第三章Z变换
计算机控制系统03 Z变换
则 Z [ y( kT )] Z [u( kT ) * g ( kT )] U ( z )G ( z )
7 乘ak 后的Z变换 Z[ y( kT )] Y ( z ) 若 Z[a k y( kT )] Y ( a 1 z ) 则 k k k Z [ a y ( kT )] y ( kT ) a z k 0 证：
z 1
∴
y( kT ) lim ( z 1)Y ( z ) y( ) lim z 1 k
( z 1)Y ( z )
的全部极点都在单位圆内，等效于Y(z) 可以 有一个极点为1，在单位圆上,而其余极点必 须全在单位圆内。否则，不能使用终值定理。 例 4： F ( z)
证：按Z变换的定义展开，注意到零初始条件
Z [ y( kT nT )] k 0 y( kT nT ) z k
从k=n项开始展开
n
y( 0) z n y(T ) z ( n1 ) y( 2T ) z ( n 2 )
k 0 y( kT ) z ( n k ) z n k 0 y( kT ) z k z Y ( z )
k 0
4第三章Z变换gxsPPT课件
1、环节串联时的脉冲传递函数
a、各线性环节直接串联，之间无理想开关相 隔只有输入端设采样开关。
G (z) T
T
r(t)
G1(s) R(z)
G2(s)
y*(t) Y(z) y(t)
G(s)=G1(s)G2(s) G(z)=Z[G(s)]=Z[G1(s)G2(s)]=G1G2(z)
先乘积 后变换
即：开环系统的脉冲传递函数，等于两个环节传
1W (z) 1 D(z) •G(z)
e (z)
E(z) R(z)
R(z) Y (z) R(z)
1
Y (z) R(z)
1 (z)
e
(z)
1
1 D(z)
•
G(z)
(z) 1 e (z)
15
§3-4控制系统的稳定性
无论对于连续系统还是离散系统，所谓稳定 就是指在有界的输入作用下，系统的输出也是有 界的。一个系统必须是稳定的才能工作，当然一 个稳定的系统还有工作性能好坏的问题，这是性 能指标。这里要给大家介绍离散系统的稳定性及 稳态误差。 一、离散系统稳定的充分必要条件
图2-6 两个环节并联
G(z)= G1(z)+G2(z)=Z[G1(s)]+Z[G2(s)] 10
三、离散控制系统的闭环脉冲传函
离散控制系统中采样开关的配置有多种形式， 因此控制系统没有唯一的结构，只对几种典型 结构，给出闭还系统的脉冲传函。
1. R(z) + E(s) G(s)
B(z-) T
H(s)
y*(t) Y(z)
7
T r(t)
G (z) T
G1 (s) 1 eTS
Go(s) G2 (s) s
G(z) G1G2 z Z L1 G1 s • G2 s
第三章 Z变换
0 | z | Rx 2 0 | z | Rx 2
j Im[ z ]
左边序列 ROC示意图
Re[ z ]
Rx 2
3．2．5 双边序列的ROC
如果序列在整个区间都有定义，则称之为双边序列或无始无 终序列。
X(z)
如果
n
x (n )z n x (n )z n
n 0
n
1 z | z | 1 1 1 z z 1
1
|z| > 1
序列的单边ZT可以用双边ZT表示
Z[x(n)] Z B [x(n)u(n)]
而且，一个序列是因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u ( n )
一个序列是反因果序列的充要条件是
x ( n ) = x (n ) u (— n — 1 )
（3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0
除外)
3．2．2 有限长序列的ROC
X(z)
n n1
x (n )z n
n2
（1） n1<0，n2>0 时，收敛域为 0 < | z | <∞( |z|=0, ∞ 除外) （2）n1<0， n2 ≤ 0 时， 收敛域为 0 ≤ | z | < ∞ ( |z|=∞ 除外) （3）n1≥0， n2>0 时，收敛域为 0 < | z | ≤ ∞ ( |z|=0 除外)
a n , (n 0) x 1 (n ) 0, (n 0)
的ZT为：
X1 ( z)
n
x ( n) z
1
n
a z
Z变换ppt课件
F (s)
C0
C1 s s1
C2 (s D2 ) s2 A2s B2
L
线性常系数微分方程，可以写成传递函数f（s）：
特征值为实数（一阶系统）或者一对共轭复根（二阶系统） f（s）可以分解为一阶和二阶环节之和（部分分式展开），
分别查表，得到z变换式，再求和。
注意：一般不能用 F *(s) s 1 ln z F (z) T 5
f *(t) 11 (t T ) 29 (t 2T ) 67 (t 3T ) 145 (t 4T ) L
得到的是数值解，很难得到解析解，不便于分析
7
2. 查表法(部分分式展开法)
F (z) A1z A2z L An z
z z1 z z2
z zn
例：求
F
(
z
)
11z3 15z (z 2)(z
nm，可实现条件
