部分函数、极限、连续

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高数部分知识点总结

高数部分知识点总结1 高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向:1.利用等价无穷小;2.利用洛必达法0,,0,0,1则，对于型和型的题目直接用洛必达法则，对于、、型0,0,的题目则是先转化为型或型，再使用洛比达法则;3.利用重要极0,1xx1x,1(1，x),e限，包括、、;4.夹逼定理。

(1，),exlimlimlimsinxxx,0,0x,,1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限;更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点:不定积分f(x)dx,F(x)，C中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答,案中少写这个C会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加f(x)dx深印象:定积分的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，,f(x)dx,F(x)，C把它折弯后就是中的那个C,漏掉了C也就漏掉了,这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下af(x)dx限上做文章:对于型定积分，若f(x)是奇函数则有,,aaaaf(x)dxf(x)dxf(x)dx=0;若f(x)为偶函数则有=2;对于,,,,a,a0,,2t,,xf(x)dx型积分，f(x)一般含三角函数，此时用的代换是常,02用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u和利aaa奇函数,0偶函数,2偶函数用性质、。

高等数学辅导讲义

第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。

解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e xϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设1,1,()0,1,(),1,1,xx f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x ,并作出这两个函数的图形。

(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、求数列的极限方法一利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。

性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。

性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。

性质3(收敛数列的保号性) 如果lim nn xa→∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N+∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim nn n n xa yb →∞→∞==那么(1)()lim nn n xy a b →∞±=±;(2)lim nn n xy a b→∞∙=∙;(3)当0()nyn N +≠∈且0b ≠时,limn n nx a y b→∞=.例3 若 lim nn xa→∞=,则 limn n x a→∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)nnx =-, 显然1limn n x →∞=,但数列(1)nnx=-没有极限。

高等数学教案(极限部分)5函数的连续性

VS
利用连续函数的性质，求解方程。
详细描述
通过分析函数在某一点的连续性，利用极限的性质和连续函数的性质，求解方程。
总结词
利用连续性求解方程
利用连续函数的性质，研究函数的性质。
通过分析函数在某一点的连续性，利用极限的性质和连续函数的性质，研究函数的性质。
总结词
详细描述
利用连续性研究函数的性质
05
详细描述
在高等数学中，函数的连续性是指在某一点的极限值等于函数在该点的函数值。具体来说，如果函数在某一点处的极限存在，并且这个极限值等于函数在该点的函数值，那么函数在该点就是连续的。此外，为了判断函数在某一点的连续性，我们还需要检查该点的左右极限是否存在，并且相等，同时这个极限值也必须等于函数在该点的函数值。最后，函数的极限值不能为无穷大，否则函数在该点是不连续的。
求函数极限答案与解析
解析：分子和分母都除以$x^{2}$，得到$lim_{{x to 0}} frac{1 - frac{1}{x^{2}}}{1 + frac{1}{x^{2}}} = frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$。
$lim_{{x to 0}} frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$
函数在区间上的连续性
02
函数连续性的性质
总结词
详细描述
零点定理
零点定理是函数连续性中的一个重要定理，它表明如果函数在区间两端取值异号，则该区间内必存在至少一个零点。
零点定理可以应用于解决许多实际问题，例如求解方程的根、判断曲线的交点等。在数学分析中，零点定理是证明许多定理和性质的重要工具。
介值定理
总结词
最值定理表明闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值；介值定理和零点定理则可用于求解方程的根、判断曲线的交点等问题。这些性质是数学分析中的基础，对于理解函数的性质和解决数学问题具有重要意义。

数学2考试大纲

数学2考试大纲主要包括以下内容：一、考试性质数学2考试是普通高等学校招生全国统一考试的重要组成部分，旨在考查考生对数学基础知识的掌握程度和运用数学知识解决问题的能力。

二、考试内容数学2考试内容主要包括以下部分：1. 函数、极限、连续考试内容：函数的概念及表示法、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性、复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数、函数关系的建立、数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限、无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较、极限的四则运算、极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限：性质、函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

