数学分析隐函数定理及其应用

数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组

第十八章隐函数定理及其定理1隐函数组一、隐函数组的概念设方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,, 其中F,G 为定义在V ⊂R 4上的四元函数. 若存在平面区域D,E ⊂R 2,对于D 中每一点(x,y), 有唯一的(u,v)∈E, 使得(x,y,u,v)∈V, 且满足该方程组，则称由该方程组确定了隐函数组：⎩⎨⎧==y)g(x,v y)f(x,u , (x,y)∈D, (u,v)∈E, 并有⎩⎨⎧≡≡0y))g(x,y),f(x,y,G(x,0y))g(x,y),f(x,y,F(x,, (x,y)∈D.二、隐函数组定理分析：设概念中的F,G,u,v 都可微，分别对x,y 求偏导数可得：⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F x v x u x x v x u x 和⎩⎨⎧=++=++0v G u G G 0v F u F F y v y u yy v y u y , 解出u x ,v x ,u y ,v y 的充分条件是vuv u G G F F ≠0，也可记作：)v (u,)G (F,∂∂≠0, 即函数F,G 关于变量u,v 的函数行列式(或称雅可比行列式)不为0.定理18.4：(隐函数组定理)若(1)F(x,y,u,v)与G(x,y,u,v)在以P 0(x 0,y 0,u 0,v 0)为内点区域V ⊂R 4上连续； (2)F(x 0,y 0,u 0,v 0)=0, G(x 0,y 0,u 0,v 0)=0(初始条件)； (3)在V 上F, G 具有一阶连续偏导数； (4)J=)v (u,)G (F,∂∂在点P 0不等于0，则 1、存在点P 0的某一(四维空间)邻域U(P 0)⊂V ，在U(P 0)上方程组⎩⎨⎧==0v)u,y,G(x,0v)u,y,F(x,惟一地确定了一个定义在点Q 0(x 0,y 0)的某一(二维空间)邻域U(Q 0)的两个二元隐函数u=f(x,y), v=g(x,y) 使得当(x,y)∈U(Q 0)时，u 0=f(x 0,y 0), v 0=g(x 0,y 0)；(x,y,f(x,y),g(x,y))∈U(P 0), 且 F(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0, G(x,y,f(x,y),g(x,y))≡0； 2、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上连续；3、f(x,y), g(x,y)在U(Q 0)上有一阶连续偏导数，且x u ∂∂=-)v (x ,)G (F,J 1∂∂,x v ∂∂=-)x (u,)G (F,J 1∂∂; y u ∂∂=-)v (y,)G (F,J 1∂∂,y v ∂∂=-)y (u,)G (F,J 1∂∂.例1：讨论方程组⎩⎨⎧=++==+=01xy -v -u v)u,y,G(x,0y -x -v u v)u,y,F(x,222在点P 0(2,1,1,2)近旁能确定怎样的隐函数组，并任求一组隐函数组的偏导数.解：F,G 在R 4上连续，F(2,1,1,2)=0, G(2,1,1,2)=0. 求F,G 的所有偏导数得：F u =2u, F v =2v, F x =-2x, F y =2v, G u =-1, G v =1, G x =-y, G y =-x. ∵在P 0处的所有六个雅可比行列式中，仅)v (x ,)G (F,∂∂=0. ∴只有x,v 难以肯定能否作为以y,u 为自变量的隐函数，其余任两个变量都可在P 0近旁作为以另两个变量为自变量的隐函数. 对原方程组分别求关于u,v 的偏导数，得⎩⎨⎧==0xy -yx -1-0y -2xx -2u u u u u ;⎩⎨⎧==0yx -xy -10y -2xx -2v v v v v ，解得 x u =y -x 21x u 22+,y u =-y -x 2yu 2x 22+; x v =y -x 21x v 22+,y v =-y-x 2yv2x 22-.例2：设函数f(x,y), g(x,y)具有连续偏导数，而u=u(x,y), v=v(x,y)是由方程组u=f(ux,v+y), g(u-x,v 2y)=0确定的隐函数，试求x u ∂∂,yv∂∂. 解：记F=f(ux,v+y)-u, G=g(u-x,v 2y), 则有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛v uy xv u y x G G G G F F F F =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2122121212vyg g g v g -f 1xf f uf ; 从而有 J uv =21212vyg g f 1xf -=2xyvf 1g 2-2yvg 2+f 2g 1; J xv =21212vyg g -f uf =2yuvf 1g 2-f 2g 1;J uy =22121g v g f 1xf -=xv 2f 1g 2-v 2g 2+f 2g 1.∴x u ∂∂=-uvxvJ J =122212112g f +2yvg -g 2x yvf g yuvf 2g f -;y v ∂∂=-uv uy J J =122211221222g f +2yvg -g 2xyvf g -f g f xv -g v .三、反函数组与坐标变换设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)是定义在xy 平面点集B ⊂R 2上的两个函数, 对每一点P(x,y)∈B, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)有uv 平面上惟一的一点Q(u,v)∈R 2与之对应，我们称方程组u=u(x,y), v=v(x,y)确定了B 到R 2的一个映射(变换)，记作T. 这时映射T 可写成如下函数形式： T ：B →R 2, P(x,y)↦Q(u,v)，或写成点函数形式Q=T(P), P ∈B, 并称Q(u,v)为映射T 下P(x,y)的象，而P 则是Q 的原象. 记B 在映射T 下的象集为B ’=T(B).若T 为一一映射(每一原象只对应一个象，且不同的原象对应不同的象), 则每一点Q ∈B ’, 由方程组u=u(x,y), v=v(x,y)都有惟一一点P ∈B 与之相对应，由此产生新的映射称为T 的逆映射(逆变换), 记作T -1, 有T -1：B ’→B, Q ↦P ,或P=T -1(Q), Q ∈B ’, 即存在定义在B ’上的函数组：x=x(u,v),y=y(u,v)，把它代入原函数组，恒有 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)),这时称函数组x=x(u,v),y=y(u,v)为原函数组的反函数组.定理18.5：(反函数组定理)设函数组u=u(x,y), v=v(x,y)及其一阶偏导数在某区域D ⊂R 2上连续，点P 0(x 0,y 0)是D 的内点，且 u 0=u(x 0,y 0),v 0=v(x 0,y 0),P )y (x,)v (u,∂∂≠0,则在点P 0’(u 0,v 0)的某一邻域U(P 0’)上存在惟一的一组反函数x=x(u,v),y=y(u,v)，使得x 0=x(u 0,v 0),y 0=y(u 0,v 0), 且当(u,v)∈U(P 0’)时，有(x(u,v),y(u,v))∈U(P 0),及 u ≡u(x(u,v),y(u,v)), v ≡v(x(u,v),y(u,v)).该反函数组在U(P 0’)上存在连续的一阶偏导数，且u x ∂∂=y v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v x ∂∂=-y u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂;u y ∂∂=x v ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂,v y ∂∂=-x u ∂∂/)y (x ,)v (u,∂∂. 即互为反函数组的雅可比行列式互为倒数.例3：平面上的点P 的直角坐标(x,y)与极坐标(r,θ)之间的坐标变换公式为：x=rcos θ,y=rsin θ, 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：由于)θ(r,)y (x ,∂∂=rcos θsin θrsin θ-θcos =r, ∴除原点外，原函数组所确定的反函数组为：r=22y x +, θ=⎪⎩⎪⎨⎧<+>0x x yarctanπ0x x y arctan ，.例4：直角坐标(x,y,z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换公式为：x=rsin φcos θ, y=rsin φsin θ, z=rcos φ. 讨论该函数组所确定的反函数组. 解：∵)θφ,(r,)z y,(x ,∂∂=0rsin φ-cos φcos θ rsin φsin θ rcos φsin θsin φsin θrsin φcos θ rcos φcos θ sin φ-=r 2sin φ, ∴在r 2sin φ≠0, 即除去z 轴上的一切点，原方程组确定的反函数组为： r=222z y x ++, θ=arctan x y, φ=arccos rz .例5：设φ为二元连续可微函数, 对于函数组u=x+at, v=x-at, 试把弦振动方程a 222x φ∂∂=22tφ∂∂ (a>0)变换成以u,v 为自变量的形式.解：∵u x =v x =1, u t =v t =a, ∴)t (x ,)v (u,∂∂=-2a ≠0, ∴所设变换存在逆变换. 又du=u x dx+u t dt=dx+adt, dv=dx-adt, 由微分形式不变性得 d φ=φu du+φv dv=(φu +φv )dx+a(φu -φv )dt, 即φx =φu +φv , φt =a(φu -φv ). ∴以u,v 为自变量, 有φxx =u ∂∂(φu +φv )u x +v ∂∂(φu +φv )v x =φuu +φvu +φuv +φvv =φuu +2φuv +φvv ; φtt =a u ∂∂(φu -φv )u t +a v∂∂(φu -φv )v t =a 2(φuu -2φuv +φvv ). ∴a 2φxx -φtt =4a 2φuv =0.∴将弦振动方程变换为以u,v 作新自变量的方程为：vu φ2∂∂∂=0.注：此方程的解的形式为φ=f(u)+g(v)=f(x+at)+g(x-at).习题1、试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+2z y x 2z y x 222在点(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.解：令F(x,y,z)=x 2+y 2-2z 2, G(x,y,z)=x+y+z-2, 则(1)F,G 在点(1,-1,2)的某邻域内连续； (2)F(1,-1,2)=0, G(1,-1,2)=0满足初始条件；(3)F x =2x, F y =2y, F x =-z, G x =G y =G z =1均在点(1,-1,2)的邻域内连续； (4)(1,-1,2))y (x,)G (F,∂∂=)2,1,1(G )2,1,1(G )2,1,1(F )2,1,1(F y x y x ----=1122-=4≠0,∴原方程组在点(1,-1,2)的附近能确定形如x=f(z), y=g(z)的隐函数组.2、求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)⎩⎨⎧=+=++az y x a z y x 222222, 求dx dy ,dx dz ；(2)⎩⎨⎧==0xu -v -y 0yv -u -x 22, 求x u ∂∂,x v ∂∂,y u ∂∂,dy dv； (3)⎩⎨⎧-=+=)y v ,x u (g v y)v f(ux,u 2, 求x u ∂∂,x v∂∂. 解：(1)设方程组确定的隐函数组为y=y(x), z=z(x).对方程组两边关于x 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++dx dzadx dy y 22x 0dx dz z 2dx dy y 22x ,解得：dxdy =2y 2x -a ,dx dz =-2z a.(2)设方程组确定的隐函数组为u=u(x,y), v=v(x,y).方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0x u x -u -x v 2v -0x v y -x u 2u -1, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂4uv -xy x 2u x v xy-4uv yu 2v x u 2；方程组关于y 求偏导得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂∂∂=∂∂∂∂0y u x -y v 2v -10yv y -v -y u 2u -, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=∂∂+=∂∂xy-4uv xv 2u y v 4uv -xy y 2v y u 2.(3)方程组关于x 求偏导得：⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂+=∂∂x v 2yvg g x u g xv x v f x u xf uf x u211211, 解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=∂∂-=∂∂1221111112211221g f -)2yvg -)(1xf (1)g xf (1g uf x v g f -)2yvg -)(1xf (1g f -)2yvg -(1uf x u.3、求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：(1)⎩⎨⎧-=+=ucosv e y usinv e x uu , 求u x ,v x ,u y ,v y ；(2)⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=3322v u z v u y v u x , 求z x . 解：(1)方程组关于u 求偏导得⎩⎨⎧-=+=cosv e y sinve x uu u u , 方程组关于v 求的偏导得⎩⎨⎧==usinv y ucosvx vv ,∴)v (u,)y (x ,∂∂=x u y v -x v y u =usinv(e u +sinv)-ucosv(e u -cosv)(1+e u sinv-e u cosv)u. 由反函数组定理得： u x =vy ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(usinv u u -+=cosv e sinv e 1sinv u u -+;v x =-u y ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(e -cosv uu u-+; u y =-v x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)u e sinv e 1(ucosv -u u -+=cosv e sinv e 1cosv -u u -+;v y =u x ∂∂/)v (u,)y (x ,∂∂=cosv)ue sinv e 1(sinv e uu u -++. (2)方程组关于x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=x 2x 2xxx xx vv 3u u 3z vv 2uu 20v u 1, 解得：z x =-3uv.4、设函数z=z(x,y)是由方程组x=e u+v , y=e u-v , z=uv(u,v 为参量)所定义的函数，求当u=0,v=0时的dz.解：∵dz=z x d x +z y d y =(u x v+uv x )dx+(u y v+uv y )dy, ∴当u=0, v=0时，dz=0.5、以u,v 为新的自变量变换下列方程： (1)(x+y)x z ∂∂-(x-y)y z∂∂=0, 设u=ln 22y x +,v=arctan xy ；(2)x 222x z ∂∂-y 222yz ∂∂=0, 设u=xy, v=y x.解：(1)∵x u ∂∂=22y x x +, y u ∂∂=22y x y +; x v ∂∂=-22yx y +, y v∂∂=22y x x +,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x vv z ∂∂∂∂=u z y x x 22∂∂+-vz y x y 22∂∂+; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y vv z ∂∂∂∂=u z y x y 22∂∂++vz y x x 22∂∂+; 代入原方程得： u z y x y)x (x 22∂∂++-v z y x y)y(x 22∂∂++-u z y x y)-y(x 22∂∂+-v z y x y)-x (x 22∂∂+=0, 化简得：u z ∂∂=vz∂∂.(2)∵x u ∂∂=y, y u∂∂=x; x v ∂∂=y 1, yv ∂∂=-2y x ,∴x z ∂∂=x u u z ∂∂∂∂+x v v z ∂∂∂∂= y u z ∂∂+v z y 1∂∂; y z ∂∂=y u u z ∂∂∂∂+y v v z ∂∂∂∂= x u z ∂∂-vzy x 2∂∂; ∴22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =y x u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂x v v u z 2+x u v u z y 12∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂x v v z 22 =y 2uz22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂;22y z ∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂y z y =x y u u z 22∂∂ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂∂y v v u z 2+v z y 2x 3∂∂-y u v u z y x 22∂∂ ⎝⎛∂∂∂+⎪⎪⎭⎫∂∂∂∂y v v z 22=x 2u z 22∂∂-v u z y 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vzy 2x 3∂∂; 代入原方程得： x 2(y 2u z 22∂∂+2v u z 2∂∂∂+v z y 1222∂∂22x z ∂∂)-y 2(x 2u z 22∂∂-v u zy 2x 222∂∂∂+v z y x 2242∂∂+vz y 2x 3∂∂)=0,化简得：2xy v u z 2∂∂∂=v z ∂∂, 即2u v u z 2∂∂∂=vz∂∂.6、设函数u=u(x,y)由方程组u=f(x,y,z,t), g(y,z,t)=0, h(z,t)=0所确定，求x u ∂∂,yu∂∂. 解：方程组关于x 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂+=∂∂0x t h x z h 0x tg xz g x t f x z f f x ut z t zt z x , 解得：x u ∂∂=f x ; 方程组关于y 求偏导数得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂+=∂∂0y t h y z h 0y tg y z g g y t f y z f f y u t z t zy t z y ,解得：y u∂∂=f y + ⎝⎛∂∂ t),z ( f) ,h (/⎪⎪⎭⎫∂∂)t (z,)h (g,g y .7、设u=u(x,y,z), v=v(x,y,z)和z=z(s,t), y=y(s,t), z=z(s,t)都有连续的一阶偏导数，证明：)t (s,v)u,(∂∂=)t (s,)y (x ,)y (x ,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)z (y,)z (y,v)u,(∂∂∂∂+)t (s,)x (z,)x (z,v)u,(∂∂∂∂. 证：原式右端=t s t s y x y xy y x x v v u u +tst s z y z yz z y y v v u u +tst s x z x z x x z z v v u u =s y s x s y s x y v x v y u x u ++ t y t x t y t x y v x v y u x u +++s z s y s z s y z v y v z u y u ++ t z t y t z t y z v y v z u y u +++s x s z s x s z x v z v x u z u ++t x t z tx t z x v z v x u z u ++=(u x x s +u y y s +u z z s )(v x x t +v y y t +v z z t )-(u x x t +u y y t +u z z t )(v x x s +v y y s +v z z s )=u s v t -u t v s =tst s v v u u =)t (s,v)u,(∂∂=左端. 8、设u=tanx y , v=sinxy. 证明：当0<x<2π, y>0时，u,v 可以用来作为曲线坐标，解出x,y 作为u,v 的函数，画出xy 平面上u=1,v=2所对应的坐标曲线，计算)y (x ,v)u,(∂∂和v)u,()y (x ,∂∂并验证它们互为倒数.证：∵u x =-xsin y2, u y =tanx 1; v x =-x sin ycosx 2, v y =sinx 1;∴)y (x ,v)u,(∂∂=yx y x v v u u =-sinxy. 当0<x<2π, y>0时，u x , u y , v x , v y 都连续，且)y (x ,v)u,(∂∂<0, 由反函数组定理，知存在反函数组x=x(u,v), y=y(u,v)，从而u,v 可以用作为曲线坐标. 由u=tanx y , v=sinx y 得，x=arccos vu , y=22u -v . u=1, v=2分别对应xy 平面上坐标曲线y=tanx, y=2sinx, 如图.又)v (u,y)x ,(∂∂=2222222u -v v u -v u-v u -1v u v u -1v 1-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-v 1=-y sinx 与)y (x ,v)u,(∂∂=-sinx y 互为倒数.9、将以下式中的(x,y,z)变换成球面坐标(r,θ,φ)的形式：△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂, △2u=22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂. 解：将⎪⎩⎪⎨⎧===rcos θz sin φ rsin θy cos φ rsin θx 看成由⎪⎩⎪⎨⎧===z z ρsinφy ρcosφx ①和⎪⎩⎪⎨⎧===φφrsin θρrcos θz ②复合而成. 对变换①有2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; 对变换②有2ρu ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22φu ρ1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂; ∴△1u=2x u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2y u ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+2z u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=2r u ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+22θu r 1⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+222φu θsin r 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂. 又对变换①有22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=22ρu ∂∂+ρu ρ1∂∂+222φu ρ1∂∂+22z u ∂∂; 对变换②有22ρu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 1∂∂+222θu r 1∂∂; ∵r=22z ρ+,θ=arctan z ρ, ∴ρu ∂∂=ρr r u ∂∂∂∂+ρθθu ∂∂∂∂=r ρr u ⋅∂∂+2r z θu ⋅∂∂=sin θr u ∂∂+θu r cos θ∂∂;∴△2u=22x u ∂∂+22yu ∂∂+22z u ∂∂=22r u ∂∂+r u r 2∂∂+222θu r 1∂∂+θu sin θr cos θ2∂∂+2222φu θsin r 1∂∂.10、设u=2r x , v=2r y , w=2rz , 其中r=222z y x ++. (1)试求以u,v,w 为自变量的反函数组. (2)计算)z y,(x ,w)v,u,(∂∂. 解：(1)∵u 2+v 2+w 2=4222r z y x ++=2r 1, ∴r 2=222wv u 1++; ∴x=ur 2=222w v u u ++, y=vr 2=222w v u v ++, y=wr 2=222w v u w ++. (2))z y,(x ,w)v,u,(∂∂=422444422444422r z 2r r 2yz r 2xz r 2yz r y 2r r 2xy r 2xz r 2xy r x 2r ---------=-6r 1.。

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下，通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ；也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。

分析方法第十八章隐函数定理及其应用

2)F ( x0 , y0 ) 0; 3)Fy ( x0 , y0 ) 0,
则在点P0 ( x0 , y0 )的某邻域U ( P0 )内方程F ( x, y) 0确定唯一一个有连续导数的隐函数
y f ( x),且f ( x) Fx ( x, y) . Fy ( x, y)
F ( x, y, u, v) 0 G( x, y, u, v) 0
既有恒等式组
成立, 则该方程组确定了定义在D上的一组隐函数 , 分别表示为 u f ( x, y), v g ( x, y)
F ( x, y, f ( x, y), g ( x, y)) 0 , G( x, y, f ( x, y), g ( x, y)) 0
于是在原点的某邻域内方程F ( x, y) 0确定了唯一一个有连续导数的隐函数 y f ( x),
且 f ( x)
Fx 1 2 . Fy 1 1 cos y 2 cos y 2 例2 讨论笛卡尔叶形线 x3 y3 3axy 0所确定的隐函数 y f ( x)的一阶与二阶导数 .
4 1)在以P ( x , y , u , v ) 为内点的区域 V R 内具有一阶连续偏导； 0 0 0 0 0
2) F ( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0, G( x0 , y0 , u0 , v0 ) 0(称为初始条件 )；
( F , G) 3) J 0. (u , v ) P0
第十八章隐函数定理及其应用
一隐函数概念以前我们学习的函数都是用一个解析表达式给出的, 如
§1一个方程所确定的隐函数
y 2x3 3x sin 2 x e x , z 3x 2 y 5e xy 6 sin xy 1.

