小学奥数-乘除法中的巧算(含答案)

乘除法中的巧算

同学们好！我们学习了加、减、连加、连减的混合运算律，可利用加法的运算定律或连减及加减的混合运算的性质进行简便运算。而乘、除法更有着一些巧妙的简便算法，下面共同学习。

（一）学习指导

首先认识乘法交换律：

乘法结合律：

如：

或

利用这些定律，可以使式题简便，同时可以推广到多个数相乘，我们可以选择两个因数相乘，得出较简单的（整十、整百、整千……）积，再将这个积与其它因数相乘，有时也可以把某个因数再分解成两个因数，使其中一个因数与其它的乘数的积成为较简单的数，然后再与其它的因数相乘，这样就可以进行巧算。

例1. 用简便方法计算。

（1）（3）

（2）（4）

分析：（1）可以将4和25结合起来先乘。这样：

原式

（2）可以将125和8相结合起来乘，这样：

原式

（3）可以把28变成4×7，再将125和4结合起来先乘：原式

（4）我们先把32变为4×8，再把25和4，125和8结合起来乘：

原式

利用乘法分配律，可以使一些题简便：

，这个定律可以推广，一般的有

，如，当

两个数相乘时，有时可以把一个因数变为两个数的和与另一个因数相乘，也可以把一个因数变为两个数的差与另一个因数相乘，这样计算简便。

例2. 用简便方法计算下面各题。

（1）（3）

（2）（4）

分析：（1）、（2）题可以直接用乘法分配律去计算。

（1）（2）

（3）题可以先把4004变为（），然后再用分配律计算。

（4）小题可以先把798变为（），再运用分配律计算。

例3. 巧算一个数乘以10，100，1000……

分析：一个数乘以10，就是在这个数后添0，如：430

10

43=

⨯

当一个数乘以100时，就是在这个数后添00，如：

52000

100

520=

⨯

当一个数乘以1000时，就是在这个数后添000，如：

……

例4. 巧算一个数与99相乘。

分析：先填空，再观察一个数与99相乘的规律。

观察发现：“一个数与99相乘，先在这个数后添00，再减去此数”即可。如果是一个数与999相乘，是否也具有这样的规律呢？请你先填空，再总结规律。

由此得到：几与999相乘，就用几千减去几？

例5. 巧算两位数与11相乘。

分析：

观察上面一组数，发现两位数与11相乘，只要把这个两位数打开，个位数字做积的个位，十位数字做积的百位，个位数字与十位数字相加做积的十位，如果满十，就向百位进1。

如：

方法是：两边一拉，中间相加，满十进1。

例5. 巧算三位数与11相乘。

分析：三位数与11相乘的速算方法同样可以概括为“两边拉，中间加”。注意中间是相邻位相加。

练一练：

例6. 巧算两位数与101相乘。

竖式：

１０１１０１

×４３×８９

３０３９０９

４０４８０８

４３４３８９８９

观察发现“4343、8989”，两位数与101相乘，积是把这个两位数连续写两遍。

练一练：

例7. 巧算三位数与1001相乘。

竖式：

发现：三位数与1001相乘，积是把这个三位数连续写两遍。

练一练：

例8. 根据111337=⨯，简算下面各题。 （1）37×6 （5）37×30 （2）37×9 （6）37×24 （3）37×12 （7）37×33 （4）37×15 （8）37×27

分析：我们根据

，计算下面各题。想37×6

中的因数6可以分解为2×3。所以（1）37×6＝37×3×2

＝111×2 ＝222 以此类推：

（2）37×9＝37×3×3 ＝111×3 ＝333 （3）37×12＝37×3×4 ＝111×4 ＝444 （4）37×15＝37×3×5 ＝111×5 ＝555

除法中的巧算

（一）学习方法指导

我们利用“商不变的性质”进行除法中的巧算，因为“商不变性质”，是被除数、除数同时乘以或同时除以一个数（零除外），它们的商不变。 一般有这样的公式：

或

如： 或

例1. 用简便方法计算下列各题。 （1）

（2）

分析：（1）（2）可以利用“商不变的性质”去计算。

（1）

想办法使其中一个数扩大、或缩小后成为整十、整百、整千，如25扩大4倍得100。

（2）

看到被除数，与除数末尾都有00，这样让它们同时缩小100倍。

在除法运算中，还有两个数的和，（或差）除以一个数，可以用这个数分别去除这两个数（在都能整除的情况下），再求两个商的和或差。

一般公式：

如：

这个性质可以推广到多个数的和除以一个数的情况。

例2. 用简便方法计算。

（1）

（2）

分析：这两题都可以运用以上性质去解答，就是“两个数的和（差）除以一个数”的除法运算性质。

（1）（2）

除了以上性质外，使计算题简便，同时还有利用乘、除同级运算带着符号“搬家”的性质：

（1）两个数的商除以一个数，等于商中的被除数先除以这个数，再除以原来商中的除数。

一般有：

如：

（2）两个数的积除以一个数，等于用除数先去除积的任意一个因数，再与另一个因数相乘。