勒贝格控制收敛定理word精品
勒贝格控制收敛定理及其应用
勒贝格控制收敛定理及其应用
勒贝格控制收敛定理及其应用
刘皓春晓;
【期刊名称】《品牌：理论月刊》
【年(卷),期】2015(000)003
【摘要】讨论并证明了实变函数论中的一个重要定理勒贝格控制收敛定理,本定理体现了在勒贝格积分意义下积分与极限交换顺序的条件相对较弱,可以在判断函数连续、求积分极限方面有重大应用。
【总页数】1页(P.273-273)
【关键词】勒贝格控制收敛定理;函数连续;积分;极限
【作者】刘皓春晓;
【作者单位】山东大学(威海)数学与统计学院;
【正文语种】英文
【中图分类】O174.1
【相关文献】
1.勒贝格控制收敛定理及其应用 [J], 刘皓春晓
2.勒贝格控制收敛定理的应用 [J], 侯英
3.Lebesgue控制收敛定理及应用 [J], 刘晓辉; 康叔卫
4.小波级数的部分和在勒贝格点处的收敛性与收敛速度 [J], 赵书改
5.应用傅里叶级数展开定理证明推广的黎曼-勒贝格引理[J], 邢家省; 张愿章以上内容为文献基本信息，获取文献全文请下载。
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理是数学分析领域的重要定理之一，它为我们理解积分与极限之间的关系提供了重要的理论基础。
在本文中，我将对勒贝格逐项积分定理进行深入探讨，并尝试给出其证明，同时还会结合勒贝格控制收敛定理进行分析。
我将从基本概念出发，逐步展开讨论，帮助读者充分理解这一重要定理。
1. 勒贝格积分的概念在开始探讨勒贝格逐项积分定理之前，我们首先需要了解勒贝格积分的基本概念。
勒贝格积分是对变量在某个区间上的函数进行积分的一种方法，与黎曼积分不同的是，勒贝格积分对函数的可积性有更加严格的要求。
这种积分方法在处理一些特殊的函数和收敛性问题时具有重要的应用价值。
2. 逐项积分的概念在研究级数的收敛性时，我们常常会接触到逐项积分的概念。
逐项积分是将级数中的每一项进行单独的积分，然后再考察这些积分的收敛性。
逐项积分在分析级数的收敛性和积分之间的关系时起着重要的作用，而勒贝格逐项积分定理正是对逐项积分的一个重要的推广和应用。
3. 勒贝格逐项积分定理的表述勒贝格逐项积分定理是关于逐项积分和函数极限交换次序的定理。
它指出，如果级数在某个区间上逐项积分后收敛，那么这个逐项积分所得的函数的极限与原级数在该区间上的逐项积分所得的函数的极限是相同的。
这个定理在分析级数的逐项积分和函数极限的关系时起着至关重要的作用。
4. 勒贝格逐项积分定理的证明为了证明勒贝格逐项积分定理，我们需要结合勒贝格控制收敛定理来进行分析。
勒贝格控制收敛定理是判别逐项积分收敛的重要定理，它为我们提供了一种有效的方法来判断逐项积分的收敛性。
通过对级数的逐项积分进行适当的控制，我们可以得到逐项积分的收敛性，从而进一步推导出勒贝格逐项积分定理。
5. 个人观点与理解在我看来，勒贝格逐项积分定理是数学分析领域中的一个重要定理，它揭示了级数逐项积分和函数极限之间的深刻关系。
通过对该定理的深入理解，我们不仅可以更加深刻地理解级数的收敛性和逐项积分的性质，还可以为解决一些实际问题提供重要的理论支持。
勒贝格 Lebesgue 定理
勒贝格定理
注：若f ( x), g( x)在[a,b]上可积，f ( x)与g( x)可以复合， f ( g( x))在[a,b]上也不一定可积.
例如:R(
x)为[0,1]上黎曼函数,取f
(u)
1, u 0, u
f ( qk ) 0 pk
存在无理数序列
k
,
lim
k
k
x, lim k
f
(k )
lim
k
k
=x
f ( x)在[0,1]不连续点集D( f ) 0，1，
D( f )是区间,不是零测集,f ( x)在[0,1] 有界,所以f 在[0,1]上不可积.