数学分析18隐函数定理及其应用总练习题

第十八章隐函数定理及其定理总练习题1、方程：y 2-x 2(1-x 2)=0在哪些点的邻域内可惟一地确定连续可导的隐函数y=f(x).解：由y 2=x 2(1-x 2)知1-x 2≥0, ∴|x|≤1; 且y 2=x 2(1-x 2)≤22221⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x =41, ∴|y|≤21. 记F=y 2-x 2(1-x 2), 则F, F x =2x 3-2x(1-x 2)=4x 3-2x, F y =2y; 由F y ≠0得y ≠0, 即x ≠0且x ≠±1. 令D={(x,y)||x|≤1,|y|≤21且y ≠0 }, 则F 在D 内每一个邻域内有定义, 且F, F x , F y 在D 上处处连续. 又由F(x,y)=0, F y ≠0知原方程在D 上唯一确定隐函数y=f(x).2、设函数f(x)在区间(a,b)内连续，函数φ(y)在区间(c,d)内连续，而且φ’(y)>0, 问在怎样条件下，方程φ(y)=f(x)能确定函数y=φ-1(f(x)). 并研究例子(1)siny+shy=x; (2)e -y =-sin 2x.解：记F(x,y)=φ(y)-f(x), 由F y =φ’(y)>0知, 若f[(a,b)]∩φ[(c,d)]≠Ø, 就存在点(x 0,y 0), 满足F(x 0,y 0)=0, 即可在(x 0,y 0)附近确定隐函数y=φ-1(f(x)).(1)设f(x)=x, φ(y)=siny+shy, 由f,φ在R 上连续且φ’(y)=cosy+chy>0, 又 f(R)∩φ(R)=R ≠Ø, ∴原方程可确定函数y=y(x). (2)∵f(x)=-sin 2x ≤0, φ(y)=e -y >0, ∴f(R)∩φ(R)=Ø, ∴原方程不能确定函数y=y(x).3、设f(x,y,z)=0, z=g(x,y), 试求dx dy ,dxdz . 解：对方程组f(x,y,z)=0, z=g(x,y)关于x 求导得： f x +f y dx dy +f z dx dz =0, dx dz =g x +g y dx dy , 解得：dx dy =-yz y x z x g f f g f f ++; dx dz =y z y y x x y g f f gf g f +-.4、已知G 1(x,y,z), G 2(x,y,z), f(x,y)都可微，g i =G i (x,y,f(x,y)), i=1,2.证明：),(),(21y x g g ∂∂=zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--. 证：∵g 1x =G 1x +G 1z f x , g 1y =G 1y +G 1z f y ; g 2x =G 2x +G 2z f x , g 2y =G 2y +G 2z f y∴),(),(21y x g g ∂∂=yx y xg g g g 2211=(G 1x +G 1z f x )(G 2y +G 2z f y )-(G 1y +G 1z f y )(G 2x +G 2z f x )=G 1x G 2y +G 1x G 2z f y +G 1z G 2y f x -G 1y G 2x -G 1y G 2z f x -G 1z G 2x f y =zyxz y xy xG G G G G G f f 2221111--.5、设x=f(u,v,w), y=g(u,v,w), z=h(u,v,w), 求x u ∂∂,y u ∂∂,zu ∂∂. 解：方程组对x 求导得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂001x w h x v h xu h x wg x v g xu g x w f x v f x uf w v u w v uw v u , 解得：x u ∂∂=),(),(w v h g ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂. 同理可得： y u ∂∂=),(),(w v f h ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂;z u ∂∂=),(),(w v g f ∂∂/),,(),,(w v u h g f ∂∂.6、试求下列方程所确定的函数的偏导数x u ∂∂,yu ∂∂. (1)x 2+u 2=f(x,u)+g(x,y,u); (2)u=f(x+u,yu). 解：(1)方程两边对x 求导得：2x+2u x u ∂∂=f x +f u x u ∂∂+g x +g u xu ∂∂, 解得：x u ∂∂=uu x x g f u xg f ---+22; 两边对y 求导得：2u y u ∂∂=f u y u ∂∂+g y +g u y u ∂∂,解得：y u∂∂=uu y g f u g --2.(2)方程两边对x 求导得：x u ∂∂=f 1(1+x u ∂∂)+yf 2x u ∂∂, 解得：x u∂∂=2111yf f f --; 两边对y 求导得：y u ∂∂=f 1y u ∂∂+ f 2(u+y y u ∂∂), 解得：y u ∂∂=2121yf f uf --.7、据理说明：在点(0,1)近旁是否存在连续可微的f(x,y)和g(x,y), 满足f(0,1)=1, 且g(0,1)=-1, 且[f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.解：设⎩⎨⎧=-+==-+=0),,,(0),,,(33x yu v v u y x G y xv u v u y x F , 则 (1)F,G 在以P 0(0,1,1,-1)为内点的R 4内连续; (2)F,G 在R 4内具有连续一阶偏导数; (3)F(P 0)=0, G(P 0)=0;(4)),(),(P v u G F ∂∂=02233P v y xu =9≠0.由隐函数组定理知，方程组在P 0附近唯一地确定了在点(0,1)近旁连续可微的两个二元函数u=f(x,y),v=g(x,y). 满足f(0,1)=1, g(0,1)=-1且 [f(x,y)]3+xg(x,y)-y=0, [g(x,y)]3+yf(x,y)-x=0.8、设(x 0,y 0,z 0,u 0)满足方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)()()()()()()()()()()()(u H z h y h x h u G z g y g x g u F z f y f x f ,这里所有的函数假定有连续的导数.(1)说出一个能在该点邻域上确定x,y,z 为u 的函数的充分条件； (2)在f(x)=x, g(x)=x 2, h(x)=x 3的情形下，上述条件相当于什么？解：(1)设⎪⎩⎪⎨⎧=-++==-++==-++=0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(0)()()()(),,,(u H z h y h x h u z y x H u G z g y g x g u z y x G u F z f y f x f u z y x F , 则F ,G ,H ,在R 4内连续且具有一阶连续偏导数； F (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,G (x 0,y 0,z 0,u 0)=0,H (x 0,y 0,z 0,u 0)=0, 当),,(),,(P z y x H G F ∂∂≠0时，原方程组能在P 0(x 0,y 0,z 0,u 0)邻域内确定x,y,z 作为u 的函数.(2)上述条件相当于2022000111z y x z y x ≠0, 即x 0,y 0,z 0两两互异.9、求由下列方程所确定的隐函数y=f(x)的极值. (1)x 2+2xy+2y 2=1；(2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).解：(1)令F(x,y)=x 2+2xy+2y 2-1, 则F x =2x+2y, F y =2x+4y, 令dx dy =-yx y x 4222++=0, 有x=-y, 代入原方程得：x 2-2x 2+2x 2=1, 解得x=±1.∴隐函数y=f(x)有稳定点±1, 且f(1)=-1, f(-1)=1.又22dxy d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++x y x y x y x 2)(2)2(122. 从而)1,1(22-dxyd =1>0, )1,1(22-dx yd =-1<0,∴当x=1时有极小值-1, x=-1时有极大值1. (2)(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2) (a>0).令F(x,y)=(x 2+y 2)2-a 2(x 2-y 2), 则F x =4x(x 2+y 2)-2a 2x, F y =4y(x 2+y 2)+2a 2y,令dx dy =-ya )y +2y(x x a -)y +2x(x 222222+=0, 有x=0或y 2=2a 2-x 2.当x=0时，y=0, F y =0, 不符合题意，舍去.将y 2=2a 2-x 2代入原方程得：4a 4=a 2(2x 2-2a2), 解得x=±83a.又f(83a)=±81a, f(-83a)=±81a. ∴隐函数y=f(x)的稳定点有： P 1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a 81,83, P 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 81,83, P 4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a a 81,83. 由22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-[]2222222222ya )y +2y(x y]a )y +][2y(x a -)y 2y 2x(2x )y +[2(x ++'++ +[]2222222222ya )y +2y(xx]a -)y +][2x(x y a )y 2y 2y(2x )y +(x y [2+'+'++',且在稳定点P i (i=1,2,3,4)均有x 2+y 2=2a 2及y ’(P i )=0，代入上式有：i P dx y d 22=-iP y a 2x 22, 即22dx y d 与y 异号, ∴ia a dx yd ⎪⎪⎭⎫⎝⎛±81,8322<0, ia a dxyd ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-±81,8322>0,即在点P 1, P 3取得极大值a 81,在点P 2, P 4取得极小值-a 81.10、设y=F(x)和函数x=φ(u,v), y=ψ(u,v), 那么由方程ψ(u,v)=F(φ(u,v))可以确定函数v=v(u). 试用u,v, du dv , 22du v d 表示dx dy , 22dxyd .解：由x=φ(u,v), y=ψ(u,v), ∴dx dy =u u ∂∂∂∂ϕψ=dudv du dvvu vu ϕϕψψ++. 于是 22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++du dv du dv du v d du dv du dv du dv v u v u v vv vu uv uu ϕϕϕϕψψψψψ -222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+du dv du v d du dv du dv du dv du dv v u v vv vu uv uu v u ϕϕϕϕϕϕϕψψ.11、试证：二次型f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy 在单位球面x 2+y 2+z 2=1上的最大值和最小值恰好是矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛C D E D B F E F A 的最大特征值和最小特征值.试：记L(x,y,z,λ)=Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2-1), 列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==-++==-++==-++=④1③02222②02222①02222222z y x L z Dy Cz Ex L y Dz By Fx L x Ez Fy Ax L z y xλλλλ, 由①x+②y+③z 得：Ax 2+By 2+Cz 2+2Dyz+2Ezx+2Fxy-λ(x 2+y 2+z 2)=0, 又由④得f(x,y,z)=λ.由①,②,③知λ是对称矩阵φ=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛C D E D B F E F A 的特征值.又f 在有界闭集{f(x,y,z)|x 2+y 2+z 2=1}上连续，∴有最大值,最小值存在. ∴最大值和最小值恰好是矩阵φ的最大特征值和最小特征值.12、设n 为正整数, x,y>0. 用条件极值方法证明：2n n y x +≥ny x ⎪⎭⎫⎝⎛+2.证：记L(x,y,λ)=2n n y x ++λ(x+y-a), 列方程组得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+==+==+=--a y x L ny L nx L n y n x λλλ020211, 解得：x=y=2a. ∵当x →∞或y →∞时, 2n n y x +→∞,∴2n n y x +必在唯一的稳定点(2a ,2a )处取得最小值na ⎪⎭⎫⎝⎛2, 即2n n y x +≥na ⎪⎭⎫ ⎝⎛2=ny x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2.13、求出椭球22a x +22by +22c z =1在第一卦限中的切平面与三个坐标面所成四面体的最小体积.解：椭球面上任一点(x,y,z)处的切平面方程为：22a x (X-x)+22b y (Y-y)+22cz(Z-z)=0, 切平面在坐标轴上的截距分别为：x a 2,y b 2,zc 2. 则椭球面在第一卦限部分上任一点处的切平面与三个坐标面围成的四面体体积为V=xyzc b a 6222. ∴问题转化为求函数V 在条件22a x +22by +22c z =1 (x>0,y>0,z>0)下的最小值. 记L(x,y,z,λ)=xyz c b a 6222+λ(22a x +22by +22c z -1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==+-==+-==+-=01026026026222222222222222222222cz b y a x L cz xyz c b a L b yz xy c b a L axyz x c b a L z x x λλλλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ,∴最小体积V m =abc c b a 6)3(3222=23abc.14、设P 0(x 0,y 0,z 0)是曲面F(x,y,z)=1的非奇异点，F 在U(P 0)可微，且为n 次齐次函数.证明：此曲面在P 0处的切平面方程为：xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=n. 证：∵F 为n 次齐次函数, 且F(x,y,z)=1，∴xF x +yF y +zF z =nF=n. 曲面在P 0处的切平面方程为：F x (P 0)(x-x 0)+F y (P 0)(y-y 0)+F z (P 0)(z-z 0)=0 即xF x (P 0)+yF y (P 0)+ zF z (P 0)=x 0F x (P 0)+y 0F y (P 0)+ z 0F z (P 0)=n, 得证！。

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章隐函数定理及其定理1隐函数一、隐函数的概念设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.二、隐函数存在性条件的分析隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下，通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0x x dxdy ==0.当F y (P 0)≠0时，可得0x x dxdy ==-)(P F )(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得y y dydx==-)(P F )(P F 0x 0y .三、隐函数定理定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；(4)F y(x0,y0)≠0. 则1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，在A’B’边上F取正值.∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,y0-β<y<y0+β. ∀ε>0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε<y<y+ε≤y0+β.由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在惟一的连续隐函数x=g(y).定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴x y ∆∆=-y)θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)(x,F y)(x,F y x , 且f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函数的二阶导数：y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F ；也可以直接对f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x 求导得到. 继续求导就可以得到隐函数相应阶数的连续导数.隐函数的极值问题：利用隐函数的求导公式：y ’=-y)(x,F y)(x,F y x 及 y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F , 求得由F(x,y)=0确定的隐函数y=f(x)的极值：(1)求y ’为0的点(驻点)A ，即方程组F(x,y)=0, F x (x,y)=0的解； (2)∵在A 处F x =0, ∴y ”|A =-yxxF F |A ； (3)由y ”|A <0(或>0),判断隐函数y=f(x)在x A 处取得极大值(极小值)y A .定理18.3：若(1)函数F(x 1,…,x n ,y)在以点P 0(01x ,…,0n x ,y 0)为内点的区域D ⊂R n+1上连续；(2)F(01x ,…,0n x ,y 0)=0；(3)偏导数1x F ,…,nx F ,F y 在D 上存在且连续；(4)F y (01x ,…,0n x ,y 0)≠0. 则1、存在点P 0的某邻域U(P 0)⊂D ，在U(P 0)上方程F(x 1,…,x n ,y)=0惟一地决定了一个定义在Q 0(01x ,…,0n x )的某邻域U(Q 0)⊂R n 上的n 元连续(隐)函数y=f(x 1,…,x n ),使得当(x 1,…,x n )∈U(Q 0)时,(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))∈U(P 0), 且F(x 1,…,x n ,f(x 1,…,x n ))≡0, y 0=f(01x ,…,0n x )；2、f(x 1,…,x n )在U(Q 0)上有连续偏导数1x f ,…,nx f ,且1x f =-yx F F 1,…,nx f =-yx F F n .四、隐函数求导举例例1：讨论方程F(x,y)=y-x-21siny=0所确定的隐函数的连续性和可导性. 解：∵F, F x =-1, F y =1-21cosy 在平面上任一点都连续，且F(x,y)=0, F y (x,y)≠0, ∴该方程确定了一个连续可导的隐函数y=f(x), 且 f ’(x)=-y)(x,F y)(x,F y x =cosy 21-11=cosy -22.例2：讨论笛卡儿叶形线x 3+y 3-3axy=0 (a>0)所确定的隐函数y=f(x)的一阶与二阶导数，并求隐函数的极值.解：令F=x 3+y 3-3axy (a>0), 当F y =3y 2-3ax=0时，x=y=0, 或x=34a, y=32a; 即，除了(0,0), (34a,32a)外，方程在其他各点附近都确定隐函数y=f(x).∵F x =3x 2-3ay, ∴y ’=-y x F F =-3ax -3y 3ay -3x 22=ax-y x -ay 22. 又F xx =6x, F xy =-3a, F yy =6y,∴2F x F y F xy =-54a(y 2-ax)(x 2-ay), F y 2F xx =54x(y 2-ax)2, F x 2F yy =54y(x 2-ay)2, ∴y ”=3yy y2x xx 2y xy y x F F F -F F -F F 2F =32222222ax)-27(y ay)-54y(x -ax)-54x(y -ay)-ax)(x -54a(y -=3233322ax)-(y )]a y xy(x y 2[-3ax -+++=32322ax)-(y )]a axy 3xy(y 2[-3ax -++=-323ax)-(y xy 2a . 由x 3+y 3-3axy=0和x 2-ay=0得，隐函数y=f(x)的驻点A(32a,34a).∵y ”|A =-323ax)-(y xy 2a |A =-a243<0, ∴y=f(x)在A(32a,34a)取得极大值34a.例3：求由方程F(x,y,z)=xyz 3+x 2+y 3-z=0在原点附近所确定的二元隐函数z=f(x,y)的偏导数及在(0,1,1)处的全微分.解：由F(0,0,0)=0, F z (0,0,0)=-1≠0, F,F x ,F y ,F z 处处连续，知方程在原点附近能惟一确定连续可微的隐函数z=f(x,y), 且z x =-z x F F =233xyz 1x2yz -+, z y =-z y F F =2233xyz1y 3xz -+. 又z x (0,1,1)=1, z y (0,1,1)=3, ∴dz|(0,1,1)=dx+3dy.例4：(反函数的存在性及其导数)设y=f(x)在x 0的某邻域上有连续的导函数f ’(x)且，且f(x 0)=y 0,f ’(x 0)≠0. 证明在y 0的某邻域内存在连续可微的隐函数x=g(y)(它是函数y=f(x)的反函数),并求其导函数. 证：记方程F(x,y)=y-f(x)=0. ∵F(x 0,y 0)≡0, F y =1, F x (x 0,y 0)=-f ’(x 0)≠0, ∴该方程在y 0的某邻域内能惟一确定连续可微的隐函数x=g(y),且 g ’(y)=-xy F F =-(x )f 1' (即反函数求导公式).例5：设z=z(x,y)由方程F(x-z,y-z)=0确定，其中F 具有二阶偏导数. 试证：z xx +2z xy +z yy =0.证：记u=x-z,v=y-z, 则F x =F u , F y =F v , F z =-(F u +F v ), ∴z x =v u u F F F +, z y =vu v F F F+, 即有z x +z y =1. 上式两边分别对x,y 求偏导，得z xx +z yx =0, z xy +z yy =0. ∵二阶偏导数连续，∴z yx =z xy ，∴z xx +2z xy +z yy =0.习题1、方程cosx+siny=e xy 能否在原点的某邻域内确定隐函数y=f(x)或x=g(y)?解：令F(x,y)=cosx+siny-e xy , 则有F(0,0)=0. ∵F x =-sinx-ye xy ,F y =cosy-xe xy , 又F,F x ,F y 在原点的某邻域内都连续，且F x (0,0)=0, F y (0,0)=1≠0,∴该方程在原点的某邻域内可确定隐函数y=f(x), 不能确定隐函数x=g(x).2、方程xy+zlny+e xz =1在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的隐函数?解：令F(x,y,z)=xy+zlny+e xz -1, 则有F(0,1,1)=0.∵F,F x =y+ze xz ,F y =x+yz, F z =lny+xe xz 在(0,1,1)的某邻域内都连续, 且F x (0,1,1)=2≠0, F y (0,1,1)=1≠0, F z (0,1,1)=0,∴该方程在点(0,1,1)的某邻域内可确定隐函数x=f(y,z)及y=g(x,z).3、求由下列方程所确定的隐函数的导数： (1)x 2y+3x 4y 3-4=0, 求dx dy ；(2)ln 22y x +=arctan x y , 求dxdy ； (3)e -xy +2z-e z =0, 求x z ∂∂,yz ∂∂； (4)a+22y a -=ye u, u=ay -a x 22+(a>0), 求dx dy ,22dx yd ；(5)x 2+y 2+z 2-2x+2y-4z-5=0, 求x z ∂∂,y z ∂∂；(6)z=f(x+y+z,xyz), 求x z ∂∂,y x ∂∂,zy∂∂. 解：(1)解法一：记F=x 2y+3x 4y 3-4,∵F x =2xy+12x 3y 3, F y =x 2+9x 4y 2,∴dx dy =-y x F F =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y . 解法二：方程两边对x 求导得：2xy+x 2dx dy +12x 3y 3+9x 4y 2dxdy=0, ∴dx dy =-24233y 9x +x y 12x +2xy =-2332y9x +x y 12x +2y .(2)两边对x 求导得⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅+dx dy y 22x y x 21y x 12222=2222xy dx dyxy x x -⋅+, 化简得：x+ydx dy = x dx dy -y, ∴dx dy =y -x y x +(x ≠y). (3)两边对x 求偏导数得-ye -xy+2x z ∂∂-e z x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=z -xye 2ye -.两边对y 求偏导数得-xe -xy+2y z ∂∂-e z y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-xye2x e -. (4)令F(x,y)=a+22y a --yeay -a x 22+, 由原方程得：e u=y y -a a 22+,则F y =-22y -a y-e u+ye u22y -a a y =-22y-a y-a y -a x 22+(1-222y -a a y ) =2222222222y -a ay )y -a(a -y -a a -y -a y ,F x =-a y e u =-ay -a a 22+,∴dx dy =-y x F F =a y -a a 22+·)y -a(a y -a a -y -a y y -a ay 2222222222-=-22y-a y.∴22dx y d =⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy dx d =-dx dy y-a 122-dx dy )y -(a y 3222=22y -a y +2223)y -(a y =2222)y -(a ya . (5)两边对x 求关于z 的偏导数得：2x+2z x z ∂∂-2-4x z ∂∂=0, ∴x z ∂∂=2-z x -1. 两边对y 求关于z 的偏导数得：2y+2z y z ∂∂+2-4y z ∂∂=0, ∴y z ∂∂=z-2y 1+. (6)两边对x 求关于z 的偏导数得：x z ∂∂=f 1(1+x z ∂∂)+f 2(yz+xy x z ∂∂), ∴x z∂∂=2121x yf f 1yzf f --+. 两边对y 求关于x 的偏导数得： 0=f 1(y x ∂∂+1)+f 2(xz+yz y x ∂∂), ∴y x ∂∂=-2121yzf f x zf f ++.两边对z 求关于y 的偏导数得： 1=f 1(z y ∂∂+1)+f 2(xy+xz z y ∂∂), ∴zy ∂∂=2121x zf f x yf f -1+-.4、设z=x 2+y 2,而y=f(x)为由方程x 2-xy+y 2=1确定的隐函数,求dx dz及22dxz d .解：x 2-xy+y 2=1两边对x 求导得：2x-y-xdx dy +2y dx dy =0, ∴dx dy =x-2y 2x-y . dx dz =2x+2y dxdy =x -2y 2x -2y 22;22dxz d =⎪⎭⎫⎝⎛dx dz dx d =222x )-(2y )2x -1)(2y -dx dy(2-x )-4x )(2y -dx dy (4y=x -2y 4x -2y +32x)-(2y 2x)-(y 6x .5、设u=x 2+y 2+z 2, z=f(x,y)为由x 3+y 3+z 3=3xyz 确定的隐函数,求u x 及u xx .解：∵3x 2+3z 2z x =3yz+3xyz x , ∴z x =22z -xy yz -x . ∴u x =2x+2zz x =2x+222z-xy 2yz -z 2x . u xx =2+2222x 2x x 2)z -(xy )2yz -z (2x )2zz -y ()z -xy )(4yzz -z 2x (4xz -+ =32333)z -(xy )z x 3xyz -2xz(y ++.6、设F(x,y,z)可以确定连续可微隐数: x=x(y,z), y=y(z,x), z=z(x,y). 试证：xzz y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-1.(偏导数不再是偏微分的商！) 证：∵y x ∂∂=-x y F F ; z y ∂∂=-y z F F ;xz ∂∂=-z x F F ; ∴x z z y y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂=-z x y z x y F F F F F F ⋅⋅=-1.7、求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：(1)x+y+z=e -(x+y+z), 求z 对于x,y 的一阶与二阶偏导数；(2)F(x,x+y,x+y+z)=0, 求x z∂∂,y z∂∂,22x z∂∂.解：(1)∵1+z x =-(1+z x )e -(x+y+z), ∴z x =-1, z xx =0; 同理z y =-1, z yy =0.(2)∵F 1+F 2+F 3(1+x z ∂∂)=0, ∴x z∂∂=-3321F FF +F +；又F 2+F 3(1+y z∂∂)=0, ∴y z ∂∂=-332F FF +；22x z ∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂x z x =-3332313323122211211F x z 1)F +F (F +F +F +F F +F +F ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+++ +23333231321F x z 1F +F +F )F +F +(F ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+ =-3332313321323122211211F )F +F (F F F +F -F +F +F F +F +F ++ +23321333231321F F F +F F -F +F )F +F +(F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =-3333221231332122121123F F )F F ()F (F )F F 2(F -)F 2F +(F F +++++8、证明：设方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)具有二阶导数，则当F y ≠0时，有F y 3y ”=0F F F F F F F F y x y y y xy xxy xx .证：当F y ≠0时，y ’=-y xF F , y ”=(2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy )F y -3,∴F y -3y ”=2F x F y F xy -F y 2F xx -F x 2F yy =0F F F F F F F F y x y y y xy x xy xx.9、设f 是一元函数，试问应对f 提出什么条件，方程2f(xy)=f(x)+f(y)在点(1,1)的邻域内就能确定出惟一的y 为x 的函数？解：记F(x,y)=f(x)+f(y)-2f(xy)=0, 则F x =f ’(x)-2yf ’(xy), F y =f ’(y)-2xf ’(xy), ∵F y (1,1)=f ’(1)-2f ’(1)=-f ’(1)，又当f ’(x)在x=1的某邻域内连续时， F,F x ,F y 在(1,1)的某邻域内连续. ∴只需添加条件：f ’(x)在x=1的某邻域内连续，且f ’(1)≠0，则方程2f(xy)=f(x)+f(y)就能惟一确定y 为x 的函数.。

