第十八章隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用

一、证明题

1.证明:设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数,则当 时,有

2.设tgx

y u =,x sin y v =.证明:当2x 0π<<,y>0时,u,v 可以用来作为曲线坐标;解出x,y 作为u,v 的函数;画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线;计算

()()y ,x v ,u ∂∂和()()

v ,u y ,x ∂∂并验证它们互为倒数. 3.将以下式子中的(x,y,z)变换成球面从标()ϕθ,,r 的形式:

2

221z u y u x u u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∆, 2222222z

u y u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆. 4.证明对任意常数ρ,ϕ,球面2222z y x ρ=++与锥面2

222z tg y x ⋅ϕ=+是正交的.

5.试证明:函数()y ,x F 在点()000y ,x P 的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).

6.证明:在n 个正数的和为定值条件

x 1+x 2+x 3+…+x n =a 下,这n 个正数的乘积x 1x 2x 3…x n 的最大值为n n

h

a .并由此结果推出n 个正数的几何中值不大于算术中值.

≤⋅⋅⋅⋅n n 21x x x n

x x x n 21+⋅⋅⋅++

二、计算题

1．方程 能否在原点的某邻域内确定隐函数 或 .

2.方程 在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出一个变量为另外两个变量的函数.

3.求下列方程所确定的隐函数的偏导数:

(1)x+y+z= ,求Z 对x,y 的一阶与二阶偏导数;

(2)F(x,x+y,x+y+z)=0,求 , 和 .

4.设f 是一元函数,试问应对f 提出什么条件,方程2f(xy)= f(x)+f(x)在点(1,1)的邻域内就能确定出唯一的y 为x 的函数?

1.试讨论方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 2

2y 在点(1,－1,2)的附近能否确定形如x=f(z),y=g(z)的隐函数组.

5.求下列方程组所确定的隐函数组的导数:

(1)⎪⎩⎪⎨⎧=+=++ax

y x a z y x 222222, 求x y ∂∂,x z ∂∂; (2)⎪⎩

⎪⎨⎧=--=--0xu v y 0yv u x 2222, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,y v ∂∂. (3)()()

⎩⎨⎧-=+=y v ,x u g v y v .ux f u 2, 求x u ∂∂,x v ∂∂. 6.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数:

(1)⎪⎩

⎪⎨⎧-=+=,v cos u e y ,v sin u e x u u 求y x y x v ,v ,u ,u ; (2)⎪⎩

⎪⎨⎧+==+=3322v u z v u y ,v u x ,求x z .

7.设函数z=z(x,y)由方程组

v u e x +=,v u e y -=,uv z =(u,v 为参量)所定义的函数,求当u=0,v=0时的dz.

8.设u,v 为新的自变量变换下列方程:

(1)()()0y

z y x x z y x =∂∂--∂∂+,设22y x ln u +=, x y arctg v =; (2)0y z y x z x 222222

=∂∂-∂∂,设xy u =,y x v =. 9.设函数u=u(x,y)由方程组

u=f(x,y,z,t),g(y,z,t)=0,h(z,t)=0

所确定,求x u ∂∂和y

u ∂∂.

10.设2r x u =,2r y v =,2r

z w =,其中222z y x r ++=, (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组;

(2)计算()()

z ,y ,x w ,v ,u ∂∂. 11.求平面曲线323232a y x =+()0a >上任何一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.

12.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面:

(1)t sin a x 2=,t cos sin b y =,t cos c z 2=在点4

t π=; (2)9z y 3x 2222=++.222y x 3z +=,在点(1,－1,2).

13.求下列曲线在所示点处的切平面与切线:

(1)0e y z x 2==-,在点(1,1,2); (2)1c z b y a x 222222=++,在点(3a ,3b 3

c ). 14.求曲面上过点21z 3y 2x 222=++的切平面,使它平行于平面0z 6y 4x =++.

15.在曲线x=t,2t y =,3t z =上求出一点,使曲线在此点处的切线平行于平面x+2y+z=4.

16.求函数222z y x x u ++=

在点M(1,2,－2)处沿曲线x=t,2t 2y =,4

t 2z -=在该点切线方向上的方向导数. 17.确定正数λ,使曲面λ=xyz 与椭球面++2222b y a x 1c

z 22

=在某一点相切. 18.求曲面x z y x 222=++的切平面,使其垂直于平面2z 2

1y x =--和2z y x =--. 19.求两曲面F(x,y,z)=0,G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.

20.应用拉格朗日乘数法,求下列函数的条件极值:

(1)f(x,y)=2

2y x +,若x+y-1=0

(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t,若xyzt=c 4(其中x,y,z,t>0,c>0);

(3)f(x,y,z)=xyz,若222z y x ++=1,x+y+z=0.

21.(1)求表面积一定而体积最大的长方体.