求函数极值的若干方法学位论文

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数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用

1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>，由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之，得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。

数学专业毕业论文选题 (1)

数学专业毕业论文选题一、计算机1.数据库图书查询管理设计2.最优轧板成品率的VFP6编程3.基于VFP6的通讯录设计4.基于Mathematicn的课件设计5.用Mathematica帮助理解中数问题6.基于VFP6的成绩统计7.实用的网上共享数据库录入程序8.通用答卷统计系统的总体设计方案9.通用答卷统计系统的录入编程10.通4用答卷统计系统的统计编程11.通用答卷统计系统的报表设计12.通用答卷统计系统的帮助系统设计二、常微分方程1.一阶常微分方程的奇解的求法(或判定)1.微分方程中的补助函数3.关于奇解的运用4.曲线的包络与微分方程的奇解5.用微分方程定义初等函数6.常微分方程唯一性定理及其应用7.求一阶显微分方程积分因子的方法8.二阶线性微分方程另几种可积类型9.满足某些条件黎卡提方程的解法10.一阶常微分方程方向场与积分曲线11.变换法在求解常微分方程中用应用12.通解中任意常数C的确定及意义13.三阶常系数线笥齐次方程的求解14.三维线性系统15.二阶常系数线性非齐次方程新解法探讨16.非线性方程的特殊解法17.可积组合法与低阶方程(方程组)三、数学分析1.多元函数连续、偏导数存在及可微之间的关系2.费尔马最后定理初探3.求极值的若干方法4.关于极值与最大值问题5.求函数极值应注意的几个问题6.n元一次不定方程整数解的矩阵解法7.导数的运用8.泰勒公式的几种证明法及其应用9.利用一元函数微分性质证明超越不等式10.利用柯西——施瓦兹不等式求极值11.函数列的各种收敛性及其相互关系12.复合函数的连续性初探13.关于集合的映射、等价关系与分类14.谈某些递推数列通项公式的求法15.用特征方程求线性分式递推数列的通项16．谈用生成函数法求递归序列通项17.高级等差数列18.组合恒等式证明的几种方法19.斯特林数列的通项公式20.一个递归数列的极限21.关于隶属函数的一些思考22.多元复合函数微分之难点及其注意的问题23.由数列递推公式求通项的若干方法24.定积分在物理学中的应用25.一个极限不等式的证明有及其应用26.可展曲面的几何特征27.再谈微分中值公式的应用28.求极限的若干方法点滴29.试用达布和理论探讨函数可积与连续的关系30.不定积分中的辅助积分法点滴四、复变函数1.谈残数的求法2.利用复数模的性质证解某些问题3.利用复函数理论解决中学复数中的有关问题3.谈复数理论在中学教学中的运用4.5.谈解析函数五、实变函数1.可测函数的等价定义2.康托分集的几个性质3.可测函数的收敛性4.用聚点原理推证其它实数基本定理5.可测函数的性质及其结构6.6.凸函数性质点滴7.凸(凹)函数在证明不等式中的应用8.谈反函数的可测性9.Lebesgue积分与黎曼广义积分关系点滴10.试用Lebesgue积分理论叙达黎曼积分的条件11.再谈CANTOR集六、高等几何1.二阶曲线渐近线的几种求法2.笛沙格定理在初等数学中的运用3.巴斯加定理在初等数学中的运用4.布里安香定理在初等数学中的运用5.二次曲线的几何求法6.二维射影对应的几何定义、性质定义、代数定义的等价性7.用巴斯加定理证明锡瓦一美耐劳斯定理8.仿射变换初等几何中的运用9.配极理论在初等几何中的运用10.二次曲线的主轴、点、淮线的几种求法11.关于巴斯加线和布利安香点的作图12.巳斯加和布利安香定理的代数证明及其应用13.关于作第四调和点的问题14.锡瓦一美耐劳斯定理的代数证明及应用15.关于一维几何形式的对合作图及应用七、概率论1.态分布浅谈3.用概率思想计算定视分的近似值3.欧拉函数的概率思想证明4.利用概率思想证明定积分中值定理5.关于均匀分布的几个问题6件概率的几种类型解题浅析7．概率思想证明恒等式8.古典概率计算中的模球模型9.独立性问题浅谈八、近世代数①集合及其子集的概念在不等式中的作用②论高阶等差数列②谈近世代数中与素数有关的重点结论④商集、商群与商环⑤关于有限映射的若干计算方法⑥关于环(Z2×2,+,、)⑦关于环(ZP2×2,+,、)(这里Zp是模p的剩余环,p为素数)⑧关于环(Z23×3,+,、)⑨关于环(zPQ2×2,+,、)(这里p、q是两个素数)⑩关于环(Znxn, +、)九、高等代数1.关于循环矩阵2.行列式的若干应用3.行列式的解法技巧4.欧氏空间与柯两不等式5.《高等代数》在中学数学中的指导作用6.关于多项式的整除问题7.虚根成对定理的又一证法及其应用8.范德蒙行列式的若干应用9.几阶行列式的一个等价定义10.反循环矩阵及其性质11.矩阵相似及其应用12.矩阵的迹及其应用13.关于整数环上的矩阵14.关于对称矩阵的若干问题15.关于反对称短阵的性质16.关于n阶矩阵的次对有线的若干问题17.关于线性映射的若干问题18.线性空间与整数环上的矩阵十、教学法1.关于学生能力与评价量化的探索2.浅谈类比在教学中的若干应用3.浅谈选择题的解法4.谈谈中学数学课自学能力的培养5.怎样培养学生列方程解题的能力6.谈通过平面几何教学提高学生思维能力7.谈数列教学与培养学生能力的体会8.创造思维能力的培养与数学教学9.数学教学中的心理障碍及其克服10.关于启发式教学11.浅谈判断题的解法12.对中学数学教学中非智力因素的认识13.数学教学中创新能力培养的探讨14.计算机辅助数学教学初探15.在数学课堂教学中运用情感教育16.在数学教学中恰当进行数学实验17.数学语言、思维及其教学18.在平面几何教学中渗透为类比、猜想、归纳推理的思想方法19.试论数学学习中的迁移20.数学例题教学应遵循的原则十一、初等数学1.数学证题中的等价变换与充要条件2.关于充要条件的理解和运用3.参数方程的运用4.极坐标方程的运用5.怎样证明条件恒等式6.不等式证明方法7.极值与不等式8.证明不等式的一种重要方法9.谈中学二次函数解析式的求法10.二元二次方程组的解11.谈数列求和的若干12.谈立体几何问题转化为平面几何问题的方法13.求异面直线距离的若干方法14.利用对称性求平面几何中的极值15.浅谈平面几何证明中的辅助线16.浅谈对称性在中学数学解题中的运用17.浅谈韦达定理的运用18.论分式方程的增根19.数列通项公式的几种推导方法20.函数的周期及其应用21.数学归纳法的解题技巧22.等价关系的几种判定方法23.数学归纳法及其推广和变形24.浅谈用几何方法证明不等式25.浅谈初等数学中的不等式与极值26.几个不等式的推广27.函数的概念及发展28.组合恒等式的初等证明法29.谈用生成函数计算组合与排列30.试论一次函数的应用。

目标函数的几种极值求解方法

目标函数极值求解的几种方法题目：()()2221122min -+-x x，取初始点()()Tx 3,11=，分别用最速下降法，牛顿法，共轭梯度法编程实现。

一维搜索法：迭代下降算法大都具有一个共同点，这就是得到点()k x 后需要按某种规则确定一个方向()k d ，再从()k x 出发，沿方向()k d 在直线（或射线）上求目标函数的极小点，从而得到()k x 的后继点()1+k x ，重复以上做法，直至求得问题的解，这里所谓求目标函数在直线上的极小点，称为一维搜索。

一维搜索的方法很多，归纳起来大体可以分为两类，一类是试探法：采用这类方法，需要按某种方式找试探点，通过一系列的试探点来确定极小点。

另一类是函数逼近法或插值法：这类方法是用某种较简单的曲线逼近本来的函数曲线，通过求逼近函数的极小点来估计目标函数的极小点。

本文采用的是第一类试探法中的黄金分割法。

原理书上有详细叙述，在这里介绍一下实现过程：⑴ 置初始区间[11,b a ]及精度要求L>0,计算试探点1λ和1μ，计算函数值()1λf 和()1μf ，计算公式是：()1111382.0a b a -+=λ，()1111618.0a b a -+=μ。

令k=1。

⑵ 若L a b k k <-则停止计算。

否则，当()K f λ>()k f μ时,转步骤⑶;当()K f λ≤()k f μ时,转步骤⑷ 。

⑶ 置k k a λ=+1,k k b b =+1,k k μλ=+1,()1111618.0++++-+=k k k k a b a μ,计算函数值()1+k f μ,转⑸。

⑷ 置k k a a =+1,k k b μ=+1,k k μμ=+1,()1111382.0++++-+=k k k k a b a λ,计算函数值()1+k f λ,转⑸。

⑸ 置k=k+1返回步骤 ⑵。

1. 最速下降法实现原理描述：在求目标函数极小值问题时,总希望从一点出发,选择一个目标函数值下降最快的方向,以利于尽快达到极小点,正是基于这样一种愿望提出的最速下降法,并且经过一系列理论推导研究可知,负梯度方向为最速下降方向。

论文函数的极值问题在实际中的应用.