考试要求：理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立应用问题的函数关系。

理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

会运用基本初等函数的性质及其图形解决有关问题。

理解数列极限与函数极限的概念及其性质，掌握数列极限与函数极限的运算法则。

理解无穷小量、无穷大量的概念及其关系，掌握无穷小量的性质及无穷小量的比较方法。

理解极限的运算法则，会运用极限的四则运算求极限值。

理解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限值。

理解两个重要极限，并会用它们求极限值。

理解函数连续的概念，会求函数的间断点类型。

理解闭区间上连续函数的性质，会判断闭区间上连续函数的性质以及函数的最大值、最小值及其取值范围。

2. 一元函数微分学考试内容：导数的概念及几何意义、导数的计算方法及应用举例、微分的概念及应用举例、导数的四则运算及复合函数的导数计算方法、导数在几何上的应用（切线斜率、法线斜率、曲线切线）、导数在实际问题中的应用举例（曲线的凹凸性及拐点判断）。

考试要求：理解导数的概念及其几何意义，会求平面曲线的切线斜率及法线斜率。

掌握导数的计算方法及应用举例。

理解微分的概念及应用举例，会求函数的微分。

函数的极限函数的连续性

对于函数极限有如下的运算法则：
如果，lim f (x) A, lim g(x) B
xxo
xxo
那么,
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
lim [ f (x) g(x)] A B
xxo
f (x) A
lim
(B 0)
xxo g(x) B
当C是常数，n是正整数时 lim [Cf (x)] C lim f (x)
1 (x 0)
（2）讨论函数f（x）= ［0,3］上的连续性
x x3
在区间
例7 讨论下列函数在给定点处的连
续性（1）f (x) x2 4
x2
点x 2；
（2）f (x)

x 2

1,0 x,1

x x

1，
3
点 x 1 ；
； https:///gpcq/ 除权
极限问题的基本类型：
分式型，主要看分子和分母的首项系数指各；数式型有(极00限和；型），通过变形使得根式型(∞─∞型)，通过有理化变形使得各式有极限；
例1 求下列各极限
lim
x2
(
4 x2
4

x
1
) 2
x lim x0 | x |
lim
xπ 2
co
s
cos x 2
x s in
记作 lim f(x)=a或者当x→－∞时，f(x)→a x
(3)如果
lim
x
f(x)=a且
lim
x
f(x)=a，那么就
说当x趋向于无穷大时，函数f(x)的极限
是a，记作：lim f(x)=a或者当x→∞时， x

微积分第一章

高等数学教案、第一章函数、极限与与连续本章将在分别研究数列的极限与函数的极限的基础上，讨论极限的一些重要性质以及运算法则,函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

具体的要求如下：1．理解极限的概念（理解极限的描述性定义,对极限的N -ε、δε-定义可在学习过程中逐步加深理解,对于给出ε求N 或δ不作过高要求）。

2．掌握极限四则运算法则。

3．了解极限存在准则（夹逼准则和单调有界准则），会用两个重要极限求极限。

4．了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念.能够正确运用等价无穷小求极限。

5。

理解函数在一点连续的概念,理解区间内（上）连续函数的概念。

6. 了解间断点的概念，会求函数的间断点并判别间断点的类型。

7. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最大、最小值定理、零点定理、介值定理）。

第一章共12学时,课时安排如下绪论 §1.1、函数 §1.2初等函数 2课时 §1。

4数列极限及其运算法则 2课时 §1.4函数极限及其运算法则 2课时 §1。

4两个重要极限无穷小与无穷大 2课时 §1.4函数的连续性 2课时第一章习题课 2课时绪论数学:数学是研究空间形式和数量关系的一门学科，数学是研究抽象结构及其规律、特性的学科.数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性。

关于数学应用和关于微积分的评价：恩格斯：在一切理论成就中,未必再有像17世纪下叶微积分的微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了。

如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正是这里.华罗庚：宇宙之大,粒子之微，火箭之速，化工之巧,地球之变，生物之迷,日用之繁,无处不用数学。