隐函数的定理及其应用论文原稿

隐函数的定理及其应用摘要：本文主要讨论了隐函数和隐函数组的相关定理,并举例说明其应用.关键词：隐函数隐函数组可微性导数引言我们在初中时就开始接触到函数,在我们眼中,函数就是一种关系,这种关系使一个集合里的每一个元素对应到另一个(可能相同的)集合里的唯一元素.在之前我们所接触到的函数,其表达式大多是自变量的某个算式,如21,(sin sin sin )xyz y x u e xy yz zx =+=++这种形式的函数即为显函数.然而我们在很多地方也会遇到另一种形式的函数,它的自变量与因变量之间的对应法则是由一个方程式所确定的.简单来说,若能由函数方程(,)0F x y =, ①确定y 为x 的函数()y f x =,即(,())0F x f x ≡,就称y 是x 的隐函数.1.关于隐函数的一些定理1.1 隐函数存在惟一性若(1)函数F 在以000(,)P x y 为内点的某一区域0D R ⊂上连续；(2)00(,)0F x y =(通常称为初始条件)；(3)在D 内存在连续的偏导数(,)y F x y ；(4)00(,)0y F x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在某区间00(,)x x αα-+内的函数(隐函数)()y f x =,使得(1) 00()f x y =,x ∈00(,)x x αα-+时(,())x f x ∈0()U P 且(,())0F x f x ≡；(2) ()f x 在00(,)x x αα-+内连续.需要注意的是,上述定理中的条件仅仅是充分的.如方程330y x -=在点(0,0)不满足条件(4)((0,0)0y F =),但它仍能确定惟一的连续函数y x =.当然,由于条件(4)不满足,往往会导致定理结论的失效.事实上,条件(3)和(4)只是用来保证存在0P 的某一邻域,在此邻域内F 关于变量y 是严格单调的.因此对本定理的结论来说,可以把后两个条件减弱为：F 在0P 的某邻域内关于y 严格单调.采用较强的条件(3)和(4)只是为了在实际应用中便于检验.如果把定理的条件(3)和(4)改为(,)x F x y 连续,且00(,)0x F x y ≠,这时结论是存在惟一的连续函数()x g y =. 1.2 隐函数的可微性定理设(,)F x y 满足隐函数存在惟一性定理中的条件(1)-(4),又设在D 内还存在连续的偏导数(,)x F x y ,则由方程①所确定的隐函数()y f x =在其定义域00(,)x x αα-+内有连续导函数,且'(,)()(,)x y F x y f x F x y =-. ② 若已知方程①确定存在连续可微的隐函数,则可对方程①应用复合求导法得到隐函数的导数,因为把(,())F x f x 看作(,)F x y 与()y f x =的复合函数时,有'(,)(,)0x y F x y F x y y +=当(,)0y F x y ≠时,由它即可推得与②相同的结果.对于隐函数的高阶导数,可以用和上面一样的方法求得,此时只要假定函数F 存在相应的连续的高阶偏导数.我们可以类似的推出由方程12(,,,,)0n F x x x y =所确定的n 元隐函数的概念.1.3 n 元隐函数的惟一存在与连续可微性定理若(1) 函数12(,,,,)n F x x x y 在以点0000012(,,,,)n P x x x y 为内点的区域1n D R +⊂上连续；(2) 000012(,,,,)0n F x x x y =；(3) 偏导数12,,,n x x x y F F F F 在D 内存在且连续；(4) 000012(,,,,)0y n F x x x y ≠,则在点0P 的某邻域0()U P D ⊂内,方程12(,,,,)0n F x x x y =惟一地确定了一个定义在000012(,,,)n Q x x x 的某邻域0()n U Q R ⊂内的n 元连续函数(隐函数)12(,,,)n y f x x x =,使得 (1) 当120(,,,)()n x x x U Q ∈时,12120(,,,,(,,,))()n n x x x f x x x U P ∈,且 1212(,,,,(,,,))0n n F x x x f x x x ≡, 000012(,,,)n y f x x x =.(2) 12(,,,)n y f x x x =在0()U Q 内有连续偏导数：12,,n x x x f f f ,而且1212,,,n n x x x x x x y y yF F F f f f F F F =-=-=-. 例1 设方程 1(,)sin 02F x y y x y =--= ③ 由于F 及,x y F F 在平面上任一点都连续,且(0,0)0F =,1(,)1cos 02y F x y y =->,故依上述定理,方程③确定了一个连续可导隐函数()y f x =,按公式②,其导数为'(,)12()1(,)2cos 1cos 2x y F x y f x F x y yy =-==--. 上述都是由一个方程所组成的隐函数,下面来讨论由方程组所确定的隐函数组.设(,,,)F x y u v 和(,,,)G x y u v 为定义在区域4V R ⊂上的两个四元函数.若存在平面区域D ,对于D 中每一点分别有区间J 和K 上惟一的一对值,u J v K ⊂⊂,它们与,x y 一起满足方程组(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩④ 则说方程组④确定了两个定义在2D R ⊂上,值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数为由方程组④所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为(,)u f x y =,(,)v g x y =,则在D 上成立恒等式(,)y y u x =,(,)v v u x =.为了探索由方程组④所确定隐函数组所需要的条件,不妨假设④中的函数F 和G 是可微的,而且由④所确定的两个隐函数u 与v 也是可微的.那么通过对方程组④关于,x y 分别求偏导数,得到00x u x v x x u x v x F F u F v G G u G v ++=⎧⎨++=⎩ ⑤00y u y v y yu y v y F F u F v G G u G v ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩ ⑥ 要想从⑤解出x u 与x v ,从⑥解出y u 与y v ,充分条件是它们的系数行列式不为零,即0u vu v F F G G ≠ ⑦⑦式左边的行列式称为函数F 和G 关于变量u ,v 的函数行列式(或雅可比Jacobi 行列式),亦可记作(,)(,)F G u v ∂∂.条件⑦在隐函数组定理中所起作用与隐函数存在惟一性的条件(4)相当. 1.4 隐函数组定理若(1) V 和(,,,)G x y u v 在以点0()U Q 为内点的区域4V R ⊂内连续；(2) 0000(,,,)0F x y u v =,0000(,,,)0G x y u v =(初始条件)；(3) 在V 内F ,G 具有一阶连续偏导数；(4) 0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂在0P 点不等于零, 则在点0P 的某一(四维空间)邻域0()U P V ⊂内,方程组④惟一确定了定义在点000(,)Q x y 的某一(二维空间)邻域0()U Q 内的两个二元隐函数000(,)u f x y =,000(,)v g x y =,使得(1) 000000(,);(,)u f x y v g x y ==且当()0,()x y U Q ∈时0(,,(,),(,))()x y f x y g x y U P ∈,(,,(,),(,))0(,,(,),(,))0F x y f x y g x yG x y f x y g x y ≡≡ (2) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内连续；(3) (,),(,)f x y g x y 在0()U Q 内有一阶连续偏导数,且1(,)(,)v F G x J x v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G x J u x ∂∂=-∂∂, 1(,)(,)v F G y J y v ∂∂=-∂∂,1(,)(,)v F G y J u y ∂∂=-∂∂. 应该注意的是,本定理中若将条件(4)改为0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂,则方程组④所确定的隐函数组相应是(,),(,)y y u x v v u x ==；其他情形均可类似推得.总之,当我们遇到由方程组定义隐函数组及隐函数组求导的问题时,首先应明确那些变量是自变量,那些变量是因变量,然后再进行有关讨论和运算.2. 隐函数在几何方面的应用2.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程①给出,它在点000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理条件,于是在0P 附近所确定的连续可微隐函数()y f x =或(()x g y =)和方程①在0P 附近表示同一曲线,从而该曲线在点0P 处存在切线和法线,其方程分别为'000()()y y f x x x -=-(或'000()()x x g y y y -=-)与 00'01()()y y x x f x -=--(或00'01()()x x y y g y -=--) 由于'x y F f F =-(或'y xF g F =-),所以曲线①在点0P 处的切线和法线方程分别为切线： 000000(,)()(,)()0x y F x y x x F x y y y -+-=, ⑧法线： 000000(,)()(,)()0y x F x y x x F x y y y ---=. ⑨例2 求笛卡儿叶形线332()90x y xy +-=在点(2,1)处的切线与法线.解设33(,)2()9F x y x y xy =+-,于是269x F x y =-,269y F y x =-在全平面连续,且(2,1)150x F =≠,(2,1)120y F =-≠.依次由公式⑧与⑨分别求得曲线在点(2,1)处的切线与法线方程分别为15(2)12(1)0x y ---=即5460x y --=,12(2)15(1)0x y ----=即45130x y +-=.2.2 空间曲线的切线与法平面下面我们讨论由参数方程L ：(),(),(),x x t y y t z z t t αβ===≤≤ ⑴表示的空间曲线L 上的某一点0000(,,)P x y z 处的切线和法平面方程,其中00()x x t =,00()y t =,00()z t =,0t αβ≤≤,并假定⑴式中的三个函数在0t 处可导,且'2'2'2000[()][()][()]0x t y t z t ++≠.则曲线L 在0P 处的切线方程为000'''000()()()x x y y z z x t y t z t ---==. ⑵ 由此可见当'0()x t ,'0()y t ,'0()z t 不全为零时,它们是该切线的方向数.过点0P 可以作无数条直线与切线l 垂直,且这些直线都在同一平面上,称这平面为曲线L 在0P 处的法平面n .它通过点0P ,且以为它的法线,所以法平面n 的方程为'''000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z -+-+-=当空间曲线方程L 由方程组L ：(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩⑶ 给出时,若它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(这里不妨设条件(4)是0(,)0(,)P F G u v ∂≠∂),则方程组⑴在点0P 附近所能确定惟一连续可微的隐函数组()x z ϕ=,()y z ψ=,使得0000(),()x z y z ϕψ==,且(,)(,)(,)(,)F G dx z y F G dzx y ∂∂=-∂∂,(,)(,)(,)(,)F G dy x z F G dz x y ∂∂=-∂∂.L 在0P 附近的参数方程为(),(),x z y z z z ϕψ===那么由⑵式曲线在0P 处的切线方程为000001P P x x y y z z dx dy dz dz ---== 即 000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)P P P x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 曲线在0P 处的法平面方程为000000(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)P P P F G F G F G x x y y z z y z z x x y ∂∂∂-+-+-=∂∂∂ 同理我们可以推得：当(,)(,)F G y z ∂∂或(,)(,)F G z x ∂∂在0P 处不等于零时,曲线在点0P 处的切线与法平面方程仍分别取上述形式.由此可见,当000(,)(,)(,),,(,)(,)(,)P P P F G F G F G y z z x x y ∂∂∂∂∂∂不全为零时,它们是空间曲线⑶在0P 处的切线的方向数.例3 求平面22250x y z ++=与锥面222x y z +=所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程.解设 222(,,)50F x y z x y z =++-, 222(,,)G x y z x y z =+-.它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：6F x ∂=∂,8F y ∂=∂,10F z∂=∂, 6G x ∂=∂,8G y ∂=∂,10G z∂=-∂(,)160(,)F G y z ∂=-∂,(,)120(,)F G z x ∂=∂,(,)0(,)F G x y ∂=∂. 所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程是：3451601200x y z ---==-,即 3(3)4(4)05x y z -+-=⎧⎨=⎩. 法平面方程为4(3)3(4)0(5)0x y z --+-+-=,即430x y -=.2.3曲面的切平面和法线设曲面由方程(,,)0F x y z = ⑷给出,它在点0000(,,)P x y z 的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设000(,,)0z F x y z ≠).于是方程⑷在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数(,)z f x y =使得000(,)z f x y =,且(,,)(,,)x z F x y z z x F x y z ∂=-∂,(,,)(,,)y z F x y z z y F x y z ∂=-∂. 由于在点0P 附近⑷与(,)z f x y =表示同一曲面,该曲面在0P 处有切平面与法线,分别是000000000000000(,,)(,,)()()(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z z x x y y F x y z F x y z -=---- 与 000000000000000(,,)(,,)1(,,)(,,)x y z z x x y y z z F x y z F x y z F x y z F x y z ---==---. 它们也可写成如下形式：000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x x F x y z y y F x y z z z -+-+-=与 000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---==. 这种形式对于000(,,)0x F x y z ≠或000(,,)0y F x y z ≠也同样合适.例4 求椭球面222236x y z ++=在()1,1,1处的切平面方程与法线方程. 解设222(,,)236F x y z x y z =++-.由于2x F x =,4y F y =,6z F z =在全空间上处处连续.在()1,1,1处2x F =,4y F =,6z F =.因此由上面的公式可得出切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=,即 236x y z ++=和法线方程 111123x y z ---==.结语从初中起我们就接触到了简单的函数,在高中时又进一步加深了学习,但我们以前接触到的都是很明显的函数,但我们碰到了不像以前见过的那么一目了然的函数,它就是我们本文所研究的隐函数.历史表明,重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的,隐函数概念对数学发展的影响,可以说是作用非凡.隐函数在很多地方有重要的应用,比如上面例题中所举的在各种求值问题中的应用.当然隐函数在其它方面也有很多的用处,本文就不一一举例说明了.参考文献[1] 华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社,2001.[2] 毛信实,董延新.数学分析(第一版) [M].北京：北京师范大学出版社,1900.[3] 华东师范大学数学系.数学分析(第二版) [M].北京：高等教育出版社,1900.[4] 北京大学数学系.数学分析(第一版) [M].北京：高等教育出版社,1986.[5] 周性伟,刘立民.数学分析(第一版) [M].天津：南开大学出版社,1986.[6] 何琛,史济怀,徐森林.数学分析(第一版) [M].北京：高等教育出版社,1983.[7] 沐定夷.数学分析(第一版) [M].上海：上海交通大学出版社,1993.。