例： G(z) Y (z) z z , Y (z) zR(z)
R(z)
1
y(t) r(t)=(t)
t -T 0
若r(t)=(t), R(z)=1, 则Y(z)＝z, y(t)= (t+T)
输出信号出现在输入信号之前，非因果的，物理上 不存在
17
2 差分方程与脉冲传递函数
c(k) a1c(k 1) a2c(k 2) L anc(k n)
即
e*(t) r *(t) c*(t)
25
反馈通道有采样开关
G(z)
R(s)
_
E(s) T E(z)
G(s)
Y(s) T
Y(z)
F(s)
T
Y(z)
Y(z) G(z)E(z)
E(z) R(z) F(z)Y (z) R(z) F(z)G(z)E(z)
第3章 Z变换
双边z变换 双边 变换
X ( z ) = ZT [ x(n)] =
n =−∞
∑
∞
x ( n) z − n
其中： 为复变量 以其实部为横坐标， 为复变量， 其中：z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐 标构成的平面称为z平面 平面。 标构成的平面称为 平面。
X ( z ) = ZT [ x(n)] = ∑ x( n) z − n
X ( z) =
n =−∞
∑ −a u(−n −1) z
n
∞
−n
=
n =−∞
−a z = ∑ −a z = −∑ (a −1 z)n ∑
n −n −n n n =1 n=1
−1
∞
∞
此等比级数在|a-1z|<1，即|z|<|a|处收敛。 因此 此等比级数在 ， 处收敛。 处收敛
− a −1 z 1 z X ( z) = = = −1 1 − a z z − a 1 − az −1 | z |<| a |
n =0 ∞
单边z变换 单边 变换
数字信号处理
第三章 Z变换
二．Z变换的收敛域 1．收敛域的定义：对任意给定序列 ．收敛域的定义：对任意给定序列x(n)，使其 ，使其z 变换收敛的所有z值的集合称为 变换收敛的所有 值的集合称为X(z)的收敛域。 的收敛域。 值的集合称为 的收敛域 2. 收敛条件：X ( z ) = 收敛条件：
X ( z) =
n = −∞
∑
∞
x ( n) z
−n
= ∑ x ( n) z
n =0
∞
−n
+
n = −∞
x ( n) z − n ∑
第三章 Z变换ppt课件
（5）有限长序列
an, 0nN-1,
x[n]= 0,
其它
z变换：
N -1
N -1
X (z)= an 0
n=0
1- az-1
= 1-az-1
N
=
1 z N -1
z N -a N z-a
,
收敛域的条件：
N -1
az -1
n
<
n=0
有限长序列的收敛域：整个z平面（z = 0和z = ∞由具体序列定）
傅立叶变换是z平面单位圆上的z变换 傅立叶变换的周期性解释
z变换的收敛域： （region of convergence, ROC） 对给定的序列x[n]， 所有满足下列不等式的z值
x[n] z n ,
n
x[n]rn ,
n
傅立叶不收敛
z变换收敛
若z = z1在ROC内，︱z︱= ︱z1︱的值也一定在ROC内， 表示收敛域的形状：
查表求得：
其它几种情况： （1）M ≥ N
Br 系数通过长除法获得。对应的z反变换为：Brδ[n-r] （2）M ≥ N，且有多重极点
若X(z)有一个s阶极点：z = di (其余极点均为一阶) 则X(z)可以展开为：
Cm系数：
几点说明： （1）
项对应于 (dk)nu[n]
取决于收敛域
(dk)nu[n1]
3.0 引言
连续时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（s域，拉氏变换） 离散时间信号与系统： 时域频域（傅立叶变换）；复频域（z域，z变换） 引入z变换的主要原因：
傅立叶变换的收敛性（更广泛的信号） z变换概念的方便性（分析研究信号、系统） 傅立叶变换与z变换的关系： 推广形式（数学、物理意义上） 分析上的全面性（稳态、动态、瞬态、静态）
第三章 Z变换-精品
成Z的负幂级数。
若 收敛域|Z|<Rx-, x(n)必为左边序列，主要展成
Z的正幂级数。
例:
试用长除法求 X(z)
z2
,1z 4
(4z)(z1) 4
的z反变换。
4
解:收敛域为环状，极点z=1/4对应因果序 列，极点z=4对应左边序列(双边序列)
Re[ z ]
z
同样,对于级数 x(n) z n，满足 z z n0
的z， 级数必绝对收敛。 |z_|为最小收敛半径。
j Im[z]
Re[ z ]
z
(2).有限长序列
x(n) .
x(n)0x,(n),其 n1 他 nnn2
.
n1
0
.
n2
n
n 2
X (z) x (n )z n, 若 x (n )z n ， n 1 n n 2 ; n n 1
1 / 15 z 1
4
X ( z ) 16 15
z 1 4 z 15
z z 1
4
1 ( 16 z z ) 15 4 z z 1 4
4Z+Z2 + —41 Z3+ 1—16 Z 4+ —614 Z5 + ...
