数学建模lingo作业-习题讲解

基础题：

1．目标规划问题

最近，某节能灯具厂接到了订购16000套A 型和B 型节能灯具的订货合同，合同中没有对这两种灯具的各自数量做要求，但合同要求工厂在一周内完成生产任务并交货。根据该厂的生产能力，一周内可以利用的生产时间为20000min ，可利用的包装时间为36000min 。生产完成和包装一套A 型节能灯具各需要2min ；生产完成和包装完成一套B 型节能灯具各需要1min 和3min 。每套A 型节能灯成本为7元，销售价为15元，即利润为8元；每套B 型节能灯成本为14元，销售价为20元，即利润为6元。厂长首先要求必须按合同完成订货任务，并且即不要有足量，也不要有超量。其次要求满意销售额达到或者尽量接近275000元。最后要求在生产总时间和包装总时间上可以有所增加，但过量尽量地小。同时注意到增加生产时间要比包装时间困难得多。试为该节能灯具厂制定生产计划。

解：将题中数据列表如下：

根据问题的实际情况，首先分析确定问题的目标级优先级。

第一优先级目标：恰好完成生产和包装完成节能灯具16000套，赋予优先因子p1；

第二优先级目标：完成或者尽量接近销售额为275000元，赋予优先因子p2； 第三优先级目标：生产和包装时间的增加量尽量地小，赋予优先因子p3； 然后建立相应的目标约束。在此，假设决策变量12,x x 分别表示A 型，B 型节能灯具的数量。

（1） 关于生产数量的目标约束。用1d -和1d +分别表示未达到和超额完成订货指

标16000套的偏差量，因此目标约束为

111121

1

min ,

..16000

z d d s t x x d d -+-

+=+++-=

要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小

（2） 关于销售额的目标约束。用2d -和2d +分别表示未达到和超额完成满意销售

指标275000元的偏差值。因此目标约束为

221222

min ,

..1520-275000.

z d s t x x d d -

-

+=++=

要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差变量要尽可能地小，(另外：d +要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小) （3） 关于生产和包装时间的目标约束。用3d -和3d +分别表示减少和增加生产时

间的偏差量，用4d -和4d +分别表示减少和增加包装时间的偏差量。由于增加生产时间要比增加包装时间困难得多，可取二者的加权系数为0.4和

0.6。因此目标约束为

+334

12331244min 0.40.6220000,..2336000.

z d d x x d d s t x x d d +

-+

-+

=+⎧++-=⎪⎨++-=⎪⎩ 综上所述，可以得到这个问题的目标规划模型为：

()()++11122334+121112221233124412min +0.40.6,

+=160001520275000,..220000,23+36000,,,,01,2,3,4.i i

z p d d p d p d d x x d d x x d d s t x x d d x x d d x x d d i --+

--+

-+-+-+=+++⎧+-⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪+-=⎪

⎪≥=⎩，

求得最优解(满意解)是节能灯具厂生产A 型灯具9000套，B 型灯具7000套，生产时间需增加5000min ，包装时间需增加3000min ，该工厂可完成16000套灯具的生产任务，工厂预期的销售总额为275000元，可以获得利润114000元。

建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它们都具有一定的主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。(大有内容) 序贯式算法是求解目标规划的一种早期算法，其核心是根据优先级的先后次序，将目标规划问题分解成一系列的单目标规划问题，然后再依次求解。多次运行求解 这里使用了lingo 的子函数功能，一次运行，就把目标规划序贯解法

的所有解全部求出来。

2. 装配线平衡模型

一条装配线含有一系列的工作站，在最终产品的加工过程中每个工作站执行一种或几种特定的任务。装配线周期是指所有工作站完成分配给它们各自的任务所花费时间中的最大值。平衡装配线的目标是为每个工作站分配加工任务，尽可能使每个工作站执行相同数量的任务，其最终标准是装配线周期最短。不适当的平衡装配线将会产生瓶颈——有较少任务的工作站将被迫等待其前面分配了较

多任务的工作站。问题会因为众多任务间存在优先关系而变得更复杂，任务的分配必须服从这种优先关系。

这个模型的目标是最小化装配线周期。有2类约束：

①要保证每件任务只能也必须分配至一个工作站来加工；

②要保证满足任务间的所有优先关系。

任务时间表

任务A B C D E F G H I J K 时间4511950151212121289

3.图论TSP 问题

设有一个销售员从10个城市中的某一个城市出发，去其他9个城市推销产品。10个城市相互距离如下表所示。要求每个城市到达一次且仅一次后，回到原出发城市。问：他应该如何选择旅行路线，使得总路程最短？

用图论描述TSP ，给出一个图G=(V,E),每边e E ∈上有非负权值()e ω，寻找G 的hamilton 圈C ,使得C 的总权值()()W C e ω=∑最小，()e E C ∈。几十年来，出现了很多近似优化算法，如近临法，贪心算法，最近插值法，最远插值法，模拟退火以及遗传算法。这里介绍利用lingo 的解法。

（1）方法一：设城市之间的距离用矩阵d 来表示，其中d 为下三角矩阵，ij d 表示城市之间的距离。设0-1矩阵用x 来表示经过的各城市之间的路线。设

01ij i j x i j ⎧=⎨⎩

若城市不到城市若城市到城市

则该TSP 问题转化为如下的线性模型：