勒贝格定理应用
例4
判断函数在0,1
可积性.f
(
x)
1 x
0 f ( x) 1,函数有界.
y 1
o 1 1 1 1
1x
543 2
f
( x)在[0,1]上有界并且其不连续点集D(
f
)
1
n
n
2, 3,
{0},
D( f )是可数集，所以是零测集，所以f 在[0,1]上可积.
勒贝格定理应用
例2 判断下面函数在[0,1]上可积性
y
f
(
x
)
sgn
勒贝格定理
推论
1) 如果f 在a,b可积 f 0 ,则1/ f 在a,b可积; 2) 如果f , g在a,b可积,则fg在a,b可积; 3) 如果f 在a,b可积,则f 在任何子区间c,d a,b可积； 4) 如果f , g在a,b可积 g 0,则f / g在a,b可积；
关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几点浅见
关于勒贝格有界收敛定理与法都引理的几
点浅见
勒贝格有界收敛定理和法都引理是数学领域的重要定理，它们是非常有价值的定理，对于解决复杂的数学问题具有重要的理论意义和实践意义。
勒贝格有界收敛定理是指，若一个有界函数序列在某点上收敛，则在这个点及其周围的各点上，这个序列的函数都具有有界性，即给定一定的ε >
0，存在正数M，使得当n > M时，|f(x) - f(x_0)| < ε。
勒贝格法都引理是指，对于给定的函数序列{f_n(x)}，如果它们在某点x_0上收敛，则这个序列的函数在x_0处的导数也收敛。
具体来说，假设在x_0处的f_n(x)的导数为f'_n(x)，如果f_n(x)在x_0处收敛，则f'_n(x)也在x_0处收敛。
勒贝格有界收敛定理和法都引理在解决数学问题中具有重要的作用。
首先，它们对于确定函数序列的收敛性具有重要的理论意义，可以用来判断函数序列是否收敛。
其次，它们也可以用来解决有关函数的极限值的问题，即求解函数序列的极限值。
此外，勒贝格有界收敛定理和法都引理还可以用来解决某些不等式的问题，即通过极限的概念来确定不等式的解。
总之，勒贝格有界收敛定理和法都引理是数学领域重要的定理，它们对于解决复杂的数学问题具有重要的理论意义和实践意义。
勒贝格控制收敛定理的应用
K回国日口囫函i—日t Z蕊UIU丽N U而．Z’’而晒。
a酬。
协勒贝格控制收敛定理的应用侯英(贵州财经学院数学与统计学院，贵州贵阳550004)文化与教育技柬摘要：勒贝格控制收敛定理是实变函数论的一个重要定理，可以用于计算积分的极限，证明积分等式、数列收敛、不等式、判断函数连续等许多问题。
关键词：勒贝格控制收敛定理；可测函数；可积函数勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了，积分与极限的交换问题，并在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。
利用这一定理可以证明列维(L evi)定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。
首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设(1){fn}是可测集E上的可测函数列；(2)I f o(x)J≤F(x)a．e．于E，n=l，2，…，且F(x)在E上可积分(称I R}为F(x)所控制，而F(x)叫控制函数)；(3)“x)j f(x)。
则f(x)在E上可积分，且l挚JE五(x)dx2JE f(x)dx注：将条件(3)换为“x)川x)a．e。
于E，定理结论仍成立。
在应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数。
且要求控制函数是可积的。
下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理的应用。
l利用定理证明勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、不等式、判断函数连续等等问题。
例l：设fl，f2。
…是E上的非负可积函数，且f L}在E上依测度收敛于f，r,m f,L(幽b= f z，证明：对E的任何町测子集A，均有叩．f正c‘)d(x触=．￡，“)ax证：由于f与丘都是非负函数，因此(f-驴(x)≤“x)。