函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。

用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。

正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。

一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。

1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。

使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。

当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。

定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。

（1）若当时，当时，则在点取得最小值。

（2）若当时，当时，则在点取得最大值。

定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。

（1）若，则在取得极大值。

（2）若，则在取得极小值。

由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。

这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。

在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。

因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。

下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。

函数极值求法论文

分类号O174编号2012010152毕业论文题目函数极值求法及其在应用问题学院数学与统计学院姓名马富荣专业数学与应用数学学号281010152研究类型研究综述指导教师杨钟玄提交日期2012年5月原创性声明本人郑重声明:本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外,不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名:年月日论文指导教师签名:函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用The function extreme value method and its applicationMa Furong(School of Mathematics and Statistics Tianshui NormalUniversity,Tianshui 741001,China)Abstract:The function extreme value function Nature form is an important content of the state, in many math problems have applications. For this reason, this paper not only discusses the function and multiple function the extreme value of the method and its application, and the method of functional extreme value to a simple discussion, and give the relevant application.Key Words: The function extreme value, Conditional extreme, Functional extreme ,application目录引言 (1)1.一元函数的极值 (1)一元函数的极值第一充分条件 (1)一元函数的极值第二充分条件 (2)一元函数的极值第三充分条件 (2)2.多元函数的极值 (3)2.1.二元函数极值 (3)二元函数取极值的充分条件 (4)2.2 n元函数极值 (5)2.2.1.利用二次型求多元函数极值 (5)2.2.2.利用梯度及内积计算多元函数的极值 (6)利用方向导数判断多元函数的极值 (7)函数极值的应用(用极值的方法证明不等式) (8)3.条件极值 (9)条件极值的解法 (9)利用条件极值证明不等式 (12)4.泛函极值及其应用 (13)4.1泛函的定义 (13)4.2相对极值 (13)4绝对极值与相对极值的定义 (13)4相对极值的必要条件 (13)4.3 泛函极值的应用 (15)最小旋转面问题 (15)最速降线问题 (16)结束语 (17)参考文献 (18)致谢 (19)函数极值求法及其应用马富荣（天水师范学院数学与统计学院甘肃天水 741000）摘要:函数极值是函数性态的一个重要内容,在许多数学问题中都有应用.为此,本文不仅论述了一元函数和多元函数极值的求法及其应用问题,而且对泛函极值的求法做了简单的探讨,并给出了相关的应用.关键词: 函数极值; 条件极值; 泛函极值; 应用引言函数的极值问题是高等数学中的一个重要内容.在导数应用中起着桥梁的作用,也是研究函数变化形态的纽带,在微积分学中占有很重要的地位.在各类大型考试中,极值也是重要的考点,常以该知识点的证明及应用出现.函数极值问题也是培养发散思维与创新性思维的重要手段之一,能有效提高解题和应用能力.鉴于其解法较为灵活、综合性强、能力要求高.故在解决这类问题时,要求掌握很多数学知识,综合应用各种数学技能,灵活选择合理的解题方法.1．一元函数的极值定义设函数()f x 在0x 的某领域U （0x 取心邻域U （0x ）内的任x ,有()f x ≤0()f x 或()f x ≥0()f x .那么就称0()f x 是函数()f x 的一个极大值或极小值.(将≤改为<或将≥改为>,则称为严格极大值或严格极小值).1.1一元函数的极值第一充分条件设函数()f x 在0x 处连续且在0x 的某去心邻域U （0x ）内可导.（1）若x ∈(0x δ-, 0x )时, '()f x >0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x <0,则()f x 在0x 处极大.（2）若x ∈(0x δ-,0x )时, '()f x <0,而x ∈(0x ,0x δ+)时,'()f x >0,则()f x 在0x 处极小.（3）若x ∈U(x ,δ)时,'()f x 符号保持不变,则()f x 在0x 处没有极值.例1 求()f x =23(2)(1)x x +-的极值.解先求导数 '322()2(2)(1)(2)3(1)f x x x x x =+-++- 2(2)(1)(54)x x x =+-+ 再求出驻点:当'()0f x =时,4215x =--、、. 判断函数的极值如下表所示:所以在x=-2时取极大值,在5-时取极小值. 一元函数的极值第二充分条件设函数()f x 在0x 点具有二阶导数,且'0()f x =0,''0()f x ≠0.则: （1）当''0()f x <0,函数()f x 在0x 点取极大值. （2）当''0()f x >0,函数()f x 在0x 点取极小值. （3）当''0()f x =0,其情形不一定. 例2. 求函数23()(1)1f x x =-+的极值. 解 '22()6(1)f x x x =- 由'()0f x =得()f x 的驻点为101x =-、、.''0()f x =226(1)(51)x x x --, ''(0)f 6=0>,''''(1)(1)0f f -==所以()f x 在0x =处取得极小值(0)0f =,在1,1x x =-=处由第二充分条件无法判定, 由第一充分条件得:()f x 在1,1x x =-=处都没有极值.一元函数的极值第三充分条件设任意函数()f x 在0x 有n 阶导数,且直到1n -导数都为零,而n 阶导数不为零. （1）当n 为偶数时()f x 在0x 取极值,当 ()f n (0x )<0时取极大值,()f n (0x )>0时取极小值.（2）当n 为奇数时()f x 在0x 点不取得极值.上面给出了求函数极值的3种充分条件,第1充分条件适合于所有的连续函数,第3充分条件也就是第2充分条件的特殊情况,每种求极值的充分条件的方法和步骤都是一样的.结论一元函数求极值的方法步骤（1）求可疑点,可以点包括:（ⅰ）稳定点（亦称为驻点或逗留点,皆指一阶导数等于零的点）; （ⅱ）导数不存在的点; （ⅲ）区间端点.（2）对可疑点进行判断,其方法是: （ⅰ）直接利用定义判断; （ⅱ）利用实际背景来判断;（ⅲ）查看一阶导数的符号,当x 从左向右穿越可疑点0x 时,若()f x 的符号: a.由“正”变为“负”,则0()f x 为严格极大值; b.由“负”变为“正”,则0()f x 为严格极小值; c.'()f x 不变号,则0()f x 不是极值.(ⅳ)若'0()f x =0,''00''00()0,().()0,()f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值（ⅴ）0()0,(1,2,k f x k ==…0,1),()0n n f x -≠若n 为偶数,则0()f x 为极值:0000()0,().()0,()n n f x f x f x f x ⎧>⎨<⎩则为严格极小值则为严格极大值若n 为奇数,则0()f x 不是极值.2.多元函数的极值二元函数极值在现实的社会研究中,关系到二元函数极值的问题更为广泛,他与践联系的更紧密,所以研究二元函数的极值意义是重大的.定义设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某个领域内有定义,对于该领域内异于00(,)x y 的点(,)x y ;如果适合不等式(,)f x y <00(,)f x y ,则称函数在点00(,)x y 有极大值00(,)f x y ;如果都适合不等式(,)f x y <00(,)f x y 则称函数在点00(,)x y 有极小值00(,)f x y .二元函数取极值的充分条件若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 的某领域内具有一阶和二阶连续偏导数,且00(,)x f x y =0,00(,)y f x y =0.令00(,)xx A f x y =,00(,)xy B f x y =,00(,)yy C f x y =则: （1）当20AC B ->时,有极值.0A <时取极大值,0A >时取极小值. （2）当20AC B -<时,没有极值. （3）当20AC B -=时,不能确定. 例4. 求333z x y xy =+-的极值. 解设33(,)3f x y x y xy =+-,则''2(,)33x f x y x y =-,''2(,)33y f x y y x =-,''(,)6xx f x y x =,''(,)3xy f x y =-,''(,)6yy f x y y =解方程组 22330,330x y y x -=-=得驻点: (1,1)(0,0)、. 对于驻点(1,1)有''(1,1)6xx f =,''(1,1)3xy f =-,''(1,1)6yy f =,故 22(3)66270,60B AC A -=--⨯=-<=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(1,1)取得极小值(1,1)1f =-. 对于驻点(0,0),有''(0,0)0xx f =,''(0,0)3xy f =-,''(0,0)0yy f =. 故 22(3)0090B AC -=--⨯=>.因此 33(,)3f x y x y xy =+-在点(0,0)不取得极值.n 元函数极值利用二次型求多元函数极值定义设函数1,2()n y f x x x =在01,2()n x x x x =点有连续的二阶偏导,称矩阵222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭为函数1,2()n y f x x x =在0x 点的海瑟矩阵.定理 1 ( 充分条件) 如果函数y =12(,,,)n f x x x , 12(,,,)n x x x ∈ E, 在驻点000012(,,,)n p x x x 的某邻域U(0p ) 内, 具有Hesse 矩阵A, 则( 1) 若A 为正定(或半正定) 矩阵时, f 在点0p 取严格极大(或极大) 值; ( 2) 若A 为负定(或半负定) 矩阵时, f 在点0p 取极小(或极小) 值; ( 3) 若A 为非定号阵, f 在点0p 不取极值. 