z变换的定义和收敛域

——电子信息工程 电子信息工程
（4）.双边序列 双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。 x(n)皆有值的序列 双边序列是指n为任意值时x(n)皆有值的序列。
X (z) =
n= −∞
x ( n) z − n = ∑
∞
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n= 0
| z |>| a |
——电子信息工程 电子信息工程
（3）.左边序列
x x 左边序列： n ≤ n2时， (n) 有值，在 n > n2时， ( n) = 0 左边序列： 当 有值，
X (z) =
n= −∞
∑ x ( n) z
n2
−n
=
n= −∞
x ( n ) z − n + ∑ x ( n) z − n ∑
n =1
0
n2
第一项收敛域为以 Rx + 为半径的圆环内部 第二项收敛域为除0 第二项收敛域为除0点和∞ 点以外的 z 平面 所以， 所以，左边序列的收敛域为 特殊情况： 特殊情况： 当 n2 ≤ 0 时
0 <| z |< R x +
j Im[z ] Rx + Re[z ]
0 ≤| z |< Rx +
（2）.右边序列
x x 右边序列： n ≥ n1时， (n) 有值，在 n < n1时， ( n) = 0 右边序列： 当 有值，
X (z) =
n= n1
∑ x ( n) z
∞
−n
=
n = n1
∑ x ( n) z
−1
−n
+ ∑ x ( n) z − n
n=0
∞
第一项收敛域为除0点和∞ 点以外的 z 平面 第一项收敛域为除0 第二项收敛域为以 Rx − 为半径的圆环外部 所以， 所以，右边序列的收敛域为 Rx − <| z |< ∞ 特殊情况： 特殊情况： 当 n1 ≥ 0 时
z z X (z) = + z−a z−b
| a |<| z |<| b |
——电子信息工程 电子信息工程 3.典型序列z 3.典型序列z变换 典型序列
(1) x( n) = δ ( n) ⇒ 1, 任意z
1 ( 2) x ( n) = u( n) ⇒ , |z|>1 −1 1− z 1 ( 3) x( n) = u( − n − 1) ⇒ , |z|<1 −1 1− z 1 n (4) x ( n) = a u( n) ⇒ , |z|>|a| −1 1 − az 1 n (5) x ( n) = a u( − n − 1) ⇒ , |z|<|a| −1 1 − az 1 − z−N ( 6 ) x ( n ) = RN ( n ) ⇒ , |z|>0 −1 1− z
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第二章 离散系统的变换域分析
——电子信息工程 电子信息工程
f
u(t )
t
0
——电子信息工程 电子信息工程
主要内容： 主要内容： • z变换及其收敛域 • 部分分式展开法求z反变换 部分分式展开法求z • z变换的主要性质 • 离散系统的系统函数和频率响应 • 系统函数与差分方程的关系 • 线性时不变系统的基本结构
0
收敛域为以 Rx + 为半径的圆环内部
——电子信息工程 电子信息工程
例： 求序列 x ( n) = − b nu( − n − 1) 的 z 变换及收敛域 解： X ( z ) =
∞ −1
∞ ∞
n = −∞
∑ x ( n) z
−n
= − ∑b z
∞
n −n
n= −∞
= −∑ b z = 1 − ∑ b−n z n
——电子信息工程 电子信息工程
例： 求序列 x( n) = a n u( n) − b n u( − n − 1) 的 z 变换及收敛域 解： X ( z ) =
n = −∞
x ( n) z − n = ∑ a n z − n − ∑
n=0
∞
∞
n = −∞
bn z −n ∑
−1
若有 | a |<| b |
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z变换与 变换与z 2.1 z变换与z逆变换
z变换的定义与收敛域 2.1.1 z变换的定义与收敛域 1.z变换的定义 1.z变换的定义
序列 x (n) 的 z变换定义为： 变换定义为：
X(z) = Ζ[ x(n)] =
n=−∞
x(n)z−n ∑
∞
称为正变换
其中z 是复变量，所在的复平面称为z 其中z 是复变量，所在的复平面称为z平面
j Im[z ] Rx −
Rx − <| z |≤ ∞
Re[z ]
0
收敛域为以 Rx − 为半径的圆环外部
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对因果序列 其 z 变换 有 n1 = 0
X ( z ) = ∑ x ( n) z − n
n= 0
∞
因果序列的另 一个判别依据
收敛域包含无穷远点
R x − <| z |
例： 求序列 x ( n) = a n u( n) 的 z 变换及收敛域 解： X ( z ) =
n= −∞
x ( n) z − n = ∑ a n z − n ∑
∞
n= 0
∞
∞
a a n z − n 收敛 当 | |< 1 时，级数 ∑ n=0 z ∞ 1 z n −n X ( z) = ∑ a z = −1 = 1 − az z−a n= 0
3. 序列类型与收敛域
（1）. 有限长序列 之内，序列具有非零的有限值。 在有限区间 n1 ≤ n ≤ n2 之内，序列具有非零的有限值。 故对
X ( z) =
n= n1
x ( n) z − n ∑
n2
有
ROC
0 <| z |< ∞
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满足一定条件时， 当 n1 , n2 满足一定条件时，收敛域还可以进一步扩大
1 0 ≤ n ≤ N − 1 例： x ( n ) = = RN ( n) 0 其它
由于对所有 n ，均有n ≥ 0
X ( z) = ∑ z
n= 0
N −1
−n
1 − z−N = 1 − z −1
| z |> 0
j Im[z ]
Re[z ]
故收敛域为除 z = 0 外的整个 z 平面
0
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——电子信息工程 电子信息工程 作业： 作业：2－1(1),(2),(3)
−n n n =1 n=0
z b − n z n 收敛 当 | |< 1 时，级数 ∑ n=0 b ∞ 1 z −n n X ( z) = 1 − ∑ b z = 1 − = −1 1− b z z−b n= 0
注意： 注意：
| z |<| b |
左边序列和右边序列具有相同的z变换形式， 左边序列和右边序列具有相同的 变换形式， 变换形式 但收敛域不同。 但收敛域不同。
−1
∞
第一项为左边序列，其收敛域为 第一项为左边序列， 第二项为右边序列， 第二项为右边序列，其收敛域为 当满足
| z |< Rx − Rx + Re[z ]
Rx − < Rx +
双边序列收敛域为 Rx − <| z |< Rx +
0
介于 Rx − 和 R x + 之间的环状区域
——电子信息工程 电子信息工程 2.z变换的收敛域 2.z变换的收敛域
z变换是一个无穷级数，级数收敛的充要条件是满足绝对可和 变换是一个无穷级数，
∞
n= −∞
| x ( n) z − n | = M < ∞ ∑
对于任意给定序列 x (n)，使其 z 变换 X ( z ) 收敛的所有 z值的 的收敛域（ROC）。 集合称为 X (z ) 的收敛域（ROC）。