x∈E．故f是函数列f(f-∞+l的控制函数．冈为{fn}在E上依测度收敛于f，所以{(㈤+I在E上依测度收敛予0。
由勒贝格控制收敛定理。
得．1i r a J．(，一．f O+(x)dx=0由1挚J。
^(触2J。
勒贝格控制收敛定理和levi定理的区别
勒贝格控制收敛定理和levi定理的区别摘要：一、勒贝格控制收敛定理与列维定理的概念及基本原理二、勒贝格控制收敛定理与列维定理的区别1.适用的函数空间不同2.收敛性的判定条件不同3.实际应用场景不同三、勒贝格控制收敛定理与列维定理在实际应用中的案例分析四、如何根据实际问题选择合适的定理正文：一、勒贝格控制收敛定理与列维定理的概念及基本原理勒贝格控制收敛定理（Lebesgue Control Convergence Theorem）是实变函数分析中的一条重要定理，它用于研究函数序列在某个函数空间上的收敛性。
勒贝格控制收敛定理表明，如果一个函数序列在某个函数空间中满足某种条件，那么这个序列在该空间中是收敛的。
列维定理（Levi Theorem）是另一个与勒贝格控制收敛定理相关的定理，它主要研究的是函数序列的一致收敛性。
列维定理告诉我们，如果一个函数序列在某个区间上满足某种条件，那么这个序列在该区间上是一致收敛的。
二、勒贝格控制收敛定理与列维定理的区别1.适用的函数空间不同：勒贝格控制收敛定理适用于一般的函数空间，包括连续函数、可积函数等。
而列维定理主要适用于区间上的函数序列，特别是那些具有良好光滑性质的函数序列。
2.收敛性的判定条件不同：勒贝格控制收敛定理关注的是函数序列在某个函数空间中的性质，例如函数的有界性、单调性等。
而定理的具体条件取决于所研究的函数空间。
列维定理则关注函数序列在某个区间上的性质，如函数的连续性、导数的有界性等。
列维定理的判定条件通常比勒贝格控制收敛定理更为严格。
3.实际应用场景不同：勒贝格控制收敛定理广泛应用于实变函数、泛函分析等领域的教学与研究中，可以帮助我们判断函数序列在不同函数空间上的收敛性。
列维定理则在微积分、实分析等课程中有着广泛的应用。
特别是在证明一些不等式、研究函数的性质以及分析极限问题时，列维定理起到了关键作用。
三、勒贝格控制收敛定理与列维定理在实际应用中的案例分析案例1：研究连续函数序列在闭区间上的收敛性假设我们要研究一个连续函数序列f_n(x)在闭区间[a, b]上的收敛性。
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途
1.证明函数序列的收敛性：勒贝格控制收敛定理可以用来证明函数序
列的一致收敛性。
对于给定的函数序列，如果能找到一个收敛的控制序列，且该序列的极限与函数序列的极限函数之差能够被控制住，那么这个函数
序列就是一致收敛的。
这对于研究函数序列的收敛性质和性质的保持具有
重要意义。
2.构造逼近函数序列：勒贝格控制收敛定理除了用于证明函数序列的
一致收敛性，它还可以用来构造逼近函数序列。
给定一个函数，可以通过
构造控制函数的逼近序列来逼近该函数。
这对于解决某些特定问题，如数
值解法和图像处理等具有重要意义。
3.证明积分交换次序：勒贝格控制收敛定理还可以用于证明积分的交
换次序。
在某些情况下，对于二重积分或多重积分，如果我们可以对积分
求导，并且利用控制函数的性质，可以通过控制收敛定理来证明积分的交
换次序是成立的。
4.证明测度的可测性：在测度论中，勒贝格控制收敛定理可以用来证
明可测函数的可测性。
对于给定的可测函数序列，如果我们可以找到一个
可测的控制函数序列，并且该序列收敛到一个函数上，那么控制函数和序
列函数的可测性是相同的。
这对于论证测度的性质和测度的可测性具有重
要作用。
总而言之，勒贝格控制收敛定理作为一个重要的收敛性定理，它的基
本用途主要有四个方面：证明函数序列的一致收敛性，构造逼近函数序列，证明积分的交换次序，以及证明测度的可测性。
它在实分析、概率论、测
度论等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
实变函数-5一般可测函数的勒贝格积分
f ( x )dx
?
n?
1
E
n
n?1 En
? ? 证明：由 f (x)dx ? En
E
f
(x)?
En
( x) dx，
然后利用Lebesgue
?
