Z变换的定义与收敛域

x( n) a n u n 1
n 1
n2 = -1
Rx 2 1 1 | a | n limn | x( n) | limn | a | n
n
z X z za
RO C ：| z | | a |
例3
Rx 2
n2 0 x ( n ) 1 n n2 2
第6章 z变换, 离散系统 的z域分析
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算 机的研究和实践，推动了z变换的发展； •20世纪70年代引入大学课程； •主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理 等问题。
n1 n n n2
2．右边序列的收敛域
x ( n ) a u n
3．左边序列的收敛域
n
x ( n ) a u n 1
4．双边序列的收敛域
x n b
n
n b 0
3、 几类序列收敛域情况讨论
（1）有限长序列
X (z)
n1 < 0, n2 ≤ 0 n1 < 0, n2 > 0 n1 ≥ 0, n2 > 0
n 0

n
单边z变换
ze
sT
z 为复数: z＝Re(z)+jIm(z)= |z| ejarg(z)
（二） z变换的收敛域
1、收敛域的定义
对于任意给定的有界序列 x(n)，能使级数X ( z ) x( n) z n
n
收敛的所有 z 值之集合。即满足下式的区域：
n
x(n) 0, n n1
X (z)
n n1 n x ( n ) z
利用根值判定法
若 l imn | x( n) z n | 1 成立，则X(z)收敛
n
| z | l i mn | x( n) | R x 1
n
n1 < 0, Rx1< |z| < ∞ n1 ≥ 0, Rx1 < |z|
使用z变换工具的好处
代数方程 差分方程
Z变换
可以将时域卷积 z 域乘积
连续时间系统 离散时间系统 拉普拉斯变换 Z变换
本章主要讨论：
Z变换的定义 收敛域 性质 与傅氏变换和拉氏变换的关系 利用z变换解差分方程 利用z平面零极点的分布研究系统的特性

§6.1
n0 n0
1 Rx 1 , Rx 2 2 3
j Im(z )
1 z 2 ROC: 3
1/3 2
0
Re(z )
4、 单边 z变换的收敛域
X ( z ) x ( n) z n
n 0
∴ 单边z变换的ROC跟因果序列一样，为：
n | x ( n) | |z| >Rx1 lim n

x(nT )e snT (0)dt x(nT )e snT
n 0 0 n 0


X s ( s ) x ( nT )e snT
n 0

其中
s σ jω

引入复变量
z e sT ， 为连续变量 ，将x nT 表示为x n
X s ( s ) |z e sT x ( n ) z n X ( z )
右边序列 左边序列
x1 ( n ) 0, n 0; x1 ( n ) x ( n ), n 0 x 2 ( n ) 0, n 1, x 2 ( n ) x ( n ), n 1
n n x ( n ) z X1(z) X 2 (z) 1
n n
X (z)
n
x ( n) z n

，
n


x ( n) z n
n a lim n 令： n
则： <1：收敛 >1：发散 =1：可能收敛也可能发散
3、 几类序列收敛域情况讨论
1．有限长序列的收敛域
x ( n ),
n
n1 n n2
5、 X(z) 零 极点 及其与收敛域的关系

零点
使X(z)取值为0的z

极点
使X(z)取值为无穷大的z

极点均落在收敛域之外
总
结
有限长序列的 ROC 为整个 z 平面（可能除去 z=0 和 z=） ；
n1<0 右边序列的 ROC 在半径为 Rx1 的圆外(可能除去 z=， ） ； n2>0 左边序列的 ROC 在半径为 Rx2 的圆内(可能除去 z=0） ；
n2 = 2
1 limn | x( n) |
n
1 1 limn n 2
n
2
j Im( z )
RO C ：0 | z | | 2 |
半径为2的圆内，不包括原点
0
2
Re( z )
（4）双边序列
x(n), n
x(n) x1 (n) x2 (n)
z , | z || a | za

( a )z
n
1
n
[ (az ) 1] (a 1 z ) n 1
1 n n n 0
0
1 z X 2 ( z ) ( )1 , 1 1 a z za
(z a)
不同序列，可能对应于相同的 z 变换，但具有不同的收敛域， 故在确定 z 变换时，必须指明收敛域。
z变换的定义与收敛域
z 变换的定义
z 变换的收敛域
典型序列的z 变换
《信号与系统》
BUPT EE
§6.1

z变换的定义与收敛域
z 变换的定义——两种定义方式：
借助抽样信号的拉氏变换引出
直接对离散时间信号给出z变换定义
z变换的导出
抽样信号的拉氏变换→离散信号的z 变换
x( t ) xs ( t )
z X z za
当a e ， 则
b
z b ZT e u( n) z e ， z eb ，
bn
j 0 n