) 4-Z 16 Z 16 Z - 4 Z2
4 Z2
4 Z2 - Z3
Z3
Z3 - —14 Z 4
相减则相加则进行运算则对序列返回25三序列的傅氏变换可表为共轭对称分量与共轭反对称分量之和返回25四两个基本性质则有如果返回25则有如果返回25五序列的实虚部与其傅氏变换偶奇部的关系1
二.变换域分析法
第3章Z变换-PPT精选
n
n
n 0
3.1.5 双边序列的Z变换
双边序列的Z变换收敛域 ROC：Rx<|z|<Rx+，
这是一个简单的环状区域，如图3-4所示。
3.1.5 双边序列的Z变换
图3-4 双边序列及其收敛域
例题3-1
求序列x(n)＝(n)的Z变换X(z)及其ROC。
解：这是n1＝n2=0时的有限长序列，且
第三章 Z变换
Chapter 3 The Z-Transform
§ 3.1 z 变换 § 3.2 z 反变换 § 3.3 z 变换的性质
本章的主要内容
1、掌握z变换及其收敛域 2、会运用任意方法求z反变换 3、理解z变换的主要性质
第三章作业 习题3-1 （1）（2）（4） 习题3-2 （1） 采用长除法、围线积分法与部分分式法 求取 习题3-4
有z值的集合称为X(z)的收敛域 （ROC,Region of
Convergence）。根据级数理论，式(3-1)中级数收 敛的充要条件是
x(n)zn M
n
（3-3）
3.1 Z 变换
如果X(z)在收敛域内是一个有理函数，
X (z) P(z) （3-4） Q( z )
当X(z)=0，即P(z)=0的z称为X(z)的零点； 当X(z)为无穷大，即Q(z)=0的z称为X(z)的极点， 另外，零、极点也可能出现在 z =0 或 z =。
|z|>1 |z|>1
z2z 22 zzcco o 00s s112 1z1 zc 1co 0 o s 0zs2
(easi n0)z1 12(eacos0)z1e2az2
|z|>1
z ea
数字信号处理2 Z变换
X1 ( z ) Z1[ x(n)] x(n) z n
n 0
z是复数,X(z)是复变函数
X ( z ) X ( re )
jw z re jw n
x ( n ) r n e jnw
r 1
2
F变换属于双边Z变换
X ( z ) X ( e jw )
正、逆Z变换：存在条件
变换存在&绝对可和
Z变换存在,即复变函数幅值有限(定义)
X (z)
存在条件放宽(充要条件)
X (z)
n
x(n) z
n
n
x(n) z
n
n
x(n) z n
收敛域:
z r Rx
已知x(n), 使
Im(z)
a z b
….
n1
0
x n
….
n2
Re(z)
Im(z)
a z b, a b
….
n1
0
….
n2
Re(z)
9
第五次 @ 5.20
回顾：
单、双边Z变换公式 Z变换的收敛域
定义（对比DTFT变换的“绝对可和”条件） 不同序列的收敛域
本次：
Z逆变换 Z变换性质
2 z 2 z 2 2 z 3 2 z 4 ... z 1 1 2 2 2z 2z 2z 2z2 2z2 2z 2 2z3 2z3
X1(z)
ddd第三章Z变换
n
a
|n| n
z
n
a
1
n n
z
z z a z z nan
n n
n n
n0
n 1
n 0
第一部分收敛域为|az|<1，得|z|<|a| －1; 第二部分收敛域为
|az － 1|<1, 得到|z|>|a|。如果|a|<1, 两部分的公共收敛域为
例2 求因果序列
0, k 0 f y (k ) a (k ) k a , k 0
k
的z变换（式中a为常数）。 解：代入定义
1 (az 1 ) N 1 Fy ( z ) a k z k lim (az 1 ) k lim N N 1 az 1 k 0 k 0 jIm[ z] 可见，仅当az-1<1，即
1 2 f (k ) [ (1) k (2) k ] (k 1) 3 3
1 z 2 z 3 z 1 3 z 2
1 2 k k f (k ) (1) (k ) (2) (k 1) 3 3
例2：已知象函数
的逆z变换。 解
9 1 z( z 4z z ) 2 z F ( z) 1 ( z )( z 1)( z 2)( z 3) 2
即序列x(n)从n1到n2的序列值不全为零，此范围之外序列 值为零，这样的序列称为有限长序列。其Z变换为
X ( z ) x (n) z n
n n1
n2
X ( z ) x ( n) z n
n n1
n2
设x(n)为有界序列，由于是有限项求和，除0与∞两 点是否收敛与n1 、n2 取值情况有关外，整个z平面均收 敛。如果n1<0，则收敛域不包括∞点；如果n2>0，则收 敛域不包括z=0点；如果是因果序列，收敛域包括z=∞ 点。具体有限长序列的收敛域表示如下： n1<0, n2≤0时，0≤|z|<∞
第三章--Z变换(数字信号处理)
综合以上二步可得 x(n) anu(n)
例 3.7已知 换x(n)。
第三章 序列的Z变换
X (z)
1 a2 (1 az)(1 az1) ,
a
1，
求其反变
解： 该例题没有给定收敛域， 为求出唯一旳原序 列x(n)， 必须先拟定收敛域。 分析X(z)， 得到其极点 分布如图3.5所示。 图中有二个极点z=a和z=a-1， 这么 收敛域有三种选法， 它们是
n n1