及f
(x)
?
?
n?1
f
(x)?
En
(x)
逐项积分定理即可
? 对应于测度的可数可加性
m
?
(? i?1
Ai )
?
?
mA i
i?1
推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可 积性且 积分值 不变
? ? ? ?
En fn (x)dx ?
c? (x)dx ? c ? (x)dx,
En
En
f(x) φ(x) fn(x)
cφ(x)
? ? 得到lim n? ?
E
fn (x)dx ? c
? (x)dx
E
? ? 令c ? 1,则有 lim fn (x)dx ? ? (x)dx
n? ? E
E
? ? 再由的积分定义知
n ?1
n? ?
，且
然后利用Levi逐项 积分定理即可
? 对应于测度的可数可加性
m
?
(? i?1
Ai )
?
?
mA i
i?1
? ? 例 试求
?
1
x2
(R)
n?1
? 1 (1 ?
dx x2)n
解 : 令fn (x) ?
, x ? x2
(1? x2 )n
[ ?1,1]
则fn (x) 为非负连续函数，当然为非负可测函数 ，
Lebesgue积分与收敛定理
Lebesgue积分与收敛定理Lebesgue积分是数学分析中一种重要的积分方式，它由法国数学家Henri Lebesgue于20世纪初提出，并成为现代测度论的基础。
Lebesgue 积分理论相比于传统的黎曼积分理论更加广泛适用于各种函数，且具有更强的收敛性质。
Lebesgue积分的定义和计算方法相对复杂，但其背后的思想却非常直观。
Lebesgue积分是通过测量函数在定义域上的取值与所谓的测度之间的关系来定义的。
具体而言，给定一个定义在实数轴上的函数f(x)，我们可以将实数轴分割成许多维度无穷小的区间，并在每个区间上计算函数的取值与区间长度的乘积。
然后将所有这些乘积相加，即可得到Lebesgue积分。
与黎曼积分相比，Lebesgue积分的优势在于其更强的收敛定理。
在Lebesgue积分中，我们可以定义函数序列的极限，并通过极限的性质来研究函数的收敛行为。
其中最为重要的收敛定理包括单调收敛定理、Fatou引理、Lebesgue收敛定理和控制收敛定理等。
单调收敛定理是指如果一个递增（或递减）的函数序列在积分定义域上逐点收敛于某个函数，那么它的积分也收敛，并且其积分值等于极限函数的积分。
这一定理在研究一些特殊的函数序列，如三角函数序列和幂函数序列时特别有用。
Fatou引理和Lebesgue收敛定理则是用来研究函数序列的逐点收敛性质的定理。
Fatou引理是指对于任意一个非负的函数序列，其逐点极限的积分不能大于或小于其下极限（上极限）的积分。
Lebesgue收敛定理则是对一般函数序列加以推广的结果，它给出了函数序列逐点收敛的充要条件，并且得出了收敛函数的积分等于极限函数的积分。
控制收敛定理是通过额外的控制函数来研究函数序列的收敛性质。
具体而言，如果对于一个函数序列，存在一个可测函数g(x)和一个可积函数h(x)，使得对于所有的x，序列中的每个函数的绝对值都小于g(x)，并且序列中的每个函数与极限函数之间的差的绝对值都小于h(x)，那么这个序列就称为控制收敛的。
Lebesgue控制收敛定理的证明及应用
１ ２ ５・
若记Ｍ 和 分别是 ， （ 在 ， ｌ 】 上的上下确界， 即有
（ 一 Ｘ ｉ ～ １ ） ≤ Ｌ 厂 ） ｄ ｘ ＜ Ｍ ｚ （ 一 一 １ ） ，
因此可 得
窑 （ 一 ） ≤ ￡ 朋 ． ， ＇ （ 批 喜 （ 一 ） 。
于是对上式两端所有划分分别取上下确源自 ， 便得 Ｌ ， ｂ ｌ ｆ （ ＝ （ ＝ （ 。
・ ．
．
） 在【 口 ， ｂ ｌ ＿ Ｌ￣ Ｌ积分和 Ｒ积分相 同。
例１ ： 定义在【 ０ ， １ 】 的狄利克雷函数 厂 （ ｘ ） ：
八 ＝ 妻
・ 。
．
对于区间【 ０ ， １ 】 的任意分划 ， 一切积分大和等于 １ ， 一切小和等于 ０， 因此 （ ） 不可能是 Ｒ可积
２ ０ １ ６ｆ － ￣６ 期 ５ 期 ）
－
营
。
贵 州 工 程 应 用 技 术 学 院 学 报 Ｊ Ｏ Ｕ 贝 Ｒ Ｎ Ａ Ｌ ｏ Ｆ Ｇ Ｕ Ｉ Ｚ Ｈ 匪 Ｏ ｕ Ｕ ⅢＶ Ｅ ～ Ｒ Ｓ １ Ｔ Ｙ０ 小 Ｆ Ｅ Ｎ Ｇ 于 Ｉ Ｎ Ｅ Ｅ Ｒ Ｉ Ｎ Ｇ 于 Ｓ Ｃ Ｅ 报 Ｎ Ｃ Ｅ