求函数y = 12(,,,)n f x x x 的极值时, 应首先求出驻点或偏导数不存在的点, 然后对所有可能的极值点进行检验, 确定函数的极值点并求出函数极值. 总结利用二次型求n 元函数极值的方法步骤第一步: 求出函数1,2()n f x x x 可能的极值点.首先, 求出函数1,2()n f x x x 的驻点, 根据极值存在的必要条件, 解方程组'112'12(,,,)0(,,,)0n n n f x x x x f x x x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ ,方程组的解即为驻点.再考虑一阶偏导数不存在的点.第二步: 对每一个可能的极值点000012(,,,)n p x x x 进行检验. 根据极值存在的充分条件, 首先, 计算1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的Hesse 矩阵f H ,222112221n f n n f f x x x H f f x x x ⎛⎫∂∂ ⎪∂∂∂⎪⎪= ⎪∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭.再根据定理1判定000012(,,,)n p x x x 是否为极值点并求出极值.例5. 求函数3322(,)339f x y x y x y y y =++--的极值. 解 f 在2R 二阶偏导数连续且可微,先求稳定点,令222(,)360(,)33690x y f x y x xy f x y y x y ⎧=+=⎪⎨=+--=⎪⎩ 求得稳定点为 63(0,3),(0,1),(,)55--和(2,1)-.二阶偏导数为 66,xx f x y =+6xy f x =,66yy f y =-. ①在点(0,3)f H 为正定矩阵,所以f 在(0,3)处有极小值(0,3)f 27=-; ②在点(0,1)-f H 为负定矩阵,所以f 在(0,1)-处有极大值(0,1)f -5=;③在点63(,)55-和(2,1)-处,f H 为不定矩阵,所以它们都不是极值点.利用梯度及内积计算多元函数的极值定义若1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点存在对所有自变量的偏导数,则称向量001[(),,()]nffp p x x ∂∂∂∂为函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 的梯度,记作100((),,())n x x gradf f p f p =.引理1 设()f x 在点0x 连续,在00(,)U x δ内可微,（ⅰ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x -<,则()f x 在0x 点取极大值; （ⅱ）若00(,)x U x δ∈,有'0()()0x x f x ->,则()f x 在0x 点取极小值;对于有些多元函数我们也可以利用梯度及内积的方法求极值. 现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明. 定理2 设多元函数1,2()n f x x x 在000012(,,,)n p x x x 点连续,在00()U p 内可微,（ⅰ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,有0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅<,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值;（ⅱ）1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,0001122(,,,)0n n x x x x x x gradf ---⋅>,则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.由于极值只可能在稳定点或偏导数至少有一个不存在的点处取得,因此,定理2可对这样的两类点使用.例6. 求222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+的极值.解:令232023020x y z f x y f y x f z =-+=⎧⎪=-=⎨⎪==⎩ 解得45650x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩对(,,)x y z 点有46(,,)55x y z --⋅4()5gradf x =-26(232)()(23)25x y y y x z -++--+2446664()[2()3()]()[2()3()]2555555x x y y y x z =----+----+222462()2()2055x y z =-+-+>所以46,,055x y z ===时,222(,,)32f x y z x y z xy x =++-+达到极小值45.利用方向导数判断多元函数的极值定义设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义,0(),x U x ∀∈令0,x x ρ=-若00()()limf x f x ρρ→-存在,称此极限为函数()f x 在点0x 沿方向0l xx =的方向导数,记作'0()f x .引理2 设二元函数(,)f x y 在点00,0()p x y 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 00(,)()p x y U p ∀∈,用l 表示方向0p p . （ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值.与二元函数相类似,多元函数也可以利用方向导数来判断极大值和极小值.现将上述引理推广到多元函数的情况并举例说明.定理3 设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若'()l f p >0,则()f p 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若'()l f p <0,则()f p 在点0p 取得极小值. 推论设多元函数1,2()n f x x x 在点000012(,,,)n p x x x 的某邻域0()U p 内连续,在00()U p 内可微, 1,2()n p x x x ∀00()U p ∈,用l 表示方向0p p .（ⅰ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++-<则1,2()n f x x x 在点0p 取得极大值; （ⅱ）若10011()()0,n x x n n f x x f x x -++->则1,2()n f x x x 在点0p 取得极小值.例7. 讨论三元函数222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-的极值. 解先求三个一阶偏导数令它们为0.即 220240260x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩求得稳定点为(1,2,3)--.因为 (1)(22)(2)(24)(3)(26)x x y y z z ++++++-- 2222(1)2(2)2(3)0x y z =++++->由推论知222(,,)246u f x y z x y z x y z ==++++-在点(1,2,3)--处得极小值.u |0p 222(1,2,3)(1)(2)32(1)4(2)6314f =--=-+-++⨯-+⨯--⨯=函数极值的应用(用极值的方法证明不等式)要证明()()f x g x ≥,只要求函数()()()F x f x g x ≡-的极值,证明 min ()0F x ≥.这是证明不等式的基本方法.例11. 设a >㏑2-1 为任意常数,试证:221(0)x x ax e x -+<>当时证明问题是证明:2()210x f x e x ax ≡-+->(0)x >当时, 因为(0)0,f =所以只要证明''0()220(0)min ()0x x f x e x a x f x >=-+>>>当时或令''()2x f x e =-o =,得到唯一的稳定点x =㏑2, 当x <㏑2时,''()0f x <, 当x <㏑2时,''()0f x >,所以''min ()x f x f >=（㏑2）=2-2㏑2+2a =2（1-㏑2）+2a 0>.3.条件极值条件极值的解法在高等数学教材中,确定函数(,,)f x y z ,在条件(,,)0,(,,)0F x y z G x y z ==之下的条件极值问题,通常应用拉格朗日乘数法,可把以上条件极值问题转化为求函数 (,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z F x y z G x y z λμ=++的无条件极值问题. 由极值的必要条件知,需求解如下的方程组:(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)0(,,)0x x x x y y y y z z z z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z L f x y z F x y z G x y z F x y z G x y z λμλμλμ=++⎧⎪=++⎪⎪=++⎨⎪=⎪=⎪⎩（1）一般教科书及参考教材的处理方法为两种:一种是直接由方程组（1）解出驻点0000,0(,,,),x y z λμ即在方程组（1）中,把,,,,x y z λμ当成未知量进行求解;另一种方法是从方程组（1）中消去参数λ及μ,仅对未知量,,x y z ,故以上两种办法的难易程度相当.方程组（1）是含有五个未知量,,,,x y z λμ的方程组,未知量的个数相对较多,以上两种方法求解均很不方便,尤其对于稍微复杂的函数,直接求解相当困难甚至是不可能的,为了简化计算,我们可以设计以下两种新的处理方法.（1）不考虑参数,λμ,仅求方程组（1）关于,,x y z 的解,这样可以把方程的个数减少到三个,这里给出以下的结果:如果0000,0(,,,)x y z λμ是方程组（1）的解,则000(,,)x y z 是方程组(,,)0(,,)0x x xyy y zzzf F G f F G f F G F x y z G x y z ⎧⎪=⎪⎪⎪⎨⎪⎪=⎪=⎪⎩ （2）的解.例1. 求2221,0u xyz x y z x y z =++=++=在之下的条件极值. 解 ()22()()()()z y x x yy z z y x z x z y y z--==-----故方程组（2）为2222()()()010y z z y x z x y z x y z ---=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩（3）由方程组（3）的第一个方程可得:x y x z y z ===或或由222121,0x y x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222341,0x z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p由222561,0y z x y z p x y z =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩可得驻点p 而u |1p =u |3p =u |5p= u |2p =u |4p =u |6p故max u u ==（2）可根据题设条件,把方程组（1）化为仅对参数,λμ求解,而不考虑,,.x y z 这种解法常用于方程中含有字母常数的情况,可看以下的例子.例8. 求函数222222x y z u a b c=++在条件2221,x y z ++=222cos cos cos 0(,cos cos cos 1)x y z a b c αβγαβγ++=>>++=下的极值. 