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勒贝格控制收敛定理

勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了积分与极限的交换问题，并

在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。利用这一定理可以证明列维（Levi ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。

勒贝格控制收敛定理：设

（1）｛仁｝是可测集E上的可测函数列；

（2）f n

控制，而F（x）叫控制函数）；

（3）fn X = f X，则f X 在E 上可积分，且1叩.E fn X dx 二£ f X dx （注：

将条件（3）换为f n x f x a.e.于E，定理结论仍成立。

应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数，且要求控制函数是可积的。下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理在分析学中的应用。

1利用定理的证明

勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、

不等式判断函数连续等等问题。

例 1 ：设f i，f2，l