数学分析 隐函数定理及其应用

第十八章隐函数定理及其应用

教学目的：1.理解隐函数定理的有关概念及隐函数存在的条件，进而会求隐函数的导数；

2.了解隐函数组的有关概念，理解二元隐函数组存在的条件，了解反函数组存在的条件；

3.掌握隐函数的微分法在几何方面等的应用，会把实际问题抽象为条件极值并予以解决。

教学重点难点：本章的重点是隐函数定理；

教学时数：14学时

§ 1 隐函数

一．隐函数概念：隐函数是表达函数的又一种方法.

1.隐函数及其几何意义: 以为例作介绍.

2.隐函数的两个问题:ⅰ>隐函数的存在性; ⅱ> 隐函数的解析

性质.

二.隐函数存在条件的直观意义:

三.隐函数定理:

Th 1 ( 隐函数存在唯一性定理 ) 若满足下列条件:

ⅰ> 函数在以为内点的某一区域D上连续 ; ⅱ> ; ( 通常称这一条件为初始条件 )

ⅲ> 在D内存在连续的偏导数;

ⅳ> .

则在点的某邻域()D内 , 方程唯一地确定一个定义在某区间内的隐函数, 使得

⑴,时()且

.

⑵函数在区间内连续 .

( 证略 )

四.隐函数可微性定理:

Th 2 设函数满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 又设在D内存在且连续 . 则隐函数在区间内可导 , 且

. ( 证略 )

例1 验证方程在点满足隐函数存在唯一性定理的条件 , 并求隐函数的导数 . P149例1

例2 . 其中为由方程所确定的隐函数 . 求. P150例2 ( 仿 )

例3 ( 反函数存在性及其导数 ) 设函数在点的某邻域内

有连续的导函数, 且, . 用隐函数定理验证存在反函数 , 并求反函数的导数. P151例4

五. 元隐函数: P149 Th3

例4. 验证在点

存在是的隐函数 , 并求偏导数 .

P150 例3

§ 3 几何应用

一.平面曲线的切线与法线 : 设平面曲线方程为. 有

.

切线方程为,

法线方程为.

例1求Descartes叶形线在点处的切线和法线 . P159例

1.

二.空间曲线的切线与法平面 :

1.曲线由参数式给出 :

.

切线的方向数与方向余弦.

切线方程为.

法平面方程为.

2. 曲线由两面交线式给出 : 设曲线的方程为

点在上. 推导切线公式. [1]P209. 切线方程为.

法平面方程为

.

例2P161例2 .

三.曲面的切平面与法线 :

设曲面的方程为, 点在上. 推导切面公式.1]P211.

切平面方程为.

法定义域线方程为.

例3P162例3 .

§ 4 条件极值

一.条件极值问题 : 先提出下例:

例要设计一个容积为的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以、和表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件之下求函数的最小值 .

条件极值问题的一般陈述 .

二. 条件极值点的必要条件 :

设在约束条件之下求函数的极值 . 当满足约束条件

的点是函数的条件极值点 , 且在该点函数满足隐函数存在条件时, 由方程决定隐函数,于是点就是一元函

数的极限点 , 有.

代入, 就有,

( 以下、、、均表示相应偏导数在点的值 . ) 即—, 亦即 (, ) ,).

可见向量(, )与向量, )正交. 注意到向量, )也与向量 , )正交, 即得向量(, )与向量, )线性相关, 即存在实数, 使(, ) + , ).

亦即

二.Lagrange乘数法 :

由上述讨论可见 , 函数在约束条件之下的条件极值点应是方程组的解.

倘引进所谓Lagrange函数

, ( 称其中的实数为Lagrange乘数 ) 则上述方程组即为方程组

以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 .

四、用Lagrange乘数法解应用问题举例 :

例1求容积为的长方体形开口水箱的最小表面积 . P166例1 例2抛物面被平面截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . P167例2

例3求函数在条件

下的极小值 . 并证明不等式 , 其中为任意正常数 .168 例3