解:令222222222(,,,,)(1)(cos cos cos )x y z L x y z x y z x y z a b c λμλμαβγ=+++++-+++对关于,,x y z 求导可得方程组22212()cos 012()cos 012()cos 0xy zL x a L y b L z c λμαλμβλμγ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎨⎪⎪=++=⎪⎩cos cos cos x y z L L L αβγ⨯+⨯+⨯得222cos cos cos 2()x y z a b cαβγμ=-++ 将μ分别代入,,x y z L L L 式,有222222222222sin cos cos cos cos ()0cos cos sin cos cos ()0cos cos cos cos sin ()0x y z a b c x y z a b c x y a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ⎧+--=⎪⎪⎪-++-=⎨⎪⎪--++=⎪⎩（4）再x y z L x L y L y ⨯+⨯+⨯,注意到cos cos cos 0x y z αβγ++=可得:222222x y z a b cμλ=++=-△*λ (*λ>0)于是求222222x y z a b cμ=++的条件极值转化为求*λ在方程组（4）2221,x y z ++=故方程组（4）关于,,x y z 有非零解,可得其系数行列式为零,即有222222222222sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos 0cos cos cos cos sin ab c a b c a b c ααβαγλαβββγλαγβγγλ+---+-=--+展开化简可得22222232222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλλ++++++= (5)10λ=是方程(7)的零解,由于222222x y z u a b cλ=++=-△*λ (*λ>0),故10λ=应舍去,由此可得2222222222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++=即*λ满足二次方程222222*2*222222222sin sin sin cos cos cos ()()0a b c b c a c a bαβγαβλλλ++++++= 此方程有两个正根,**12,,λλ设**120,λλ>>可得**21max ,min u u λλ==.利用条件极值证明不等式若求得()u f p =在条件()p a ϕ=之下的最大值为()B a ,那么我们就获得了不等式()(())f p B p ϕ≤.例12. 求0,0,0x y z >>>时,函数(,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 在球面22226x y z r ++=上的极大值,证明,,a b c 为整实数时,226108()6a b c ab c ++<. 证明设222223(6)L x y z r λ=+++++-㏑㏑㏑令'''0,x y z L L L ===解得,,.x r y z =因为f 在球面22226x y z r ++=位于第一卦限的部分上连续,在这部分的边界线上,,,x y z 分别为零. (,,)f x y z =㏑x +2㏑y +3㏑z 为负无穷大,故f 的最大值只能在这部分内达到,而()r 是唯一的可疑点,所以f 的最大值为6())f r =㏑于是2222263(,,)))]6x y z f x y z xy z ++=≤=㏑㏑㏑,故2222263)6x y z xy z ++≤= 两边同时平方,并用222,,a x b y c z ===代入得:226108()6a b c ab c ++< 4.泛函极值及其应用 4.1泛函的定义设{()}y x 是给定的某一类函数,如果对这类函数中每一个函数()y x 都有一个函数值[()]J y x 与之相对应,则称[()]J y x 是这类函数()y x 的泛函.4.2 相对极值4相对极值的定义设0()y x 属于某个可取函数类,()y x 是类中任意函数, 如果某个函数()y x 限于0()y x 的某一领域,且使得泛函0[()]J y x ≤[()]J y x (或0[()]J y x ≥[()]J y x ),这种极值称为相对极小值(或相对极小值).使泛函取得极值或稳定值的函数或曲线叫做极端函数. 4.相对极值的必要条件定理4 若果泛函[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则泛函在0()y x 上的变分0J δ=(这里x 可以是单变量,也可以是多变量).证明根据泛函极值的定义,如果[()]J y x 在0()y x 上实现相对极值,则存在0()y x 的一个领域,对于该领域内的任一函数()y x ,必然使得泛函增量0[()][()]J J y x J y x ∆=-10[()][()][(,,)(,,)]x x J J y x J y x F x y y y y F x y y dx δδ'''∆=-=++-⎰当(,,)F x y y '充分光滑时,上式可展成10221{[][()2()]}2!x y y y y yy yy y y y y y x J F F F y F F dx δδδδδδ'''''''∆=+++++⎰=23J J J δδδ+++,式中,10[]x y y y y x J F F dx δδδ''=+⎰,12221[()2()]2x yy yy y y y y y x J F y F F dx δδδδδ'''''=++⎰.如果令()y x δεη=,式中()x η是任意选定的函数,ε是一个实参数(一般取很小的值,例如可设1ε≤).则1[(,,)(,,)]x x J F x y y F x y y dx εηεη'''∆=++-⎰由于y 和η是确定的了,所以J ∆实际是数值变量ε的普通函数()I ε,将()I ε按ε展开得:23()(0)(0)(0),2!3!J I I I I εεεε''''''∆==+++其中,1(0)[][(,,)]x x dI J y F x y y dx d εεεηεηεηεε==∂'''=+=++∂⎰如果(0)0I '≠,则可把ε取得充分小,使J ∆的符号与(0)I ε'的相同,然后改变ε的正负号.这样一来,[]J y 就不可能在0()y x 上取的相对极值了,与已知矛盾,故必须(0)0I '=,即0J δ=.定理5 如果泛函10[](,,)x x J y F x y y dx '=⎰的定义域D 中每一元素都是一条光滑曲线()y x ,且满足边界条件:0011(),().y x b y x b ==在曲线0()y y x =达到极值,则0()y y x =必为微分方程0y y dF F dx'-= 的解.例13.求泛函0[]a a J y =⎰的极值曲线. 解因为它的欧拉方程为0d dx '=,于是有C =如果令tan y t '=,则有11sin sin x t C t C=== 又因dy y dx '=,所以11tan cos sin dy t C tdt C tdt =⋅=积分之,则得22221()x y C C +-=.这就是说,泛函[]J y 的极值曲线是一簇中心在纵坐标轴上的圆.4.3泛函极值的应用4最小旋转面问题例14. 在以点00(,)A x y ,点11(,)B x y (设1001,,0x x y y >>)为端点的所有光滑曲线中,求一曲线使它绕ox 轴旋转时所的旋转曲面的面积最小. 以()y y x =表示任一可取曲线,于是绕ox 轴所得旋转面面积11[()]2x x x x S y x Fdx π==⎰⎰.因F 中不显含x ,其欧拉方程降阶后如下21C =化减后,得到1C =现在令y sht '=,则1y C cht =,因为dy y dx '=,所以11.C shtdt dy dx C dt y sht===' 从而 12x C t C =+ 于是所求的极值曲线的参数方程为121x C t C y C cht =+⎧⎨=⎩ 消去参数t ,得211x C y C chC -= 这是一条悬链线,式中的常数C 、1C 由端点条件确定. 4最速降线问题在竖直平面Oxy 上将给定两点)0,0(A 和),(11y x B 用一条光滑的金属线相连,一质量为m 质点P 以初速度00=v 由A 点沿金属线滑动,问金属线为何种形状时,质点P到达B 点所需的时间最少？解现在建立这个数学模型,取A 为平面直角坐标系的原点,x 轴置与水平位置,y A 点的坐标就是(0,0).设B 点的坐标为11(,)x y .取连接A 和B 的曲线方程为 ()y y x = 1(0)x x ≤≤ (1) 它在区间[]10,x 的两个端点满足条件11(0)0,()y y x y == (2) 则有能量守恒定理得v (3) 设()y y x =为曲线的运动方程,指点沿着该曲线有点A 运动到点B ,指点的运动速度表示为ds v dt == (4) 由式(3)﹑(4)消去v 并积分,得质点由A 运动到B 所需的时间为1x T =⎰显然, 是依赖于函数()y y x =的函数, ()y y x =取不同的函数, T 也就有不同的值与之对应.这样,最速降线问题在数学上就归结为在满足条件(2)的所有函数(1)中,求使得积分公式T 取最小值的函数.上述问题实际是求泛函1[()]x J y x =⎰满足边界条件11(0)0,()y y x y ==的极值曲线,因为F =x ,所以欧拉方程首次积分为21c =令2112c gc =,将上式化简,得 2(1)y y c '+=令cot y θ'=,则方程化为22sin (1cos 2)12c c y c y θθ===-'+ 又因sin 2sin cos (1cos 2)cot cot dy cd c d dx c d y θθθθθθθθθ====-' 积分,得 2(2sin 2)2c x c θθ=-+ 由边界条件(0)0y =,得20c =.令2t θ=则得到最速降限问题的解为(sin )2(1cos )2c x t t c y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 上述方程是摆线(也称旋轮线)的参数方程,其中c 是由边界条件11()y x y =来确定的.因此曲线是以半径为2c 的圆沿x 轴滚动时圆周上的一点所描述的曲线中的一段. 结束语本文不仅给出了一元、多元函数极值及条件极值的求法和在不等式证明中的应用.此外还给出了泛函极值的定义及在求最小旋转曲面和最速降限问题中的应用.本文有利于初学者对函数极值的研究学习.泛函极值的应用非常广泛,但判断是否有解的条件相对复杂,本文没有涉及.参考文献[1] 杨守廉.《数学分析》[M]—165.[2] 华东师范大学数学系.数学分析(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2002.[3] 钱伟长.变分法及有限元（上册）[M ] .科学出版社,1980.[4] 宁荣健.谈条件极值问题的充分条件[J].高等数学研究,2005,8(2):40-43.[5] 汪元伦.两类多元函数条件极值的简捷求法[J].绵阳师范学院学报,2008,27(2):14-15.[6] 唐军强.用方向导数法求解多元函数极值[J].科技创新导报,2008,(15):246-247.致谢经过半年的忙碌和工作,本次毕业论文设计已经接近尾声,作为一名本科生,由于经验的匮乏,难免有许多考虑不周全的地方,如果没有指导师的督促指导,以及一起学习的同学们的支持,想要完成这篇论文是难以想象的.在论文写作过程中,得到了杨老师的亲切关怀和耐心的指导.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到项目的最终完成,杨老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.多少个日日夜夜,杨老师不仅在学业上给我以精心指导,同时还在思想上给我以无微不至的关怀,除了敬佩杨老师的专业水平外,他的治学严谨和科学研究的精神也是我永远学习的榜样,并将积极影响我今后的学习和工作.在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意.在论文即将完成之际,我的心情无法平静,从开始进入课题到论文的顺利完成,有多少可敬的师长、同学、朋友给了我无言的帮助,在这里请接受我诚挚的谢意! 最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母,谢谢你们!最后我还要感谢数学系和我的母校—天水师范学院四年来对我的栽培.。