摘 要： 通过 引Ａ ． Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ ￣， 分与 Ｒ Ｊ ｅ ｍａ ｎ ｎ 积分 的关 系， 仔 细比较 两个积 分 的优越 性 ， 进 而详 细地 阐述 了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 的证 明及 其应 用。 首先给 出了Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控 制收敛 定理 并对其进 行证 明 ， 其 次再
举例说明其基本的应用， 最后 ， 指 出该定理的不足之处并给 出条件稍宽松的定理， 从而可为解题带来便利， 为理解并掌握 Ｌ ｅ ｂ ｅ ｓ ｇ ｕ ｅ 控制收敛定理及应用提供指导。
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
勒贝格逐项积分定理证明勒贝格控制收敛定理
摘要：
一、勒贝格逐项积分定理
1.勒贝格逐项积分定理的概念
2.勒贝格逐项积分定理的推导过程
二、勒贝格控制收敛定理
1.勒贝格控制收敛定理的概念
2.勒贝格控制收敛定理的证明过程
正文：
一、勒贝格逐项积分定理
勒贝格逐项积分定理，是数学分析中的一种重要定理，它指出：对于可积函数序列，如果其逐项可积，那么这个序列的积分也是可积的，且其积分的值等于序列中每个函数的积分的极限。
勒贝格逐项积分定理的推导过程主要依赖于勒贝格积分的可积性，即只要序列中的每个函数都可积，那么序列的积分也是可积的。
此外，还需要利用极限的保号性，即如果一个序列的极限非负，那么这个序列的每个元素也非负。
二、勒贝格控制收敛定理
勒贝格控制收敛定理，是数学分析中的又一个重要定理，它指出：对于可积函数序列，如果其逐项可积，并且每个函数都可以被一个可积函数控制，那么这个序列的积分等于序列中每个函数的积分的极限。
勒贝格控制收敛定理的证明过程主要是利用了勒贝格逐项积分定理，以及
函数的控制性。
首先，根据勒贝格逐项积分定理，序列的积分是可积的。
然后，由于每个函数都可以被一个可积函数控制，所以可以得到序列的积分的极限等于每个函数的积分的极限。
Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用
Lebesgue 控制收敛定理在数学分析中的应用卢江龙 指导教师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业085班13号，甘肃张掖734000）摘要：本文利用Lebesgue 控制收敛定理和概率统计的有关知识以及由Lebesgue 控制收敛定理得到的新的逐项积分定理，解决了数学分析中的一些难以解决的问题。
众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
使用起来非常不便，且应用面较窄，本文借助于Lebesgue 积分（下面称为（L ）积分，记为()()baL f x dx ⎰）得到了新的在（R ）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，从而解决了数学分析中的一些问题。
关键词 ： Lebesgue 控制收敛定理；Riemann 积分；极限；大数定律：Lebesgue 积分Lebesgue dominated convergence theorem in mathematical analysisLuJianglong Supervisor: Wang Rujun(Hexi University, of Mathematics and Applied Mathematics 085 class on the 13th, Gansu Zhangye 734000)Abstract: using the Lebesgue convergence theorem and the knowledge about the probability and statistics and the convergence theorem of Lebesgue integral theorem, a new item to solve some of the mathematical analysis to solve the problem. As is known to all, Riemann integral (below (R) called for the integration, and remember) function series of core-staff integral theorem is unanimous convergent series, and