数学分析18.1隐函数定理及其应用之隐函数

第十七章 隐函数定理及其定理

1隐函数

一、隐函数的概念

设E ⊂R 2,函数F:E →R 2.如果存在集合I,J ⊂E,对任何x ∈I, 有惟一确定的y ∈J, 使得(x,y)∈E, 且满足方程F(x,y)=0, 则称 F(x,y)=0确定了一个定义在I 上, 值域含于J 的隐函数. 若把它记为 y=f(x), x ∈I, y ∈J, 则有F(x,f(x))≡0, x ∈I.

注：由自变量的某个算式表示的函数称为显函数，如：y=x+1.

二、隐函数存在性条件的分析

隐函数y=f(x)可看作曲面z=F(x,y)与坐标平面z=0的交线， ∴要使隐函数存在，至少要存在点P 0(x 0,y 0), 使F(x 0,y 0)=0, y 0=f(x 0).

要使隐函数y=f(x)在点P 0连续，需F 在点P 0可微，且(F x (P 0),F y (P 0))≠(0,0), 即曲面z=F(x,y)在点P 0存在切平面.

要使隐函数y=f(x)(或x=g(y))在点P 0可微, 则在F 可微的假设下， 通过F(x,y)=0在P 0处对x 求导，由链式法则得：F x (P 0)+F y (P 0)0

x x dx

dy ==0.

当F y (P 0)≠0时，可得0

x x dx

dy ==-

)

(P F )

(P F 0y 0x , 同理，当 F x (P 0)≠0时，可得

y y dy

dx

==-

)

(P F )(P F 0x 0y .

三、隐函数定理

定理18.1：(隐函数存在惟一性定理)若函数F(x,y)满足下列条件：

(1)F在以P0(x0,y0)为内点的某一区域D⊂R2上连续；

(2)F(x0,y0)=0(通常称为初始条件)；

(3)F在D内存在连续的偏导数F y(x,y)；

(4)F y(x0,y0)≠0. 则

1、存在点的P0某邻域U(P0)⊂D，在U(P0)上方程F(x,y)=0惟一地决定了一个定义在某区间(x0-α,x0+α)上的(隐)函数y=f(x), 使得

当x∈(x0-α,x0+α)时，(x,f(x))∈U(P0), 且F(x,f(x))≡0, y0=f(x0)；

2、f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.

证：1、由条件(4), 不妨设F y(x0,y0)>0(若F y(x0,y0)<0,则讨论-F(x,y)=0). 由条件(3)F y在D上连续，及连续函数的局部保号性知，

存在点P0的某一闭方邻域[x0-β,x0+β]×[y0-β,y0+β]⊂D, 使得

在其上每一点都有F y(x,y)>0. ∴对每个固定的x∈[x0-β,x0+β],

F(x,y)作为y的一元函数，必定在[y0-β,y0+β]上严格增且连续.

由初始条件(2)可知F(x0,y0-β)<0, F(x0,y0+β)>0. 又由F的连续性条件(1), 知F(x,y0-β)与F(x,y0+β)在[x0-β,x0+β]上也是连续的，由保号性知，

存在0<α≤β, 当x∈(x0-α,x0+α)时，

恒有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.

如图，在矩形ABB’A’的AB边上F取负值，

在A’B’边上F取正值.

∴对(x0-α,x0+α)上每个固定值x,同样有F(x,y0-β)<0, F(x,y0+β)>0.

又F(x,y)在[y0-β,y0+β]上严格增且连续,

由介值性定理知存在唯一的y∈(y0-β,y0+β), 满足F(x,y)=0.

又由x在(x0-α,x0+α)中的任意性，证得存在惟一的隐函数y=f(x),

它的定义域为(x0-α,x0+α), 值域含于(y0-β,y0+β), 若记

U(P0)=(x0-α,x0+α)×(y0-β,y0+β), 则y=f(x)在U(P0)上即为所求.

2、对于(x0-α,x0+α)上的任意点x, y=f(x). 则由上述结论可知,

y0-β0, 且ε足够小，使得y0-β≤y-ε

由F(x,y)=0及F(x,y)关于y严格递增，可得F(x,y-ε)<0, F(x,y+ε)>0. 根据保号性，知存在x的某邻域(x-δ,x+δ)⊂(x0-α,x0+α), 使得

当x∈(x-δ,x+δ)时，同样有F(x,y-ε)<0, F(y,y+ε)>0, ∴存在惟一的y, 使得F(x,y)=0,即y=f(x), |y-y|<ε, 即当|x-x|<δ时, |f(x)-f(x)|<ε,

∴f(x)在x连续. 由x的任意性知，f(x)在(x0-α,x0+α)上连续.

注：1、定理18.1的条件仅充分，非必要；如：

方程y3-x3=0, 在点(0,0)不满足条件(4)(F y(0,0)=0),但仍能确定惟一的连续的隐函数y=x.

而双纽线F(x,y)=(x2+y2)2-x2+y2=0, 虽然F(0,0)=0, F与F y均连续，满足条件(1),(2),(3),但F y(0,0)=0, 致使其在原点无论怎样小的邻域内都不可能存在惟一的隐函数.

2、条件(3)和(4)可以减弱为“F在P0的某一邻域上关于y严格单调”.

3、如果把条件(3),(4)改变F x(x,y)连续，且F x(x0,y0)≠0，则结论是存在

惟一的连续隐函数x=g(y).

定理18.2：(隐函数可微性定理)设F(x,y)满足隐函数存在惟一性定理的所有条件，又设在D 上还存在连续的偏导数F x (x,y), 则方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)在其定义域(x 0-α,x 0+α)上有连续导函数，且 f ’(x)=-y)

(x,F y)

(x,F y x . 证：设x,x+△x ∈(x 0-α,x 0+α)；y=f(x)与y+△y=f(x+△x)∈(y 0-β,y 0+β), ∵F(x,y)=0,F(x+△x,y+△y)=0, 由F x ,F y 的连续性及二元函数中值定理有, 0=F(x+△x,y+△y)-F(x,y)=F x (x+θ△x,y+θ△y)△x+F y (x+θ△x,y+θ△y)△y, 0<θ<1, ∴

x y ∆∆=-y)

θy x,θ(x F y)θy x,θ(x F y x ∆+∆+∆+∆+, 右端是连续函数F x ,F y ,f 的复合函数,

且在U(P 0)上,F y (x,y)≠0，∴f ’(x)=x y lim 0x ∆∆→∆=-y)

(x,F y)

(x,F y x , 且

f ’(x)在(x 0-α,x 0+α)上连续.

注：1、若已知F(x,y)=0存在连续可微的隐函数，则可对其应用复合函数求导法得到隐函数的导数. 即把F(x,f(x))看作F(x,y)与y=f(x)的复合函数时，有F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0, 由F y (x,y)≠0可推得f ’(x)=-y)

(x,F y)

(x,F y x . 2、若函数F 存在相应阶数的连续高阶偏导数，可通过上面同样的方法求得隐函数的高阶导数. 如：对F x (x,y)+F y (x,y)y ’=0继续应用复合函数求导法则，可得F xx +F xy y ’+(F yx +F yy y ’)y ’+F y (x,y)y ’’=0, 就可以得到隐函