特殊平行四边形矩形的性质及判定习题练习

特殊平行四边形矩形的性质及判定

特殊的平行四边形

一、矩形的性质与判定

1．矩形的性质：

（1）四个角都是直角；

（2）对角线相等且互相平分；

（3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图）

2．矩形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；（2）有三个角是直角；（3）对角线相等的平行四边形．二、菱形的性质与判定

1．菱形的性质：

（1）四边相等；（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；

（3）面积=底×高=对角线乘积的一半．

2．菱形的判定：

（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；

（3）四条边都相等的四边形．

三、正方形的性质与判定

1．正方形的性质：

（1）四条边都相等，四个角都是直角；（2）对角线相等且互相垂直平分；

（3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB．

2．正方形的判定：

（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；

（2）一组邻边相等的矩形；（3）一个角是直角的菱形；（4）对角线相等且互相垂直、平分．

四、联系

五、中点四边形

（1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形.

（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.

（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.

（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.

考向一矩形的性质与判定

1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等．

2．利用矩形的性质可以推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

3．矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．

典例1 如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠BAO=55°，则∠AOD等于

A．105°B．110°C．115°D．120°

典例2 （2021株洲4分）如图所示，线段BC为等腰△ABC的底边，矩形ADBE的对角线AB与DE交于点O，若OD＝2，则AC＝．

练习

1．如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是

A ．A

B =BC

B ．A

C 垂直B

D C ．∠A =∠C D ．AC =BD

2、如图，在长方形ABCD 中，AB =3，BC =4，若沿折痕EF 折叠，使点C 与点A 重合，则折痕EF 的长为

A ．

B ．

C ．

D ．15

3、如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE ⊥BD ，垂足为点E ，若∠EAC ＝2∠CAD ，则∠BAE ＝（ ）

A ．60°

B ．45°

C ．30°

D ．22.5°

4．如图，矩形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝6，点F 是BC 的中点，点E 在AB 上，且AE ＝2，连接DF ，CE ，点G 、H 分别是DF ，CE 的中点，连接GH ，则线段GH 的长为（ ）

A ．2

B ．

C ．

D ．

15815415

2

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点P在AD上，点Q在BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为（）

A．8B．10C．12D．20

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC 上一点，当∠P AE＝∠DAE时，PF的长为（）

A．4B．5C．D．

8．矩形ABCD与ECFG如图放置，点B，C，F共线，点C，E，D共线，连接AG，取AG的中点H，连接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，则EH＝（）

A．B．2C．D．

9、如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的

长为．

10、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3，点P为BC边上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，连接EF，点M为EF的中点，则AM的最小值为．

11如图，在矩形ABCD中，P为矩形ABCD的边BC上任一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB ＝5，BC＝12，PE+PF＝．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC中点，点E是AD中点，延长BE至F，使EF＝BE，连接AF，CF，BF与AC交于点G，连接DG．

（1）求证：四边形ADCF是矩形．

（2）若AB＝5，BC＝6，求线段DG的长．

13．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，延长AE至点G，使EG＝AE，联结GC、CF．

（1）求证：AE∥CF；

（2）当AC＝2AB时，求证：四边形EGCF是矩形．

14．已知：如图，在▱ABCD中，AF、BH、CH、DF分别是∠BAD、∠ABC、∠BCD、∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH是矩形．

15．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝BO＝CO，∠BAC＝∠ACD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）如果点E在边AB上，DE平分∠ADB，BD＝AB，求证：BD＝AD+AE．