the conditions of each to continuous (see comments [5] 13.12), theorem. Use up very inconvenient, and application of narrow Lebesgue integral, the paper by the called (L) points, a new record for) in (R) can accept, more extensive application of the item, which solved the integral theorem and some problems of mathematical analysis.Keywords: Lebesgue dominated convergence theorem; Riemann integral; limit; Law of Large Numbers: Lebesgue integral1．引言众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
lebesgue积分收敛定理
Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue积分的收敛性的一个重要定理，它在实分析、复变函数等领域有着广泛的应用。
Lebesgue积分是勒贝格提出的一种广义的积分概念，可以处理一些传统的黎曼积分难以处理的函数，它的收敛性定理对于理解积分的性质，以及在数学分析、概率论等领域的应用有着重要的意义。
Lebesgue积分收敛定理的表述比较复杂，但是在实际的应用中，它对于理解和解决一些重要的数学问题具有重要的意义。
这个定理在分析、概率论、调和分析等领域都有着重要的应用。
下面我们将对Lebesgue 积分收敛定理进行详细的介绍和解释。
一、Lebesgue积分的定义在介绍Lebesgue积分收敛定理之前，我们先来回顾一下Lebesgue积分的定义。
给定一个可测函数$f: \mathbb{R} \rightarrow\mathbb{R}$，我们可以定义其Lebesgue积分为：$$\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu (x)$$其中$\mu$是勒贝格测度，对于可积函数$f$，其Lebesgue积分可以通过分割区间，对每个小区间上的函数值进行积分求和的方式进行定义。
Lebesgue积分的引入和定义是为了克服黎曼积分在处理某些特殊情况下的局限性。
二、Lebesgue积分收敛定理的主要内容Lebesgue积分收敛定理是关于Lebesgue可积函数序列的收敛性的一个重要定理，它有助于我们理解Lebesgue积分的性质，并在数学分析、概率论、调和分析等领域有着重要的应用。
Lebesgue积分收敛定理的表述如下：设$\{f_n(x)\}$是一列在$\mathbb{R}$上的可测函数序列，并且存在一个可测函数$f(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$\lim_{n \to \infty} f_n(x) = f(x)$$并且存在一个可积函数$g(x)$，使得对几乎所有$x \in \mathbb{R}$，有：$$|f_n(x)| \leq g(x), \quad \forall n$$那么有：$$\lim_{n \to \infty} \int_{\mathbb{R}} f_n(x) d\mu (x) =\int_{\mathbb{R}} f(x) d\mu(x)$$这个定理的主要内容是对于Lebesgue可积函数序列的收敛性进行了严格的描述和证明，它表明了当一个可测函数序列在几乎处处收敛于一个可测函数时，其Lebesgue积分也会收敛于相同的值。
简述lebesgue控制收敛定理
Lebesgue 控制收敛定理简述
Lebesgue 控制收敛定理是概率论中一个非常重要的定理之一，它给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。
该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。
本文将简述 Lebesgue 控制收敛定理的概念和基本性质。
让我们假设我们有一个随机变量序列 {Xn} ,它在这个序列中的每个元素都是随机变量。
我们想要定义控制收敛性，这是指随机变量序列 {Xn} 的控制集 (control set) 随 n 的增大而不断减小。