函数极值的理论及其应用

2014 届本科毕业论文（设计）论文题目：函数极值的理论及其应用所在院系：数学科学学院所学专业：数学与应用数学完成时间：2014-05-20函数极值的理论及其应用摘要函数的极值不仅是反映函数性态的一个重要特征，而且在解决实际问题中也占有极其重要的地位。

很多经济和生活中的问题都可以转化为数学中的函数极值问题进行讨论，从而得到该问题的最优方案。

本文主要探讨函数极值的理论及求解方法，并附以相应的例子阐明函数极值在实际问题中的应用，重点探讨一元函数和多元函数的极值理论及应用等问题。

关键词：函数极值，多元函数，极值应用The Extreme Value Theory of Function and its ApplicationsAbstractThe extreme value is not only a significant characteristic of a function, but also play an important role in solving practical problems. A lot of problems in the economy and life can be transformed into the function extremum problems, thus the optimal solution of these problems can be obtained. This thesis mainly discusses the theory and its corresponding solving methods of the function extreme value, together with the corresponding extreme value theory to practical problems in the application. The main contents focus on the theory and applications of the single variable functions and multivariate functions.Keywords: Function extreme value, Multivariate functions, Application of extreme value theory目录一、引言 (1)二、一元函数极值理论及其判别方法 (2)2.1 一元函数极值的概念 (2)2.2 一元函数极值的判定 (2)2.3 一元函数极值的求解 (3)三、多元函数的极值理论及其判别方法 (3)3.1 二元函数极值的概念 (3)3.2 二元函数极值的判定 (3)3.3 二元函数两类极值的求解 (4)3.4 n元函数极值的概念 (6)3.5 n元函数极值的判定 (6)3.6 n元函数两类极值的求解 (7)四、函数极值理论的应用 (9)4.1 一元函数极值的应用 (9)4.2 二元函数极值的应用 (10)4.3 n元函数极值的应用 (11)4.4 函数极值在经济生活中的应用 (12)五、结论 (13)参考文献........................................... 错误!未定义书签。

极值的求解方法

极值的求解方法极值问题在数学、经济、物理等领域中具有重要的应用价值。

求解极值问题是找到函数的最大值或最小值，从而得到最优解。

本文将介绍几种常用的极值求解方法。

一、导数法导数法是一种常用且常见的求解极值的方法。

它基于函数的导数与函数的极值之间的关系进行分析和计算。

导数表示的是函数变化的快慢，通过计算函数的导数，可以找到函数变化最快的地方，即极值点。

如何使用导数法来求解极值问题呢？首先，对于给定的函数，我们需要求取它的导函数。

然后，通过对导函数进行求解，找到其一阶导数为零的点，即函数的稳定点。

这些稳定点就是函数可能存在的极值点。

接下来，我们需要使用二阶导数的信息来判断这些稳定点是极大值还是极小值。

若二阶导数大于零，则该点是极小值；若二阶导数小于零，则该点是极大值。

二、牛顿法牛顿法是一种迭代的方法，通过不断逼近函数的极值点。

该方法通过第一阶导数和第二阶导数的信息来进行迭代计算。

在使用牛顿法求解极值问题时，我们首先需要初始化一个初始点，作为迭代的起点。

然后，通过计算该点的一阶导数和二阶导数的比值，得到一个新的近似点，再次计算一阶导数和二阶导数的比值。

如此循环迭代，直到满足收敛条件。

当满足收敛条件时，即可得到函数的极值点。

牛顿法的迭代过程较为复杂，但在实际应用中具有较高的准确性和快速性。

三、割线法割线法是一种基于连续函数的近似线性化的方法，通过不断迭代来逼近函数的极值点。

该方法将直线代替了切线的位置，通过连接两个近似点的直线来逼近极值点。

使用割线法求解极值问题时，我们首先需要选择两个初始点，作为迭代的起点。

然后，通过计算这两个点所在直线与函数的交点，得到一个新的近似点，并将其作为下一次迭代的起点。

如此循环迭代，直到满足收敛条件。

当满足收敛条件时，即可得到函数的极值点。

割线法相较于牛顿法而言，迭代过程更加简单，但准确性略有降低。

四、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，通过模拟进化过程中的选择、交叉和变异等操作来寻找函数的极值点。

函数极值的求法及其应用

目录摘要 (2)ABSTRACT (2)第一章引言 (4)第二章一元函数的极值 (5)2.1极值的充分条件 (5)2.2几种特殊函数的极值 (8)第三章多元函数的极值 (12)3.1无条件极值 (13)3.2条件极值 (15)第四章函数极值的应用 (19)参考文献 (24)致谢 (25)函数极值的求法及其应用曾浪数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。

