§402 拉普拉斯变换的定义收敛域 ppt课件

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拉普拉斯变换(与“变换”相关文档)共12张PPT

•拉普拉斯变换的优点此外，随着技术的发展和实际的需要，离散的、非线性的、时变的等类型系统的研究与应用日益广泛，而拉氏变换在这些方面却无能为力，于是，
它长期占据的传统重要地位正让位给一些新的方法。傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 重点：拉普拉斯变换的优点它在电学、力学等众多科学与工程领域中得到了广泛应用。
拉氏变换的定义 2.
拉普拉斯变换的变换域是复频率域。傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。
• 难点：拉普拉斯变换在求解微分方程的优点
第5页，共12页。
第四章拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
学习目标 1.深入理解拉普拉斯变换的定义、应用范围、物理意义及收敛。
2．掌握常用函数的拉氏变换。阶跃函数、指数函数、冲激函数。
3.熟练掌握拉氏变换的性质。线性、原函数积分、原函数微分、延时、 S域频移、尺度变换、初值、终值定理、卷积。
4.掌握拉氏逆变换。 5.熟练掌握利用拉氏变换法分析电路、S域元傅里叶变换分析法在信号分析和处理等方面（如分析谐波成分、系统的频率响应、波形失真、抽样、滤波等）是十分有效的。但在应用这一方法时，信号f(t)必须满足狄里赫勒条件。而实际中会遇到许多信号，例如阶跃信号(t)、斜坡信号t(t)、单边正弦信号sint(t)等，它们并不满足绝对可积条件，从而不能直接从定义而导出它们的傅里叶变换。虽然通过求极限的方法可以求得它们的傅里叶变换，但其变换式中常常含有冲激函数，使分析计算较为麻烦。
单位脉冲响应绝对
可和
2.h(n)收敛
3.H（z）收敛域包

电路原理-拉普拉斯变换PPT课件

收敛域为s平面的右半平面
[ (t)] 1
s
7
例2 求单位冲激函数 (t)的拉普拉斯象函数。
解:
[ (t)] (t)estdt 0

0

(t
)e
st
dt

(t)estdt
0
0
est t0 1
收敛域包括整个s平面。
[ (t)] 1

[sint (t)] s2 2
10
2. 微分定理 (differentiation theorem)
d dt
f (t)

s
f (t) f (0 )
*证明：
d
dt
f (t)
e st d f (t )dt
0
dt
e stdf (t )
f (t)
0

f ()
f (0 )

lim sF(s)
s0
f
(0 )
lim f (t) limsF(s)
t
s0
利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数
F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值
和终值。
21
例8 设 f (t) (1 et ) (t) 验证初值定理和终值定理。
2!
t (t)
1 s3

t (n
n1
1)!

(
t
)

1 sn
1
1 sn

t n1 (n 1)!
(t )
16
4. 时域位移定理 (time-shift theorem)

第3章拉普拉斯变换 128页 6.1M ppt版

6.3 拉氏变换的性质：
揭示信号时域特性与复频域描述的关系，主要讨论 ROC
1、线性。
ax1(t) bx2 (t) aX1(s) bX 2 (s)
ROC:包括 R1 R2
若 R1 与R2 无公共部分，则表明ax1(t) bx2 (t) 的拉氏变换不存在。
当 aX1(s) bX 2 (s) 中有零极点抵消时，ROC 可能会扩大。
第三章拉普拉斯变换
本章要点拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏变换拉氏变换与傅氏变换的关系拉氏变换的性质，收敛域卷积定理(S域) 系统函数和单位冲激响应
1
第六章拉普拉斯变换
6.0 引言
第四章已经讨论过复指数信号est 是 LTI 系统的特征函数 s j ，并对
s j 的情况进行了研究，即傅立叶分析。本章对更一般的情况（ s j ）
7
例三: x(t) ea t eatu(t) eatu(t)
j
X (s) 0 eatestdt eatestdt
0
1 1 sa sa
( a, a)
-a
a
当 a>0 时，这两部分地收敛域有共同部分
a a
此时
X (s)
1 sa
1 sa
2a s2 a2
存在
当 a<0 时这两个 ROC 无公共区域 x(s)不存在。
立叶变换地推广。
3
如果Xx(s) 在 s j 收敛，则即 s 可以取j
X ( j) Xx(t))eejjtdt tdt
是x(t) 的拉付氏里变叶换变换
X ( j) X (s) 表明傅立叶变换氏是拉氏变换在j 轴上的特例 s j
由傅立叶反变换得到拉斯反变换