毕业论文：隐函数定理及其应用

摘要隐函数定理是数学分析和高等数学中的一个重要定理，它不仅是数学分析和高等代数中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如泛函分析、常微分方程、微分几何等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理有着十分广泛的应用，在经济学、优化理论、条件极值等中均有重要作用. 对本课题的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.本文简略地论述了隐函数的概念、隐函数定理的内容及证明方法、以及隐函数定理在各个方面的应用. 本文从隐函数定理出发，给出了推论隐函数组定理和反函数组定理以及他们的证明过程. 这些推论使隐函数定理的应用更加广泛. 并针对隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、以及优化理论这几个方面的应用做了系统的论述.关键词：隐函数定理；应用；优化理论；证明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathematics, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding.This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This paper, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the calculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper.Key words:implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof目录摘要 (I)Abstract .................................................................................................................................... I I绪论 (1)第1章隐函数 (2)1. 1 隐函数 (2)1. 2 隐函数组的概念 (2)1. 3 反函数组的概念 (3)第2章隐函数定理 (4)2. 1 隐函数定理 (4)2. 2 隐函数组定理 (6)2. 3 反函数组定理 (7)第3章隐函数定理的应用 (9)3. 1 计算导数和偏导数 (9)3. 1. 1 隐函数的导数 (9)3. 1. 2 隐函数组的导数 (9)3. 1. 3 对数求导法 (10)3. 1. 4 由参数方程所确定的函数的导数 (10)3. 2 几何应用 (11)3. 2. 1 空间曲线的切线与法平面 (11)3. 2. 2 空间曲面的切平面与法线 (14)3. 3 条件极值 (15)3. 3. 1 无条件极值 (15)3. 3. 2 拉格朗日乘数法 (16)3. 4 最优化问题 (18)3. 4. 1 无约束最优化问题 (18)3. 4. 2 约束最优化问题 (19)结论 (21)参考文献 (22)致谢 (23)绪论通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的，这种形式的函数我们称之为显函数. 但在许多实际问题中，变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的，而是通过一个或多个方程来确定的，由此便产生了隐函数. 隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便，本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究. 隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理，它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础，并且它也为许多数学分支，如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据. 隐函数定理的应用范围十分广泛，在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用. 对隐函数定理及其应用的研究，可以加深我们对微分学的认识与理解.现今国内外很多学者都在研究隐函数定理及其应用这个课题，也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理. 我国数学家陈文源、范令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书，在书中提出许多独到见解，并由隐函数定理得出许多推论. 法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书，其中对隐函数定理进行了更深层次的研究. 我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》，其中给出了隐函数定理的另一种证明方法. 我国学者王锋、李蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》，更好的诠释了隐函数定理在其他领域内的应用.本文主要论述了隐函数定理及隐函数定理的一些推论，并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.第1章隐函数隐函数与我们以前接触的函数有所不同，它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式. 在这一章里，我们将具体地研究隐函数.1.1 隐函数以前接触的函数)(x f （对应关系）多是用自变量的数学表达式表示的，一般称这样的函数为显函数. 如2)(+=x x f ，)(x f =x cos 等.定义1. 1[1] 若自变量x 与因变量y 之间的对应关系f 是由某个方程0),(=y x F 所确定的，即有两个非空数集A 与B ，对任意A x ∈,通过方程0),(=y x F 对应唯一一个B y ∈,这种对应关系称为由方程0),(=y x F 所确定的隐函数. 记为)(x f y =，A x ∈，B y ∈则成立恒等式0))(,(=x f x F ，A x ∈例如，二元方程02454),(=--=y x y x F 在R 上确定（从中解得）一个隐函数. 隐函数不一定能写成)(x f y =的形式，如122=+y x ，因此隐函数不一定是函数，而是方程. 其实总的来说，函数都是方程，而方程却不一定是函数[2].1.2 隐函数组的概念定义1.2[3] 设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域∈V 4R 上的两个四元函数，若存在平面区域D ,对于D 中每一点),(y x ，分别在区间J 和K 上有唯一一对值J u ∈,K v ∈,它们与x ，y 一起满足方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F (1-1) 则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域D 上，值域分别在J 和K 内的函数，称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组. 若分别记这两个函数为),(y x f u =，),(y x g v =则在D 上成立恒等式0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x F ，0)),(),,(,,(≡y x g y x f y x G1.3反函数组的概念定义1.3[4] 设有函数组,(yvu=，)xv=(1-2)),(yxu如果能从此函数组(1-2)中，把x，y分别用u，v的二元函数表示出来，即(vu,yy=(1-3)(v),ux=，)x则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.第2章隐函数定理在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念，设有方程0),(=y x F ，那么在什么条件下，此方程能确定一个隐函数)(x f y =？在本章里，我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性，不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要，同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.2.1 隐函数定理定理2. 1[5] 若函数),(y x F 满足下列条件(1)0),(00=y x F(2)在点),(000y x P 的一个邻域⊂)(0P U 2R 中,函数),(y x F 连续(3)0),(00≠y x F y则有下列结论成立：①在点),(000y x P 的某个邻域⊂⊂)()(00P U P V 2R 内, 方程0),(=y x F 唯一确定了一个定义在某区间),(00ρρ+-x x 内的隐函数)(x f y =，满足)(00x f y =且0))(,(≡x f x F ；②)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内连续；③)(x f y =在区间),(00ρρ+-x x 内具有连续的导数，满足),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 证为了不失一般性，不妨设0),(00>y x F y .首先证明隐函数)(x f y =的存在性与惟一性.由0),(00≠y x F y ，我们知道),(y x F y 是连续的，由),(y x F y 的连续性与局部保号性可知，存在闭矩形域=D )(],[],[0'0'0'0'0p U y y x x ⊂+-⨯+-ρρρρ有0),(>y x F y )),((D y x ∈∀所以，对任意的],['0'0ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上严格单调增加. 因为0),(00=y x F ，所以可得0),(,0),('00'00>+<-ρρy x F y x F又由于),(),,('0'0ρρ+-y x F y x F 在],['0'0ρρ+-x x 上是连续的，所以存在)(0'ρρρ<>，使得)),((0),(,0),(00'0'0ρρρρ+-∈>+<-x x x y x F y x F 所以，对于每一个固定的),(00ρρ+-∈x x x ，),(y x F 在],['0'0ρρ+-y y 上都是严格单调增加的连续函数，并且有0),(,0),('0'0>+<-ρρy x F y x F因为零点存在定理，存在惟一的],['0'0ρρ+-∈y y y ，使得0),(=y x F . 因此由y 与x 的对应关系就确定了一个函数)(x f y =，其定义域为),(00ρρ+-x x ，值域包含于],['0'0ρρ+-y y ，记为：),(),()('0'0000ρρρρ+-⨯+-=y y x x P V从而结论①得以证明.其次证明隐函数)(x f y =的连续性. 任意取),(00ρρ+-∈x x x ，对于任意给定的充分小的0>ε，可以得到0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因为连续函数的保号性可知，存在0>δ，当),(),(00ρρδδ+-⊂+-∈x x x x x 时，有0),(,0),(>+<-εεy x F y x F因此，当),(δδ+-∈x x x 时，由),(y x F 关于y 的单调性，相应于x 的隐函数值)(x f 满足εε+<<-y x f y )(，于是ε<-|)(|y x f ，即ε<-|)()(|x f x f ，所以)(x f y =在),(00ρρ+-x x 连续.最后证明隐函数)(x f y =的可微性.任取x 和x x ∆+都属于),(00ρρ+-x x ，它们相对应的隐函数值为)(x f y =和)(x x f y y ∆+=∆+，那么0),(,0),(=∆+∆+=y y x x F y x F由多元函数微分中值定理，可得y y y x x F x y y x x F y x F y y x x F y x ∆∆+∆++∆∆+∆+=-∆+∆+=),(),(),(),(0θθθθ 在这里， 10<<θ. 因此，当y x ∆∆,充分小时),(),(y y x x F y y x x F x y y x∆+∆+∆+∆+-=∆∆θθθθ. 因为),(y x F x 和),(y x F y 是连续的，取极限0→∆x 可得),(),()('y x F y x F dx dy x f y x-== 且)('x f 在),(00ρρ+-x x 内连续.相应的，我们能够得出由方程0),,,,(21=y x x x F n 所确定的n 元隐函数的存在定理：定理2. 2[6] 如果满足下列条件(1)0),,,,(000201=y x x x F n ； (2)在点),,,,(0002010y x x x P n 的一个邻域⊂)(0P U 1+n R 内,函数),,,,(21y x x x F n 连续； (3) 0),,,(00201≠y x x x F n n y ，那么则有以下结论成立：①在点),,,,(0002010y x x x P n 的某个邻域)()(00P U P V ⊂内, 方程0),,,,(21=y x x x F n 惟一确定了一个定义在点),,,(002010n x x x R 某邻域n R R U ⊂)(0内的隐函数),,,(21n x x x f y =，满足),,,(002010n x x x f y =，且0)),,,(,,,,(2121≡n n x x x f x x x F ；②),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内连续；③),,,(21n x x x f y =在邻域n R R U ⊂)(0内具有连续的偏导数，满足n i y x x x F y x x x F x y n y n x i i ,,2,1,),,,,(),,,,(2121 =-=∂∂. 例2. 1 验证方程0),(=+=x y e xe y x F 在原点)0,0(的某邻域内确定唯一的连续函数)(x f y =.证由于),(y x F 与x y y e xe F +='都在2R 上连续，当然在点)0,0(的邻域内连续，且01)0,0(,0)0,0(≠='=y F F由此可知方程0),(=y x F 在点)0,0(的某邻域内确定唯一连续的隐函数)(x f y =.2.2 隐函数组定理下面我们将给出由方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，所确定的隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x g v y x f u ，的存在定理.定理2. 3[7] 设),,,(),,,,(v u y x G v u y x F 以及它们的一阶偏导数在以点),,,(00000v u y x P 为内点的某区域⊂V 4R 内连续，且满足(1)0),,,(,0),,,(00000000==v u y x G v u y x F (2)0),(),(0≠=∂∂=P v u vu G G F F v u G F J 则方程组⎩⎨⎧==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F ，在0P 的某邻域)(0P U 内唯一确定两个隐函数),(y x f u =，),(y x g v =，有下列结论成立：①),(),,(000000y x g v y x f u ==，则有⎩⎨⎧≡≡0)),(),,(,,(0),(),,(,,(y x g y x f y x G y x g y x f y x F ②),(),,(y x g v y x f u ==在邻域20)(R R U ⊂内具有连续的一阶偏导数，且),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ ),(),(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂例2. 2[8] 验证方程组⎩⎨⎧=+--=++-42822222v u y x v u y x 在点)1,2,1,3(-的邻域内确定隐函数组，并求x u ∂∂，xv ∂∂. 解令 82),,,(-++-=v u y x v u y x F ，42),,,(2222-+--=v u y x v u y x G 则：0)1,2,1,3(,0)1,2,1,3(=-=-F GF 与G 以及它们的一阶偏导数都连续且)(22211),(),(v u v u v u G F +=-=∂∂，06),(),()1,2,1,3(≠=∂∂-v u G F 所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组⎩⎨⎧==),(),(y x v v y x u u 在方程两端同时对x 求导得⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂+∂∂+022201x v v x u u x x v x u 解得v u u x x u +-=∂∂，vu u x x v ++-=∂∂2.3 反函数组定理定理2. 4[9] 若函数组),(),,(y x v v y x u u ==满足如下条件：(1)),(),,(y x v v y x u u ==均具有连续的偏导数 (2)0),(),(≠∂∂=y x v u J 则函数组),(),,(y x v v y x u u ==可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组),(),,(v u y y v u x x ==且有y v J u x ∂∂=∂∂1，y u J v x ∂∂-=∂∂1，x v J u y ∂∂-=∂∂1，xu J v y ∂∂=∂∂1 及),(),(1),(),(y x v u v u y x ∂∂=∂∂或1),(),(),(),(=∂∂⋅∂∂v u y x y x v u 定理2. 5 若函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn x x x y y x x x y y 满足如下条件：(1)n y y y ,21,均具有连续的偏导数 (2)0),,(),,(2121≠∂∂n n x x x y y y则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组⎪⎩⎪⎨⎧==),,(),,(212111n n nn y y y x x y y y x x 且有1),,(),,(),,(),,(21212121=∂∂⋅∂∂n n n n x x x y y y y y y x x x例2. 2 [10]在3R 中的一点，其直角坐标),,(z y x 与相应球坐标),,(θϕr 的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin r z r y r x 其中πθπϕ20,0,0≤≤≤≤+∞<<r ，则函数组（除去z 轴上的点）可确定反函数组.证由于0sin 0sin cos cos sin sin cos sin sin sin sin cos cos sin cos ),,(),,(2≠=--=∂∂ϕϕϕϕθϕθϕθθϕθϕθϕθϕr r r r r r r z y x由反函数组定理，函数组（除去z 轴上的点）可确定θϕ,,r 分别是z y x ,,的函数，事实上，函数组的反函数组为222z y x r ++=，x y arctan =ϕ，rzarccos =θ.第3章隐函数定理的应用3.1 计算导数和偏导数3.1.1 隐函数的导数[11]设方程0),(=y x F 确定一个单值可导函数)(x f y =，将)(x f y =代入方程得恒等式0))(,(≡x y x F ，在恒等式两边对x 求导，便得到一个含有y '的方程，解出y '就求出了隐函数)(x f y =的导数，在恒等式两边对x 求导时，必须注意y 是x 的函数，要利用复合函数求导法.例3. 1 求由方程0103=-+y x 所确定的隐函数y 对x 的导数.解我们在方程两端对x 求导，注意y 是x 的函数，于是3y 则是x 的复合函数，运用复合函数求导法可得0312='+y y 所以231y y -='. 3.1.2 隐函数组的导数[12]对方程组的各个方程两边对某自变量求导，遇见因变量就把它看作自变量的函数，最后解方程组，就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.例3. 2 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 的偏导数.解 (1)当022≠+y x 时，有2222322222)()(2)(),(y x yx y y x x xy y x y y x f x +-=+⋅-+=' 2222322222)()(2)(),(y x xy y y x y xy y x x y x f y +-=+⋅-+=' (2)当022=+y x 时，根据偏导定义有：0lim )0,0()0,(lim)0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆xx f x f f x x x 000lim )0,0()0,(lim )0,0(00=∆-=∆-∆='→∆→∆y y f y f f x x y综合(1) (2)得：⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x y x y y x f x ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-='0,00,)(),(222222223y x y x y x xy x y x f y 3.1.3 对数求导法某些显函数的导数直接去求十分繁琐，有时可以通过取对数的方法使其化为隐函数的形式，再用隐函数求导法去求导数，使其变得简单些，这样的求导方法我们称为对数求导法.例3. 3 计算3)3()2)(1(---=x x x y 的导数.解先在两端取自然对数，得：)3ln 2ln 1(ln 31ln -+-+-=x x x y再应用隐函数求导法，在上式两端对x 求导，得)312111(311-+-+-='x x x y y 所以得)312111()3()2)(1(313-+-+----='x x x x x x y3.1.4 由参数方程所确定的函数的导数设由参数方程⎩⎨⎧==)()(t y t x ϕϕ确定了y 是x 的函数，)(x y y =则称这个函数为有参数方程所确定的函数，其中t 为参数，下面讨论由参数方程所确定的函数求导法：设函数)(t x ϕ=具有单调连续的反函数)(x t t =，且此反函数能与函数)(t y ϕ=复合成复合函数，则由上面参数方程所确定的函数)(x y y =就可以看成是由)(t y ϕ=，)(x t t =复合而成的函数))(()(x t x y y ϕ==，假设)(t x ϕ=，)(t y ϕ=都可导且0)(≠'t ϕ，则由复合函数求导法则和反函数求导公式有：dt dy dx dy =；dtdydx dt =；)()(1t t dtdx ϕϕ''= 即dtdxdt dyt t dx dy =''=)()(ϕϕ若)(),(t y t x ϕϕ==都二阶可导，则有：322))(()()()()()(t t t t t dx dy dx d dx y d ϕϕϕϕϕ''''-'''== 例3. 4已知抛物体的运动轨迹的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-==22121gt t v y t v x 求抛物体在此时刻t 的运动速度的大小和方向.解先求速度的大小，由于速度的水平分量为1v dt dx =，垂直分量为gt v dtdy-=2，所以抛物体运动速度大小为222122)()()(gt v v dtdydt dx v -+=+=再求速度的方向，即轨道的切线方向，设α是切线的倾角，则由导数的几何意义有12tan v gtv dtdx dt dydx dy -===α所以抛物体刚射出（即0=t ）时1200tan v v dx dyt t ====α当gv t 2=时 0tan 22====gv t gv t dx dyα这说明，这时运动方向是水平的，即抛物体达到最高点.3.2 几何应用3.2.1 空间曲线的切线与法平面[13] 3. 2. 1. 1空间曲线由参数方程给出的情况设空间曲线C 的参数方程为：⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(:t z z t y y t x x C []βα,∈t (3-1)取定曲线C 上点))(),(),((),,(0000000t z t y t x z y x P =，设式(3-1)中3个函数都在0t 点可导. 且[][][]0)()()(202020≠'+'+'t z t y t x在0P 的附近取动点C z z y y x x P ∈∆+∆+∆+),,(000，则割线P P 0方程为zz z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000 其中)()(00t x t t x x -∆+=∆，)()(00t y t t y y -∆+=∆，)()(00t z t t z z -∆+=∆. 以t ∆除以上式分母得tx x x ∆∆-0=t y y y ∆∆-0=t zz z ∆∆-0当0→∆t 时，0P P →,且)(0t x t x '=∆∆，)(0t y t y '=∆∆，)(0t z tz'=∆∆. 所以曲线C 在0P 处得切线方程为)(00t x x x '-=)(00t y y y '-=)(00t z z z '- 其切向量))(),(),((000t z t y t x l '''=.因为曲线C 在点0P 的法平面是垂直于切线的，所以法平面的法向量与l平行，设法平面的法向量为n ，则n=))(),(),((000t z t y t x '''. 从而过0P 点的法平面方程为0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x特别地，如果空间曲线C 的参数方程以x 为参数，即：⎪⎩⎪⎨⎧===)()(:x z z x y y x x C []βα,∈x 则C 在点),,(0000z y x P 的切线方程为)()(100000z z z z x y y y x x '-='-=- 切向量为))(),(,1(00t z t y l ''=，C 在点0P 处的法平面方程为：0))(())(()(00000=-'+-'+-z z t z y y t y x x如果C 为平面曲线)(x f y =，[]b a x ,∈，则过点),(000y x P 切线方程为：)(1000x f y y x x '-=-或))((000x x x f y y -'=- 切向量为))(,1(0x f l '=.例 3.5[13] 求螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 在30π=t 处的切线方程与法平面方程.解由b z t a y t a x ==-=',cos ,sin ，则切线方程为：bb z a a y a a x 33cos3sin 3sin3cos πππππ-=-=--即b bz a a y aa x 3223232π-=-=--因此法平面方程为：0)3()23(2)2(23=-+-+--b z b a y a a x a π3. 2. 1. 2 空间曲线为两曲面交线的情况设空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F (3-2)给出，设它在点),,(0000z y x P 的邻域内满足隐函数组定理的条件（这里不妨设0),(),(0≠∂∂p y x G F ），则由隐函数存在定理可知在方程组(3-2)点0P 附近可确定唯一连续导数的隐函数组)(z x x =，)(z y y =，z z =（亦即L 的参数方程），满足：)(),(0000z y y z x x ==且00),(),(),(),()(0p p y x G F y z G F z x ∂∂∂∂-=' 0),(),(),(),()(0p p y x G F z x G F z y ∂∂∂∂-='故曲线L 在点0P 的切线方程为：),(),(0p z y G F x x ∂∂-=),(),(0p x z G F y y ∂∂-=),(),(0p y x G F z z ∂∂- (3-3)曲线L 在点0P 的法平面方程为：)(),(),(00x x z y G F p -∂∂+)(),(),(00y y x z G F p -∂∂+)(),(),(00z z y x G F p -∂∂=0 (3-4)同理，可证当0),(),(0≠∂∂p z y G F 或0),(),(0≠∂∂p x z G F 时，曲线L 在点0P 的切线方程为(3-3)式，曲线L 在点0P 的法平面方程为仍为(3-4)式.例3. 6 求曲线⎩⎨⎧=+-=++45323222z y x xz y x 在点)1,1,1(P 处的切线与法平面方程.解令⎩⎨⎧-+-=-++=4532),,(3),,(222z y x z y x G x z y x z y x F ，首先求偏导数，得：32-=x F x ，y F y 2=，z F z 2=，2=x G ，3-=y G ，5=z G 则曲线在点P 的切线方向向量为：)1,9,16(3221,2512,5322,,-=⎪⎪⎭⎫--- ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x x z x z z y z y G G F F G G F F G G F F 故切线方程为1191161--=-=-z y x 法平面方程为24916=-+z y x3.2.2 空间曲面的切平面与法线[14]定义3. 1在空间曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线在点0P 处的切线都在同一平面上，则此平面称为曲面∑在点0P 的切平面.先讨论曲面∑的方程为0),,(=z y x F 的情形，其次把显式给出的曲面方程),(y x f z =作为它的特殊情形. 设曲面∑由方程0),,(=z y x F 给出，其中F 具有一阶连续的偏导数，在曲面∑上，过点),,(0000z y x P 的任一曲线的参数方程为)(),(),(t z z t y y t x x === βα≤≤t ，其中)(),(),(t z t y t x 均可导，则曲线在点0P 处的切线方向向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ，由于曲线在曲面∑上，故有0))(),(),((≡t z t y t x F ，对上式两端关于t 求导，得：0)()()()()()(000000=''+''+''t z P F t y P F t x P F z y x即 ))(),(),((000t z t y t x '''0))()()((000='+'+'P F P F P F z y x这表明向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''与曲面上过点0P 的任一曲线的切线都垂直，故所有切线都在以向量))(),(),(((000P F P F P F z y x '''为法向量且过点0P 的平面内，从而曲面∑过点0P 的切平面的法向量为：))(),(),(((000P F P F P F n z y x '''=于是过曲面∑上点),,(0000z y x P 处的切平面方程为：0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z P F y y P F x x P F z y x过点),,(0000z y x P 处的法线方程为：)(00P F x x x '-=)(00P F y y y '-=)(00P F z z z '- 上述讨论中，都假设)(),(),((000P F P F P F z y x '''不全为零，现在来考虑曲面∑的方程为),(y x f z =的情形，其中f 都有连续的偏导数，令),(),,(y x f z z y x F -=使方程变形为0),,(=z y x F则：1)(),,()(),,()(000000=''-=''-='P F y x f P F y x f P F z o y y x x所以曲面∑在点0P 的法向量为：)1),,(),,((000o y x y x f y x f n '-'-=故曲面∑在点0P 的切平面方程为：0000000))(,())(,(z z y y y x f x x y x f y x -=-'+-'曲面∑在点0P 的法线方程为：),(000y x f x x x '-=),(000y x f y y y '-=10--z z ，其中),(000y x f z =曲面∑：),(y x f z =上的法向量可以是)1,,(y x f f n '-'-= ，也可以是)1,,(-''=y x f f n，但当曲面∑的法向量向上时（即法向量正向与z 轴正向夹角γ满足大于0小于2π时）∑的法向量应为)1,,(y x f f n '-'-=.例3. 7[15] 求球面14222=++z y x 在点)3,2,1(处的切平面及法线方程. 解设14),,(222-++=z y x z y x F ，则6)3,2,1(,4)3,2,1(2)3,2,1(,2),,(2),,(,2),,(======z y x z y x F F F z z y x F y z y x F x z y x F球面在点)3,2,1(处的法向量为{}6,4,2，所以球面在点)3,2,1(的切平面方程为：0)3(6)2(4)1(2=-+-+-z y x即：01432=-++z y x法线方程为：332211-=-=-z y x .3.3 条件极值3.3.1 无条件极值 3. 3. 1. 1 极值的概念定义3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 的某邻域)(0P U 内有定义，如果对)(),(0P U y x ∈∀都有),(),(0o y x f y x f ≤或（),(),(0o y x f y x f ≥）则称),(0o y x f 为函数),(y x f 的一个极大值（或极小值），此时点0P 称为),(y x f 的极大值点（或极小值点），函数的极大值和极小值统称为函数的极值，极大值点和极小值点统称为函数的极值点.3. 3. 1. 2 极值存在的条件(1)极值存在的必要条件定理3.2 设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处具有偏导数，且在点),(000y x P 处有极值，则在该点的偏导数为零，即0),(0=o x y x f ，0),(0=o y y x f证不妨设函数),(y x f z =在点),(000y x P 处有极大值（极小值的情形可类似证明），由极大值定义，在点),(000y x P 的某邻域内异于点),(000y x P 的点),(y x P 都适合不等式),(y x f ﹤),(0o y x f ，特别的，在该邻域内取0y y =，0x x ≠的点，也有),(0y x f ﹤),(0o y x f ，这表明一元函数),(0y x f 在0x x =处取得极大值，因此必有0),(0=o x y x f ，同理，0),(0=o y y x f(2)极值存在的充分条件定理：设函数),(y x f z =在驻点),(00y x 的邻域内具有连续的一阶与二阶偏导数，记：),(0o xx y x f A =，),(0o xy y x f B =，),(0o yy y x f C =，①当AC B -2﹤0时，),(y x f 在点),(00y x 具有极值，且当A ﹤0时有极大值，当A ﹥0时有极小值. ②当AC B -2﹥0时),(y x f 在点),(00y x 没有极值. ③当AC B -2=0时，),(y x f 在点),(00y x 可能有极值，需另作讨论.例3.8[17]求函数22324y xy x x z -+-=的极值.解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=∂∂=+-=∂∂02202832y x y z y x x xz ，求得驻点为)0,0(和)2,2(再求出二阶偏导数8622-=∂∂x x z ，22=∂∂∂y x z ，222-=∂∂yz在点)0,0(处，2,2,8-==-=C B A ,0122<-=-AC B ,08<-=A ,故函数在点)0,0(处取得极大值0)0,0(=f ，在点)2,2(处，2,2,4-===C B A ，0122>=-AC B 故点)2,2(不是函数的极值点.3.3.2 拉格朗日乘数法自变量有附加条件限制多元函数的极值称为条件极值，比如函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ(3-5)下取得的极值就是条件极值. 现在讨论函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ取得极值的必要条件.设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某一邻域内),(y x f ，),(y x ϕ均有连续的一阶偏导数，且0),(0≠o y y x ϕ，则方程0),(=y x ϕ能唯一确定y 是x 的具有连续导数的单值函数)(x y y =，将其代入函数),(y x f z =，得一元函数))(,(x y x f z =，于是二元函数))(,(x y x f z =在点0x 取得极大值的问题，由一元可导函数取得极大值的必要条件知应有：0),(),(00000=+===x x y x x x dxdy y x f y x f dxdz (3-6)又由隐函数求导公式，有：)0000,(),(0y x y x dxdy y x x x ϕϕ-==代入(3-6)式中得：0),(),(),(),(00000000=-y x y x y x f y x f y x y x ϕϕ即：0),(),(),(),(00000000=⋅-y x y x y x f y x f y y x ϕϕ (3-7)(3-5)、(3-7)式就是),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下，在点),(00y x 取得极值的必要条件. 令),(),(0000y x y x f y y ϕλ-=即：0),(),(0000=+y x y x f y y λϕ (3-8) 则(3-7)式变为0),(),(0000=+y x y x f x x λϕ (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函数),(y x f 在),(00y x 取得条件极值的必要条件是：⎪⎩⎪⎨⎧==+=+0),(0),(),(0),(),(000000000y x y x y x f y x y x f o y y x x ϕλϕλϕ (3-10)实际上(3-10)式可看作函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，在点),,(00λy x 取得无条件极值的必要条件. 因此为了便于记忆，求函数),(y x f z =在条件0),(=y x ϕ下的可能极值点，可以构造辅助函数),(),(),,(y x y x f y x F λϕλ+=，其中λ为某一常数，称为拉格朗日乘数，称函数),,(λy x F 为拉格朗日函数，分别求),,(λy x F 对λ,,y x 的偏导数，并使它们同时为零，得联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧===+==+=0),(),,(0),(),(),,(0),(),(),,(y x y x F y x y x f y x F y x y x f y x F y y y x x x ϕλλϕλλϕλλ解此方程组得λ,,y x ，其中y x ,就是可能极值点的坐标，上述方法称为拉格朗日乘数法.例3. 9[18] 求函数222),,(cz by ax z y x f ++=，)0,0,0(>>>c b a 在条件1=++z y x 下的最小值.解作拉格朗日函数)1(),,,(222-+++++=z y x cz by ax z y x L λλ对L 求偏导并令其为零，得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+=+=+0020202z y x cz by ax λλλ 解得唯一稳定点：acbc ab ab z ac bc ab ac y ac bc ab bc x ++=++=++=,, 故所求最小值为： 2min )()(ac bc ab ab ac bc abc f ++++=3.4 最优化问题在现实中，我们通常要解决“投资最少”“成本最低”“效益最高”等问题，称这样的问题为最优化问题，这类问题在数学上可以归结为求某个函数在一定条件下的最大值或最小值问题. 最优化问题通常可以分为无约束最优化问题和有约束最优化问题.3.4.1 无约束最优化问题无约束最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组n x x x 21,使：),(max ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或： ),(min ),(21),(2121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=这也是一个在D 上求函数),(21n x x x f 的最大值或最小值问题.例3. 10 用铁板做一个体积为22m 的有盖长方体水箱，问当长，宽，高分别为多少时，才能使用料最省？解设水箱的长为x m,宽为y m ，则高为xy2m 水箱所用材料的面积为：)0,0(),22(2)22(2>>++=++=y x y x xy xy x xy y xy A 这样所给问题就转化为在域{}0,0),(>>y x y x D 上求使此函数达到最小的y x ,用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-=0)2(2),(0)2(2),(22yx y x A x y y x A y x得：332,2==y x根据题意可知，水箱所用材料面积A 的最小值一定存在，且在开区域{}0,0),(>>y x y x D 内取得，同时函数在D 内只有唯一驻点)2,2(33，因此可以肯定当332,2==y x ，A 取得最小值，即当水箱长、宽、高分别为32m 、32m 、32m 时，水箱所用材料最省.3.4.2 约束最优化问题在约束最优化问题中，约束条件又可分为等式约束条件和不等式约束条件，在此我们只讨论等式约束条件的情形. 这时对应的最优化问题的数学表达式就是：在自变量的取值范围D 上，求一组满足约束条件0),(21=n x x x ϕ的**2*1,,n x x x ，使),(max ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=或),(min ),(21),(**2*121n D x x x n x x x f x x x f n ∈=，这也是一个有条件地求函数),(21n x x x f 在D 上的最大值或最小值问题.求解有约束最优化问题有两种方法：一种方法是利用约束条件，将有约束最优化问题化为无约束最优化问题再求解. 令一种方法是拉格朗日乘数法.例3. 11 求表面积为2a 而体积最大的长方体的体积.解设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,则问题就是求函数yxxyzV=z>,0,0(,>>)0在条件0)(2),,(2=-++=a zx yz xy z y x ϕ下的最大值利用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数[]2)(2),,,(a zx yz xy xyz z y z F -+++=λλ 对λ,,,z y x 分别求导，并令其同时为零，得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=0222),,(0)(2),,,(0)(2),,,(0)(2),,,(2a xy yz xy z y x y x xy z y x F z x xz z y x F z y yz z y x F z y x ϕλλλλλλ 解此方程组得a z y x 66===，这是唯一可能的极值点，因为由问题本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在这个可能的极值点处取得，即表面积为2a 的长方体中，以棱长为a 66的正方体的体积最大，最大体积为3366a V =.结论本篇文章主要介绍的是隐函数定理及其应用，重点在于应用，难点在于如何将理论知识更深刻、更具体、更形象的运用在实际解题中．绪论中主要介绍了隐函数的历史发展、隐函数定理在数学分析中的重要地位，以及在现代生活中人们对隐函数的具体认识及其主要用途．本文介绍了隐函数存在性定理、连续性定理及可微性定理，并予以严谨的证明。