控制集是指 {Wn:Wn 是一个随机变量，且 P(Wn)=1} 。
Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控制收敛性的定义和性质。
该定理指出，如果随机变量序列 {Xn} 是可列可加的，并且其均值函数 (mean function) 可积，那么该序列的控制集 {Wn} 的极限 (as n→∞) 是一个确定的随机变量，称为随机变量序列 {Xn} 的控制极限。
更具体地说，如果 {Xn} 是一个可列可加的随机变量序列，并且其均值函数 F(x) 可积，那么有:
- 当 Xn 是独立随机变量时，控制集的极限为 Xn 的期望值: limn→∞P(Wn)=E(Xn)
- 当 Xn 是独立同分布随机变量时，控制集的极限为 Xn 的均值:
limn→∞P(Wn)=E(Xn)
Lebesgue 控制收敛定理给出了随机变量序列在概率意义下的控
制收敛性的定义和性质。
它为我们提供了一种在概率意义下控制随机变量序列的方法，并且为我们提供了一种计算随机变量序列的控制极限的方法。
该定理的应用非常广泛，包括统计学、控制论、信号处理等领域。
第五章,第二节 Lesbesgue积分的极限定理
= 0 0 +
∑
∞
n =1
( 1 ) n 2 n 1 n = 3 3
4.Fatou引理 4.Fatou引理 若fn(x)为E上非负可测函数列，则 ∫ lim f ( x)dx ≤ lim ∫ f ( x)dx
E n n →∞ n →∞ E n
lim f n ( x) = sup inf { f m ( x)}
∫
a
例
试从
证明
1 = (1 x) + ( x 2 x 3 ) + K + ( x 2 n 2 x 2 n 1 ) + K ,0 < x < 1 1+ x
1 1 1 ( 1) n +1 + + K + + K ln 2 = 1 2 3 4 n
解：令 f n ( x ) = x 2 n 2 x 2 n 1 , x ∈ ( 0 ,1), n = 1, 2 ,3, L
解：令Gn 为Cantor集P的余集中长度为1/3n 的构成区间的并，由条件知f(x)是[0,1]上的 非负可测函数，根据积分的可数可加性知
∫
[ 0 ,1 ]
f ( x ) dx =
∞
∫
P0 ∪ ( ∪ G
n =1
∞
n
)
f ( x ) dx
=
∫
P0
f ( x ) dx + ∑
n =1
∫
Gn
f ( x ) dx
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
E1 E2 E1 E2
= ∫ g ( x)dx + ∫ g ( x)dx = ∫ g ( x)dx
勒贝格控制收敛定理基本用途
勒贝格控制收敛定理基本用途1.证明函数序列的一致收敛性：在实际问题中，往往需要证明给定的函数序列是否一致收敛。
这对于分析解决问题至关重要。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种重要工具，通过构造一组适当的控制函数来刻画原函数序列的收敛性，从而可以判断函数序列是否一致收敛。
2.研究函数级数的收敛性：函数级数是函数的无穷和，它在数学分析中具有重要的地位。
勒贝格控制收敛定理可以用来证明函数级数的收敛性。
具体来说，对于给定的函数级数，通过构造一组适当的控制函数序列，可以判断函数级数是否一致收敛。
3.确定极限函数：在实际问题中，常常需要确定一组函数的极限函数。
极限函数可以帮助我们更好地理解问题的本质和性质。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种工具，帮助我们确定函数序列的极限函数。
4.定义积分：在实际问题中，需要对给定的函数进行积分，以求解问题。
在定义和计算积分时，勒贝格控制收敛定理可以用来保证所定义的积分有效，即在一定条件下积分可以存在且有良好的性质。
5.确定逐点极限：在实际问题中，经常需要研究给定函数序列的逐点极限。
逐点极限可以帮助我们更好地理解函数序列的性质和变化趋势。
勒贝格控制收敛定理可以作为一种工具，帮助我们确定原函数序列的逐点极限。
总之，勒贝格控制收敛定理是数学分析中的一个重要定理，具有广泛的应用价值。
它可以帮助我们研究函数序列的一致收敛性、函数级数的收敛性、函数序列的极限函数、积分的定义和计算以及给定函数序列的逐点极限。
勒贝格控制收敛定理提供了一种有力的工具和方法，可以帮助我们分析和解决实际问题。
单调收敛定理和勒贝格单调收敛定理