张顺燕:微积分是人类的伟大结晶，它给出了一整套科学方法，开创了科学的新纪元，并因此加强和加深了数学的作用。

……有了微积分，人类才有能力把握运动和过程;有了微积分，就有了工业革命，有了大工业生产,也就有了现代的社会。

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第一部分函数极限连续函数、极限、连续函数极限连续函数概念函数的四种反函数与复初等函数数列极限函数极限连续概念间断点分类初等函数的连闭区间上连续特征合函数续性函数的性质函数的有界数列极限的函数极限的第一类间断有界性与最大性定义定义点值最小值定理函数的单调收敛数列的函数极限的可去间断点零点定理性性质性质函数的奇偶极限的唯一函数极限的跳跃间断点性性唯一性函数的周期收敛数列的函数极限的第二类间断性有界性局部有界性点收敛数列的函数极限的保号性局部保号性数列极限四函数极限与数则运算法则列极限的关系极限存在准函数极限四则则运算法则夹逼准则两个重要极限单调有界准无穷小的比则较高阶无穷小低阶无穷小同阶无穷小等价无穷小历年试题分类统计及考点分布考点复合函数极限四则两个重要单调有界无穷小的合计运算法则极限准则阶年份19871988 5 3 8 19891990 3 3 6 1991 5 3 8 1992 3 3 1993 5 3 8 1994 3 3 1995 3 3 1996 3 6 3 12 1997 3 3 199819992000 5 5 200120022003 4 4 8 2004 4 4 20052006 12 3 15 2007 4 4 2008 4 4 2009 4 4 2010 4 4 2011 10 10 20 合计8 18 37 32 27本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。

2.求数列极限和函数极限。

3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。

4.确定方程在给定区间上有无实根。

一、求分段函数的复合函数例 1 (1988, 5 分) 设 f (x)e x2, f [ (x)]1 x 且 ( x) 0 求 (x) 及其定义,域。

解: 由 f (x) e x 2知 f [ ( x)] e2( x)1x ,又 (x) 0 ,则 ( x)ln(1 x), x 0 .例 2 (1990, 3 分) 设函数 f ( x)1, x1则 f [ f ( x)]10, x 1, .1, x1,练习题 : (1)设f (x)0, x1, g ( x)e x , 求f [ g( x)] 和 g[ f (x)] , 并作出这1, x 1,两个函数的图形。

《高等数学》函数考点精讲与例题解析

《高等数学》函数考点精讲与例题解析第一部分函数极限连续函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。

它们是每年必考的内容之一。

第一节函数内容考点一、函数的定义给定两个非空数集D 和M ，若有对应法则f ，使得对于D 内的每一个x ，都有唯一确定的M y ∈与之对应，则称f 是定义在数集D 上的函数，记作)(x f y =，D x ∈，数集D 成为函数的定义域，)(D)(M f ⊂称为值域。

【考点一】会求函数的定义域及其表达式，特别是复合函数的定义域。

二、函数的奇偶性（1）首先必须要求函数的定义域关于原点对称。

例如，)(x f y =的定义域为),(a a -)0(>a 关于原点对称。

（2）验证对于任),(a a x -∈，都有)()(x f x f =-，称)(x f 为偶函数；偶函数)(x f 的图形关于y 轴对称。

（3）验证若对于任),(a a x -∈都有)()(x f x f -=-，称)(x f 为奇函数；奇函数)(x f 的图形关于坐标原点对称。

【考点二】会判定函数)(x f 的奇偶性，不管)(x f 的具体形式是什么，都需要计算)(x f -的值。

如果)()(x f x f =-，则由定义知)(x f 为偶函数；如果)()(x f x f -=-，则由定义知)(x f 为奇函数。

三、函数的周期性对函数)(x f y =，若存在常数0>T ，使得对于定义域的每一个x ，T x +仍在定义域内，且有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f y =为周期函数，T 称为)(x f 的周期。

