测量平差复习
测量平差复习资料
测量平差复习资料一、基础知识1．距离的精度指标一般采用相对误差。
2．如何判断观测值是否相关。
3．水准测量中，水准路线长或测站数来定权的前提条件。
4．确定观测数为n ，必要观测数为t ，多余观测数，参数个数u ，参数与平差的函数模型。
5．同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果是否不同。
6．误差椭圆、误差曲线、相对误差椭圆。
7．对于特定的平面控制网，误差方程的个数是否一定。
8．权与方差的关系。
10．权倒数传播律对观测值有何要求11、准确度、精密度、精确度。
12、各平差模型方程的个数，待求量的个数13、偶然误差、系统误差、观测条件14．间接平差与条件平差是否可以相互转换。
15．根据布设的网形的观测方案来估算网中待定点的精度16、平差基准,控制网的平差分类17、精度评定主要内容18、观测误差为什么不以避免19、[]∆n不趋于0的原因 20、必要观测,必要观测数的确定21、观测方程的个数,与参数的选择有无关系22、最小二乘原理，估计参数性质23、条件平差的未知量，按条件平差法的条件方程、法方程及改正数方程的个数24、必要元素、必要观测量、必要起算数据有何不同二、基本应用1、由三角形角度闭合差求测角中误差。
2、根据函数模型，确定n ，t ，r ，c ，u 。
3、已知观测值向量21L 的协方差阵为LL D ，协因数11Q ，求观测值的权阵LL P 与权 4、如图高差观测值等精度，已知平差后算得T V V ，求平差高差ˆh的权及中误差 5、同精度观测算术平均值的权。
7、协方差阵传播律的应用。
8、在间接平差中，已知BB N ，T V PV 秒2，求单位权中误差0ˆσ与D 点位中误差。
9．在条件平差法中，已求出的法方程如下0aa N K W +=，求单位权方差估值20ˆσ。
10．同精度独立观测值。
列出方程并线性化，CD 边长平差值中误差的权函数式。
11、间接平差与条件平差的转换，给出误差方程写出条件方程12、有一角度测9 测回，得中误差2 秒，如果要使其中误差为1秒，需的多少测回数13、已知误差方程为:ˆV Bxl =- ，求法方程。
测量平差期末考试公式总结
测量平差期末复习资料1. 将静止的海水面向整个陆地延伸，用所形成的封闭曲面代替地球表面，形成的重力等位面，这个曲面称为大地水准面。
其特点是水准面上任意一点的铅垂线(重力作用线)都垂直于该点的曲面。
2. 6°带中央子午线经度N=Ｌ=6N-3, 3°带中央子午线经度Ｌ=3n 。
3. 高程系统:确定该点沿铅垂方向到某基准面的距离。
绝对高程（海拔）：指某点沿铅垂线方向到大地水准面的距离，用Ｈ表示。
相对高程：某点距假定水准面的铅垂距离。
高差：地面上两点间的高程之差。
4. 地形 ：a,地物:地面上固定性物体，如河流、房屋、道路、湖泊等； b.地貌:地面的高低起伏的形态，如山岭、谷地和陡崖等。
5. 线性代数补充知识1） 由n m ⨯个数有次序地排列成m 行n 列的表叫矩阵通常用一个大写字母表示， 如：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m a a a a a a a a a A212222111211 2)若m=n ，即行数与列数相同，称A 为方阵。
元素a11、a22……ann 称为对角元素。
3)若一个矩阵的元素全为0，称零矩阵，一般用O 表示。
4)对于 的方阵，除对角元素外，其它元素全为零，称为对角矩阵。
如：)(00000022112211nn mn n m a a adiag a aa A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯5)对于 对角阵，若a11=a22=……=ann =1，称为单位阵，一般用E 、I 表示。
6）若aij=aji ，则称A 为对称矩阵.矩阵的基本运算:1）若具有相同行列数的两矩阵各对应元素相同，则： 2）具有相同行列数的两矩阵A 、B 相加减，其行列数与A 、B 相同，其元素等于A 、B 对应元素之和、差。
且具有可交换性与可结合性。
3）设A 为m*s 的矩阵，B 为s*n 的矩阵,则A 、B 相乘才有意义，C=AB ，C 的阶数为m*n 。
O A=A O =O ，IA=AI=A ，A （B+C ）=AB+AC ，ABC=A （BC ）矩阵的转置:对于任意矩阵Cmn:nn ⨯n n ⨯BA =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯mn m m n n n m c c c c c c c c c C 212222111211将其行列互换，得到一个nm 阶矩阵，称为C 的转置。
测量平差复习
3
二、测量误差理论及其应用
1、偶然误差的统计特性 2、衡量精度的指标 3、方差、权、协因数的关系 4、方差阵、权阵、协因数阵的关系 5、协方差传播定律、协因数传播定律
1、偶然误差的统计特性
有限性 渐降性 对称性 抵偿性
2、衡量精度的指标
精度、准确度、精确度的区别：