当a e
j0
对 xs ( t ) 取拉氏变换
n 0
n 0
X s ( s ) Lxs (t ) L x ( nT ) (t nT ) n 0
X s s L[ x(nT ) (t nT )] x(nT ) e
n 0 n 0


snT
证明： (略) X s ( s ) [ x(nT ) (t nT )]e st dt
0 n 0
改变积分与求和顺序 x(nT ) (t nT )e st dt
n 0 0
x(nT ) (0)e snT dt
n 0 0
n 0
单边z变换 对任一信号x ( n )的（双边）z变换式为
X (z)
n n x ( n ) z
双边z变换
（一） z 变换的定义
任一信号x(n) 的z变换定义为：
X (z)
n x ( n ) z ZT[ x( n)]
n
双边z变换
X ( z ) x ( n) z
x ( 2) z 2 x ( 1) z 1 x (0) z 0
z 常数
x (1) z 1 x ( 2) z 2 x ( 3) z 3
z 0
所以，收敛域为 0 z 的z平面。
（2）右边序列
X ( z ) x ( n )z n
n 0
X1(z)的ROC：|z| >Rx1 X2(z)的ROC：|z| < Rx2
X(z)的ROC：Rx1<|z|< Rx2
前提
双边序列的收敛域是内径为 Rx1,外径为 Rx2 的环形部分
例8-4
1 n ( 3 ) x ( n) n 1 2
பைடு நூலகம்
例2
1 n x ( n ) 3 0
n0 n0
n1 = 0
1 1 ROC： z 3 ，半径为 3 的圆外，包括无穷大。
z平面
j Im( z )
1
3
0
Re( z )
ROC
（3）左边序列
x(n) 0, n n2
X (z)
n n x ( n ) z
j Im( z )
z 1，
z z 1
ROC: z 1
收敛域： 右边序列圆外的区域
1 0
Re( z )
3、指数序列
x( n) a u( n)
n
n
右边 序列
X (z) a z
n 0

n n
z , | z || a | za
z a
左边 序列
x n a u n 1
ROC:整个 z 平面
ZT[ (n m)] z
m
2、单位阶跃序列的z变换
1 u( n) 0
X (z)

u( n)
n0 n0

1 10 1 2 3
L
n
n
n n u ( n ) z z n 0
X ( z ) 1 z 1 z 2 z 3 L
n1 < 0, n2 ≤ 0
0≤ |z| < ∞
0 < |z| < ∞
n2 3 n1 ≥ 0, n2 > 0
n2 3 n n1 n 2
n1 < 0, n2 > 0
0 < |z| ≤ ∞
n n = 0 n ≤ |z| ≤ ∞ xn X ( z) (1 n= )z0, 2 x ( n) z 0
2、级数收敛判定方法 （1） 比值判定法
对一个正项级数 n
设 lim n
a n1 an

X (z)
n
x ( n) z n

n


x ( n) z n
an
，
则： <1：收敛 >1：发散
=1：可能收敛也可能发散
（2） 根值判定法
a 对一个正项级数
A/ D
x k (n) 数字滤 波器
x n
g k ( n)
g( t )
D/ A
p( t )
xs t x nT t nT
O
T 2T
t

O
1 2
n

x s ( t ) x ( t ) T ( t ) x (t ) (t nT ) x ( nT ) (t nT )
双边序列的 ROC 是 Rx1< |z| < Rx2 的圆环。 ROC 内不包含任何极点（以极点为边界） ；
（三） 典型序列的z变换
1、 单位样值函数的z变换
1 ( n) 0
X (z)
( n)
1 1 0 1
n
n0 n0
n
n
( n) z

(0) z 0 1

n2
令：m = - n
X (z)
m n2
x(m)z

变量替换
m
X (z)
n n2
n x ( n ) z
1 | z | Rx 2 n lim | x( n) |
n
n2 ≤ 0, |z| < Rx2 n2 > 0, 0 < |z| <Rx2
左边序列的收敛域是半径为 Rx2 的圆内部分
n2 n n1
x(n),
n x ( n ) z
n1 n n2
0≤ |z| < ∞ 0 < |z| < ∞ 0 < |z| ≤ ∞
n1
n2
n1
n2
n1 = 0, n2 = 0
0 ≤ |z| ≤ ∞
n1
n2
有限长序列的收敛域至少为 0 < |z|n1 < ∞。 n2
例
n1 2,


x ( n) z n
充要条件
ROC:Region of convergence
例：求下列2个序列的z变换,并指出其收敛域
x1 (n) a u(n)
n
X1 ( z) a z
n 0

n n
x 2 n a n u n 1 X 2 (z)
n
右边序列的收敛域是半径为 Rx1 的圆外部分
因果序列是右边序列的特例，n1＝0 如
x(n) a n un
n1 = 0
0 n
Rx1 limn | x(n) | limn | a n | | a |
n n
z X z za
RO C ：| z | | a |