数学分析3部分习题解析(隐函数定理及其应用部分)

数学分析3部分习题解析隐函数定理及其应用部分关注的要点：第1节部分习题1、方程cos sin xyx y e +=能否在原点的某邻域内确定隐函数()y f x =或()x g y =？：【做这题和下题之前要注意一点：回顾并熟记隐函数存在及可微性定理，注意理解定理的条件的作用。

】解首先将方程变为标准方程cos sin 0xyx y e+-=，记(,)cos sin xy F x y x y e =+-，显然(,)F x y 在2R 上连续，(,)sin xy x F x y x ye =--，(,)cos xy y F x y y xe =-也在2R 上连续，且(0,0)0F =，0(0,0)sin 000x F e =--=，0(0,0)cos 0010y F e =-=≠。

所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在原点的邻域内可以确定唯一连续可微的隐函数()y f x =。

2、方程ln 1xz xy z y e ++=在点(0,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数？。

解首先将方程变为标准方程ln 10xzxy z y e ++-=，记(,,)ln 1xzF x y z xy z y e =++-，显然(,)F x y 在{}(,)0x y y >（即上半平面）上连续，(,,)xzx F x y z y ze =+，(,,)y zF x y z x y=+，(,,)ln xz z F x y z y xe =+也在{}(,)0x y y >上连续，且(0,1,1)0F =，0(0,1,1)1120x F e =+=≠，(0,1,1)10y F =≠，(0,1,1)0z F =。

所以，由隐函数存在及可微性定理得，此方程在点(0,1,1)的邻域内既可以确定唯一连续可微的隐函数(,)x x y z =，也可以确定唯一连续可微的隐函数(,)y y z x =，但不能肯定是否确定隐函数(,)z z x y =。

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)

5．设以 u，v 为新的自变量变换下列方程：
解：（1）因所以
将
代入原方程，并化简得，
所以
8 / 32
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

将上述
代入原方程，并化简得
即
6．设函数 u＝u（x，y）由方程组 u＝f（x，y，z，t），g（y，z，t）＝0，h（z，t）＝0 所确定，求
解之得
3．求下列函数所确定的反函数组的偏导数：
解：（1）因
所以由反函数组定理，得
7 / 32
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

（2）关于 x 求偏导数得
解之得
4．设函数 z＝z（x，y）是由方程组函数，求当 u＝0，v＝0 时的 dz．
解：因
（u，v 为参量）所定义的所以当 u＝0，v＝0 时 dz＝0．
证明：因为
所以
7．求由下列方程所确定的隐函数的偏导数：
求 z 对于 x，y 的一阶与二阶偏导数；
求
解：（1）令
，则
（2）把 z 看成 x，y 的函数，两边对 x 求偏导数，得原方程两边关于 y 求偏导数，得
4 / 32
，故
圣才电子书十万种考研考证电子书、题库视频学习平台

在点（1，－1，2）的附近能否确定形如 x＝f（x），y＝g（z）的隐函数组？
解：令
则
①F，G 在点（1，－1，2）的某邻域内连续；
②F（1，－1，2）＝0，G（1，－1，2）＝0；
③
均在点（1，－1，2）的邻域内连续；
故由隐函数组定理知，在点（1，－1，2）的附近所给方程组能确定形如 x＝f（z），y ＝g（z）的隐函数组．

华东师范大学数学分析第18章习题解答

1 第十八章
隐函数定理及其应用§1 隐函数1.方程xy e y x sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数x f y 或y g x
? 分析:隐函数是否存在只须验证题目是否满足隐函数存在定理的条件
. 解令
xy e y x y x F sin cos ,,则有(1)
y x F ,在原点的某邻域内连续; (2)
00,0F ; (3)
xy y xy x xe y F ye x F cos ,sin 均在原点的上述邻域内连续; (4) 00
,0,010,0x y F F . 故由隐函数存在定理知
,方程xy e y x sin cos 在原点的某邻域内能确定隐函数x f y . 2.方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?
分析: 本题的解题思路与1题一样.
解令
1ln ,,xz e y z xy z y x F ,则(1)
z y x F ,,在点1,1,0的某邻域内连续; (2) 01
,1,0F ; (3) xz z y xz x xe y F y z
x F ze y F ln ,,均在原点的上述邻域内连续;
(4) 01,1,0,011
,1,0,021,1,0z y x F F F . 故由隐函数存在定理知,方程1ln xz e y z xy 在点1,1,0的某邻域内能确定隐函数
z y f x ,和z x g y ,.。

