拉普拉斯变换的定义、收敛域

6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。
X
三．一些常用函数的拉氏变换
1.阶跃函数
Lu( t ) 1 e d t
st 0
第 8 页
1 s
e
st
0

1 s
1
2.指数函数
Le

α t


e
α t
e dt
st
e
α s t

0
3.单位冲激信号
e
st
t
Leabharlann Baidu
n



t de



s
s
1
0
st
所以 L t

n

n!
n 1
X
5 页
记作 : f t F s f t 称为原函数， s 称为象函数。 F
考虑到实际信号都是有起因信号，所以：
F s L f t f t e s t d t 0 单边拉氏变换： 1 σ j 1 st f t L f t F s e d s 2 π j σ j
n 1 st

n

t e dt
n
0
n
1 1 st 1 0 t e d t s s e 0 s2 s 0 s n2 n n1 st t e dt 2 2 1 2 2 0 s L t Lt 2 3 s s s s n n n1 n3 所以 L t L t s 3 3 2 6 3 2 st Lt Lt 3 4 n 1 Lt t e d t s s s s 0
绝对可积条件 依傅氏变换定义 : ,
F1 F f ( t ) e



t
f ( t ) e e
t
j t
dt
f (t ) e
( j ) t
d t F ( j )
令 : j s , 称为复频率。
j
j
所以
f t
2π j j
1
j
F s e d s
st
X
第
3．拉氏变换对
F s L f t f t e s t d t 1 σ j 1 st F s e d s f t L f t 2π j σ j 正变换 逆变换
t t
7 页
0σ σ 0 的信号成为指数阶信号 ；
2.有界的非周期信号的拉 氏变换一定存在；
3. lim t e
t n t
0

0
4. lime e
t
t
2
t t
0
α
5. e 等信号比指数函数增长快，找不到收敛坐标 ， 为非指数阶信号，无法 进行拉氏变换。
则
F s


f t e
s t
dt
X
2．拉氏逆变换
F f (t ) e
第 4 页

t
f t e

j t
dt F j F s


f t e
s t
dt
所以f t e
t
是F j 的傅里叶逆变换
§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
石家庄铁道学院四方学院 2009.10
主要内容
从傅里叶变换到拉普拉斯变换 拉氏变换的收敛
第 2 页
一些常用函数的拉氏变换
X
一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1．拉普拉斯正变换
信号 f ( t ), 乘以衰减因子e
t
第 3 页
(为任意实数)后容易满足

X
二．拉氏变换的收敛
收敛域：使F(s)存在的s的区域称为收敛域。 记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；
lim f ( t ) e
t σ t
第 6 页
0
jω
σ σ 0
收敛轴
S平面
收敛坐标 σ0
收敛区 σ
O
X
第
说明：
1.满足 lim f ( t ) e
st 0
α s 0

αs
σ α
L t t e d t 1
st
全s域平面收敛
st0
L t t0 t t0 e d t e
0
X
第
4．tnu(t)
Lt
9 页
st
1 st st e d t t e 0 s 0
f t e
t

两边同乘以 e
t
2π

1


F j e
j t
d
f t
2π
1

F j e
j t
d
其中: s j ; 若取常数， d s jd 则
积分限：对 : 对s :