本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。

关键词：函数；极值；应用The extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; applicationThe extreme of function of religion and its applicationZeng LangMathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo JiaguiAbstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions.Key word: function; the extreme; application第一章引言函数极值问题在我们学习和生活中都会常常遇到。

多元函数极值问题论文

本科生毕业论文题目：多元函数的极值问题Extremum problem of function of several variables学生：学号：系别：数学与应用数学专业：数学与应用数学指导教师：起止日期：2014 年 5 月 10 日本科毕业论文(设计)诚信声明作者重声明：所呈交的本科毕业论文(设计)，是在指导老师的指导下，独立进行研究所取得的成果，成果不存在知识产权争议。

除文中已经注明引用的容外，论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的成果。

对论文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确的方式标明。

本声明的法律结果由作者承担。

本科毕业论文（设计）作者签名：年月日目录多元函数的极值问题 (I)摘要 (I)关键词 (I)Key words (I)1 引言 (1)2 多元函数极值的有关概念 (2)3 多元函数极值的判定方法 (2)3.1无条件极值的判定方法 (2)3.2 条件极值的判定方法 (4)4 无条件极值的求解方法 (5)4.1二元函数极值的求解方法 (5)4.2多元函数极值的求解方法 (6)5 条件极值的求解方法 (8)5.1多元函数极值的求解方法 (8)5.1.1代入消元法 (8)5.1.2拉格朗日乘数法 (8)5.1.3 标准量代换法 (10)5.1.4不等式法 (10)5.1.5 二次方程判别式符号法 (11)5.1.6 梯度法 (12)5.1.7 数形结合法 (13)5.2多元函数条件极值在理论和实际中的应用 (15)5.2.1不等式证明 (15)5.2.2 物理学中光的折射定律证明 (15)5.2.3 生产销售 (16)4.结束语 (18)参考文献 (19)致 (20)多元函数的极值问题摘要在实际问题中,有时会遇到求多元函数的最大值和最小值问题,多元函数的最大值与最小值与极大值、极小值有密切联系.多元函数的极值问题一般涉及到多元函数的极值判定准则、多元函数的极值求法、多元函数极值的应用.尽管有些极值问题用初等的方法可以解决,但是有时显得麻烦,有些极值问题用初等的方法根本无法解决.本文先将一元函数的极值的的判定和求法推广到二元函数，再以二元函数的极值的判定和求法为基础，研究和探讨多元函数的极值的判定和求法；最后来探讨多元函数的极值的应用.关键词函数极值；多元函数；条件极值；拉格朗日乘数法；梯度法Extremum problem of function of several variablesAbstractIn fact, multiple functions of maximum and minimum value are sometimes encountered. But maximum value and minimum value of multivariate function is closely related to the minimum and maximum value. The extreme value of multivariate function generally involves the criterion, methods and application of extreme value of multivariate fun ction. Some extreme value’s questions can be settled with primary methods, which cannot solve all questions. So In this paper the judging and the calculating method of one-variable function is extended into binary function. Then according to the judging and the calculating method of binary function, to research and discuss on the extreme value of multivariate function determination and method; finally to discuss the application of value of multivariate function.Key wordsFunction extreme; multi-function; extreme conditions; Lagrange multiplier method; gradient method.1 引言函数极值问题已广泛地出现于数学、物理、化学等学科中，且它涉及的知识面非常广，所以就要求学生有较高的分析能力和逻辑推理能力，同时也要求学生掌握多种求函数极值的方法，因此对函数极值的研究是非常必要的.多元函数条件极值是多元函数微分学的重要组成部分，它不仅在理论上有重要的应用，而且在其它学科及有关实际问题中有着广泛的应用，于是如何判定与求解多元函数条件极值就成为许多学者研究的问题，虽然以前也有不少学者研究过，但多数还只是理论上的研究，实际利用方面的研究较少.一般实际问题都是一个或者一组多元函数，那么研究清楚这些问题，对我们的工程实际将有莫大的裨益.通过对求解多元函数条件极值问题的研究，从中找到多元函数的判定方法和求出极值的不同方法，在不同的实际应用中对相关问题运用与其相适应的方法，从而在解决问题的过程达到最优化。

求函数极值的若干方法论文

求函数极值的若干方法论文绵阳师范学院2021届本科毕业论文（设计）绵阳师范学院本科生毕业论文（设计）题目求函数极值的若干方法专业数学与应用数学院部数学与计算机科学学院学号 1008021114 姓名肖华指导教师王敏讲师答辩时间二��一四年五月论文工作时间： 2021 年 12月至 2021 年 5月绵阳师范学院2021届本科毕业论文（设计）求函数极值的若干方法学生：肖华指导教师：王敏摘要：函数的极值是函数的很重要性质之一，在我们的日常生活中也有着非常广泛的应用.很多的实际问题最终都可以归结为求函数极值的问题.本文主要总结了一元函数和二元函数极值的判断方法和求法，从而使计算简洁，并给出了相关的一些例子.关键词：函数极值充分条件乘数法绵阳师范学院2021届本科毕业论文（设计）Several methods for the extreme of the functionName: Xiaohua Advisor: WangmingAbstract: the extreme of the function is one of the very important properties of the function. In our daily life may also have wide applications.A lot of practical problems eventually all can be down to the problems of the extreme of the function.This paper mainly summarizes some judgmental and solving methods of the extreme of the unary function and binary function , which making the process of the calculation concise, and presents some related examples.Keywords: the extreme of the function sufficient conditions method of multiplier绵阳师范学院2021届本科毕业论文（设计）目录绪论............................................................................ .................................................... 1 1一元函数极值问题............................................................................ . (1)1.1 一元函数极值的定义............................................................................ ......... 1 1.2 对于不同类型的一元函数极值的求解方法................................................. 1 1.2.1 二次函数：.......................................................................... (1)1.2.2 一般函数............................................................................ .................. 2 1.2.3 一般函数求极值的步骤. (4)2二元函数极值问题............................................................................ ......................... 4 2.1 二元函数极值的定义............................................................................ .. (4)2.2关于求二元函数极值的方法 (4)2.2.1二元函数无条件极值...........................................................................7 2.2.2拉格朗日乘数法............................................................................ ....... 8 2.2.3其它方法............................................................................ .. (10)3.函数极值的应用............................................................................ (11)3.1函数极值在不等式证明中的应用................................................................ 11 3. 2函数极值在物理学中的应用.. (13)3.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用.................................... 14 结束语............................................................................ .............................................. 16 致谢............................................................................ . (17)绵阳师范学院2021届本科毕业论文（设计）绪论“函数极值”是当代数学研究的主要内容之一，在中学和大学当中都占有重要地位。

函数的极值与最值求解的方法和步骤

函数的极值与最值求解的方法和步骤在数学中，函数的极值与最值是研究函数性质的重要内容之一。

通过求解函数的极值与最值，我们可以找到函数的最高点和最低点，从而更好地理解函数的特性。

本文将介绍一些常见的方法和步骤，帮助读者更好地理解和应用这一概念。

一、函数的极值与最值的定义在开始讨论求解方法之前，我们首先需要明确函数的极值与最值的概念。

对于定义在某个区间上的函数f(x)，如果存在一个点c，使得在c的邻域内，对于任意的x都有f(x)≤f(c) 或f(x)≥f(c)，那么我们称c为函数f(x)的极值点。

如果函数在整个定义域上的极值点中有一个最大值或最小值，那么我们称之为函数的最值。

二、求解函数极值与最值的方法1. 导数法导数法是求解函数极值与最值的常用方法之一。

通过求解函数的导数，我们可以找到函数的极值点。

具体步骤如下：（1）求出函数f(x)的导函数f'(x)；（2）解方程f'(x)=0，求得函数的驻点；（3）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（4）将驻点代入原函数f(x)，求得函数的极值。

2. 区间法区间法是一种直观且易于理解的方法。

通过将函数在给定区间内的所有值进行比较，我们可以找到函数的最大值和最小值。

具体步骤如下：（1）确定函数f(x)的定义域；（2）将定义域分成若干个子区间；（3）在每个子区间内求出函数的值，并进行比较；（4）找出子区间中的最大值和最小值，即为函数的最值。