【考点三】判断函数是否为周期函数，主要方法是根据周期函数的定义，要先找到一个非零常数T ，计算是否有等式)()(x f T x f =+成立。

特别要求掌握三角函数的周期性四、函数的有界性设函数)(x f y =在数集X 上有定义，若存在正数M ，使得对于每一个X x ∈，都有M x f ≤)( 成立，称)(x f 在X 上有界，否则，即这样的M 不存在，称)(x f 在X 上无界。

高等数学一微积分考试必过归纳总结要点重点

全书内容可粗分为以下三大部分：第一部分函数极限与连续（包括级数）第二部分导数及其应用（包括多元函数）第三部分积分计算及其应用（包括二重积分和方程）第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1234123456123456第四部分积分计算及应用考试常见题型1、不定积分的概念与计算；2、定积分的计算；3、定积分计算平面图形的面积；4、定积分计算旋转体的体积；5、无穷限反常积分6、二重积分7、微分方程最近几年考题中，积分计算的题目较多，而且也有一定的难度。

第一部分函数极限与连续一、关于函数概念及特性的常见考试题型：1、求函数的自然定义域。

2、判断函数的有界性、周期性、单调性、奇偶性。

3、求反函数。

4、求复合函数的表达式。

例1..函数___________. 2007.7知识点：定义域约定函数的定义域是使函数的解析表达式有意义的一切实数所构成的数集。

A C 解：A 11+1212+1x x x ≤≤≤≤⇒≤≤当0时，，故f (x )=1+x 在[0，1]上为有界函数。

B ． -11lim=+1x x →∞故f (x )=11+x 在（-1，0）上为无界函数。

CD 结合函数图像判断。

例4、设函数()f x 是定义在(,)a a -上的任意函数，证明：（1）、()()(),(,)g x f x f x x a a =+-∈-是偶函数（2）、()()(),(,)g x f x f x x a a =--∈-是奇函数知识点：奇偶性若对于任何x ，恒有()()f x f x -=-成立，则称()f x 是奇函数。

若对于任何x ，恒有()()f x f x -=成立，则称()f x 是偶函数．奇函数的图形关于原点对称，偶函数的图形关于y 轴对称分析：因为()g x 是定义在对称区间上，根据定义，只需证明：（1）()()g x g x -=例5x 与y 例62. 解：答案：C2. 令1,x u += 则1x u =-，故由2(1)f x x +=可得2()(1)f u u =-，即2()(1)f x x =-.二、极限与连续常见考试题型：1、求函数或数列的极限。

考研数学二重点

高等数学部分第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开线性代数部分第一章行列式1、行列式的定义2、行列式的性质3、特殊行列式的值4、行列式展开定理5、抽象行列式的计算第二章矩阵1、矩阵的定义及线性运算2、乘法3、矩阵方幂4、转置5、逆矩阵的概念和性质6、伴随矩阵7、分块矩阵及其运算8、矩阵的初等变换与初等矩阵9、矩阵的等价10、矩阵的秩第三章向量1、向量的概念及其运算2、向量的线性组合与线性表出3、等价向量组4、向量组的线性相关与线性无关5、极大线性无关组与向量组的秩6、内积与施密特正交化7、n维向量空间(数学一)第四章线性方程组1、线性方程组的克莱姆法则2、齐次线性方程组有非零解的判定条件3、非齐次线性方程组有解的判定条件4、线性方程组解的结构第五章矩阵的特征值和特征向量1、矩阵的特征值和特征向量的概念和性质2、相似矩阵的概念及性质3、矩阵的相似对角化4、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵第六章二次型1、二次型及其矩阵表示2、合同变换与合同矩阵3、二次型的秩4、二次型的标准型和规范型5、惯性定理6、用正交变换和配方法化二次型为标准型7、正定二次型及其判定概率论与数理统计部分第一章随机事件和概率1、随机事件的关系与运算2、随机事件的运算律3、特殊随机事件(必然事件、不可能事件、互不相容事件和对立事件)4、概率的基本性质5、随机事件的条件概率与独立性6、五大概率计算公式(加法、减法、乘法、全概率公式和贝叶斯公式)7、全概率公式的思想8、概型的计算(古典概型和几何概型)第二章随机变量及其分布1、分布函数的定义2、分布函数的充要条件3、分布函数的性质4、离散型随机变量的分布律及分布函数5、概率密度的充要条件6、连续型随机变量的性质7、常见分布(0-1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布)8、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第三章多维随机变量及其分布1、二维离散型随机变量的三大分布(联合、边缘、条件)2、二维连续型随机变量的三大分布(联合、边缘和条件)3、随机变量的独立性(判断和性质)4、二维常见分布的性质(二维均匀分布、二维正态分布)5、随机变量函数的分布(离散型、连续型)第四章随机变量的数字特征1、期望公式(一个随机变量的期望及随机变量函数的期望)2、方差、协方差、相关系数的计算公式3、运算性质(期望、方差、协方差、相关系数)4、常见分布的期望和方差公式第五章大数定律和中心极限定理1、切比雪夫不等式2、大数定律(切比雪夫大数定律、辛钦大数定律、伯努利大数定律)3、中心极限定理(列维—林德伯格定理、棣莫弗—拉普拉斯定理)第六章数理统计的基本概念1、常见统计量(定义、数字特征公式)2、统计分布3、一维正态总体下的统计量具有的性质4、估计量的评选标准(数学一)5、上侧分位数(数学一)第七章参数估计1、矩估计法2、最大似然估计法3、区间估计(数学一)第八章假设检验(数学一)1、显着性检验2、假设检验的两类错误3、单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验最后冲刺很多同学在做模拟题，提醒大家要学会思考着去做题。

