第十八章 隐函数定理及其应用

第十八章 隐函数定理及其应用

知识脉络

1．隐函数的存在定理（不证），会判断是否存在隐函数，会求隐函数的导数 2. 隐含数组的存在定理，不判断是否存在隐函数组，还要会求隐函数组的导数 3 隐函数的几何应用：平面曲线的切线与法平面、空间曲线的切线与法平面、空间曲

面的切平面与法线

4. 会求条件极值问题的解 一、填空题

1．函数y y x =()由方程12+=x y e y

所确定，则

d d y

x

= __________. 3. 设函数z z x y =(,)由方程xy z x y z 2

=++所确定，则

∂∂z y = __ _____.z x

∂∂ 4．由xyz x y z +++=2222所确定函数z z x y =(,)在点(1,0,1)-处的全微分d z =_ __ _. 5. 设0),,(=+++z y x y x x F ，其中F 可微，则

x

z

∂∂= ，y z ∂∂= .

6. 设函数z z x y =(,)由yz zx xy ++=3所确定，则

=z

x

∂∂ .（其中x y +≠0）

7．设(,)F x y 具有连续偏导数，已知(,)0x y F z z

=，则dz = .

8.设函数(,)f x y 满足(,)(,)(,)x y xf x y yf x y f x y +=，(1,1)3x f -=，点(1,1,2)P -在曲面

(,)z f x y =上，则在点(1,1,2)P -的切平面方程为 ．

9.设f z g y (),()都可微，则曲线x f z z g y ==(),()在点(,,)x y z 000处的法平面为 . 10.设f y z (,)与g y ()都是可微函数，则曲线x f y z z g y ==(,),()在点(,,)x y z 000处的切线方程是 . 11.曲线t t z t y

t x cos sin ,sin ,cos +===在0=t 处切线与平面0=-+z By x 平行，=B ___

12.z z x y =(,)由方程

12

355242

2x xy y x y e z z +--+++=确定，

则函数z 的驻点是____ . 13.函数f x y z x (,,)=-22

在x y z 2

2

2

22--=条件下的极大值是_____ __. 14. 设2sin(23)23x y z x y z +-=+-，证明y

z x z ∂∂+∂∂=__ ___ __. 二、选择题

1．在曲线3

2,,t z t y t x =-==的所有切线中，与平面42=++z y x 平行的切线（ ） (A)只有一条 (B)只有两条 (C)至少有三条 (D)不存在

2．曲面2

2

4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，点P 的坐标是（ ） (A)(1,1,2)- (B) (1,1,2)- (C) (1,1,2) (D) (1,1,2)--

3．设),(y x z z =是由方程e xyz z

-=0确定的函数，则

x

z

∂∂=（ ） (A)

1z z

+ (B)

(1)y x z + (C) (1)

z

x z - (D)(1)y x z -

4.曲线x e y t z t t

===22

,ln ,在对应于t =2点处的切线方程是（ ）

(A)x e e y z -=-=-4422144ln (B) x e e y z -=-=-44

2212

4

2ln

(C)x e e y z +=

+

-=44

21

22

12

4ln (D)

x e e y z +=+

-=4

4

1

22

12

4ln

5．曲面z e

x x y yz

=++sin()在点π

π2012,,+⎛⎝ ⎫⎭

⎪处的法线方程为（ ）

(A)

x y z -

=

+=

--π

ππ2112121 (B)x y z -

-=+=

---π

π

π21

12121 (C)

x y z -

-=+=

--πππ21

12

121 (D)x y z -

=+=

---π

ππ21

12

121

三、已知方程0cos 2

=-+xy y x .

(1)研究该方程何时可以在点)1,0(附近确定函数)(x y y =，且1)0(=y (2)讨论)(x y y =在点)1,0(附近的可微性、单调性. 四、验证方程cos sin xy x

y

e 在原点的某邻域内满足隐函数存在唯一性定理的条件, 并

求该隐函数的二阶导数.

五、设xu v y v u y x F 2),,,(2

2

-+=，3

3

3

3

),,,(v u y x v u y x G +-+=，证明方程组0==G F 在