设x(n)为有界序列， 因为是有限项求和， 除0与∞
两点是否收敛与n1、 n2取值情况有关外， 整个z平面均 收敛。 假如n1<0， 则收敛域不涉及∞点； 如n2>0， 则 收敛域不涉及z=0点； 假如是因果序列， 收敛域涉及
z=∞点。 详细有限长序列旳收敛域表达如下：
第三章 序列的Z变换
第三章 序列的Z变换
n 0, x(n) Re s[F (z), a] Re s[F (z), a1]
a(
(1 a2 z a)(
)zn z
a
1
)
(
z
a
)
za
(1 a2 )zn a(z a)(z a1) (z
a1)
z a 1
an (an ) an an
最终将x(n)表达成
nn1
nn1
n0
第一项为有限长序列， 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜ ∞。 第二项为因果序列， 其收敛域为Rx-<|z|≤∞， Rx是第二项最小旳收敛半径。 将两收敛域相与， 其收 敛域为Rx- <|z|<∞。 假如x(n)是因果序列， 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)旳Z变换旳收敛域包括∞点，则x(n) 是因果序列
z变换公式
z变换公式什么是z变换z变换是一种离散信号处理中常用的数学工具，用于描述数字信号在复平面上的变换。
它通过将离散时间序列转换为连续时间函数，可以对离散信号进行频域分析和滤波等操作。
z变换的定义如下：假设x[n]是一个离散时间序列，其中n为整数，z为复平面上的变量。
那么x[n]的z变换X(z)定义为：X(z) = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] * z^(-n)其中，∑表示求和，x[n]表示离散时间序列的值，z^(-n)表示z的幂次方。
z变换的性质z变换具有多种性质，这些性质对于分析和操作离散信号非常有用。
以下是一些常见的z变换性质：如果x1[n]和x2[n]是两个离散时间序列，a和b是常数，那么有：a * x1[n] +b * x2[n] 的z变换为 a * X1(z) + b * X2(z)其中，X1(z)和X2(z)分别为x1[n]和x2[n]的z变换。
位移性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - n0]的z变换为 z^(-n0) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行向右或向左位移，相当于在z变换域中乘以一个因子 z^(-n0)。
延迟性质如果x[n]的z变换为X(z)，那么x[n - 1]的z变换为 z^(-1) * X(z)。
这个性质表示，对离散时间序列进行一阶延迟，相当于在z 变换域中乘以一个因子 z^(-1)。
如果x[n]的z变换为X(z)，那么a^n * x[n]的z变换为X(z/a)。
这个性质表示，对离散时间序列进行放缩操作，相当于在z 变换域中对变换函数进行放缩。
z变换的逆变换类似于傅里叶变换，z变换也有逆变换，可以将频域函数逆变换回时域函数。
如果X(z)是一个z变换，那么其逆变换x[n]可以通过下面的公式计算：x[n] = (1/2πj) * ∮(C) X(z) * z^(n-1) * dz其中，∮(C)表示沿着包围复平面单位圆的逆时针方向进行积分，j表示虚数单位。
z变换知识点总结
z变换知识点总结一、引言在信号处理领域中，z变换（Z-transform）是一种重要的数学工具，用于分析和处理离散时间信号。
与连续时间信号相对应的拉普拉斯变换用于处理连续时间信号，而z变换则用于处理离散时间信号。
z变换可以将离散时间信号转换为复变量域中的复数函数，从而更容易地进行信号分析和处理。
本文将对z变换的基本概念、性质、逆z变换、收敛域、z变换与拉普拉斯变换的关系以及在数字滤波器设计中的应用等知识点进行总结和讨论。
二、z变换的基本概念1. 离散时间信号的z变换对于一个离散时间信号x[n]，其z变换定义如下：X(z) = Z{x[n]} = ∑(n=-∞ to ∞) x[n] z^(-n)其中，z是一个复数变量，n为离散时间序列，x[n]是每个时间点上的信号值。
2. z变换的双边z变换和单边z变换双边z变换定义在整个序列上，包括负无穷到正无穷的所有时间点。
而单边z变换定义在0和正无穷之间的时间点上，通常用于信号的因果系统的分析。
3. z域表示z变换把离散时间信号的时域表示转换为z域表示。
z域是复平面上的一种表示，其中z = a + jb，其中a为实部，b为虚部。
z域表示包含了离散时间信号的频率、相位和幅值信息。
三、z变换的性质1. 线性性质类似于连续时间信号的拉普拉斯变换，z变换也具有线性性质，即对于任意常数a和b，有Z{a x1[n] + b x2[n]} = a X1(z) + b X2(z)。
这意味着z变换对于信号的线性组合保持封闭性。
2. 移位性质类似于连续时间信号的移位特性，z变换也具有移位性质，即Z{x[n-k]} = z^(-k) X(z)，其中k是任意常数。
这意味着z变换对于离散时间信号的时移操作具有相应的变换规律。
3. 初值定理和终值定理z变换有类似于连续时间信号的初值定理和终值定理。
