lingo练习题目的答案

2 线性规划习题答案

1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性

答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。

线性规划数学模型特征：

（1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；

（2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线

性等式或者不等式来加以表示；

（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。

2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：

2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人

设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++

16122334455612345639125184,,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥

3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。

方法一

解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1

目标函数为求所剩余的材料最少，即

12345678min 0.90.10.300.8 1.40.2 1.1Z x x x x x x x x =+++++++

1234135781245671234567821002231003342100,,,,,,,0

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++>=++++>=+++++>=≥

方法二

解：由题意，因为所有套裁方案有21种，全部写出需考虑因素太多，故需先做简化。

又由于目标是使所用原材料最少，所以，仅需考虑最省的五个方案即可。 设x i 是第 i 种套裁方案所用的原材料根数，建立数学模型如下：（料头最省）

五种套裁方案实施后，可得的 2.9米钢筋的根数。 五种套裁方案实施后，可得的 2.1米钢筋的根数。 五种套裁方案实施后，可得的 1.5米钢筋的根数。 x 1=30, x 2=10, x 3=0, x 4=50, x 5=0 只需90根原材料，目标函数值最小为90即可。

4、某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A 、B 、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。

12 4 3451235j +2 + 100 2 +2 + 1003++ 2 +3 100 0(j=1,2,,5)

x x x x x x x x x x x ≥≥≥≥⋅⋅⋅12345

Min = 0+0.1+0.2 +0.3+0.8z x x x x x

方法一

解：设x 1，x 2，x 3分别为甲糖果中A,B,C 的成分；x 4，x 5，x 6分别为乙糖果中A,B,C 的成分； x 7，x 8，x 9分别为丙糖果中A,B,C 的成分。 由题意，有

对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型：

123456789147258369max (3.400.50)()(2.850.40)() (2.250.30)() 2.00() 1.50() 1.00()z x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-++-++-++-++11233123445664569789147258369123456,7890.60.20.150.60.5200025001200,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++≥≤≥≤≤++≤++≤++≤≥1234567891231234564567891472

5

max 0.9 1.4 1.90.450.95 1.45 0.050.450.950.40.60.600.20.20.800.850.150.1500.60.60.400.50.50.502000z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++-++-++≤--+≤-++≤--+≤--+≤++≤++8

369123456,7892500

1200

,,,,,,,0

x x x x x x x x x x x x x ≤++≤≥

方法二

解：以A 甲表示甲产品中的A 成分，B 甲表示甲产品中的B 成分，C 甲表示甲产品中的C 成分，依此类推。据表2-16，有：

35A >=甲甲，15C <=甲甲，320A >=乙乙，35C <=乙乙，1

2

A <=丙丙．

．．．．．① 其中：A +=B C 甲+甲甲甲，A +=B C 乙+乙乙乙，A +=B C 丙+丙丙丙．．．．．．② 把②逐个代入①并整理得：

203A -+<=B C 甲+甲甲，40A -+<=B C 甲-甲甲，0A +<=B C 17

-乙+乙乙3

2

03

A +<=

B

C -乙-乙乙，0A +<=B C -丙-丙丙

原材料的限制，有以下不等式成立：

A A 2000A +<=甲+乙丙，

B B B 2500+<=甲+乙丙，

C C C 1200+<=甲+乙丙

在约束条件中共有9个变量，为方便计算，分别用1x ,2x ．．．9x 表示，即令1x =A 甲，

2x =B 甲，3x =C 甲，4x =A 乙，5x =B 乙，6x =C 乙，7x =A 丙，8x =B 丙，9x =C 丙

由此约束条件可以表示为：

1231234564567891472583691234567892

-x x x 03

-x -x 4x 017

-x x x 03

2

-x -x x 0

3

-x -x x 0x +x x 2000x +x x 2500x +x x 1200

x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0

++<=+<=++<=+<=+<=+<=+<=+<=>=

我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。 目标函数为

1234567890.9 1.4 1.90.450.95 1.450.050.450.95MaxZ x x x x x x x x x =+++++-++

5、某厂在今后4个月需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，

也可同时签若干份租用面积和租借期限不