第三章Z变换

解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。 把H(z)表示成两个多项式之比
H ( z) 2z2 5 z 2
z 2
z2
5 z 1 2
解法一：H(z)是Z的有理函数，其分子分母阶次都是2， 因此该系统是因果的。反之，如果H(z)分子的阶次高于分 母的阶次，则该系统是非因果的。
1 3
j 2 K 8
8个零点
j Im[ z ]
z0 z
1 3
7阶重极点
一阶极点
Re[z ]
例4. x(n)
N 1 n 0

a n , 0 n N 1,
a0
0,
其它 n
X ( z) a z
n n
1 aN zN zN aN N 1 1 1 az z ( z a)
收敛域是 Rx z
。
右边序列不一定是因果序列，只有在 n1 0 时，ROC包 含 z 点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一 定包括 z 点。 因果序列的收敛域为：
Rx z
z 2
例1．考虑一系统，其中 H ( z)
1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2 判断其是否为因果系统？
解法二： H(z)的反变换
1 hn ( ) n 2 n u ( n) 2
因为 n<0 ,h[n]=0 。说明系统是因果的。 例2． x(n) Aa n u (n) 求序列Z变换的封闭形式及收敛域。 解：
X ( z ) Aa z
n n 0 n
n n A a z n 0
1 ROC : z 2 2
对双边序列， X ( z ) 的ROC是Z平面上一个以 原点为中心的圆环。
[注意]
( 左边序列从 , 1)
右边序列从(0, )
比较例1和例2，它们的Z变换完全一样，只
是收敛域不同，所以对应的时域序列不同。因 此，Z变换与收敛域一起才能构成与信号一一对 应的关系。 X ( z ) 的表达式再结合ROC一起才能 唯一的确定信号。
例2．有一序列的Z变换为
X ( z) 11 7 z 1 z 2 6 5 z 1 z 2
11 7 z 1 z 2
1 2
|z|>1
求：X(z)的反变换 x(n) 。 解：X ( z )
6 5z z ( 2 z 1 )(3 z 1 ) 1 1 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1 2 z 1 3 z 1 1 z 1 1 z 1 2 3
n n 1
1

a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1
z a
1 n x(n) ( ) u (n) 2n u (n 1) 例3. 2

1 n n 1 n n X ( z) ( ) z 2 z n0 2 n 1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2
第三章
z变换
Z变换是分析离散系统的一个极为重要的数学工具。在连 续时间信号与系统中，频域分析用傅立叶变换,复频域分析用 拉普拉斯变换，而在离散时间信号与系统中，序列的傅立叶 变换用以进行频域分析,而Z变换则主要是进行复频域分析。
§2.2 Z变换的定义与收敛域
一．Z变换的定义
序列 x(n) 的Z变换定义为
二．Z变换的收敛域（ROC）
收敛域对Z变换是一个重要的概念。序列的Z变换是一幂
级数，
n
x(n) z n 并不一定对任何Z值都收敛，只有当该幂级
数收敛时，Z变换才有意义。
所以Z变换的存在与序列 x(n) 本身及Z值范围都有关系。 由于收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换，因此为了 单值地确定Z变换所对应的时域序列，不仅要给出序列的Z变 换函数，而且必须同时说明它的收敛域。也就是说，信号的Z 变换与收敛域一起才能构成与时域信号一一对应的关系。 收敛域 — Z平面上那些能使 X ( z )收敛的所有Z值的集合,就构 成了 X ( z )的收敛域，用“ROC”表示。
结 论：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z ) 收敛。 2）仅仅由 X ( z )的表达式不能唯一确定一个信号，
只有 X ( z )连同相应的ROC一道，才能与信号建 立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的 环形区域。
例3. X ( z )
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3 极点： z1 1 3 , z2 2
零点： z 0 （二阶）

在有限 Z平面上极点 总数与零点总数相同
若其ROC为： 1 z 2 则 x ( n)为右边序列,且是因果的,但其傅氏 变换不存在。 2 z 1 3 时x (n) 是左边序列,且是反因果的,其傅 氏变换不存在。
X ( z)
n


x ( n) z n
其中 z re j 是复变量,它所在的复平面称为Z平面。以上 定义的变换称为双边Z变换，另外一种称为单边Z变换。
单边Z变换求和限从零到无穷大，单边Z变换定义为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0