初值定理表示当n趋向负无穷时，z变换为Z{x[0]}。
终值定理表示当n趋向正无穷时，z变换为Z{x[∞]}。
信号的拉普拉斯变换和z变换
⎰∞∞--=t e t f s F st b d )()(⎰∞--=0def d e )()(t t f s F st)(d e )(j 21)(j j deft s s F t f st επσσ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰∞+∞-第三章信号的拉普拉斯变换和z 变换一、拉普拉斯变换的定义1.双边拉普拉斯变换只有选择适当的σ值才能使积分收敛，信号f(t)的双边拉普拉斯变换存在。
※象函数相同，但收敛域不同。
双边拉氏变换必须标出收敛域。
2.单边拉氏变换3.常见函数的拉普拉斯变换及其⎰∞+∞-=j j d e )(j21)(σσπs s F t f st b Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数），f(t)称为Fb(s)的双边拉氏逆变换（或原函数）。
从0-开始收敛域二、拉普拉斯变换性质线性性质尺度变换证明：[]⎰∞--=de)()(tatfatf L st，则令atτ=时移特性与尺度变换相结合复频移（s域平移）特性时域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,则f’(t)←→sF(s)–f(0-)证明：()()()())(deedessFfttsft ftt f ststst+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='--∞-∞---∞-⎰⎰推广：()()[])0()0()()0(d)(d22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡fsfsFsffsF sttfL∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1)(1)0()(d)(d nrrrnnnfssFsttfL若f1(t)←→F1(s)Re[s]>σ1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>σ2则a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(σ1,σ2)若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0，且有实数a>0，则f(at)←→)(1asFa若f(t)<----->F(s),Re[s]>σ0,且有实常数t0>0,则f(t-t0)ε(t-t0)<----->e-st0F(s),Re[s]>σ0若f(t)←→F(s),Re[s]>σ0,且有复常数s a=σa+jΩa,则f(t)e s a t←→F(s-s a),Re[s]>σ0+σas-→2：?)(sin ←→t t t ε=三、拉普拉斯逆变换三种方法：（1）查表（2）利用性质（3）部分分式展开-----结合∴......,,321为不同的实数根，n p p p p nn p s K p s K p s K s F -++-+-= 2211)(ip s i i s F p s K =-=)()()(e ]1[1t p s L t p i i ε=--若象函数F(s)是s 的有理分式，可写为1110111.......)(a s a s a s b s b s b s b s F n n n m m m m ++++++++=----若m ≥n （假分式）,可用多项式除法将象函数F(s)分解为有理多项式P(s)与有理真分式之和。
z变换通俗理解
z变换通俗理解摘要：1.Z 变换的定义与背景2.Z 变换的性质3.Z 变换的应用领域4.Z 变换与其他变换的关系5.Z 变换的局限性及发展前景正文：Z 变换是一种在控制工程、信号处理等领域广泛应用的数学变换方法。
它可以将时域信号转换为频域信号，从而更好地分析和处理信号。
1.Z 变换的定义与背景Z 变换是一种拉普拉斯变换的广义形式，用于解决离散时间信号的处理问题。
Z 变换的基本思想是将离散时间信号转换为一个复变量函数，使得该函数在复平面上具有解析性。
2.Z 变换的性质Z 变换具有以下几个重要性质：（1）线性性：Z 变换满足线性组合的性质；（2）可逆性：存在逆Z 变换，可以将频域信号转换回时域信号；（3）移位性：Z 变换结果与原始信号的移位关系；（4）尺度变换性：Z 变换结果与原始信号的尺度变换关系。
3.Z 变换的应用领域Z 变换在控制工程、信号处理、通信系统等领域具有广泛应用。
例如，在控制系统稳定性分析、数字滤波器设计、信号调制与解调等方面，Z 变换都是重要的分析工具。
4.Z 变换与其他变换的关系Z 变换与傅里叶变换、拉普拉斯变换等数学变换方法有密切关系。
Z 变换可以看作是离散时间信号的拉普拉斯变换，而傅里叶变换则是连续时间信号的拉普拉斯变换。
在一定条件下，Z 变换可以转换为傅里叶变换或拉普拉斯变换。
5.Z 变换的局限性及发展前景尽管Z 变换在许多领域具有广泛应用，但它仍然存在一些局限性，如对于非线性系统、非平稳信号的处理能力较弱。