➢精度：L E(L) ，表征偶然误差的影响； ~
k 1 1/ N L L/
➢常用于衡量边长或距离精度。
例：用钢卷尺丈量200m和40m两段距离，量距的中误差都是 ±2cm，问两者的精度是否相同？
解：根据相对中误差定义，则
前者的相对中误差为：0.02／200 ＝1／10000 后者相对中误差则为：0.02／40＝l／2000 故前者的量距精度高于后者。
n 12,t 2*3, r 6
可以列6个条件方程：
➢图形条件
^^^
L1 L2 L3 180
^^^
L4 L5 L6 180
^^^
L7 L8 L9 180
^
^
^
L10 L11 L12 180
➢内角和条件
^^^
^
L3 L6 L9 L12 360
➢极条件
3、水准网条件平差
2 0 2 1
DF KDLLK T 1 1 0 0 4 0 1 6
2 0 8 0
1 0 1 1
QF KQLLK T 1 1 0 0 2 0 1 3
1 0 4 0
2 1 2
例：已知观测值向量 L的协因数阵为 31
QLL 1
4
3
2 3 6
现有函数 F L1 L3 +1 ，试求：（1）函数F的协因数 QF。
误差理论与测量平差基础期末复习试题含答案
误差理论与测量平差基础期末复习试题含答案误差理论与测量平差基础(B) 一、填空题(每空1分，共30分)1. 测量平差就是在基础上，依据原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当的，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行。
2. 测量误差的定义为，按其性质可分为、和。
3. 衡量估计量优劣的标准有、、。
9km,5mm4. 在A、B两点间进行水准测量，路线长度为，每千米单程观测高差的中误差等于，则A、B两点间单程观测高差的中误差等于，往返高差中数的中误差等于，往返高差不符值的限差为。
5. 设为独立等精度偶然误差，为每个误差的均方差，则误差和的限差为,(i,1,2,？,n),,,,i。
(取2倍中误差为限差) [,],6. 若有一组观测值的函数、，设，则二L,？,Lx,aL，？，aLx,bL，？，bLQ,I1n111nn211nnL者的相关系数= ，若再设，则行列式= 。
Q,b,2a(i,1,？,n)xxXii12x3,1，，，，17. 设，，，，，则，X,,,,2Σ,z,x,x,,z,x0Xz21212,,,,1x,122，，，，,, ，。
,,zzz122T8. = 。
tr[E(ΔPΔ)]1，nn，nn，111SS9. 设观测值为，观测值的函数为，欲使的权倒数为，则的权倒数, 。
f,lgSfppfS,,ˆˆv,sinx，2cosx,L10. 设非线性误差方程，参数近似值，观测值，x,60, x,45L,2512510205线性化之后的误差方程为。
11. 平差的数学模型可分为模型和模型，前者描述观测值之间、观测值与参数之间以及参数之间数学期望的关系，后者描述的则是观测值的精度特性。
ˆ,V,AδX，l,n，tn，1n，1t，1T12. 由二次型的数学期望= 可以证明，具有条件的参数平差模型中，E(XAX),ˆBδXW0，,X,t，1r，1r，t,T= 。
E(VPV),,15cm9cm4513. 已知某点的点位中误差等于，点位误差椭圆的短半轴为，短轴的方向角为，则误差椭圆的长半轴等于，长轴的方向角等于。
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第一章第一节绪论1、近代测量平差理论的主要内容⑴从独立观测值到相关观测值一相关平差⑵从函数模型和随机模型满秩到函数模型和随机模型奇异一秩亏自由网平差⑶从非随机参数到随机参数以及随机参数与非随机参数一并处理一最小二乘滤波、推估和配置⑷从先验定权到后验定权一随机模型的验后估计⑸从整体解算到分开解算——序贯平差⑹从处理静态数据到处理动态数据一动态测量平差⑺从线性模型的参数估计到非线性模型的参数估计一非线性平差⑻从确定性平差模型到不确定性平差模型一不确定性平差模型的处理⑼从偶然误差的处理到含有系统误差的处理一附加系统参数的平差(10) 从无偏估计到有偏估计(11) 从偶然误差的处理到含有粗差的处理——数据探测法与稳健估计第三节广义逆矩阵1、广义逆g逆：AGA=A解不唯一2、反射g逆：AGA=A, GAG=G解不唯一3、最小范数广义逆AGA=A, (GA T) =GA解不唯一「4、最小二乘广义逆AGA=A, (AG T) =AG解不唯一5、最小二乘最小范数广义逆AGA=A, GAG=G, (GA T) =GA, (AG T) =AG解唯一第二章秩亏自由网平差第一节概述1、平差时必要的起算个数称为基准2、基准数据：测角网d=4测边网、导线网、边角网d=3GPS 网d=5高程网d=l三维控制网d=73、没有足够起算数据的平差问题称为秩亏自由网平差4、秩亏自由网平差类型：普通秩亏自由网平差、拟稳平差、加权秩亏自由网平差例2-2-1课本19页例2-3-1课本27页例2-4-1课本30页第五节控制网附加阵G1 水准网：GT= (1 1 1 ........................ 