【高等数学】极限详解

a
的数列{xn } 均
有
lim
n
f
(xn
)
A.
注：a 可以是，此时条件xn a 不再必要；另外，x 的趋向也可以是单侧的.
（4）若在a
的去心邻域内
f
(x )
0
，则
lim
x afΒιβλιοθήκη (x )的充要条件为
lim
x a
f
1 (x )
0.
（5）海涅定理
lim
x a
f
(x
)
A
的充要条件是：对任一满足
lim
zn xn yn ，
且
lim
n
yn
lim
n
z
n
A ，则有
lim
n
xn
A.
（2）对数列{xn } ，若 N N ，当n N 时，{xn } 单调增加（减少）有上界（下界），
则数列{xn } 极限存在，且
5
上海交通大学数学科学学院
王健
lim
n
x
n
sup
nN
xn
(inf nN
xn
).
4. 函数极限的基本性质
n
x
n
a 且 xn a 的数
列{xn } 均有
lim
n
f
(xn
)
A.
（6）唯一性若 lim f (x) 存在，其极限值唯一； x a
（7）局部有界性若 lim f (x) 存在，则 0 ，当 0 | x a | 时， f (x) 有界. x a
（ 8 ）局部保序性若 lim f (x ) A, lim g(x) B ，且 A B ，则 0 ，当

高数笔记(全)

第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：⑵当0x x →时，)(x f 的极限：左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

2024考研数学一考试范围

2024考研数学一考试范围
2024年考研数学一的考试范围包括高等数学、线性代数和概率论与数理统计。

具体来说，高等数学部分包括函数、极限、连续、一元函数微积分学、多元函数微积分学和常微分方程；线性代数部分包括行列式、矩阵、向量、线性方程组、矩阵的特征值和特征向量以及二次型；概率论与数理统计部分则涵盖随机事件和概率、随机变量及其分布、多维随机变量及其分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计以及假设检验等内容。

分析极限和连续函数的性质

分析极限和连续函数的性质随着数学的不断发展，极限和连续函数成为了数学研究中不可或缺的重要部分。

极限和连续函数有何特性？又分别有哪些性质？接下来将对这些问题进行深入探讨。

一、极限1.1 极限的定义极限是一种数学概念，表示一个函数在某一点上无限趋近于某个确定的值。

如果函数f(x)在x=a附近的值越来越接近L，那么就可以说f(x)的极限是L，并用符号limf(x) = L表示。

它的形式化定义为：当对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0＜|x-a|＜δ时，就可得到|f(x) - L|＜ε。