为了解决这些问题，研究者们不断提出新的变换方法，如W 变换、H 变换等。
《z变换的性质》课件
z变换在信号处理中的应用
01
z变换在信号处理中有广泛的应用，例如系统分析和设计、滤波 器设计、频谱分析等。
02
通过分析系统的z变换特性，我们可以了解系统的频率响应和稳
定性，从而优化系统的性能。
详细描述
微分性质描述了信号的一阶导数对z变换结果的影响。在信号处理中，微分性质可以用来分析和处理信号的导数 ，从而更好地理解信号的特性。例如，在控制系统和滤波器设计中，微分性质可以帮助我们设计和分析信号处理 算法。
积分性质
总结词
积分性质是指若信号x(n)进行z变换得到 X(z)，则x(n)的积分进行z变换的结果是 1/(1-z)。
控制工程
在控制工程领域，z变换用于分析和设计控制系统的稳定性、性能指标等，为控制系统设计和优 化提供理论支持。
z变换的应用领域
数字信号处理
在数字信号处理中，z变换用于 频谱分析、滤波器设计、频域信
号处理等方面。
控制系统
在控制系统中，z变换用于系统 稳定性分析、控制器设计、状态
估计等方面。
通信工程
在通信工程中，z变换用于调制 解调、信道均衡、信号检测等方
数学基础
基于复数和离散时间函数的数学基础，z变换通过将离散时 间信号映射到复平面的函数，提供了一种方便的数学工具。
z变换的重要性
系统分析
z变换是分析离散时间系统的基本工具，通过它可以将离散时间系统的动态行为表示为复平面上 的函数，进而分析系统的稳定性、频率响应等特性。
信号处理
在信号处理领域，z变换用于分析离散时间信号的频谱、滤波、调制等处理过程，实现信号的频 域分析和处理。
Z变换
1 1 − ( e - aT z )−1
z = z − e - aT
为一具体的数， a=1， e-aT为一具体的数，若：a=1，T=0.5s 则： z -t Z[e ] = z − 0.606
8
Z变换的查表法 部分分式法) 变换的查表法( 2. Z变换的查表法(部分分式法) 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: 若已知连续函数x(t)的拉氏变换具有下面的形式: x(t)的拉氏变换具有下面的形式
Z [ x ( nT )] =
n
∑
∞
x ( nT ) z − n =
n=0
∑
∞
a n z −n
n=0
z Z [a ] = z−a
|az-1|＜1
10
三、Z变换的性质 1、线性定理 设连续时间函数x (t)及 (t)的 设连续时间函数 1(t)及x2(t)的Z变换分别为 (z)和 (z)，并设a 为常数，则有： X1(z)和X2(z)，并设a1、a2为常数，则有：
Z [ a1 x1 ( t ) ± a2 x 2 ( t )] = a1 X 1 ( z ) ± a2 X 2 ( z )
2、迟后定理 设连续信号x(t)， 时为零，具有Z 设连续信号 (t)，当t＜0时为零，具有Z变换 (t) X(z),x(t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时， (t)在时间上产生 kT迟后时 X(z), (t)在时间上产生k个采样周期kT迟后时，其 表达式为x(t-kT)，则有： x(t) 表达式为 (t-kT)，则有： (t x(t-kT) Z[x(tZ[ (t-kT)]=z-kX(z) (t
Z变换知识点范文
Z变换知识点范文Z变换是其变量为离散信号的连续复平面变换。
它在离散系统分析中扮演着重要的角色，具有广泛的应用。
下面是一些关于Z变换的知识点：1.Z变换的定义：Z变换将一个离散序列表示为复平面上的函数，通过对序列各个元素进行加权求和来定义。
给定一个序列x[n]，它的Z变换为X(z)，表示为X(z)=Z{x[n]}。
2.Z变换的收敛域：Z变换中的收敛域是指Z平面上的有效区域，其中Z变换收敛并且定义良好。
对于一个离散序列x[n]，它的Z变换收敛域由序列的性质决定。
3.常见的Z变换公式：Z变换有一些常见的公式，包括前向差分公式、后向差分公式、Z域的微分公式、Z域的积分公式等等。
这些公式可以用来简化复杂的序列计算，方便分析和设计离散系统。
4.Z域和频域之间的关系：Z变换可以将一个离散序列从时间域转换到Z域，相当于从时域到频域的变换。
在Z域中，可以分析序列的频率响应和系统的稳定性等。
5.Z变换的性质：Z变换具有一些重要的性质，包括线性性质、时移性质、尺度性质、卷积定理等。
这些性质可以用于简化Z变换的计算和分析。
6.倒Z变换：倒Z变换是Z变换的逆变换，将一个函数从Z域转换回时域。
通过倒Z变换可以还原离散序列的时间信息。
7.离散传输函数和Z变换：离散系统可以用传输函数来描述，传输函数是输入和输出之间的关系。
通过Z变换可以得到离散传输函数的Z域表达式，从而进行系统的分析和设计。
8.Z变换在离散系统设计中的应用：Z变换在离散系统设计中有广泛的应用，包括信号滤波、频率域分析、系统稳定性分析等。
通过Z变换，可以方便地进行离散系统的建模和分析。
9.Z变换和傅里叶变换的关系：10.递归和非递归系统的Z变换表示：递归系统和非递归系统在Z域中有不同的表示方法。
递归系统的传输函数是有理多项式，而非递归系统的传输函数是多项式。