1)2测边网、导线网、边角网GT=1010 ・・• (10)010 1 ・・• (01)-丫-Y2°X2°•••- -Y m°Xm°3二维测角网G T：第六节1、权逆阵奇异的原因⑴观测值向量中的一些分量是另一些分量的线性组合⑵观测值向量中的一些分量无误差2、权逆阵奇异的平差原则V T PV=V T P*V=V1T P1V1=min第三章最小二乘滤波推估和配置AA- -++-第一"P1、与观测值之间有函数关系的已测点参数称为滤波信号，求定滤波信号最佳估值的过程称为滤波2、与观测值之间没有函数关系的未测点参数称为推估信号，求定推估信号最佳估值的过程称为推估3、配置：最小二乘配置的函数模型L=BX+AY+A⑴当A=0或Y=0时模型变为L=BX+A,即高斯一马尔可夫模型⑵当B=0或X=0时模型变为L= AY+△即滤波和推估模型⑶当；=0时模型变为L=A1S + A即滤波模型第二节1、滤波的函数模型：L=AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A2、配置的函数模型：L=BX+AY+AL为观测向量，Y为随机参数A=[A1 0] Y=[ ]滤波的随机模型：E(A)=0, D(AJ=D A=P A-1,E(L)=U L D(L)=D LE(Y)= D(Y) =Cov(A, S)=D A,C OV(A, S,)=D A第五章1、卡尔曼滤波的基本思想：采用信号与噪声的状态空间模型，利用前一时刻的估计值和现时刻的观测值来更新状态变量的估计，求出现时刻的估计值。
测量平差复习题答案
测量平差复习题答案一、单项选择题1. 在测量平差中，观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是（）。
A. 正误差B. 负误差C. 系统误差D. 偶然误差答案：B2. 测量平差中，观测值的中误差是指（）。
A. 观测值的标准差B. 观测值的均值C. 观测值的偏差D. 观测值的最大误差答案：A3. 测量平差中，单位权中误差的计算公式为（）。
A. σ0 = √(Σσ²) / nB. σ0 = Σσ² / nC. σ0 = √(Σσ²) / ΣnD. σ0= Σσ² / Σn答案：A二、多项选择题1. 测量平差中，下列哪些因素会影响观测值的精度（）。
A. 观测者的技能水平B. 观测仪器的精度C. 观测环境D. 观测时间答案：ABCD2. 在测量平差中，下列哪些方法可以提高观测精度（）。
A. 增加观测次数B. 采用高精度仪器C. 改进观测方法D. 延长观测时间答案：ABC三、填空题1. 测量平差中，观测值的中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度2. 测量平差中，单位权中误差是用来衡量观测值的______。
答案：精度3. 在测量平差中，观测值的改正数是用来______观测值的系统误差。
答案：消除四、简答题1. 简述测量平差中，观测值的中误差与观测值的精度之间的关系。
答案：观测值的中误差是观测值精度的一种度量，中误差越小，说明观测值的精度越高。
2. 测量平差中，如何通过观测值的改正数来判断观测值的误差性质？答案：观测值的改正数与观测值的符号相反，说明该观测值是负误差；如果改正数与观测值的符号相同，则说明该观测值是正误差。
五、计算题1. 已知一组观测值的方差分别为2、3、4，计算该组观测值的单位权中误差。
答案：σ0 = √(2+3+4) / 3 = √9 / 3 = √32. 假设在一次测量中，观测者得到了一组观测值，其改正数分别为-0.1、0.2、-0.3，计算该组观测值的平均改正数。
测量平差复习题汇总
《测量平差》复习题第一章：绪论1、什么是观测量的真值？任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。
2、什么是观测误差？观测量的真值与观测值的差称为观测误差。
3、什么是观测条件？仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。
4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。
5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。
6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。
7、怎样消除或削弱系统误差的影响？一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。
8、测量平差的任务是什么？⑴求观测值的最或是值（平差值）；⑵评定观测值及平差值的精度。
第二章：误差理论与平差原则1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？⑴列表法；⑵绘图法；⑶密度函数法。
2、偶然误差具有哪些统计特性？(1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。