数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值

第十八章隐函数定理及其定理4条件极值引例：设计一个容量为V, 而表面积最小的长方形开口水箱. 设水箱的长、宽、高分别为x,y,z ，则表面积为S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy. 即面积函数的自变量要符合定义域的要求(x>0,y>0,z>0)，且须满足 xyz=V, 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题.一般形式：在条件组φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求目标函数y=( x 1,…,x n )的极值.解法：1、消元法，如引例中的条件可化为z=xyV,代入函数S 得： F(x,y)=S(x,y,xy V)=2V(x 1+y1)+xy. 由(F x ,F y )=(0,0)求得稳定点(32V ,32V ), 可求得最小面积S=3324V .2、拉格朗日乘数法：欲求函数z=f(x,y)的极值，限制条件为C: φ(x,y)=0. 把C 看作(x,y)的曲线方程，设C 上一点P 0(x 0,y 0)为f 满足条件的极值点, 且在点P 0的某邻域上φ(x,y)=0能惟一确定可微的隐函数y=g(x), 则 x=x 0必为z=f(x,g(x))=h(x)的极值点. 由f 在P 0可微, g 在x 0可微, 可得 h ’(x 0)=f x (x 0,y 0)+f y (x 0,y 0)g ’(x 0)=0, 且当φ满足隐函数定理条件时，有 g ’(x 0)=-),(),(0000y x y x y x ϕϕ, 代入上式得：f x (P 0)φy (P 0)-f y (P 0)φx (P 0)=0. 几何意义上，上式表示曲面z=f(x,y)的等高线f(x,y)=f(P 0)与曲线C 在P 0有公共切线.从而存在某常数λ0, 使得在P 0处满足：⎪⎭⎪⎬⎫==+=+0)(0)()(0)()(0000000P P P f P P f y y x x ϕϕλϕλ，引入辅助变量λ和辅助函数L(x,y,λ)=f(x,y)+ λφ(x,y), 可得⎪⎭⎪⎬⎫===+==+=0)(),,(0)()(),,(0)()(),,(0000000000000000P y x L P P f y x L P P f y x L y y y x x x ϕλϕλλϕλλλ, 即将条件极值问题转化为L 的无条件极值问题，称为拉格朗日乘数法，其中函数L 称为拉格朗日函数，辅助变量λ称为拉格朗日乘数.注：一般条件极值问题的拉格朗日函数：(λ1,…,λn 为拉格朗日乘数) L(x 1,…,x n ,λ1,…,λm )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ.定理18.6：设在条件φk (x 1,…,x n )=0, k=1,2,…,m (m<n)的限制下，求函数y=( x 1,…,x n )的极值问题, 其中f 与φk 在区域D 上有连续的一阶偏导数.若D 的内点P 0(01x ,…,0.n x )是上述问题的极值点，且雅可比矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋯∂∂⋯⋯∂∂⋯∂∂n mm n x x x x ϕϕϕϕ1111的秩为m, 则存在m 个常数01λ,…,0.m λ,使得 (01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为拉格朗日函数L(x 1,…,x n ,λ1,…,λn )=f(x 1,…,x n )+∑=⋯mk n k x x 11k ),,(ϕλ的稳定点, 即(01x ,…,0.n x ,01λ,…,0.m λ)为n+m 个方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=⋯=⋯⋯=⋯==∂∂+∂∂⋯⋯=∂∂+∂∂∑∑==0),,(0),,(011111111111n m n mk n k k nx mk k k x x x L x x L x x f L x x f L m n ϕϕϕλϕλλλ的解.例1：用拉格朗日乘数法重新求本节开头提到的水箱设计问题. 解：所求问题的拉格朗日函数为L(x,y,z,λ)=2(xz+yz)+xy+λ(V-xyz)，列方程组得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==-+==-+==-+=00220202xyz V L xy y x L xz x z L yz y z L z yx λλλλ，解得：x=y=2z=32V ,λ=324V .∴水箱表面积最小值为：23333)2()22(222V V V V ++=3324V .注：由例1可得不等式：2(xz+yz)+xy ≥3324V =32)(4xyz , x>0,y>0,z>0.例2：抛物面x 2+y 2=z 被平面x+y+z=1截成一个椭圆. 求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解：实质为求f(x,y,z)=x 2+y 2+z 2在条件x 2+y 2-z=0及x+y+z-1=0下的最值. 令L(x,y,z,λ,μ)=x 2+y 2+z 2+λ(x 2+y 2-z)+μ(x+y+z-1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=0100202202222z y x L z y x L z L y y L x x L z y x μλμλμλμλ, 解得：λ=-3±35,μ=-7±311,x=y=231±-,z=2∓3.又f(231±-,231±-,z=2∓3)=9∓53. ∴椭圆到原点的最长距离为39+, 最短距离39-.例3：求f(x,y,z)=xyz 在条件x 1+y 1+z 1=r1,(x>0, y>0, z>0, r>0)下的极小值，并证明不等式3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc , 其中a,b,c 为任意正实数. 解：令L(x,y,z,λ)=xyz+λ(x 1+y 1+z 1-r1), 列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-==-==-=01111000222r z y x L zxy L y xz L xyz L z y x λλλλ，解得：x=y=z=3r, λ=(3r)4.把x 1+y1+z 1=r1看作隐函数z=z(x,y) (满足隐函数定理条件)，记F(x,y)=xyz(x,y)=f(x,y,z), 它是f 与z=z(x,y)的复合函数. 则有z x =-21x -/21z -=-22x z , z y =-22yz ; F x =yz+xyz x =yz-x yz 2, F y =xz-y xz 2; F xx =yz x +yz x +xyz xx =332x yz , F yy =332yxz , F xy =z+yz y +xz x +xyz xy =z-y z 2-x z 2+xy z 32;∵(F xx F yy -F xy 2)(3r,3r,3r)=27r 2>0, ∴f(3r,3r,3r)=(3r)3极小值, 也是最小值. 即有xyz ≥(3r)3, (x>0, y>0, z>0, 且x1+y1+z 1=r1).令x=a,y=b,x=c, 则r=(a 1+b 1+c 1)-1, 即有abc ≥[3(a 1+b 1+c 1)-1]3,或3(a 1+b 1+c1)-1≤3abc (a>0, b>0, c>0).习题1、应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值： (1)f(x,y)=x 2+y 2, 若x+y-1=0；(2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)； (3)f(x,y,z)=xyz, 若x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0.解：(1)令L(x,y,λ)=x 2+y 2+λ(x+y-1), 列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=010202y x L y L x L y x λλλ,解得：λ=-1, x=y=21. 又当x →∞, y →∞时，f →∞， ∴函数在唯一的稳定点取得极小值f(21,21)=21. (2)f(x,y,z,t)=x+y+z+t, 若xyzt=c 4 (其中x,y,z,t>0, c>0)；令L(x,y,z,t,λ)=x+y+z+t+λ(xyzt-c 4), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=0010101014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ, 解得：x=y=z=t=c.又当n 个正数的积一定时，其和必有最小值，∴函数在唯一的稳定点取得最小值也是极小值f(c,c,c,c)=4c.(3)令L(x,y,z,λ,μ)=xyz+λ(x 2+y 2+z 2-1)+μ(x+y+z), 有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=001020202222z y x L z y x L z xy L y xz L x yz L zy x μλμλμλμλ, 解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=--=616261z y x . ∵f 在有界集{(x,y,y)|x 2+y 2+z 2=1, x+y+z=0}上连续，∴存在最值.又f(61,61,-62)=f(-62,-61,61)=f(61,-62,61)=-631,f(-61,-61,62)=f(62,-61,-61)=f(-61,62,-61)=631, ∴f 在(61,61,-62),(-62,-61,61),(61,-62,61)取得极小值-631,在(-61,-61,62),(62,-61,-61),(-61,62,-61)取得极大值631.2、(1)求表面积一定而体积最大的长方体； (2)求体积一定而表面积最小的长方体.解：设长、宽、高分别为x,y,z ，则体积V=xyz, 表面积S=2xy+2yz+2zx,(1)记L(x,y,z,λ)=xyz+λ(2xy+2yz+2zx-S), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=02220)(20)(20)(2S zx yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z yxλλλλ,解得：x=y=z=6S, ∴体积最大的长方体必在唯一的稳定点取得，即表面积一定的长方体为正方体时，V=36⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛S =66SS最大. (2)记L(x,y,z,λ)=2xy+2yz+2zx+λ(xyz-V), 有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=0022022022V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z yx λλλλ,解得：x=y=z=3V , ∴表面积最小的长方体必在唯一的稳定点取得，即体积一定的长方体为正方体时，表面积S=632V 最小.3、求空间一点(x 0,y 0,z 0)到平面Ax+By+Cz+D=0的最短距离.解：由题意，相当于求f(x,y,z)=d 2=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2在条件 Ax+By+Cz+D=0下的最小值问题.由几何学知，空间定点到平面的最短距离存在，可设L(x,y,z,λ)=(x-x 0)2+(y-y 0)2+(z-z 0)2+λ( Ax+By+Cz+D), 列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++==+-==+-==+-=00)(20)(20)(2000D Cz By Ax L C z z L B y y L A x x L z y x λλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-+++++=-+++++=-222000022200002220000)()()(C B A D Cz By Ax C z z C B A D Cz By Ax B y y C B A D Cz By Ax A x x ， ∴f 的最小值必在惟一的稳定点取得，即 d=202020)()()(z z y y x x -+-+-=222000||CB A D Cz By Ax +++++为所求最短距离.4、证明：在n 个正数的和为定值条件x 1+x 2+…+x n =a 下，这n 个正数的乘积x 1x 2…x n 的最大值为n nna . 并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值n n x x x ⋯21≤nx x x n+⋯++21.证：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 1x 2…x n +λ(x 1+x 2+…+x n -a), (x 1,x 2,…,x n >0)列方程组有：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-+⋯++==+⋯=⋯⋯=+⋯⋯=⋯⋯=+⋯==+⋯=-+-000002112111214313221a x x x L x x x L x x x x x L x x x x L x x x L n n x nk k x n x n x n k λλλλλ, 解得：x 1=x 2=…=x n =n a. ∴最大值必在惟一的稳定点取得，即f(n a ,n a ,…,n a )=n nna 最大.又x 1x 2…x n ≤n n n a ，∴n n x x x ⋯21≤na =n x x x n+⋯++21.5、设a 1,a 2,…,a n 为已知的n 个正数，求f(x 1,x 2,…,x n )=∑=nk k k x a 1在限制条件x 12+x 22+…+x n 2≤1下的最大值. 解：记x 12+x 22+…+x n 2=r ≤1, L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=∑=nk k k x a 1+λ(x 12+x 22+…+x n 2-r),列方程组有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+⋯++==+=⋯⋯=+==+=rx x x L x a L x a L x a L n nn x x x n22221221102020221λλλλ, 解得：x i =∑=±nk kiaa r 12, (i=1,2,…,n)可知，当x i =∑=±nk kiaa r 12, 且r=1时，取得最大值f M =∑=nk ka12.6、求函数f(x 1,x 2,…,x n )=x 12+x 22+…+x n 2在条件∑=nk k kx a1=1(a k >0,k=1,2,…,n)下的最小值. 解：记L(x 1,x 2,…,x n ,λ)=x 12+x 22+…+x n 2+λ(∑=nk k kx a1-1),列方程组有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==+=⋯⋯=+==+=∑=10202021221121n k k k n n x x x x a L a x L a x L a x L n λλλλ, 解得：x i =∑=n k k i a a 12, (i=1,2,…,n)，∴函数在唯一的稳定点取得最小值F m =∑=nk ka121.7、利用条件极值方法证明不等式xy 2z 3≤10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x , x,y,z>0.证：记L(x,y,z,λ)=xy 2z 3+λ(x+y+z-a), (x,y,z>0, a>0),列方程组有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==+==+==+=00302022332a z y x L z xy L xyz L z y L z yxλλλλ,解得：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===236a z a y a x , 又当n 个正数的和一定时，其积必有最大值，∴xy 2z 3≤32236⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a =6633322⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯a =10866⎪⎭⎫⎝⎛++z y x .。

隐函数定理及应用

2) 在方程能确定隐函数时, 研究隐函数的连续性、可微性及求导方法问题 .
上一页下一页主页返回退出
三、隐函数定理
一个方程所确定的隐函数及其导数
上一页下一页主页返回退出
定理18.1（隐函数存在唯一性定理）设F(x, y)满足 (i) 函数 F 在以 P0( x0 , y0 ) 为内点的区域D 上连续； (ii) F( x0 , y0 ) 0; (iii ) Fy ( x, y)在 D 内连续; (iv) Fy ( x0 , y0 ) 0,
解: 令 F( x, y) sin y e x x y 1, 则
① F( x, y ) 连续
② Fx e x y, Fy cos y x 连续 ,
③ F (0,0) 0,
④ Fy (0,0) 1 0
由定理18.2 可知, 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可
例如 xy y 1 0 y x 1 sin y 0 2
上一页下一页主页返回退出
设X R，Y R, 函数 F : X Y R.
对于方程 F(x, y) 0
(1)
若存在集合I X 与 J Y , 使得对于任何
x I，恒有唯一确定的y J，它与 x 一起
( e x y)(cos y x) (e x y)( sin y y 1)

( cos y x )2
x0 y0
3
y 1
上一页下一页主页返回退出
求隐函数导数的另一方法：
sin y e x x y 1 0, y y( x)
例. 设解法1
x2 y2 z2 4z 0, 求

数学分析18.3隐函数定理及其应用之几何应用

第十八章隐函数定理及其定理3几何应用一、平面曲线的切线与法线设平面曲线由方程F(x,y)=0给出，它在点P 0(x 0,y 0)的某邻域上满足隐函数定理条件，于是在点P 0附近所确定的连续可微隐函数y=f(x)(或x=g(y))和F(x,y)=0在点P 0附近表示同一曲线，从而该曲线在P 0存在切线和法线，其方程分别为：y-y 0=f ’(x 0)(x-x 0) 或(x-x 0=g ’(y 0)(y-y 0)) 与y-y 0=-)(x f 10'(x-x 0) 或(x-x 0=-)(y g 10'(y-y 0)). ∵f ’(x)=-y x F F (或g ’(y)=-xy F F ),∴F(x,y)=0在点P 0的切线与法线方程为：F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-y 0)=0与F y (x 0,y 0)(x-x 0)-F x (x 0,y 0)(y-y 0)=0.例1：求笛卡儿叶形线2(x 3+y 3)-9xy=0在点(2,1)的切线与法线. 解：记F=2(x 3+y 3)-9xy, 则F x =6x 2-9y, F y =6y 2-9x 在R 2连续，且 F x (2,1)=15≠0, F y (2,1)=-12≠0, ∴曲线在(2,1)的切线与法线分别为： 15(x-2)-12(y-1)=0, 即5x-4y-6=0，与-12(x-2)-15(y-1)=0, 即4x+5y-13=0.二、空间曲线的切线与法平面由参数方程x=x(t), y=y(t), z=z(t), α≤t ≤β确定的空间曲线L 上一点P 0(x 0,y 0,z 0)，有x 0=x(t 0),y 0=y(t 0),z 0=z(t 0), α≤t 0≤β，假定它们都在t 0处可导，且[x ’(t 0)]2+[y ’(t 0)]2+[z ’(t 0)]2≠0. 在L 上点P 0附近选取一点 P(x,y,z)=P(x 0+△x,y 0+△y,z 0+△z), 割线P 0P 为：x x -x 0∆=y y -y 0∆=zz -z 0∆，其中△x=x(t 0+△t)-x(t 0), △y=y(t 0+△t)-y(t 0), △z=z(t 0+△t)-y(t 0), 又t x/x -x 0∆∆=t y/y -y 0∆∆=t z/z -z 0∆∆，当△t →0时, P →P 0,且t x ∆∆→x ’(t 0), ty∆∆→y ’(t 0), tz∆∆→z ’(t 0), 即得曲线L 在P 0处的切线方程为：)t (x x -x 00'=)t (y y -y 00'=)t (z z -z 00'.可知，当x ’(t 0), y ’(t 0), z ’(t 0)不全为0时，它们组成了该切线的方向数. 过P 0与切线l 垂直的平面称为曲线L 在点P 0的法平面, 其方程为： x ’(t 0)(x-x 0)+y ’(t 0)(y-y 0)+z ’(t 0)(z-z 0)=0.当空间曲线L 由方程组⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,给出时，若它在点P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域上满足隐函数组定理的条件(不妨设条件(4)为P y),x ()G (F,∂∂≠0)，则该方程组在点P 0附近能确定惟一连续可微的隐函数组x=φ(z),y=ψ(z),使 x 0=φ(z 0),y 0=ψ(z 0),且zx ∂∂=-y),z ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂, z y ∂∂=-z),x ()G (F,∂∂/y),x ()G (F,∂∂. 又在点P 0附近，原方程组和由其确定的隐函数组表示同一空间曲线， ∴以z 为参量时，可得点P 0附近曲线L 的参量方程：x=φ(z),y=ψ(z),z=z. ∴曲线L 在P 0处的切线方程为：)P (x x -x 0z 0=)P (y y -y 0z 0=1z -z 0，即0P 0z),y ()G (F,x -x ∂∂=0P 0x),z ()G (F,y -y ∂∂=0P 0y),x ()G (F,z -z ∂∂.曲线L 在P 0处的法平面方程为：0P z),y ()G (F,∂∂(x-x 0)+0P x),z ()G (F,∂∂(y-y 0)+0P y),x ()G (F,∂∂(z-z 0)=0.同理可推得，当0P z),y ()G (F,∂∂≠0或0P x),z ()G (F,∂∂≠0时，结论相同.可见，当0P y),x ()G (F,∂∂,0P z),y ()G (F,∂∂,0P x),z ()G (F,∂∂不全为0时，它们是L 在P 0处的切线的方向数.例2：求球面x 2+y 2+z 2=50与锥面x 2+y 2=z 2所截出的曲线在(3,4,5)处的切线与法平面方程.解：记F=x 2+y 2+z 2-50, G=x 2+y 2-z 2,∵F x =G x =2x, F y =G y =2y, F z =2z, G z =-2z 在(3,4,5)都连续, 又y),x ()G (F,∂∂=0, 0P z),y ()G (F,∂∂=-160, 0P x),z ()G (F,∂∂=120, ∴曲线在P 0处的切线方程为：1603-x -=1204-y =05-z , 即⎩⎨⎧==+5z 04)-4(y 3)-3(x ;法平面方程为：-4(x-3)+3(y-4)+0(z-5)=0, 即4x-3y=0.三、曲面的切平面与法线设曲面由方程F(x,y,z)=0给出，它在点以P 0(x 0,y 0,z 0)的某邻域内满足隐函数定理条件(不妨设F z (x 0,y 0,z 0)≠0)，则该方程在点P 0附近确定惟一连续可微的隐函数z=f(x,y)，使得z 0=f(x 0,y 0), 且z x ∂∂=-)z y,(x ,F )z y,(x ,F zx , z y ∂∂=-)z y,(x,F )z y,(x,F z y .由于在点P 0附近F(x,y,z)=0与z=f(x,y)表示同一曲面，从而该曲面在P 0处有切平面方程为：z-z 0=-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000x (x-x 0)-)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F 000z 000y (y-y 0)或F x (x 0,y 0,z 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0,z 0)(y-y 0)+F z (x 0,y 0,z 0)(z-z 0)=0. 法线方程为：)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F x -x 000z 000x 0-=)z ,y ,(x F )z ,y ,(x F y -y 000z 000y 0-=1z -z 0- 或)z ,y ,(x F x -x 000x 0=)z ,y ,(x F y -y 000y 0=)z ,y ,(x F z -z 000z 0.其中，两方程的第二种形式对F x (x 0,y 0,z 0)≠0或F y (x 0,y 0,z 0)≠0也适合.注：1、函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的梯度gradF(P)就是等值面F(x,y,z)=c 在点P 的法向量n=(F x (P),F y (P),F z (P)). 2、将曲线L ：⎩⎨⎧==0z)y,G(x,0z)y,F(x,看成两个曲面F(x,y,z)=0和G(x,y,z)=0的交线，则L 在点P 0的切线与两个曲面在P 0的法线都垂直，这两个法向量为n 1=(F x ,F y ,F z )|0P 与n 2=(G x ,G y ,G z )|0P ,即 L 在P 0的切向量可取n 1与n 2的向量积τ=n 1×n 2=)()()()()()(000000P G P G P G P F P F P F kj i z y x z y x =i P 0)z (y,)G (F,∂∂+j P 0)x (z,)G (F,∂∂+k P 0)y (x,)G (F,∂∂.例3：求椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程. 解：设F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-6, F x =2x, F y =4y, F z =6z 在全空间上处处连续, 在(1,1,1)处，F x =2, F y =4, F z =6，∴切平面方程为2(x-1)+4(y-1)+6(z-1)=0, 法线方程为：11-x =21-y =31-z .例4：证明：曲面f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x =0的任一切平面都过某个定点，其中f 是连续可微函数. 解：令F(x,y,z)=f ⎪⎭⎫⎝⎛c -z b -y ,c -z a -x ,∵(F x ,F y ,F z )=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-22121c)-(z b)f -(y a)f -(x ,c -z f ,c -z f , ∴曲面在其上任意一点P 0(x 0,y 0,z 0)的法向量可取为： n=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-c -z )(b)f -(y )(a)f -(x ),(f ),(f 00200100201P P P P , 由此可得切平面方程： f 1(P 0)(x-x 0)+f 2(P 0)(y-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(z-z 0)=0.以(x,y,z)=(a,b,c)代入切平面方程，可得：f 1(P 0)(a-x 0)+f 2(P 0)(b-y 0)-c-z )(b)f -(y )(a)f -(x 0020010P P +(c-z 0)≡0，即定点(a,b,c)在曲面的任一切平面上.习题1、求平面曲线32x +32y =32a (a>0)上任一点处的切线方程，并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长. 解：记F(x,y)=32x +32y -32a , 则F x =3x32, F y =3y32,∴曲线上任一点(x 0,y 0)处的切线方程为：3x 1(x-x 0)+3y 1(y-y 0)=0, 即3x x+3y y=32a . 切线与在坐标轴上的截距分别为320a x 与320a y ,∴切线被坐标轴所截取的线段为()()23202320a y a x +=a, 得证!2、求下列曲线在所示点处的切线与法平面： (1)x=asin 2t, y=bsintcost, z=ccos 2t, 在点t=4π； (2)2x 2+3y 2+z 2=9,z 2=3x 2+y 2, 在点(1,-1,2). 解：(1)∵x ’(4π)=a, y ’(4π)=0, z ’(4π)=-c,∴切线方程为：a 2a -x =02b -y =c 2c -z -, 即⎪⎩⎪⎨⎧==+2b y 1c z a x .法平面方程为：a(2a -x )-c(2c -z )=0, 即ax-cz=21(a 2-c 2).(2)记F(x,y,z)=2x 2+3y 2+z 2-9, G(x,y,z)=3x 2+y 2-z 2, 则 F x =4x,F y =6y,F z =2z; G x =6x,G y =2y,G z =-2z; ∴(1,-1,2)y),x ()G (F,∂∂=28; (1,-1,2)z),y ()G (F,∂∂=32;(1,-1,2)x),z ()G (F,∂∂=40;∴切线方程为：81-x =101y +=72-z . 法平面方程为：8(x-1)+10(y+1)+7(z-2)=0.3、求下列曲面在所示点处的切平面与法线： (1)y-e2x-z=0, 在点(1,1,2)；(2)222222c z b y a x ++=1, 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a . 解：(1)记F=y-e 2x-z , 则F x (1,1,2)=-2, F y (1,1,2)=1, F z (1,1,2)=1, ∴切平面方程为：-2(x-1)+(y-1)+(z-2)=0; 法线方程为：2-1-x =y-1=z-2. (2)记F=222222c z b y a x ++-1, 则在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛3c ,3b ,3a , F x =a 32, F y =b 32, F z =c 32. ∴切平面方程为：a1(x-3a )+b 1(y-3b )+c 1(z-3c )=0, 即a x +b y +c z=3;法线方程为：a(x-3a )=b(y-3b )=c(z-3c ).4、证明对任意常数ρ,φ,球面x 2+y 2+z 2=ρ2与锥面x 2+y 2=z 2tan 2φ正交. 证：设(x,y,z)是球面与锥面交线上的任一点，则球面上该点的法向量为1n =(2x,2y,2z), 锥面上该点的法向量为2n =(2x,2y,-2ztan 2φ),∵21n n =4x 2+4y 2-4z 2tan 2φ=0, ∴对任意常数ρ,φ,球面与锥面正交.5、求曲面x 2+2y 2+3z 2=21的切平面，使它平行于平面x+4y+6z=0. 解：记F(x,y,z)=x 2+2y 2+3z 2-21, 在曲面上的任一点(x 0,y 0,z 0)有， F x (x 0,y 0,z 0)=2x 0, F y (x 0,y 0,z 0)=4y 0, F z (x 0,y 0,z 0)=6z 0,∴曲面在该点的切平面方程为：2x 0(x-x 0)+4y 0(y-y 0)+6z 0(z-z 0)=0, 即 x 0x+2y 0y+3z 0z-21=0. ∵2x 0=y 0=z 0, 代入曲面方程得：x 02+8x 02+4x 02=21，解得：x 0=±1，∴曲平面在(1,2,2)和(-1,-2,-2)处有符合条件的切平面：x+4y+6z=±21.6、在曲线x=t, y=t 2, z=t 3上求出一点，使曲线在此点的切线平行于平面x+2y+z=4.解：∵x t =1, y t =2t, z=3t 2, 设在t=t 0处切线平行于平面x+2y+z=4，则(1,2t 0,3t 02)(1,2,1)=0, 即1+4t 0+3t 02=0，解得t 0=-1或t 0=-31. ∴所求的点为(-1,1,-1)或(-31,91,-271).7、求函数u=222z y x x ++在点M(1,2,-2)沿曲线x=t, y=2t 2, z=-2t 4在该点切线的方向导数.解：∵曲线过点(1,2,-2), ∴t 0=1; ∵x t (t 0)=1, y t (t 0)=4, z t (t 0)=-8. ∴曲线在点M 的切线的方向余弦为：91, 94, -98. 又 u x (M)=278, u y (M)=-272, u z (M)=272； ∴所f 求方向导数为： 91278⋅+94272⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅98272=-24316.8、试证明：函数F(x,y)在点P 0(x 0,y 0)的梯度恰好是F 的等值线在点P 0的法向量(设F 有连续一阶偏导数).证： F 的等值线为F(x,y)=c, 它在点P 0的切线方程为： F x (x 0,y 0)(x-x 0)+F y (x 0,y 0)(y-x 0)=0. ∴等值线在点P 0的法向量为: (F x (x 0,y 0),F y (x 0,y 0)), 恰为函数F 在点P 0梯度，得证！9、确定正数λ, 使曲面xyz=λ与椭球面22a x +22b y +22cz =1在某一点相切(即在该点有公共切平面).解：设两曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)相切，则曲面xyz=λ在点P 0的切平面： y 0z 0(x-x 0)+x 0z 0(y-y 0)+x 0y 0(z-z 0)=0与椭球面在点P 0的切平面：20a x (x-x 0)+20b y (y-y 0)+2c z (z-z 0)=0是同一平面,∴0020z y a x =0020z x b y =0020y x c z , 即220a x =220b y =220c z , 又220a x +220b y +220c z =1, ∴220a x =220b y =220cz =31,∴x 02y 02z 02=271a 2b 2c 2,∴λ=x 0y 0z 0=33|abc |.10、求x 2+y 2+z 2=x 的切平面, 使其垂直于平面x-y-21z=2和x-y-z=2. 解：设曲面在点P 0(x 0,y 0,z 0)处的切平面垂直于所给两平面，由曲面在P 0处切平面方程：(2x 0-1)(x-x 0)+2y 0(y-y 0)+2z 0(z-z 0)=0知P 0应满足：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=--⋅-=--⋅-0202020000000xz y x 0)1,1,1()z 2,y 2,1x 2(0)21,1,1()z 2,y 2,1x 2(, 解得：x 0=422±, y 0=42±, z 0=0, ∴所求切平面为：x+y=221±.11、求双曲面F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0的交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程.解：对方程组F(x,y,z)=0, G(x,y,z)=0关于z 求导得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00z y x z y x G dz dy G dzdx G F dz dy F dz dx F , 解得：dz dx =),(),(z y G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂,dz dy =),(),(x z G F ∂∂/),(),(y x G F ∂∂, ∴交线在xy 平面上的投影曲线的切线方程为： (x-x 0)/0P dz dx =(y-y 0)/0P dzdy ,即(x-x 0)/),(),(P z y G F ∂∂=(y-y 0)/),(),(P x z G F ∂∂.。