1.2 极限的性质（1）极限的唯一性如果函数f(x)在x=a处有极限，那么这个极限是唯一的。

（2）局部有界定理如果函数f(x)在x=a处有极限，那么它在a的一个邻域中是有界的。

（3）局部保号性定理如果函数f(x)在x=a处有极限L，则当x充分靠近a时，f(x)与L的符号相同。

（4）夹逼准则如果函数f(x)、g(x)、h(x)在x=a处有极限，并且当x在a的某个邻域内时，有f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，那么f(x)、g(x)、h(x)的极限都存在，且limf(x) = limg(x) = limh(x)。

二、连续函数2.1 连续函数的定义连续函数是指函数在定义域上无断点、无跳跃，并且图像可以画成不中断的线段。

连续函数的定义如下：设函数f(x)在点a的某一领域内有定义，则当x趋近于a时，f(x)的函数值也趋近于f(a)。

如果函数f(x)在点a处连续，则称函数f(x)在点a处连续。

2.2 连续函数的必要条件函数f(x)在点a处连续的必要条件是：（1）在点a的左右两侧，左极限等于右极限。

（2）在点a的左右两侧，左右极限都存在且相等。

（3）在点a处，函数f(x)的值等于f(a)。

2.3 连续函数的充分条件函数f(x)在点a处连续的充分条件是：（1）在点a的邻域内，f(x)存在极限。

（2）在点a的邻域内，f(x)无间断性。

24考研数学二大纲范围

24考研数学二的大纲范围主要包括以下几个部分：
1.函数、极限、连续：这部分内容主要考察函数的概念、性质、表示法，以及函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。

同时，还要求理解极限的概念，掌握极限的性质及四则运算法则，以及无穷小量的概念和比较方法。

2.一元函数微分学：这部分内容主要考察导数的概念、性质，以及导数的计算方法。

3.一元函数积分学：这部分内容主要考察积分的概念、性质，以及积分的计算方法。

4.多元函数微积分学：这部分内容主要考察多元函数的极限、连续、偏导数和全微分，以及多元函数的积分。

5.常微分方程与差分方程：这部分内容主要考察常微分方程的基本概念和性质，以及一阶常微分方程和差分方程的求解方法。

以上是24考研数学二的大纲范围，具体内容可能会因年份和不同学校的要求而有所调整。

建议考生在备考时，仔细阅读考试大纲，了解考试内容和要求，有针对性地进行复习。

数学知识点在教学函数的极限与连续性

数学知识点在教学函数的极限与连续性函数的极限与连续性是高中数学中重要的知识点，也是数学教学中的重点内容之一。

通过教学这一部分的知识，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高解题能力和思维逻辑。

本文将从函数的极限以及连续性两个方面，探讨数学知识点在教学中的应用。

一、函数的极限函数的极限是函数概念的重要组成部分，也是数学中的重点内容之一。

函数的极限描述了函数值随自变量无限接近某一特定值时的性质。

在教学函数的极限时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的极限的概念：首先，引导学生思考函数$f(x)$在$x$趋近于某个值$a$时的变化规律。