(2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。
(3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。
(4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。
3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？⑴制定测量限差的依据；⑵判断系统误差(粗差)的依据。
4、什么叫精度？精度指的是误差分布的密集或离散的程度。
5、观测量的精度指标有哪些？(1) 方差与中误差；(2) 极限误差；(3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。
通常取三倍中误差为极限误差。
当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。
7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。
8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =；(2) 根据函数表达式写出真误差关系式n nx x f x x f x x f z ∆∂∂++∆∂∂+∆∂∂=∆ 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
1、测量平差基础知识复习
2、按照平差准则求解 最小二乘准则； 极大验后、极大似然等准则； 广义最小二乘准则。
测量平差
由含有误差的观测值按一定准则 求未知参数X的估值 求未知参数 的估值 参数分为： 参数分为： 非随机参数 最小二乘估计、 最小二乘估计、极大似然估计 这类平差即经典平差 随机参数 极大验后估计、 极大验后估计、最小方差估计等 这类平差称“滤波、推估“ 这类平差称“滤波、推估“ 随机参数和非随机参数 广义最小二乘原理 这类平差称”配置“ 这类平差称”配置“
θ = lim
[ ∆] n
n→ ∞
极限误差：二倍或三倍中误差。 极限误差：二倍或三倍中误差。
相对误差：相对中误差，是中误差与观测值比， 相对误差：相对中误差，是中误差与观测值比， 例:衡量距离测量误差，土石方测量误差等。表示 为1/N，1/10000。 1/N，1/10000。 方差：中误差的平方，统计学用语，中误差的统 方差：中误差的平方，统计学用语，中误差的统 计学用语为标准差。 或然误差ρ 或然误差ρ 误差出现在区间（ρ 误差出现在区间（ρ，-ρ）的概率为0.5。 ）的概率为0.5。 各精度指标的关系： 各精度指标的关系：
平差原理（准则）--平差原理（准则）---最小二乘估计 平差模型
条件平差：AV＝ 条件平差：AV＝W 间接平差：L 间接平差：L＋V＝BX 附有未知数的条件平差：AV＋BX＝ 附有未知数的条件平差：AV＋BX＝W 附有约制条件的间接平差： L＋V＝BX CX－W＝0 CX－
原理
按准则V PV＝ 按准则VTPV＝min 确定未知数（最小二乘估计）， 估计过程称参数估计。 估计过程称参数估计。
误差的概念或理论 误差的定义
观测值与理论值之间的差异（现象：重 复观测，理论关系的满足）
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Z[k1,k2, kn]X n,1k0KX k0
DZZKX DX KT
测量平差复习
side5
算例：
4 0 0
设有观测向量
L
[L1,
L2,
L3]T
,已知其协方差阵为
DLL
0 0
2 0
0 3
,试分别求出下列函数的方差：
(1)、F1 L1 2L2 3L3
测量平差复习
side6
协方差传播应用步骤:
根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 运用协方差传播律，写出观测量的协方差阵
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side7
2、 权与定权的常用方法
1)、权的定义
设Li(i1,2,...,n),它们的方差为i2,
如选定任一常数0，则定义:pi i022
2
p 1:p 2: p n0 2:
0 2 2: : 0 2 21 2:1 2: :1 2
1 2
n 12
n
2) 定权的常用方法
测量平差复习
side8
3、 协因数与协因数传播律
设
Li ,
L
它
j
们
的
方
差
为
2 i
,
2 j
,协
方
差
为
ij
令:
Q ii
1 pi
2 i
2 0
Q jj
1 pj
2 j
side2
二、协方差传播律及权
系统误差的传播规律 协方差传播律及协因数传播律的定义 权及协因数的定义和相互关系 协方差传播律及协因数传播律的应用方法 权阵与协因数阵的关系的应用 定权的常用方法 真误差、双观测值计算中误差的方法
测量平差复习
side3
1、协方差传播律 1）、观测值线性函数的方差