拉普拉斯变换 PPT

F(s ) = ∫ f (t )e −st dt
0
∞
变量s叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，变量叫做拉普拉斯算子。它为一复变数，即s=σ+jω。叫做拉普拉斯算子。
是一单位阶跃函数时为1；例：设f(t)是一单位阶跃函数，其定义为：t>0时为； t<0时为是一单位阶跃函数，其定义为：时为时为 0。求此函数的拉普拉斯变换值。。求此函数的拉普拉斯变换值。
∞
∫ f (t ) e
0
− st
dt = ∫ e
0
∞
− at
⋅e
− st
1 −( s + a )t ∞ dt = − e = 0 s+a
1 s +a
2、拉氏反变换、
它是拉氏变换的F(s)求取的运算。 F(s)的拉氏反变求取f(t)的运算它是拉氏变换的求取的运算。的拉氏反变换记为：换记为：f(t)=L -1[F(s)]。并且由拉氏反变换积分求出，。并且由拉氏反变换积分求出，
A1 A2 Ar + + ⋯+ , 2 r (s + si ) (s + si ) (s + si )
r −1
r−2
1 d2 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s 2! ds2 i
1 d r −1 ( s + si ) r X ( s ) = s = −s ( r − 1) ! d s r − 1 i
= s n F ( s ) − s n −1 f (0 + ) − s n − 2 f (1) (0 + ) − ⋯ − f ( n −1) (0 + )

拉普拉斯变换的定义

§ 4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域主要内容从傅里叶变换到拉普拉斯变换拉氏变换的收敛一些常用函数的拉氏变换一．从傅里叶变换到拉普拉斯变换 1．拉普拉斯正变换[]t e et f t j td )(ωσ-+∞∞--⋅⎰te tf t j d )()(ωσ+-+∞∞-⋅=⎰则2．拉氏逆变换3．拉氏变换对:,)( ),( 依傅氏变换定义绝对可积条件后容易满足为任意实数乘以衰减因子信号σσt e t f -()[]=⋅=-tet f F F σω)(1)(ωσj F +=称为复频率。

具有频率的量纲令 , , :s j =+ωσ()()⎰∞∞--=t e t f s F t s d ()()()()()⎰⎰∞∞--∞∞-+-===+te tf s F t e t f j F t s t j d d ωσωσ()() 的傅里叶逆变换是对于ωσσj F e t f t +-()()⎰∞∞--+=ωωσπωσd 21tj t e j F e t f t e σ 以两边同乘()()()ωωσπωσd 21⎰∞∞-++=t j e j F t f ωσωσd d ; :j s j s =+=则取常数，若其中⎰⎰∞∞-∞+∞-⇒j j s σσω::对积分限：对()()⎰∞+∞-=∴j j t s s e s F j t f σσπd 21()()[]()()()[]()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====⎰⎰∞+∞--∞∞--j j t s t s s e s F j t f L t f t e t f t f L s F σσπ逆变换正变换 d 21 d 1()()te tf F t j d 0ωω-∞⎰=∴二．拉氏变换的收敛收敛域：使F (s )存在的s 的区域称为收敛域。

