-3 4. D提示：a b b a x y //)()⇔=∴(=λλ，，，，，3245 ∴===λ326152，，x y5. -39 提示：a b k k ⋅==⋅+⋅-2139122()，∴=-k 39 6. x y z =-=-=-642617，，提示：依题可得方程组x z x y y z --=-+-=-+=⎧⎨⎪⎩⎪440212012307. 以C 为原点，CA →为x 轴，CB →为y 轴，CC 1→为z 轴建立坐标系 ①依题意B （0，1，0），N （1，0，1）则||BN →=3②A 1（1，0，2），B （0，1，0），C （0，0，0），B 1（0，1，2）∴→=-→=BA CB 11112012()()，，，，， ∴→⋅→=→=→=B A CB BA CB 1111365，，||||∴<→→>=cos BA CB 113010， ∴A 1B 与B 1C 所成角arccos 3010 ③C 1（0，0，2），M （12122，，）A B 1112→=--()，， ∴→=C M 112120()，，∴→⋅→=∴→⊥→A A 11110BC M B C M ， ∴⊥A B C M 11。