在大多数情况下，我们可以把 x(n) 的单边Z变换看作是因果 序列 x(n)u (n) 情况下的双边Z变换。因此，除了用Z变换解 差分方程需要考虑序列的初始条件时要用单边Z变换外，以 下我们都只考虑双边Z变换。
i 1
N
i 1
若为双边序列，则由左边序列和右边序列相加而得到。
例1： X ( z )
5 1 3 z 6
1 1 1 1 (1 z )(1 z ) 4 3 1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
1 1 z 4 3
1 n 1 n x(n) ( ) u (n) 2( ) u (n 1) 4 3
X (z )是有限项级数之和，只要级数的每一项有界， 这个级数就收敛。显然，有限长序列的收敛域是除了 Z=0及 z 两点外的有限Z平面。即: 0 z
n 如果 n1 、 2 选择不同，收敛域可以进一步扩展。
当 n1 0, n2 0 时,
0 z
当 n1 0, n2 0 时,
4）如果 x(n) xi (n) ，则其ROC是各个 xi ( n) 的 ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式
i
x(n)的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是由
X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
6）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有
X (e ) X ( z ) |z e j
0 z
2.右边序列
指 x(n)只在 n n1 时有值，n n1 时，x(n) 0
X ( z)
n n1


x ( n) z n
n n1

1
x ( n) z n

n 0

x ( n) z n
右边序列 的收敛域
右边序列总是收敛的，右边序列的Z变换的ROC一定位 于最外部极点的外部，但可能不包含 Z 点。右边序列
极点：z a (一阶)
z 0 (N-1阶)
z 零点： ae
j
2 k N
(k 0,1 N 1)
ROC : z 0
3.左边序列
左边序列 x(n) 只在 n n2 时有值， n2 时， (n) 0 。 x n 左边序列的Z变换为：
X ( z)
左边序列的Z变换的收敛域一定位于最内部极点的内部， 其收敛域为：
N i
H ( z)
B( z )
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i 0
i
1 bi z
i 1
N
i
X ( z ) A0
i
1 Pz 1 i
步骤：1.求出 X ( z ) 的所有极点 pi ，并展开为部分分式； 2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。 3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。 如果为右边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n) 若为左边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n 1)
1
c
X ( z )Z n 1dz ,
c ( Rx , Rx )
式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一 条在X(z)收敛域 ( Rx , 围线，如图所示:
Rx )以内，逆时针环绕原点一周的单
反变换的求取方法： 1. 部分分式展开法： 当 X ( z )是有理函数时, a z Ai A( z )
使得级数一致收敛的充分必要条件是:
n

x ( n) z n
Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
Rx Z Rx ,
Rx 、Rx
称为收敛半径。收敛半 径与序列有密切关系， 对于不同形式的序列其 收敛域不同。
x ( n) a n u ( n) 例1:
A 1 az 1 a 2 z 2 (az 1 ) n A X ( z) z a X(z)的封闭形式 1 1 az
收敛域指在这个范围内表达式是解析的。
1 例3： x(n) [u (n) u (n 8)] 3
8 n
n
n
1 b u ( n) , z b 1 1 bz
n
1 b u (n 1) , z b1 1 b1 z 1
n
在 b 1 时，两部分收敛域无公共部分，表明 此时 X ( z )不存在。
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
X ( z)
n
a z

n n
1 1 az 1
z a 时收敛
当 a 1 时，x ( n)的DTFT存在
1 X (e ) 1 ae j
j
z a
此时，ROC包括了单位圆。
例2: x(n) a u (n 1)
n
X ( z ) a n z n a n z n
n

n2
x ( n) z n
n

0
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
n2
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
X ( z)
n

x ( n) z
n
x ( n) z
n 0

n

n
1
x ( n) z n
双边序列 的收敛域
双边序列的收敛域应该是左边序列和右边序列的公共部
分。双边序列的收敛域一定是环形区域，其收敛域为：
RX Z RX
例2. x(n) b , b 0
n
x(n) b u (n) b u (n 1)
j
对于不同形式的序列其收敛域不同。下面我们结合一些 典型情况讨论Z变换的收敛半径与序列的关系：
1. 有限长序列 x(n)
x ( n) x ( n) 0
n1 n n2 n n1 , n n2
其Z变换为 X ( z )
1 nn
n2
x(n) z n x(n1) z n1 x(n2 ) z n2
3
1 z 2 时 x(n) 是双边序列,傅氏变换存在。 3
ROC是否包括 z ，是 x (n) 是否因果的标志。 ROC是否包括 z 0 ，是 x (n) 是否反因果的标志。
§3.3 Z反变换
Z反变换的一般数学表达式为
x(n) Z 1[ X ( z )]
2 j
n
有限长序列
1 1 ( 1 z 1 )8 1 z 8 ( 1 )8 3 X ( z) z 7 31 3 1 1 z 1 z (z 3) n 0 3
z ( ) e
8 1 8 3
j 2 k
收敛域为除了0和
平面 的整个 z
z e