单调收敛定理和勒贝格单调收敛定理好嘞，今天我们聊聊数学中的两个有意思的定理——单调收敛定理和勒贝格单调收敛定理。
你可能会觉得这俩名字挺“高大上”，一听就像是高级数学课上才会出现的东西，别着急，听我说，没那么复杂。
咱们可以轻松搞定这俩定理，别看它们名字长，内容其实一点也不神秘。
让我们从简单的地方开始，慢慢捋一捋这些概念，保证让你听了就豁然开朗，甚至有点“小确幸”的感觉。
单调收敛定理，这个名字听起来是不是有点像是一个懒洋洋的数学家，每天都在慢慢地“收敛”？哈哈，别笑，这个定理可不是说某个人懒得做事哦，它其实是跟极限有关的。
简单来说，单调收敛定理是说，如果你有一列数，且这个数列是单调的（要么是越来越大，要么是越来越小），同时它的每一项都被某个数字“夹住”，那么这个数列一定是会收敛的，最终会趋向一个极限值。
咋样，听起来不难吧？换句话说，就是如果你有一堆数，它们一直朝一个方向走，最终就会停在某个地方。
这是不是有点像你每天都走在一个直路上，尽管前方可能有点起伏，但最终你会到达某个固定的地方一样。
举个简单的例子吧。
比如你开始跑步，第一天你跑了100米，第二天你跑了120米，第三天跑了150米……这个数列越来越大。
别担心，你的体力总有一天会停下来，跑到一个极限值，别跑得太快。
其实这个过程就是一个单调递增的数列，虽然它的速度在不断变快，但总有一个最大限度，最终你会到达一个“收敛”点。
单调收敛定理就告诉我们，像你这种数列最终不会“跑偏”，它会朝一个固定的目标走，最终停下来。
说完单调收敛定理，我们再聊聊另一个“酷炫”的东西——勒贝格单调收敛定理。
这个名字更有点吓人，是不是？看起来就像是一个老外发明的定理，数学界的“外国专家”。
但别担心，勒贝格单调收敛定理的精髓其实比它的名字还要简单，反正我说了算！说白了，这个定理就是在讲如果你有一堆函数，它们逐渐变得越来越大，而且每个函数都能被一个“可积”的函数所“包裹”，那么它们的积分也会收敛。
实变函数-5一般可测函数的勒贝格积分
? ? lim(R)
n? ?
0
1?
n2x2
sin
nxdx
?
lim(L)
n? ?
[0,1] 1 ?
n2x2
sin
nxdx
? ? ?
(L)
[0,1]
lim
n? ?
1
?
nx n2
x
2
sin
nxdx
? (L)
[0,1]
0dx
?0
?
且
lim
n? ?
En
?
?
n?1
En
?
E
f(x) fn(x) cφ(x)
由引理 1知
? ? lim c ? (x)dx ? c ? (x)dx
n? ? En
E
φ(x)
Levi逐项积分定理的证明
En ? {x ? E | fn (x) ? c? (x)}
于是从（应用引理 2）
? ? E fn (x)dx ? E fn (x)? En (x)dx
lim
n? ? E
fn (x)dx ?
E
f (x)dx
? ? 所以lim n? ?
E fn (x)dx ?
f (x)dx
E
对Levi逐项积分定理的说明
若fn(x)为E上非负可测函数列，
f1( x) ?
f2 (x) ?
f3(x) ? ? ?
f n (x)
?
?
,且
lim
n? ?
fn
(x)
?
f (x)
? ? 则lim n? ?
设fn(x)为E上可测函数列，
lim
n? ?
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勒贝格控制收敛定理
勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它解决了积分与极限的交换问题，并
在一定程度上代表了实变函数论方法的力量。
利用这一定理可以证明列维（Levi ）定理等其他定理，而且它在证明和计算中有着广泛的应用。
首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设
（1）｛仁｝是可测集E上的可测函数列；
（2）f n<F（x）a.e.于E，n=1,2,山，且F（x）在E 上可积分（称｛f n｝为F （x）所
控制，而F（x）叫控制函数）；
（3）fn X = f X，则f X 在E 上可积分，且1叩.E fn X dx 二£ f X dx （注：
将条件（3）换为f n x f x a.e.于E，定理结论仍成立。
应用勒贝格控制收敛定理时，关键是找出控制函数，且要求控制函数是可积的。
下面我们从两个方面探讨勒贝格控制收敛定理在分析学中的应用。
1利用定理的证明
勒贝格控制收敛定理可以证明积分等式、函数相等、积分的极限、积分的和、数列收敛、
不等式判断函数连续等等问题。
例 1 ：设f i，f2，l。