总之，Z变换是离散信号处理中的重要工具，可以用来描述和分析离散系统。
通过Z变换，可以方便地进行系统的建模、分析和设计，有助于了解离散信号的频率特性、系统的稳定性等。
数字信号处理z变换
−n
< ∞,
• 所以X(z)在|z|=R上收敛。 • 由此可进一步证明，在R圆以外，即
R<|z|<∞，x（Z）也必收敛。 • 再看第二项，由于n>n2≥0，|Z|>R，因 此|z|-n<R-n，
• 因此
n = n1
∑ x ( n) z
∞
−n
= ∑ x ( n) z
n = n1
n2
−n
+
n = n2 +1
– P60 – P158 2.33 4.1 4.3 4.6
• 2版
– P73 – P103 2.76 3.1 3.3 3.4
3.3 z反变换
• 3.3.1 观察法 • 3.3.2 部分分式展开法 • 3.3.3 幂级数展开法
3.3.1 观察法
• 公式 • z变换
1 a u[ n] ← ⎯→ , −1 1 − az
x[n] = a u[n]
n
X ( z) =
n =−∞
∑ a u[n]z
n
∞
−n
= ∑ (az )
n =0
∞
−1 n
∑ (az
n =0
∞
−1 n
) <∞
– 收敛域
az
−1
<1
收敛域内
1 z z >a = X ( z ) = ∑ (az ) = 1 − az −1 z − a n =0
−1 n ∞
• 零点 0 • 极点 a • 当 a >1
n n
– 利用 例3.1 3.2的结论
1 ⎛ 1⎞ ⎜ − ⎟ u[n ] ↔ 1 −1 ⎝ 3⎠ 1+ z 3 1 ⎛1⎞ − ⎜ ⎟ u [ − n − 1] ↔ 1 −1 ⎝2⎠ 1− z 2
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H ( z)
B( z )
i 0
i
1 bi z
i 1
N
i
X ( z ) A0
i
1 Pz 1 i
步骤：1.求出 X ( z ) 的所有极点 pi ，并展开为部分分式； 2.收敛域是每一部分分式收敛域的公共部分。 3.利用常用变换对和Z变换性质求出每项的反变换。 如果为右边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n) 若为左边序列，则 x(n) A0 (n) Ai Piinu (n 1)
二．Z变换的收敛域（ROC）
收敛域对Z变换是一个重要的概念。序列的Z变换是一幂
级数，
n
x(n) z n 并不一定对任何Z值都收敛，只有当该幂级
数收敛时，Z变换才有意义。
所以Z变换的存在与序列 x(n) 本身及Z值范围都有关系。 由于收敛域的不同，可能代表了不同序列的Z变换，因此为了 单值地确定Z变换所对应的时域序列，不仅要给出序列的Z变 换函数，而且必须同时说明它的收敛域。也就是说，信号的Z 变换与收敛域一起才能构成与时域信号一一对应的关系。 收敛域 — Z平面上那些能使 X ( z )收敛的所有Z值的集合,就构 成了 X ( z )的收敛域，用“ROC”表示。
结 论：
1）Z变换存在着收敛的问题，不是任何信号都存 在Z变换，也不是任何复数Z都能使 X ( z ) 收敛。 2）仅仅由 X ( z )的表达式不能唯一确定一个信号，
只有 X ( z )连同相应的ROC一道，才能与信号建 立一一对应的关系。
3）Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的 环形区域。
n
n
1 b u ( n) , z b 1 1 bz
n
1 b u (n 1) , z b1 1 b1 z 1
n
在 b 1 时，两部分收敛域无公共部分，表明 此时 X ( z )不存在。
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
0 b 1 时，ROC为 b z 1/ b
使得级数一致收敛的充分必要条件是:
n
x ( n) z n
Z变换的ROC，一般是Z平面上以原点为中心的环形区域。
Rx Z Rx ,
Rx 、Rx
称为收敛半径。收敛半 径与序列有密切关系， 对于不同形式的序列其 收敛域不同。
x ( n) a n u ( n) 例1:
极点：z a (一阶)
z 0 (N-1阶)
z 零点： ae
j
2 k N
(k 0,1 N 1)
ROC : z 0
3.左边序列
左边序列 x(n) 只在 n n2 时有值， n2 时， (n) 0 。 x n 左边序列的Z变换为：
X ( z)
左边序列的Z变换的收敛域一定位于最内部极点的内部， 其收敛域为：
4）如果 x(n) xi (n) ，则其ROC是各个 xi ( n) 的 ROC的公共区域。如果没有公共区域则表达式
i
x(n)的Z变换不存在。
5）当 X ( z ) 是有理函数时，其ROC的边界总是由
X ( z ) 的极点所在的圆周界定的。
6）若 X ( z ) 的ROC包括单位圆，则有
X (e ) X ( z ) |z e j
例2．有一序列的Z变换为
X ( z) 11 7 z 1 z 2 6 5 z 1 z 2
11 7 z 1 z 2
1 2
|z|>1
求：X(z)的反变换 x(n) 。 解：X ( z )