已知： X n ,1 [X 1 ,X 2 ,.X n .]T .,D X,X 1 Z ,1 1 K ,nX n ,1 K 0
2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权Pｉ
测量平差复习
side10
例1： L(L1,L2)T,Q LL= 21 31求 P 1,P 2
解：P1
1 2
1
P2
3
3 2 1 例 2： L(L1,L2,L3)T,PLL2 4 2,求 P1,P2
1 2 3
2 1 0
解：QLL PLL1 1401
(2)、F2 L1 3L2L3
解答：1)、 F1 (1, 2, 3)L, DF1 (1,2,3)DLL (1,2,3)T 39 2）、将 F2 全微分后得dF2 dL1 3L3dL2 3L2dL3
令dL (dL1, dL2, dL3)T ,则dF2 (1,3L3,3L2 )dL
故 DF 2 (1,3L3,3L2)DLL (1,3L3,3L2)T 4 18L23 27L22
测量平差复习
side16
C、 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数， 则可列出r=n-t个条件方程，现有增设了u个独立量作为 参数，而0<u<t，每增设一个参数应增加一个条件方程。 以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为附有 参数的条件平差法。
那么： DZZKX DX KT
2)、多个观测值线性函数的协方差阵
Z
t,1
Kt,n nX,1Kt,10
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
D Z YK D X XF T(D Y Z)T
测量平差复习
side4
3)、非线性函数的情况
K (k 1,k 2, k n ) （ [ X f1 ） 0 （ , X f2 ） 0 （ X fn)0 ]
即为条件平差的函数模型。 条件平差的自由度即为多 余观测数r，即条件方程个数。
测量平差复习
side15
B、间接平差法
选择几何模型中t个独立变量为平差参数，每一个观测 量表达成所选参数的函数，即列出n个这种函数关系式， 以此为平差的函数模型，成为间接平差法。
~
L F(X)
n ,1
t ,1
B xl
上式就是间接平差的函数模型。尽管间接平差法 是选了t个独立参数，但多余观测数不随平差不同 而异，其自由度仍是r=n-t。
2 1
1 2
P1P2 P3 2
测量平差复习
side11
5、协因数传播律
已知：X n,1[X1,X2,...Xn]T, Q XX
Z KXK t,1
t,n n,1
0 t,1
Y
r,1
F
r,n
X
n,1
F0
r,1
QZZ KQXXKT
Q Z YK Q X XF T(Q Y Z)T
测量平差复习
side12
算例3：
测量平差复习
side1
一、误差产生的原因与分类
1）、观测误差产生的原因： 观测条件 测量仪器 观测者 外界条件
2）、误差分类及处理方法 偶然误差（accident error)： 平差计算 系统误差（systematic error)：改正计算 改进观测方法 粗差（gross error）
测量平差复习
3
1)QLL
0
3
测量平差复习
side13
三、平差数学模型与最小二乘原理
1）、确定几何模型的必要元素 2）、必要元素的选取
3）、自由度、多余观测值的个数 4）、四种平差模型
测量平差复习
side14
A、条件平差法
以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平 差法。
~
F F(L)
r ,1
n ,1
AW0
已
知
观
测
值
向
量
L 21
L1 L2
的
权
阵
为
PLL
2 3 1 3
1
3 ，现有函数
2 3
X L1 L2,Y 3L1,求观测值的权 PL1，PL2 ，观测值的协因数阵QXY
解答：QLL
P1
2 1
1
2
,所以，
PL1
1/ 2， PL2
1/ 2，
由于 X (1
1)L, X (3
0)L，QXY (1
2 0
Qii为Li的协因数。
Q
jj为L
的协因数。
j
Q ij
ji
2 0
Qij为Li关于Lj的协因数 测量平差复或习 相关权倒数。side9
4、权阵
P LL Q L 1L P LQ LLL E
a、当L相互独立时； b、当L不相互独立时
注：权、权阵、协因数阵的概念
权阵P与权Pｉ是两个不同的概念：
1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权Pｉ；
总复习
本课程讲授的主要内容：
误差理论 theory of errors 最小二乘法 least squares method 条件平差法 condition adjustment 间接平差法 parameter adjustment 附有条件的间接平差 parameter adjustment with constraint 附有参数的条件平差 condition adjustment with parameters 误差椭圆