全等三角形培优竞赛训练题

全等三角形培优竞赛训练题

1、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ．

（1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；

（2）将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．

你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．

（3）将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？

2

点．∠CF ． 小明展示了一种正确的解题思路：的中点M ，易证ECF △≌△AE 在此基础上，同学们作了进一步的研究： （1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；

（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．

3、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，

EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．

当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12

DEF CEF ABC S S S +=△△△． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关

A D

F

C

G E B 图1 A D F C G E B

图2 A D F G E B 图3 D 图1 D 图2 图3 D

系？请写出你的猜想，不需证明．

4、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，

将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交

AC BC 、于D F 、两点．

（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；

（2）如图2，当α30=°时，试判断四边形1BC DA 的形状，并说明理由；

（3）在（2）的情况下，求ED 的长．

5、如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，M ，N 分别EB ，CD 的中点，易证：CD=BE ，

△AMN 是等边三角形．

（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4分）

（2）当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB =2AD 时，△ADE 与△ABC 及△AMN 的面积之比；若不是，请说明理由．（6分）

6、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等

边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证：

（1）AN=MB. （2）△CEF 为等边三角形。 （3）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？(只回答不证明)，

A D

B E

C

F 1A 1C A D B E C F 1A 1C A E C F B D 图1 图3 A

D F

E C B A D B C E 图2

F 图9 图10 图11

O O F E

A B A B M M C F

E

（4）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化，（只回答不证明)。

7、问题：已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．

请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．

（1）当90BAC ∠=︒时，依问题中的条件补全右图．

观察图形，AB 与AC 得数量关系为________；

当退出15DAC ∠=︒时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______； 可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．

（2）当90BAC ∠≠︒时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与（1）

中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

8、直线CD 经过BCA ∠的顶点C ，CA=CB ．E 、F 分别是直线CD 上

两点，且BEC CFA α∠=∠=∠． （1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题：

①如图1，若90,90BCA α∠=∠=，则EF BE AF -（填“>”，“<”或“=”号）； ②如图2，若0180BCA <∠<，若使①中的结论仍然成立，则α∠与BCA ∠应满足的关系是；

（2）如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系，并给予证明．

9、(1) 如图1,在正方

形ABCD 中,点E ,F 分别在边BC ,

CD 上,AE ,BF 交于点O ,∠AOF ＝90°.

求证：BE ＝CF .

(2) 如图2,在正方形ABCD 中,点E ,H ,F ,G 分别在边AB ,

BC ,CD ,DA 上,EF ,GH 交于点O ,∠FOH ＝90°, EF

＝4.求GH 的长.

(3) 已知点E ,H ,F ,G 分别在矩形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 上，

C B A 图1D

C B A A B

C E F

D D A B C

E

F A D F C E B 图1 图2 图3 第23题图1 第23题图2