隐函数有关定理及其应用

1 隐函数1.1隐函数的定义设,X R Y R ⊂⊂,函数:.F X Y R ⨯→对于方程(,)0F x y = ()1若存在集合I X J Y ⊂⊂与对于任何x I ∈,恒有唯一确定的y J ∈,它与x 一起满足方程(1),则称由方程(1)确定一个在I 上,值域含于J 的隐函数.若把它记为(),,,f x y x I y J =∈∈则成立恒等式(,())0F x f x ≡,x I ∈.例如方程10xy y +-=能确定一个定义在(,1)(1,)-∞-⋃-+∞上的隐函数.1.2. 隐函数存在定理定理1 若满足下列条件1）(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; 2）00(,)0F x y =;3）(,)y F x y 在D 内连续;4）0,()0y o F x y ≠.则在0()U P D ⊂内,方程(,)0F x y =惟一地确定了一个定义在00(,)x x αα-+内的隐函数()y f x =,使得00001(),(,)f x y x x x αα=∈-+时0(,())()x f x U P ∈且(,())0F x f x ≡. 02()f x 在00(,)x x αα-+内连续.这里有几点需要注意，i ）定理的条件只是充分的,ii ）.定理的条件（3）,（4）还可减弱.iii ）定理的条件（3）,（4）换为：x F 连续,0()0x F P ≠,则可确定隐函数()x f y =.1.3. 隐函数的可导条件定理2 若(1)(,)F x y 在以000(,)P x y 为内点的某一区域2R D ⊂上连续; (2)(,)F x y ;(3)(,)(,)y x F x y F x y 在D 内连续;(4)0()0y F P ≠.则(,)0F x y =确定的隐函数()y f x =,在00(,)x x αα-+内有连续的导数,且 ()xyF f x F '=-.若已知(,)0F x y =存在连续可微的隐函数()y f x =,利用复合函数求导法则,也求出'()f x .例 1 讨论笛卡儿叶形线3330x y axy +-=所确定的函数()yf x =的一阶与二阶导数解由隐函数定理知,在使得23()0y F y ax =-≠的点(,)x y 附近,方程确定隐函数()y f x =.方程两边对x 求导并整理可得,22ay x y y ax -'=- 2()0y ax -≠ .两边再对x 求导,并将上式代入可得：3232()a xyy y ay ''=--.例2 讨论方程323(,,)0F x y z xyz x y z =++-=在原点附近所确定的二元隐数及其偏导数.解 (0,0,0)0,(0,0,0)10z F F ==-≠且,,x y z F F F F 处处连续,因此在原点(0,0,0)附近能惟一地确定连续可微的隐函数(,)z f x y =,且可求得它的偏导数如下：32213x z x y F yz z F xyz ∂+=-=∂- , 322313y z y z F xz y F xyz∂+=-=∂-. 2.隐函数组2.1 隐函数组概念设(,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 为定义在4R 上的四元函数.若存在2D R ⊂,对任意(,)x y D ∈,都有惟一确定的,u v ,使(,,,)0(,,,)0F x y u v G x y u v =⎧⎨=⎩成立,则在D 上定义了两个函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.称它们是由方程确定的隐函数组.2.2 隐函数组存在条件定理3 若（1） (,,,),(,,,)F x y u v G x y u v 在以00000(,,,)P x y u v =为内点的区域4V R ⊂内连续（2） 00000000(,,,)0,(,,,)0F x y u v G x y u v ==;（3）在V 内,,F G 有连续的偏导数;（4）(,)(,)F G J U V ∂=∂在点0P 不等于零. 则在点0P 的某一邻域0()U P V ⊂内,方程组惟一地确定了定义点000(,)Q x y 的某一邻域0()U Q 内的两个二元隐函数：(,),(,)u f x y v g x y ==.使得1. 000000(,),(,),u f x y v g x y ==(,,(,),(,))0F x y f x y g x y ≡(,,(,),(,))0.G x y f x y g x y ≡.2 .(,),(,)u f x y v g x y ==在0()U Q 内有连续的偏导数,且：1(,)1(,),,(,)(,)u u x F G F G J x v y J y v ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂1(,)1(,),(,)(,)v v x y F G F G J u x J u y ∂∂∂∂=-⋅=-⋅∂∂∂∂例3 讨论方程组2222(,,,)0(,,,)10F x y u v u v x yG x y u v u v x y ⎧=+--=⎨=-+-+=⎩ 在点0(2,1,1,2)P 的邻域能确定怎样的隐函数组,并求其偏导数.解 00()()0F P G P ==且2,1,2,2.x y u v x F x F F u F v G y =-=-===-,,y G x =- 1,1u v G G =-=.在点0P 处的所有雅可比行列式中仅有(,)0(,)F G x v ∂=∂因此,仅有(,)x v 不能断定能否作为以(,)y u 为自变量的隐函数.除此之外,在点0P 附近,任意两个变量都可作为以其余两个变量为自变量的隐函数.如,要求(,),(,)x f u v y g u v ==的偏导数,对方程组分别关于,u v 求偏导数,得22010u u u u u xx y yx xy --=⎧⎨---=⎩, 22010v v v v v xxy xy yx --=⎧⎨--=⎩分别解之,得221,2u xu x x y +=- 221;2v xvx x y -=- 222,2u x yu y x y +=--222.2v x yvy x y -=-3 隐函数的几何应用本节的重点是掌握用隐函数和隐函数组求导法求平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面以及求曲面的切平面与法线．3.1 平面曲线的切线与法线设平面曲线的方程为 (,)0F x y =,F 在000(,)P x y 的某邻域内满足隐函数定理的条件.隐函数 ()y f x =在0x 的导数 '000()()/()x y f x F P F P =-.曲线在0x 的切线方程为0000()()()()0x y F P x x F P y y -+-=.法线方程为0000()()()()0y x F P x x F P y y ---=.例4 求曲线 332()90x y xy +-=在(2,1)处的切线与法线. 解设33(,)2()9F x y x y xy =+-,则2269,69x y F x y F y x =-=-处处连续, 且(2,1)15,(2,1)12x y F F ==-.因此曲线在(2,1)处的切线与法线分别为5460,x y --=及45130x y +-=3.2 空间曲线的切线与法平面设有空间曲线 []0:(),(),(),,,L x x t y t z z t t P L αβ===∈∈.且 []000000000(,,)((),(),()),,P x y z P x t y t z t t αβ=∈.再设L 为光滑曲线.在L 上任取一点0000(,,)P x x y y z z +∆+∆+∆,则割线 0P P 的方程为00,x x y yz z x y z ---==∆∆∆因此：00o x x y y z zx y z z t t---==∆∆∆∆∆∆令 0t ∆→,则由L 为光滑曲线知,0p p →.所以L 在0p 的切线方程是000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''.过0p 与切线垂直的平面称为L 在0p 的法平面,其方程为 000000()()()()()()0x t x x y t y y z t z z '''-+-+-=.(,,)0:(,,)0F x y z LG x y z =⎧⎨=⎩ 且在0000(,,)P x y z 的某一个邻域内满足隐函数组定理的条件（不妨设0(0(,)P x y ∂≠∂F,G)）方程组在0P 附近确定惟一连续可微的隐函数组：(),()x z y z ϕψ==.则()()x z y z z z ϕψ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.且 (,)(,),(,)(,)x z F G d z y F G d x y ∂∂=-∂∂ (,)(,)(,)(,)y z F G d x z F G d x y ∂∂=∂∂ 所以L 在0P 的切线方程是000(,)(,)(,)(,)(,)(,)x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂. 例5：求曲线22222250x y z x y z⎧++=⎪⎨+=⎪⎩在(3,4,5)处的切线与法平面. 解：令22222250,F x y z G x y z =++-=+-.在(3,4,5)处,6,x F = 8,y F = 10,z F = 6,x G = 8,y G = 10z G =- (,)160,(,)F G y z ∂=-∂ (,)120,(,)F G z x ∂=∂ (,)0(,)F G x y ∂=∂ 所求切线为3451601200x y z ---==- . 所求法平面为430x y -= .3.3空间曲面的切平面与法线设曲面S 的方程是：0000(,,)0,(,,)F x y z P x y z S =∈.在0()U p 内满足隐函数定理的条件,不妨设0()0z F p ≠.方程在0p 附近确定隐函数 (,)z f x y =,且0000()(,),()x x z F p f x y F p =- 0000()(,)()y y z F p f x y F p =-由此得S 在0p 处的切平面为000000()()()()()()0y x z F P x x F P y y F P z z -+-+-=.法线为000000()()()x y z x x y y z z F P F P F P ---==.例6．求曲面：222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面与法线方程. 解：设222(,,)236F x y z x y z =++-,则在(1,1,1)处,2,4,6x y z F F F ===. 因此,切平面方程2(1)4(1)6(1)0x y z -+-+-=即236x y z ++=. 所得法线方程：111123x y z ---==.。