让学生通过探究实例，感受函数极限的概念，并理解极限的含义。

2. 极限的定义和性质：接下来，介绍极限的定义和性质。

通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数极限的基本概念和计算方法，理解函数极限的性质。

3. 极限的运算法则：教授极限的运算法则，如极限的四则运算法则、极限的复合法则等。

通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生灵活运用极限的运算法则，解决实际问题。

二、函数的连续性函数的连续性是函数性质的重要描述方式，也是数学中的重点内容之一。

函数的连续性描述了函数图像的连续性和无间断性。

在教学函数的连续性时，可以采用以下方式进行：1. 引入函数的连续性概念：首先，通过图像描述和实例引导学生思考连续函数的性质和特点。

让学生通过观察实例，感受连续函数的连续性，并理解连续性的定义。

2. 连续性的定义和性质：接下来，介绍连续性的定义和性质。

通过具体的例子和练习题，让学生掌握函数连续性的基本概念和判定方法，理解连续函数的性质。

3. 函数连续性的研究：教授函数连续性的研究方法，如函数的间断点和可导性。

通过引入具体的例子和案例分析，帮助学生深入理解函数的连续性，解决实际问题。

三、数学知识点在教学中的应用函数的极限与连续性在数学教学中是重要的知识点，同时也是其他数学概念的基础。

通过教学函数的极限与连续性，可以帮助学生将抽象概念与实际问题相结合，提高解题能力和数学思维逻辑。

函数的极限与函数的连续性

知能迁移1 下列极限是否存在？若存在，请求
出其极限值.
(1) lim 3x2 5x 3 ; (2) lim 2x 3x .
x x2 x
x 2x 3x
解
3x2 5x 3
(1) lim x
x2 x
lim
3
5 x
3 x2
x 1 1
x
lim 3 lim
x
x
5 x
lim
x
3 x2
lim1 lim 1
x x0
③当且仅当
lim
x x0
f (x) lim x x0
f (x) a
时，lim
f (x) a,
即 lim
f (x) a
lim
x x0
f (x)
lim
x x0
f
(x)
x
a
x0
.
x x0
2. 函数极限的运算法则
若 lim f (x) a, lim g(x) b, 那么
x x0
②
x x0
lim
f
(x)
f(x0)
③ xx0
=
.
（3 如果函数f（x）在某一区间（a，b）内每一点处都连续，就说函数f（x）在开区间（a，b）内连续. （4 如果函数f（x）在开区间（a，b）内连续，在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，就说函数f（x）在闭区间［a，b］上连续. （5 （最值定理）如果f（x）是闭区间［a，b］上的连续
∴ lim
x2－3＝ lim － 1－x32
x→－∞ 3 x3＋1 x→－∞
3 1＋x13
＝－11＝－1.
(3)原式＝ lim x→－1

第1章：函数、极限与连续-王光庆广东专插本高等数学笔记

由Dubai君基于王光庆的专插本高等数学视频所写原则：常用定义域【注意这里的x是p】（2）n可以为0 ，也就是根号x也成立；x不小于0即可（3）lnx ：x要大于0；lnx^2：x不等于0即可，因为x取到负值时平方后还是大于0这里的x是p1.公母不等于0；2. 2n倍的根号内不能小于0，当不是2n时无限制；3.对数真数部分大于0；4.反函数as与ac的定义域区间注意一下，是闭区间；取交集（都有的地方）分母不能为0！！！！抽象函数求定义域重要求定义域指的是求x的范围，所以要得到x的范围重点，课外补充：复合函数定义域问题1.由单一函数定义域求复合函数定义域重要思想：括号内的范围，是不变的2.由复合函数定义域求单一函数定义域求得括号的范围是【2,3】3. 由复合函数定义域求复合函数定义域思路：先求单一再求复合注意事项补充：1.定义域指的是x2.前后定义域要一样，易错题已知f（x-1）的定义域为（0,1】，即是x的取值范围为（0,1】：0<x<=1分段函数：主要以选择题的形式出现y-值域-y的取值范围x-定义域-x的取值范围f-对应法则-functionf对x进行操作得到y判断两个函数是否相同：两个函数的值域，定义域相同即是函数相同A:分母不能为0B:两个x都是属于R，定义域相同；第一个y>=0,第二个y属于R，值域不相同C：第一个x能取到负无穷，x不等于0即可；第二个x只能大于0；D：两个x都属于R，两个y都大于等于0这种类型题目分为三种第一种类型：知道简单的（标准的）求复杂的：做法：直接代入观察f(x)=2x,可知f是将x操作成2x，那么x+1会被f操作成2（x+1）f(x)=2xf(p)=2pp=x+1f(x+1)=2(x+1)答案是：9x+1第二种类型：知道复杂的来求简单的，其实就是让你求f的操作是什么方法：凑或换元观察可知f是将p操作成p的倒数: P=x,f(x)=1/x 这就是凑‘’1.凑2换元，【很重要，必须掌握】第三种类型：知道一个复杂的，求一个复杂的。