3. Lagrange乘数法Lagrange乘数法是一种用于求解约束条件下的极值问题的方法。

当我们需要求解函数在一定条件下的最值时，Lagrange乘数法可以帮助我们进行求解。

具体步骤如下：（1）建立拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)-λg(x,y,...)，其中f(x,y,...)为目标函数，g(x,y,...)为约束条件；（2）对拉格朗日函数求偏导数，得到一组方程；（3）求解方程组，得到函数的驻点；（4）通过二阶导数判别法，判断驻点是极大值点还是极小值点；（5）将驻点代入原函数f(x,y,...)，求得函数的极值。

求极值的若干方法

求极值的若干方法极值问题是数学中常见的一类问题，指的是在一定范围内寻找函数取得最大值或最小值的点。

求解极值问题的方法多种多样，下面将介绍几种常用的方法。

一、导数法导数法是求解极值问题最常用的方法之一、它的基本思想是通过函数的导数来判断函数在其中一点的增减情况，进而推断函数的极值点。

求解步骤如下：1.求函数的导数。

2.解方程f'(x)=0，求出导数的根。

3.构造函数f(x)在导数根的左右区间上的函数表格，确定函数在这些区间上的增减情况。

4.根据增减情况和导数的性质，判断函数的极值点。

二、二次函数的最值对于二次函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0），它的最值可以通过二次函数的几何性质来求解。

1.若a>0，则f(x)的图像开口朝上，此时最小值为f(-b/2a)；2.若a<0，则f(x)的图像开口朝下，此时最大值为f(-b/2a)。

三、一元函数的最值对于一元函数f(x)，如果它在有限的区间[a,b]上连续，那么它在这个区间上必然有最大值和最小值。

我们可以通过以下方法来求解：1.求出函数的导数f'(x)。

2.求出f'(x)=0的解，这些点可能是函数的极值点。

3.将求得的解代入函数中，根据f''(x)的正负性判断这些点的类型（极大值点或极小值点）。

4.将区间的端点与求得的极值点比较，找出最大值和最小值。

四、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法可以求解约束条件下的极值问题。

具体步骤如下：1. 建立带有约束条件的目标函数。

假设有一个目标函数f(x1,x2, ..., xn)，并且有一个或多个约束条件g(x1, x2, ..., xn)=0。

2. 设置拉格朗日函数L(x1, x2, ..., xn, λ)=f(x1, x2, ...,xn)+λg(x1, x2, ..., xn)。

3. 分别对x1, x2, ..., xn和λ求偏导数，并令偏导数为0。

4.解方程组，并判断解是否满足约束条件。

数学论文二元函数极值的求解方法

数学论文二元函数极值的求解方法证：不妨设),(),(00y x y x f z 在点=处有极大值，),(00y x 则对于的某邻域内任何),,(),(00y x y x ≠都有),(),(00y x f y x f <，故当时00,x x y y ≠=，有),,(),(000y x f y x f <则一元函数00),(x x y x f =在处有极大值，必有;0),(00=y x f x 类似地，可证.0),(00=y x f y对于二元函数甚至多元函数与一元函数的情形类似，凡是能使一阶偏导数同时为零的点可以称为函数的驻点。

备注：具有偏导数的极值点必然是驻点，但驻点不一定是极值点。

2、二元函数极值充分条件为了讨论二元函数f 在点),(000y x p 取得极值的充分条件，我们假定f 具有二阶连续偏导数，并记)()()()()(00000p xx xx xx xx yy yx xy xx f f f f f p f p f p f p f p H ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 他称为f 在),(000y x p 的黑赛矩阵。

定理2.1（极值充分条件）设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某邻域内连续且有直到二阶的连续偏导数，又,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y令.),(,),(,),(000000C y x f B y x f A y x f yy xy xx ===则),(y x f 在),(00y x 处是否取得极值的条件如下:(1)、当02>-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处有极值，且当0>A 时有极小值),(00y x f ；0<A 时有极大值),(00y x f ；(2)、当02<-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处没有极值;(3)、当02=-B AC 时，函数),(y x f 在),(00y x 处可能有极值，也可能没有极值。

求极值与最值的方法

求极值与最值的方法求极值和最值是数学中常见的问题。

当我们面临一个函数或一组数据时，我们希望能够找到它们的最大或最小值，这对于解决各种实际问题非常重要。

在本文中，我们将讨论一些常见的方法来求解极值和最值问题。

一、函数的极值求解方法：1.导数法：对于可导的函数，导数可以告诉我们函数在特定点的变化趋势。

函数在极值点的导数为零，所以我们可以通过求解导数为零的方程来找到极值点。

对于一元函数，我们只需求得导数，并求解方程f'(x)=0即可。

对于多元函数，我们需要求偏导数，并解方程组∂f/∂x=0和∂f/∂y=0等。

2.二阶导数法：通过求得函数的二阶导数，我们可以判断函数在其中一点的曲率和凸凹性质。

如果函数在其中一点的二阶导数大于零，则函数在该点上是凸函数，即函数取得极小值。

反之，如果二阶导数小于零，则函数在该点上是凹函数，即函数取得极大值。

二、数据的最值求解方法：1.遍历法：对于一组有限的数据，我们可以通过遍历整个数据集来找到最大或最小值。

这种方法适用于数据量较小的情况，但若数据量很大时，计算量会非常庞大。

2.排序法：我们可以对数据进行排序，然后找出最大或最小的元素。

对于较大的数据集，排序的时间复杂度可能很高，但一旦排好序，最值就可以很快被找出。

3.分治法：对于一个大规模的数据集，可以将其分成若干部分，然后递归地求解各个部分的最值，最后再从这些最值中选取最大或最小的元素。

这种方法适用于大规模数据集，可以大大降低计算复杂度。

4.动态规划法：对于具有重叠子问题特征的问题，我们可以使用动态规划的方法来求解最值。

通过定义状态、状态转移方程和初始条件等，我们可以使用动态规划算法逐步递推得到最值。

虽然这些方法在解决极值和最值问题时都有自己的优势和适用范围，但在具体问题中选择何种方法求解，需要根据问题的性质和数据的特点来确定。

对于函数的极值问题，导数法和二阶导数法是最常用的求解方法；对于数据的最值问题，遍历法和排序法适用于小数据量，而分治法和动态规划法适用于大数据量。

函数极值的求解毕业论文

函数极值的求解毕业论文函数极值的求解极值问题在数学中是一个重要的研究方向，也是应用最为广泛的数学概念之一。

在数学建模、优化问题等领域中，极值问题的求解具有重要的实际意义。

本文将介绍函数极大值和极小值的定义及求解方法，并应用实例进行论述。

一、函数极值的定义1. 极大值和极小值在数学中，给定一个定义在某个区间上的函数f(x)，如果在该区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≤f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极大值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极大值。

同样地，如果在给定的区间上存在一个数c，使得对于任意的x（x∈该区间），都有f(x)≥f(c)，则称f(x)在该区间上存在一个极小值，相应的数f(c)称为函数f(x)的极小值。

二、函数极值的求解方法求解函数极值的方法主要有导数法和二阶导数判别法两种方法。

1. 导数法导数法通过求取函数的导数，来寻找极值点。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数，并令一阶导数等于零。

得到一个或多个代数方程。

（2）解出这些代数方程，得到所有的极值点。

（3）代入原函数，求出这些极值点对应的函数值，并比较它们的大小，得到函数的极大值和极小值。

2. 二阶导数判别法二阶导数判别法通过二阶导数的值来判断函数的极值情况。

具体步骤如下：（1）求取函数的一阶导数和二阶导数。

（2）令一阶导数等于零，解出所有的极值点。

（3）将这些极值点代入二阶导数的表达式中，判断二阶导数的正负情况：- 若二阶导数大于零，则所代表的极值点为函数的极小值点。

- 若二阶导数小于零，则所代表的极值点为函数的极大值点。

- 若二阶导数等于零，则无法判断该点是否为极值点，需要进一步分析。

三、函数极值求解的实例分析下面以一个简单的实例来说明函数极值的求解过程。

例：求函数f(x) = x^2 - 2x + 1的极值点和极值。

解：首先求函数的一阶导数：f'(x) = 2x - 2令导数等于零，得到极值点的横坐标x：2x - 2 = 0x = 1将x = 1代入原函数f(x)中，得到极值点的纵坐标：f(1) = 1^2 - 2(1) + 1 = 0所以函数f(x)在x = 1处存在一个极小值点，极小值为0。