6 5z z ( 2 z 1 )(3 z 1 ) 1 1 1/ 2 1/ 3 1 1 1 1 2 z 1 3 z 1 1 z 1 1 z 1 2 3
第三章
z变换
Z变换是分析离散系统的一个极为重要的数学工具。在连 续时间信号与系统中，频域分析用傅立叶变换,复频域分析用 拉普拉斯变换，而在离散时间信号与系统中，序列的傅立叶 变换用以进行频域分析,而Z变换则主要是进行复频域分析。
§2.2 Z变换的定义与收敛域
一．Z变换的定义
序列 x(n) 的Z变换定义为
1
c
X ( z )Z n 1dz ,
c ( Rx , Rx )
式中积分表示对X(z)Zn-1进行的围线积分，积分路径C是一 条在X(z)收敛域 ( Rx , 围线，如图所示:
Rx )以内，逆时针环绕原点一周的单
反变换的求取方法： 1. 部分分式展开法： 当 X ( z )是有理函数时, a z Ai A( z )
解： 因为H(z)的ROC是最外边极点的圆的外边，所以它的 单位脉冲响应h(n)是右边序列。为了确定是否是因果的， 我们可以利用因果性所要求的其它条件来检验。 把H(z)表示成两个多项式之比
H ( z) 2z2 5 z 2
z 2
z2
5 z 1 2
解法一：H(z)是Z的有理函数，其分子分母阶次都是2， 因此该系统是因果的。反之，如果H(z)分子的阶次高于分 母的阶次，则该系统是非因果的。
j
对于不同形式的序列其收敛域不同。下面我们结合一些 典型情况讨论Z变换的收敛半径与序列的关系：
1. 有限长序列 x(n)
x ( n) x ( n) 0
n1 n n2 n n1 , n n2
其Z变换为 X ( z )
1 nn
n2
x(n) z n x(n1) z n1 x(n2 ) z n2
A 1 az 1 a 2 z 2 (az 1 ) n A X ( z) z a X(z)的封闭形式 1 1 az
收敛域指在这个范围内表达式是解析的。
1 例3： x(n) [u (n) u (n 8)] 3
8 n
例3. X ( z )
1 1 1 (1 z )(1 2 z 1 ) 3 极点： z1 1 3 , z2 2
零点： z 0 （二阶）
在有限 Z平面上极点 总数与零点总数相同
若其ROC为： 1 z 2 则 x ( n)为右边序列,且是因果的,但其傅氏 变换不存在。 2 z 1 3 时x (n) 是左边序列,且是反因果的,其傅 氏变换不存在。
n
n2
x ( n) z n
n
0
x ( n) z n x ( n) z n
n 1
n2
0 z Rx
左边序列 的收敛域
4.双边序列
双边序列可看作左边序列和右边序列之和，其Z变换为：
X ( z)
n
x ( n) z
n
x ( n) z
1 ROC : z 2 2
对双边序列， X ( z ) 的ROC是Z平面上一个以 原点为中心的圆环。
[注意]
( 左边序列从 , 1)
右边序列从(0, )
比较例1和例2，它们的Z变换完全一样，只
是收敛域不同，所以对应的时域序列不同。因 此，Z变换与收敛域一起才能构成与信号一一对 应的关系。 X ( z ) 的表达式再结合ROC一起才能 唯一的确定信号。
X ( z)
n
x ( n) z n
其中 z re j 是复变量,它所在的复平面称为Z平面。以上 定义的变换称为双边Z变换，另外一种称为单边Z变换。
单边Z变换求和限从零到无穷大，单边Z变换定义为：
X ( z ) x ( n) z n
n 0
在大多数情况下，我们可以把 x(n) 的单边Z变换看作是因果 序列 x(n)u (n) 情况下的双边Z变换。因此，除了用Z变换解 差分方程需要考虑序列的初始条件时要用单边Z变换外，以 下我们都只考虑双边Z变换。
i 1
N
i 1
若为双边序列，则由左边序列和右边序列相加而得到。
例1： X ( z )
5 1 3 z 6
1 1 1 1 (1 z )(1 z ) 4 3 1 2 X ( z) 1 1 1 1 1 z 1 z 4 3
1 1 z 4 3
1 n 1 n x(n) ( ) u (n) 2( ) u (n 1) 4 3
n n 1
1
a 1 z 1 1 1 a z 1 az 1
z a
1 n x(n) ( ) u (n) 2n u (n 1) 例3. 2
1 n n 1 n n X ( z) ( ) z 2 z n0 2 n 1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2
收敛域是 Rx z
。
右边序列不一定是因果序列，只有在 n1 0 时，ROC包 含 z 点时才是因果序列。因此，因果序列的收敛域一 定包括 z 点。 因果序列的收敛域为：
Rx z
z 2
例1．考虑一系统，其中 H ( z)
1 1 1 1 1 2 z 1 1 z 2 判断其是否为因果系统？
X (z )是有限项级数之和，只要级数的每一项有界， 这个级数就收敛。显然，有限长序列的收敛域是除了 Z=0及 z 两点外的有限Z平面。即: 0 z
n 如果 n1 、 2 选择不同，收敛域可以进一步扩展。
当 n1 0, n2 0 时,
0 z
当 n1 0, n2 0 时,
1 3
j 2 K 8
8个零点
j Im[ z ]
z0 z
1 3
7阶重极点
一阶极点
Re[z ]
例4. x(n)
N 1 n 0