江苏大数学分析-十八章隐函数定理及其应用学习题课

第十八章隐函数定理及其应用习题课一疑难问题与注意事项1．是否所有的方程都可以确定隐函数？是否隐函数都可以有显函数形式？答：不是所有的方程都可以确定隐函数，例如方程22x y c +=，当0c >时，不能确定任何函数()f x ，使得22[()]x f x c +≡，只有当0c <时，才能确定隐函数.隐函数有的不可以用显示表示出来，例如方程1sin 02y x y --=能确定定义在(,)-∞+∞上的函数()f x ，使得1()sin ()02f x x f x --≡.但这个函数()f x 却无法用x 的算式来表达.2．在隐函数定理中，若00(,)0y F x y =，则一定不能确定隐函数()y f x =吗？答：不对，隐函数定理的条件是充分条件，不满足隐函数定理条件时可能确定隐函数，也可能不确定隐函数.我们只能用隐函数定理不好判断是否存在隐函数.例如方程033=-x y 在)0,0(不满足(0,0)0y F =,但仍能确定惟一的连续函数x y =.例如:0)(),(22222=+-+=y x y x y x F ,由于0)0,0(=F ,F 与y y x y F y 2)(422++=连续，故满足(i)（ii）（iii）,但因0)0,0(=y F , 致使在)0,0(的无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一隐函数（由图像对任意x 属于)0,0(的邻域，不能保证有唯一的y 来对应）.3．求隐函数的一阶导数有哪些方法？答：法1：用隐函数定理注意：在用隐函数定理时，对x 求导把y 看作常数，对y 求导把x 看作常数. 法2：把(),0F x y =看作复合函数，对方程两边求导，注意此时y 是x 的函数. 法3：全微分法对(),0F x y =两边微分(),0dF x y =，即0x y F dx F dy +=，则有y xF dydx F =-. 4．在隐函数组定理中，若),(),(v u G F J ∂∂=在点0P 等于零，则一定不能确定),(y x f u =,),(y x g v =吗？答不对，隐函数组定理的条件是充分条件，只能讲只有．．,u v 难以肯定能否作为以．．．．．．．．．,x y 为．自变量的隐函数．．．．．．．. 5.空间曲线⎩⎨⎧==0),,(,0),,(z y x G z y x F L ：在0P 处的切线方程 ()()().),(,),(,),(,0000P P P y x G F z z x z G F y y z y G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-中若某一个分母为0，怎么理解？答若()0(,)0,P F G y z ∂=∂，则()()00000,,(,)(,)P Px x y y z z F G F G z x x y ---==∂∂∂∂理解为 ()()00000,,(,)(,)P Py y z z F G F G z x x y x x--⎧=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪⎪=⎩.注()()(),),(,,),(,,),(P P P y x G F x z G F z y G F ∂∂∂∂∂∂不全为零.6.若),(00y x 是函数(,)z f x y =在条件(,)0x y ϕ=下的极值点，那么),(00y x 也是函数(,)zf x y =的极值点，对吗？答不对，反例11,22⎛⎫⎪⎝⎭是22z x y =+在条件1x y +=下的极值点，但11,22⎛⎫⎪⎝⎭不是22z x y =+的极值点.二典型例题1．方程xy e y x =+sin cos 能否在原点的某邻域内确定隐函数)(x f y =或)(y g x =？解：令xy e y x y x F -+=sin cos ),(，则有 Ⅰ）),(y x F 在原点的某邻域内连续； Ⅱ）0)0,0(=F ；Ⅲ）xyx ye x y x F --=sin ),(，xyy xe y y x F -=cos ),(在原点的某邻域内连续； Ⅳ）01)0,0(≠=y F ，0)0,0(=x F ．故由隐函数存在唯一性定理知，方程xye y x =+sin cos 在原点的某邻域内可确定隐函数)(x f y =，但不知道能否确定)(y g x =．注注意对哪个变量求偏导不为0，就把该变量作为应变量，其它变量是自变量. 注定理条件是充分的，但不满足定理条件时，就不好用隐函数定理.2．方程1ln =++xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内能否确定出某一个变量为另外两个变量的函数?解：令1ln )(-++=xz e y z xy x F ,则 Ⅰ）),,(z y x F 在点)1,1,0(的某邻域内连续； Ⅱ）0)1,1,0(=F ；Ⅲ）xzx ze y z y x F +=),,(，yz x z y x F y +=),,(,xzz xe y z y x F +=ln ),,(均在上述邻域内连续；Ⅳ）02)1,1,0(≠=x F ，01)1,1,0(≠=y F ,0)1,1,0(=z F故由隐函数存在唯一性定理知，在点)1,1,0(的某邻域内原方程能确定出方程函数),(z y f x =和),(z x g y =，不知道能否确定(,)z h x y =．3．函数222(,)(1)0F x y y x x =--=在哪些近点旁可唯一决定单值连续，且有连续导数的函数()y y x =．解：由于(,)F x y 及342x F x x =-，2y F y =都在全平面连续，且当0y ≠时0y F ≠，故由隐函数定理可知满足条件222(1)00y x x y ⎧--=⎨≠⎩的点(,)x y 的近旁，方程222(,)(1)0F x y y x x =--=可唯一决定单值连续，且有连续的导数的函数()y y x =．4．证明：在点(1,1)的某邻域内存在唯一的连续可微函数()y f x =，满足(1)1f =，()2ln 3ln ()10xf x x f x ++-=，并求()f x '．证：令(,)2ln 3ln 1F x y xy x y =++-，求得2(,)x F x y y x =+，3(,)y F x y x y=+，可知函数在(1,1)的邻域内有(,)x F x y 、(,)y F x y 连续，且有(1,1)0F =，(1,1)40y F =≠，故由隐函数存在定理知在点(1,1)的某邻域内存在唯一的连续可微函数()y f x =，满足(1)1f =，()2ln 3ln ()10xf x x f x ++-=，且有22(,)2()(,)3x y F x y xy yf x F x y x y x+'=-=-+． 5.设(,)zz x y =是由方程222220x y z z ++-=确定的隐函数，求z x ∂∂，zy∂∂．解法1（公式法）设222(,,)22F x y z x y z z =++-，则4x F x =，2y F y =，22z F z =-，则由隐函数定理得42221x z F z x x x F z z∂=-=-=∂--， 2221y z F z y y y F z z∂=-=-=∂--．解法2（直接法）在方程222220xy z z ++-=两边分别对x ，y 求偏导数，将z 看成是x ，y 的函数，得4220z z x zx x ∂∂+-=∂∂，2220z zy z y y ∂∂+-=∂∂，于是21z x x z ∂=∂-，1z yy z∂=∂-．解法3（全微分法）利用全微分形式不变性，在方程222220x y z z ++-=两边求全微分得4d 2d 2d 2d 0x x y y z z z ++-=，即 2d d d 11x yzx y z z=+--，于是21z x x z ∂=∂-，1z y y z∂=∂-． 6.设30ze z xy -+=，求22zx∂∂．解在方程30zez xy -+=两边分别对x 求偏导数，并注意z 是x ，y 的函数，得30z z ze y x x∂∂⋅-+=∂∂，于是 31z z y x e∂=∂-，再对30zz zey x x∂∂⋅-+=∂∂两边对x 求偏导数，并注意z 是x ，y 的函数，得 222220zz z z z e e x x x ∂∂∂⎛⎫⋅+⋅-= ⎪∂∂∂⎝⎭ 于是 2221zzz e z x e x ∂∂⎛⎫=⋅ ⎪∂-∂⎝⎭将zx∂∂的表达式代入上式得 2623(1)zz z y e x e ∂=∂-． 7.1）),(xyz z y x f z ++=,求zy y x x z ∂∂∂∂∂∂,,． 2）0),,(=+++z y x y x x F ,求y z x z ∂∂∂∂,和22x z∂∂．解 1）把z 看成y x ,的函数,两边对x 求偏导数,则有(1(21xz xy yz f x z f x z ∂∂++∂∂+=∂∂．所以21211xyf f yzf f x z--+=∂∂ 把x 看成,y z 的函数,两边对y 求偏导数, 即得 120(1)()x x f f xz yz y y∂∂=+++∂∂．所以1212f xzf x y f yzf --∂=∂+．把y 看成x z ,的函数,两边对z 求偏导数, 即得 121(1)()y yf f xy xz z z∂∂=+++∂∂．所以12121f xyf y z f xzf --∂=∂+． 2）把z 看成y x ,的函数,两边对x 求偏导数,得01(321=∂∂+++xzF F F ．故1233F F F zx F ++∂=-∂ 原方程两边关于y 求偏导数,得01(32=∂∂++yzF F 故233F F zy F +∂=-∂． 333231332312221121122)1()()(F x z F F F F F F F F F xzx x z ∂∂+⋅++++++++-=∂∂∂∂=∂∂23333233321)]1()[(-∂∂++++++F xz F F F F F F ])()()(2)2([3322123133212212113333F F F F F F F F F F F F F ++++-++-=-．8.设22y x z +=,其中)(x f y =为由方程122=+-y xy x 所确定的隐函数,求dxdz 及22dxzd ．解：由方程122=+-y xy x ,得yx yx dx dy 22--=．因yx y x dx dy y x dx dz 2)(22222--=+=,故 22222)2(21)((2)222(2)(y x dx dyy x y x dx dy yx dx dzdx d dxz d ------==3)2(6224y x xy x y x -+--=．9.试讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=+22222z y x z y x 在点()1,1,2-的附近能否确定形如)(),(z g y z f x ==的隐函数组?解令.2),,(,2),,(222=++=-+=z y x z y x G z y x z y x F则(1) ,F G 在()1,1,2-点的某邻域内连续; (2) ;0)2,1,1(,0)2,1,1(=-=-G F(3) 1,,2,2===-===z y x z y x G G G z F y F x F 均在点(1,-1,2)的邻域内连续;(4)041122)2,1,1()2,1,1()2,1,1()2,1,1(),(),()2,1,1(≠=-=----=∂∂-y x y x G G F F y x G F故由隐函数组定理,在点()1,1,2-的附近所给方程组能确定形如)(),(z g y z f x ==的隐函数组．10.求下列方程组所确定的隐函数组的导数：(1)⎩⎨⎧=+=++,,222222ax y x a z y x 求dx dzdx dy ,； (2)⎩⎨⎧-=+=),,(),,(2y v x u g v y v ux f u 求x v x u ∂∂∂∂,．解 (1)设方程组确定的隐函数组为⎩⎨⎧==),(),(x z z x g y 对方程组两边关于x 求导,得⎪⎩⎪⎨⎧=+=++adx dyy x dx dz z dx dy y x 220222或22222dy dz y z x dx dx dy y a x dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解此方程得zadx dz y x a dx dy 2,22-=-=． (2)把,u v 看成,x y 的函数,对x 求偏导数⎪⎩⎪⎨⎧∂∂+-∂∂=∂∂∂∂+∂∂+=∂∂2()1()(2121x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 或()()121121121u v xf f uf x xv u v g vyg g xx x ∂∂⎧-+=⎪⎪∂∂⎨∂∂∂⎪=+-=⎪∂∂∂⎩ 由克拉默法则得12211212)21)(1()21(g f vyg xf g f f vyg u x u-----=∂∂， 12211111)21)(1()1(g f vyg xf g uf g xf x v ---+--=∂∂． 11.求下列函数组所确定的反函数组的偏导数：⎩⎨⎧-=+=,cos ,sin v u e y v u e x uu 求,x x u v ．解把,u v 看成,x y 函数，方程组两边对x 求导得1sin cos ,0cos sin ,u u u u v e v u v x x xu u v e v u v x x x ∂∂∂⎧=++⎪⎪∂∂∂⎨∂∂∂⎪=-+⎪∂∂∂⎩由克拉默法则得1cos 0sin sin sin cos 1sin cos cos sin uuu u u vu v u vx e v e v e v u v e v u v∂==∂-++-， ()sin 1cos 0cos sin cos sin cos 1cos sin u u uu u u u e v e v v v e x e v u v e v e v ue v u v+-∂-==∂+-+-． 12．设以v u ,为新的自变量变换下列方程：,0222222=∂∂-∂∂y z y x z x 设.,y x v xy u == 解把,u v 当中间变量vz y u z y x v v z x u u z x z ∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂1 vz y x x z x y v v z x u u z y z ∂∂-∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂2 所以)(22x zx xz ∂∂∂∂=∂∂)(1)(222222x vv z x u v u z y x v v u x x u u z y ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂∂+∂∂∂∂= ,122222222v zy v u z u z y ∂∂+∂∂∂+∂∂=()(222222222y vv z y u v u z y x y v v u x y u u z x y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )2232222242222vz y x v u z y x v z y x u z x ∂∂+∂∂∂-∂∂+∂∂= 将上述22xz ∂∂，22y z∂∂代入原方程，并化简得v z v u z xy ∂∂=∂∂∂22，即vzv u z u ∂∂=∂∂∂22． 13.求下列曲线在所示点处的切线方程与法平面：（1）t c z t t b y t a x 22cos ,cos sin ,sin ===，在点4π=t ；（2）2222223,932y x z z y x +==++，在点)2,1,1(-．解（1）因为()2sin cos sin 2,x t a t t a t '==()22()cos sin cos 2,()2cos sin sin 2,y t b t t b t z t c t t c t '=-='=-=-因此(),(0,(,444x a y z c πππ'''===-于是切线方程为：c c z b y a a x --=-=-2022，即⎪⎩⎪⎨⎧==+2,1b y c z a x ．法平面方程为：0)()2(=---z c z c a x a ，即)(2122c a cz ax -=-．（2）令2222223),,(,932),,(z y x z y x G z y x z y x F -+=-++= 则,2,2,6,6,4x g y G x G y F x F z y x y x -=====所以28),(),()2,1,1(=∂∂-y x G F ，32),(),()2,1,1(=∂∂-z y G F40),(),()2,1,1(=∂∂-x z G F故切线方程为7210181-=+=-z y x ；法平面为0)2(7)1(10)1(8=-+++-z y x ． 14.求下列曲面在所示点处的切平面与法线：（1）02=--z x e y ，在点)2,1,1(（2）1222222=++c z b y a x ，在点3,3,3(cb a ．解（1）令z x e y z y x F --=2),,(，则1)2,1,1(,1)2,1,1(,2)2,1,1(==-=z y x F F F ，故切平面方程为0)2()1()1(2=-+-+--z y x ，法线方程为2121-=-=--z y x ．（2）令1),,(222222-++=cz b y a x z y x F ，则,32)3,3,3(a cb a F x =,32)3,3,3(bc b a F y =,32)3,3,3(cc baF z =故切面方程为0)3(1)3(13(1=-+-+-c z c b y b a x a ，即3=++czb y a x ．法线方程为 )3(3()3(c z c b y b a x a -=-=-．15.应用拉格朗日乘数法，求下列函数的条件极值：（1）,),(22y x y x f +=若;01=-+y x（2）,),,,(t z y x t z y x f +++=若4c xyzt =（其中0,0,,,,>>c t z y x ）；（3）xyz z y x f =),,(，若0,1222=++=++z y x z y x ．解 (1)设)1(),,(22-+++=y x y x y x L λλ对L 求偏导数,并令它们都等于0,则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=.01,02,02y x L y L x L z y x λλ（轮换性）解之得.1,21-===λy x 由10x y +-=得1y x =-，于是 ()()222211(,1)12212,22g x f x x x x x x x ⎛⎫=-=+-=-+=-+ ⎪⎝⎭显然()g x 在12x =取得极小值,因此(,)f x y 在11(,)22取得极小值.2121,21(=f (2)设)(),,,,(4c xyzt t z y x t z y x L -++++=λλ且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+==+==+==+=,0,01,01,01,014c xyzt L xyz L xyt L xzt L yzt L tz y x λλλλλ 解方程组得.c t z y x ====由于当n 个正数的积一定时,其和必有最小值,故f 一定存在唯一稳定点(),,,c c c c 取得最小值也是极小值,所以极小值(),,,4f c c c c c =．(3)设)()1(),,,,(222z y x u z y x xyz u z y x L +++-+++=λλ,并令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++==-++==++==++==++=,0,01,02,02,02222z y x L z y x L u z xy L u y xz L u x yz L uz y xλλλλ解方程组得z y x ,,的六组值为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-===626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==-=616162z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=626161z y x ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==616261z y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-==-=616261z y x ．又xyz z y x f =),,(在有界闭集}0,1|),,{(222=++=++z y x z y x z y x上连续,故有最值．因此,极小值为,631)61,61,62()62,61,61(-=--=-f f极大值为.631)61,61,62()62,61,61(=--=--f f16．(1)求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体．解：（1）设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，表面积为)0(2>a a ，则体积为xyz z y x f =),,(，限制条件为2)(2a xz yz xy =++．设])(2[),,,(2a xz yz xy xyz z y x L -+++=λλ，并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++==++==++==++=,0)(2,0)(2,0)(2,0)(22a xz yz xy L y x xy L z x xz L z y yz L z y x λλλλ解得6az y x ===．根据题意长方体体积有最大值，且稳定点只有一个，所以最大值66)6,6,6(3a a a a f =．故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体．（2）设长方体的长、宽、高分别为z y x ,,，体积为V ,则表面积)(2),,(xz yz xy z y x f ++=,限制条件：V xyz =．设)()(2),,,(V xyz xz yz xy z y x L -+++=λλ并令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==++==++==++=,0,0)(2,0)(2,0)(2V xyz L xy y x L xz z x L yz z y L z y x λλλλ解得3V z y x ===故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体．17．求空间一点),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax 的最短距离．解：),,(000z y x 到平面0=+++D Cz By Ax的距离为d =，由于d 与2020202)()()(),,(z z y y x x d z y x f -+-+-==能同时取得最大值与最小值，则问题可归结为求2020202)()()(),,(z z y y x x d z y x f -+-+-==在条件0=+++D Cz By Ax下的最小值问题．由几何学知,空间定点到平面的最短距离存在．设)(),,(),,,(D Cz By Ax z y x f z y x L ++++=λλ且0002()0, (1)2()0, (2)2()0, (3)0,(4)x y z L x x A L y y B L z z C L Ax By Cz D λλλλ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎨=++=⎪⎪=+++=⎩由(1),(2),(3)得A x x 20λ-=,B y y 20λ-=,C z z 20λ-=．代入(4)解得222000)(2C B A D Cz By Ax +++++=λ．所以)(41)()()(2222202020C B A z z y y x x ++=-+-+-λ222000CB A D Cz By Ax +++++= 故222000CB A DCz By Ax d +++++=为所求最短距离．18．证明：在n 个正数的和为定值条件a x x x n =+++ 21下,这n 个正数的乘积n x x x 21的最大值为n nna ．并由此结果推出n 个正数的几何平均值不大于算术平均值 nx x x x x x nnn +++≤2121．证：设n n x x x x x x f 2121),,(=,)0,,,(21>n x x x ,121212(,,,)()n n n L x x x x x x x x x a λλ=++++- ,1212112212120,0,0,0,nx n x n x n nn L x x x x L x x x x L x x x x L x x x a λλλλ=+=⎧⎪=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎪=+++-=⎩解得nax x x n ==== 21由题意知,最大值在唯一稳定点取得．所以 n nna n a n a n a f f ==),,,( 最大．故 n x x x n a na x x x nnnn n n +++==≤2121．因此 nx x x x x x nn n +++≤2121．19.写出函数(),cos xf x y e y =在()0,0点带Peano 型余项的二阶Taylor 公式．解1：()()()()()2221,0,00,00,02!f x y f x y f x y f o x y x y x y ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=++++++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭，而()0,01f =，(),cos x x f x y e y =，()0,01x f =， (),sin x y f x y e y =-，()0,00y f =， (),cos x xx f x y e y =，()0,01xx f =， (),sin x xy f x y e y =-，()0,00xy f =， (),cos x yy f x y e y =-，()0,01yy f =-．于是有()()()()()()()()()22221,0,00,00,00,020,00,02!x y xx xy yy f x y f xf yf x f xyf y f o x y =+++++++ ()2222122x y x o x y =++-++．解2 ()()()()2222222211,cos 101012222xx y f x y e y x x x y y x o x y ⎛⎫⎛⎫==+++-+==++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。

《隐函数定理及应用》课件

抽象空间的隐函数定理
总结词
介绍了抽象空间中隐函数定理的概念、证明方法和应用实例。
详细描述
抽象空间的隐函数定理是数学分析的一个重要成果，它突破了传统欧几里得空间的限制，允许函数在更广泛的抽象空间中定义和讨论。该定理在实变函数、复变函数和微分几何等领域有着广泛的应用。
隐函数定理的进一步研究
总结词
05
隐函数定理的应用实例
在几何学中的应用实例
曲面绘制
利用隐函数定理，可以将一个方程组转化为曲面，从而绘制出复杂的几何图形。
曲线拟合
在数据分析和机器学习中，隐函数定理常用于曲线拟合，通过最小化误差平方和来找到最佳拟合曲线。
几何变换
隐函数定理可以用于研究几何变换，例如平移、旋转和缩放等，帮助我们更好地理解图形之间的变换关系。
100%
预备知识的回顾
回顾相关的导数和微积分基础知识，为证明提供理论支持。
80%
符号约定Biblioteka 统一符号和记号，确保证明过程中的表述准确无误。
定理证明的主要步骤
02
01
03
设定定理条件
明确隐函数定理的条件，为证明提供前提。
推导关键公式
根据条件推导出关键公式，如雅可比矩阵、全微分等。
证明定理结论
利用关键公式，逐步推导证明隐函数定理的结论。
展望了隐函数定理未来的研究方向和可能的发展趋势。
详细描述
随着数学和其他学科的不断发展，隐函数定理的应用范围也在不断扩大。未来对于隐函数定理的研究，可能会涉及到更复杂的多元函数和抽象空间，以及与其他数学分支的交叉研究。同时，随着计算机科学的发展，数值计算和符号计算在隐函数定理的应用中也将发挥越来越重要的作用。

隐函数定理及其应用

隐函数定理及其应用张桂静摘要：隐函数定理和反函数定理在多元函数微分学中占有中心地位，在现代数学中有广泛的应用。

本文从两种不同的角度，用两种有别于一般教科书上的不同的方法证明隐函数定理，进而导出反函数定理，接着介绍其在微分学中的一些应用。

关键词：隐函数定理不动点原理压缩映像隐函数定理是微积分学中最重要的定理之一，现代数学中有不少部分都与这个定理紧密相关，例如微积分拓扑、微积分几何、微积分方程、变分学、数值分析，分歧理论等，都从不同角度，不同的程度地受这个定理的思想和方法的深刻影响而且，有些内容对隐函数定理的兴趣似乎还在增加。

自然，数学分析教程中无法把这个定理的有关材料讲得太多，它的各种应用大多散见于其他科目中，由于预备知识和表达形式的阻碍，初学者学起来比较困难一、隐含数定理及其证明如果f 是平面上的连续可微实函数，f 在点（a,b ）满足方程f(a,b)=0且，那么在（a,b ）的某个邻域内，f(a,b)=0能把y 与用x 解出来，类似地，如果在（a,b ），就能在（a,b ）附近把x 解出而用y 表示，上面这个不正是的陈述，是隐函数定理的最简单情形。

隐函数存在形式研究隐函数的首要问题，以方程设F(x,y)=0为例，已有以下（隐函数存在定理）设二元函数满足下列条件：此定理常用几何方法或逐次逼近法证明，它们各有优点，但都比较繁，例如逐次逼近法如下：证先把方程 ()0,=y x F 改写成()()()y x y y x F y x F y y y y y ,,,000,00ϕ+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=，于是()()0,,0,.00,00==y x y x y ϕϕ。

由于,y ϕ 及 ϕ 在D 中连续，任给 1,0<>λλ，可取ε足够小，使在D 中()λϕ<y x y ,,。

又取 δ 充分小，使在()εδδ≤≤-0x x时，有()()ελϕ-<1,0y x 。

数学分析 隐函数定理及其应用

数学分析18.2隐函数定理及其应用之隐函数组

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

分析方法 第十八章 隐函数定理及其应用

数学分析18隐函数定理及其应用总练习题

数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

隐函数的定理及其应用论文原稿

毕业论文：隐函数定理及其应用

数学分析3部分习题解析(隐函数定理及其应用部分)

华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(下册)课后习题-隐函数定理及其应用(圣才出品)

华东师范大学数学分析第18章习题解答

数学分析18.4隐函数定理及其应用之条件极值

隐函数定理及应用

数学分析18.3隐函数定理及其应用之几何应用

隐函数有关定理及其应用

江苏大数学分析-十八章隐函数定理及其应用学习题课

《隐函数定理及应用》课件

隐函数定理及其应用

数学分析隐函数定理及其应用

分析方法第十八章隐函数定理及其应用