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学科分类号110本科毕业论文题目求函数极值的若干方法姓名张成银学号1106020540066院(系) 数学与计算机科学学院专业数学与应用数学年级11级指导教师李晟职称副教授二○一五年五月贵州师范学院本科毕业论文诚信声明本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。

对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。

本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

本科毕业论文作者签名：年月日目录摘要 (1)Abstract (2)引言 (3)1 一元函数极值问题 (3)1.1一元函数极值的定义 (3)1.2 一元函数极值的求解方法 (3)1.2.1 导数法 (3)1.2.2 配方法 (4)1.2.3 实例分析 (5)2 二元函数极值问题 (8)2.1 二元函数极值的定义 (8)2.2 二元函数极值求解的一般方法 (8)2.2.1 二元函数取得极值的条件 (8)2.2.2 二元函数一般求解步骤 (9)2.2.3实例分析 (9)2.3 二元函数条件极值的求解 (11)3 函数的极值在经济生活中的应用 (12)结语 (15)参考文献 (16)致谢 (17)摘要函数极值是函数很重要的性质之一，求函数极值的问题既是一个培养学生逻辑思维能力的问题，又是一个学以致用、解决生产科研问题的数学方法。

并且，在生产、生活中，生产者和消费者经常以利润为主，把实际问题按要求达到最大和最小的优化，形成一定的有效理论，实现效用最大的目标。

本文主要是研究并归纳当函数极值分别为一元函数或者为二元函数时，用简单的定义求解其极值的方法和函数的极值在经济生活中的运用。

关键词：函数极值；极大值；极小值AbstractThis is one of the very important function of the extreme nature of the function, seeking not only a problem of function extreme cultivation of students' logical thinking ability, but also a apply their knowledge to solve mathematical problems of production and research. And, in the production, life, producers and consumers often profit-oriented, practical issues required to achieve the maximum and minimum optimization, a certain effective theory, to achieve the goal of maximum utility. This paper is to study and concludes when the function extremum were unary function or if a binary function, with a simple definition of solving its extreme value approach. And extreme functions used in economic life.Keywords: function extremes; maxima; minimum value引言函数极值的求解是当代数学研究不可或缺的重要内容，在中学的基础学习、大学的理论学习和实际应用中都占有重要的地位，是推动微积分发展的要素之一，在解决实际问题中也占有极其重要的地位，在科学技术和社会生活的各个领域中都充满了函数极值问题。

当前在函数极值问题的讨论研究中已经有了不少的见解，并且在很多学术论文及期刊中,理论和实践已经达到了广泛、透彻的认识和运用。

1 一元函数极值问题1.1一元函数极值的定义定义[1]设函数()f x 在0x 的一个邻域内有定义，若对该邻域内异于0x 的x 恒有：0()()f x f x >，则称0()f x 为函数()f x 的极大值，0x 称为()f x 的极大值点；0()()f x f x <，则称0()f x 为函数()f x 的极小值，0x 称为()f x 的极小值点。

函数的极大值、极小值统称为函数的极值。

极大值点，极小值点统称为极值点。

1.2 一元函数极值的求解方法1.2.1 导数法利用一阶导数，根据函数极值的第一充分条件列表求函数的极值点。

定理1[2]（极值的第一充分条件）：设函数()y f x =在0x 的一个邻域内可微（在0x 处可以不可微，但必须连续），若当x 在该邻域内由小于0x 连续变为大于0x 时，其导数改变符号，则()f x 为函数的极值，0x 为函数的极值点，并且(1)若导数'()f x 由正值变为负值，则0x 为函数的极大值点；当0(;)x U x δ+∈时，所有的x 都满足'()0f x ≥，而当0(;)x U x δ-∈时，所有的x 都满足'()0f x ≤，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出()f x 在0x 处可以取得最大值。

(2)若导数'()f x 由负值变为正值，则0x 为函数的极小值点。

当0(;)x U x δ-∈时，所有的都满足'()0f x ≤；当0(;)x U x δ+∈时，所有的x 都满足'()0f x ≥，如果上述两个条件都成立时，那么我们就可以得出()f x 在0x 处可以取得最小值。

(3)若导数不变号，则0x 不是函数的极值点。

当 0(;)x U x δ∈时，'()f x 的符号一直不会改变，即所有的0(;)x U x δ∈都满足'()0f x ≥或所有的0(;)x U x δ∈都满足'()0f x ≤，那么在这种情况下我们可以得出()f x 在0x 处不能取到极值的。

运用该定理时，函数的一般步骤是：（1）确定函数定义域并找出所给函数的驻点和导数不存在的点；（2）考察上述点两侧导数的符号，确定极值点；（3）求出极值点处的函数值，得到极值。

利用二阶导数，根据函数极值的第二充分条件列表求函数极值点：定理2[2]（极值的第二充分条件）：设函数()y f x =在0x 处的二阶导数存在。

若'()0f x ≠，则0x 为函数的极值点，0()f x 为函数的极值，并且（1）当''()0f x >时，则0x 为函数的极小值点，0()f x 为函数的极小值；（2）当''()0f x <时，则0x 为函数的极大值点，0()f x 为函数的极大值。

运用该定理求函数极值点的一般步骤是：（1）确定函数定义域，并找出所给函数的全部驻点；（2）考察函数二阶导数在驻点出的符号。

定理3[2]设函数()f x 在0x 的某个邻域0(;)x U x δ∈内存在直到1n -阶的导数，在点0x 处n 阶是可以求导的，并且成立()0()0(1,2,,1)k f x n =⋅⋅⋅-，()0()0n f x ≠，那么（1）当n 为偶数的时候，()f x 在0x 处可以取到极值，并且如果()0()0n f x >时,我们可以在点0x 处取到极小值，如果()0()0n f x <时，极大值点在点0x 取到。

（2）当n 为奇数的时候，在这种情况下()f x 在点0x 处的极值是我们取不到的。

1.2.2 配方法在高中，数学中曾讲了二次函数2y ax bx c =++的图像是一条抛物线，从图像中可以分析出：（1）当0a >时，函数图像的抛物线口向上，它的纵坐标由递减到递增，这个顶点的纵坐标相当于极小值。

（2）当0a <时，函数图像的抛物线口向下，它的纵坐标由递增到递减，这个顶点的纵坐标相当于极大值。

因此，欲求二次函数2y ax bx c =++的极小值或极大值只需求得该函数的顶点坐标(,)x y ，我们用配方法将2y ax bx c =++写成224()24b ac b y a x a a -=++，那么该二次函数的顶点坐标即为24(,)24b ac b a a--。

（1）当0a >时，该坐标值244ac b y a-=即为极小值。

（2）当0a <时，该坐标值244ac b y a-=即为极大值。

1.2.3 实例分析例1[3]求函数22()x f x x e -=的极值。

解：方法1 ：利用第一充分条件判断。

（1）确定定义域：定义域为(,)-∞+∞；（2）求出导数22222'():'()2(2)2(1)x x x f x f x xe x e x xe x ---=+-=-；（3）求出()f x 在定义域内的全部驻点与不可导点（可能极值点）令22'()2(1)0x f x xe x -=-=，得到在定义域(,)-∞+∞内的驻点为1231,0,1x x x =-==，驻点将定义域分成了四个区间，分别为(,1),(1,0),(0,1),(1,)-∞--+∞；（4）考察在定义区间内'()f x 的符号：通过计算可知，当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >；当(1,0)x ∈-时，'()0f x <；当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈∞时，'()0f x <。

因此，由一元函数极值的第一充分条件可知，2x 是极小值点，11x =-和31x =都是极大值点，（5）计算极值：极小值(0)0f =；极大值22(1)1(1)(1)f e e ----=-=，极大值22(1)1(1)(1)f e e --==。

为了方便起见，整个解题过程用表1表示。

表1.1（1）确定定义域：定义域为(,)-∞+∞；（2）求出导数'()f x 和''()f x ：22222'()2(2)2(1)x x x f x xe x e x xe x ---=+-=-；224''()(2104)x f x x x e -=-+ （3）确定()f x 在定义域内的全部驻点：有方法1可知函数在定义域内的驻点为1231,0,1x x x =-==（4）考察''()f x 在驻点处的符号：因为1''(0)20,''(1)40f f e -=>±=-<，所以由一元函数极值的第二充分条件可知，20x =是极小值点，131,1x x =-=都是极大值点。