初三上专题四点共圆

四点共圆专题讲义

例1．如图，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点．求证：E、F、G、H四点共圆．

例2．（1）如图，在△ABC中，BD、CE是AC、AB上的高，∠A=60°．求证：ED=1

2 BC

（2）已知：点O是△ABC的外心，BE，CD是高．求证：AO⊥DE

例3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC．求证：B、E、F、C四点共圆．

总结：四点共圆的方法：

1

．

__________________________________________________________

3．__________________________________________________________

4．__________________________________________________________

例4．求证：圆内接四边形对边乘积的和等于对角线的乘积，即图中AB·CD+BC·AD=AC·BD．

练习1．在ABC

△中，BA BC BAC

∠α

==

，，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段P A绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．

（1）若60

α=︒且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB 的度数；

（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；

（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

练习2．在△ABC中，∠A=30°，AB=23，将△ABC绕点B顺时针旋转α（0°<α<90°），得到△DBE，其中点A的对应点是点D，点C的对应点是点E，AC、DE相交于点F，连接BF.

OA=OB=OC∠ADC=∠ABC=90°∠ACD=∠ABD=90°∠B+∠D=180°或∠

A+∠BCD=180°或∠

A=∠DCE

∠A=∠D或∠B=∠

C

（1）如图1，若α=60°，线段BA 绕点B 旋转α得到线段BD .请补全△DBE ，并直接写出∠AFB 的度数； （2）如图2，若α=90°，求∠AFB 的度数和BF 的长； （3）如图3，若旋转α（0°<α<90°），请直接写出∠AFB 的度数及BF 的长（用含α 的代数式表示）.

练习3．已知，点P 是∠MON 的平分线上的一动点，射线P A 交射线OM 于点A ，将射线P A 绕点P 逆时针旋转交射线ON 于点B ，且使∠APB +∠MON =180°． （1）利用图1，求证：P A =PB ；

（2）如图2，若点C 是AB 与OP 的交点，当S △POB =3S △PCB 时，求PB 与PC 的比值； （3）若∠MON =60°，OB =2，射线AP 交ON 于点D ，且满足且∠PBD =∠ABO ，请借助图3补全图形，并求OP 长．

练习4．已知，在△ABC 中，AB =AC ．过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ，直线a 交BC 边于点P （点P 不与点B 、点C 重合），△BMN 的边MN 始终在直线a 上（点M 在点N 的上方），且BM =BN ，连接CN ．

（1）当∠BAC =∠MBN =90°时， ①如图a ，当θ=45°时，∠ANC 的度数为________ ；

图3 D

C B F

图1 D 图2 F D C B

②如图b，当θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；

（2）如图c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC与∠BAC之间的数量关系，不必证明．

练习5．已知：Rt△''

BA C

∠=∠BAC=30°，现将Rt△''

A BC绕

A C B

∠=∠ACB=90°，''

A BC

∠和Rt△ABC重合，''

点B按逆时针方向旋转角α（60°≤α≤90°），设旋转过程中射线''

C C和线段'

AA相交于点D,连接BD．

（1）当α=60°时，'A B过点C，如图1所示，判断BD和'

AA之间的位置关系，不必证明；

（2）当α=90°时，在图2中依题意补全图形，并猜想（1）中的结论是否仍然成立，不必证明；

（3）如图3，对旋转角α（60°＜α＜90°），猜想（1）中的结论是否仍然成立；若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由．

图1 图2 图3

练习6．在等边△ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中CD交直线AP 于点E．设∠P AB＝α，∠ACE＝β，∠AEC＝γ．

(1) 依题意补全图1；(2) 若α＝15°，直接写出β和γ的度数；

(3) 如图2，若60°<α<120°，①判断α，β的数量关系并加以证明；

②请写出求γ大小的思路．（可以不写出计算结果

．．．．．．．．．）

图1

图2

图3

练习7．阅读下面材料：

小红遇到这样一个问题，如图1：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD =4，DC =6，且∠BAC =45°，求线段AD 的长．

小红是这样想的：作△ABC 的外接圆⊙O ，如图2：利用同弧所对圆周角和圆心角的关系，可以知道∠BOC =90°，然后过O 点作OE ⊥BC 于E ，作OF ⊥AD 于F ，在Rt △BOC 中可以求出⊙O 半径及OE ，在Rt △AOF 中可以求出AF ，最后利用AD =AF +DF 得以解决此题．

请你回答图2中线段AD 的长 . 参考小红思考问题的方法，解决下列问题：

如图3：在△ABC 中，AD ⊥BC ，BD =4，DC =6,且∠BAC =30°，则线段AD 的长 .

图2

A B

P

C

A

B C

P

图1