记为：ROC(region of convergence) 实际上就是拉氏变换存在的条件；例题及说明6.一般求函数的单边拉氏变换可以不加注其收敛范围。

4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域

d LT[tf (t)] = − F(s) ds
dn n n LT[t f (t)] = (−1 ) n F(s) ds
17
4−1 求列函的氏换下各数拉变
(5) (1+2t)e
−t
LT [(1 + 2t )e − t ] = LT [e − t ] + 2 LT [te − t ] 1 d 1 = −2 ( ) s +1 ds s + 1 1 2 = + s + 1 ( s + 1) 2 s+3 = ( s + 1) 2
−1
8
2、当函数在t=0时刻出现跳变时，规定单当函数在t=0时刻出现跳变时， t=0时刻出现跳变时边拉氏变换定义式的积分下限从0 开始。边拉氏变换定义式的积分下限从0-开始。
F ( s ) = ∫ f (t )e − st dt
0− ∞
0-系统
4、冲激函数
∞ 0
f (t) =δ(t)
− st ∞ − st 0−
15
d 若 [ f (t)] = F(s),则 [ f (t)] = sF(s) − f (0−) LT LT dt
d LT[ 2 f (t)] = s2F(s) −sf (0−) − f '(0−) dt
d 1 LT [δ (t )] = LT [ u (t )] = sLT [u (t )] − u (0 − ) = s ⋅ − 0 = 1 dt s
2
对于不满足绝对可积条件的f (t ), 即 : lim f (t ) ⇒ ∞
t →∞
则其傅里叶变换不存在. [ f (t )为因果信号]
寻找一衰减函数 e −σt 使得 : lim f (t )e −σt = 0

拉普拉斯变换PPT

e
st 0
F ( s)
• • •
5.S域平移 f(t) F(s) f(t) e
at
F(s+a)
• 例
e
at
sin wt
at
w ( s a) 2 w 2
e
cos wt
sa ( s a) 2 w 2
• • •
6.尺度变换 f(t) F(s) 则 f(at)
1 s F( ) a a
e cost e sin t
t
t
• •
2.D(s)=0有重根设F(s)具有m重根，分解成下列形式，
K1m K11 K12 N ( s) F ( s) m m m 1 s s1 (s s1 ) (s s1 ) (s s1 )
K11 lim( s s1 ) F ( s)
•
1. D(s)=0的所有根是单根s1,s2,….,sn,将 F(s)展成
•
Kn K1 K2 F(s)= s s1 s s2 s sn
• 其中 Ki = lim (s-si)F(s),
s si
•
Ki s si
Ki e
s1t
si t
，
s2t
则有
• ｆ（t）＝Ｋ１ e
• 4. 求下列函数的拉普拉斯反变换
s 1 F ( s) 2 s 5s 6
1 F ( s) 2 s 4s 5
4 F ( s) 2 s(s 2)
求出f(t)
• •
习题 1.求下列函数的拉普拉斯变换：
(t ) e
e e
t
3t
t
•
sin2t+3cos2t

拉普拉斯变换-PPT

1
i
s2
2
(Re s 0)
ℒ
[cost] 1 ℒ [eit ] ℒ
2
[eit ]
s
s2 2
(Res 0)
二原函数导数定理:
ℒ [ f '(t)] sF (s) f (0)
ℒ [ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f '(0)
sf (n2) (0) f (n1) (0)
t0
s
十二终值定理
设L[ f (t)] F (s),且 lim f (t)存在，或 t0
sF (s)的奇点位于 Re s 0的平面上，则
F () lim f (t) lim sF (s)
t
s0
例1（P205例10.3.4）
求积分正弦函数Si (t)
t sin d的拉氏变换。 0
例2（P206例10.3.5）
二 Laplace变换的存在条件 1 Laplace 变换存在的充分条件是：
（1）在 0 t < 的任一有限区间上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)
及其导数是处处连续的。
（2）存在常数 M > 0 和 0，使对于任何t (0 t < ), 有
f (t) Met即 f (t)et M
绝对可积的条件
| f (x) | dx
3）在整个数轴上有定义
实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t<0无意义。
2 拉普拉斯变换研究的对象函数
1）函数满足这样的条件:
a) t<0时，f(t)=0

数学基础-拉普拉斯变换PPT课件

es F (s)
f (t )
t
拉氏变换性质
(d)微分定理
L[df (t)] L[ f '(t)] sF (s) f (0) dt
d 2 f (t) L[ dt 2 ]
L[
f
''(t )]
s2F(s)
sf
(0)
f
'(0)
f (0)
其中：
f (t)
t 0
f '(0) f '(t) t0
1
(t)dt 1(t 0)
f(t)
0 L[ (t)]
(t )estdt
lim 1estdt (t)0(t 0)
0
0 0
t
eL[e ] lim 1 (1 S) lijmt(1
0 S
0
(2)单位阶跃函数u(t)
e( S)'
S
)'
s
11 j
f(t)
L[u(t)]
0
10
21 [
e
0
[
( s j
e(s
)t dt
j )t dt
2 j 0
e ( s j )t dt ]
0
e( s j )t dt ]
21j[ 01
1
0
]
21 s j1 s j1
L[cost]
2 j [ss
s2 2
j
s
]
j
L[sint]
s2
2
拉普拉斯变换
（5）et sint，et sint，et cost，et cost
欧拉 e jt cost j sint
公式

拉普拉斯变换定义与收敛域.ppt

f f(t()t)
（如指数信号
eeata(ta(a00) )
）都满足狄里赫利条件（信号
f f(t()t)
双边带Laplace变换
X
第 12 页
双边拉普拉斯变换的收敛域比较复杂，并且信号与其双边拉普拉斯变换不一一对应，这就使其应用受到限制。
实际中的信号都是有起始时刻的(t＜t0时f(t)=0)，若起始时刻t0=0, 则f(t)为因果信号。因果信号的双边拉普拉斯变换的积分下限为“0”，该变换称为单边拉普拉斯变换。单边拉普拉斯变换收敛域简单，计算方便，线性连续系统的复频域分析主要使用单边拉普拉斯变换。
第 1 页
第4章连续时间系统的复频域分析
•1.拉普拉斯变换的定义 •2.拉普拉斯变换的性质 •3.系统复频域零极点分析 •4.系统复频域稳定性分析
X
第 2 页
第1节拉普拉斯变换定义
•1.引言 •2.从傅立叶变换到拉普拉斯变换 •3.单边拉普拉斯变换定义(收敛域) •4.傅立叶变换与普拉斯变换的关系
直线的右边区域，可表示为 Re[ s] 0
X
第 20
常用信号的单边拉普拉斯变换-1 页
X
第 21
常用信号的单边拉普拉斯变换-2 页
X
第 22
常用信号的单边拉普拉斯变换-3 页
X
第 23
单边拉普拉斯变换对-1 页
X
第 24
单边拉普拉斯变换对-2 页
X
第 25
单边拉普拉斯变换对-3 页
4 页
Fourier变换的局限性：
1）不是所有信号（如正指数信号）都满足狄里赫利条件（信号 x(t) 必须绝对可积）而存在傅立叶变换。但是在满足收敛条件下存在拉普拉斯拉斯变换；

拉普拉斯变换及反变换ppt课件

补充拉普拉斯变换及反变换重点知识
一、拉氏变换及其特性 1、拉氏变换定义
如果有一个以时间 t为自变量的实变函数 f t ，它的定义域是 t 0 ，那么 f t 的拉普
拉斯变换定义为
F
s
L
f
t
0
f
t estdt
式中，s是复变数，s j（、
均为实数）， est 称为拉普拉斯积分；F s 0
>> p=[1 -120 25 126
用num和den分别表示F(s)的分子和分母多项式，即：num = [b0 b1 … bm]
den = [a0 a1 … an] MATLAB提供函数residue用于实现部分分式展开，其句法为：
[r, p, k] = residue(num, den)
f (t) L1(F (s)) 1
c
j
F
(s)e
st
ds
2j c j
式中 L1 表示拉普拉斯反变换的符号
2、拉氏反变换的计算方法由象函数求原函数的方法：
方法一：利用拉氏反变换定义求 ——不常用解
方法二：查拉氏变换表求解——对简单的象函数适用方法三：部分分式法——象函数为有理分式函数时适用
p1)r ]}s p1
br j
1 dj
{ j!
ds
j
[F
s
(s
p1)r ]}s p1
b1
1
d r1
(r
{ 1)!
ds
r
1
[
F
s
(s
p1)r ]}s p1
例
F(s)
(s
s 1 2)3 ( s
3)
解：F (s)