小学奥数平面直线型几何知识汇总
小学直线几何知识点总结
小学直线几何知识点总结直线几何知识在小学阶段是数学学习的重要基础，涉及到线段、角度、平行线、垂直线等概念，对于学生的数学思维能力和几何观念的形成起着关键作用。
下面我将对小学阶段的直线几何知识点进行总结，以便帮助学生更好地掌握这些知识。
一、线段1. 线段的定义线段是由两个端点和端点之间的所有点组成的，是一条有限长度的直线。
2. 线段的表示方法在数学上，线段通常用符号“AB”来表示，其中A和B分别为线段的两个端点。
3. 线段的测量测量线段的方法是用尺子或其他测量工具测量线段的长度。
4. 线段的比较比较两个线段的长度时，可以用尺子等测量工具进行比较，也可以用数学方法进行比较，如利用大小关系符号进行比较。
二、角度1. 角度的定义角度是由两条射线或两条直线共同端点组成的几何图形。
2. 角度的表示方法常用的表示方法有角度符号“∠”，如∠ABC表示角A、B、C所组成的角。
3. 角度的测量测量角度的方法是用量角器或者其他测量工具进行测量。
4. 角度的种类根据角度的大小和位置，角可分为钝角、直角、锐角等不同类型。
5. 角度的构成方法角度可以由直线、平行线、垂直线等形成，可以通过角平分线、垂径等方法进行构造。
三、平行线1. 平行线的定义平行线是指在同一平面上的直线，它们的方向相同，不会相交。
2. 平行线的判定方法平行线的判定方法有通过角度、比例、距离等方法进行判定。
3. 平行线的性质平行线之间的距离相等，它们之间的夹角相等，对应角相等等性质。
四、垂直线1. 垂直线的定义垂直线是指两条直线相交成直角的情况。
2. 垂直线的判定方法两条线段或直线构成直角时，就可以判定它们是垂直线。
3. 垂直线的性质垂直线之间的夹角为直角，它们之间的距离可以通过勾股定理进行计算。
五、直线几何的应用1. 直线几何在日常生活中的应用直线几何在日常生活中有许多应用，比如建筑、地图、家具制作等，都离不开直线几何的知识。
2. 直线几何在其他学科中的应用直线几何不仅在数学中有应用，在物理、化学等其他学科中也有许多应用，比如测量、实验设计等都需要直线几何的知识。
小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-5星题(含解析)
几何-直线型几何-鸟头模型-5星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。
•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。
$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\timesAE)$几何-直线型几何-鸟头模型-5星题-出门考姓名成绩 1. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．2. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．3. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．4. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？5. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．6. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．7. 如下列图所示，正方形PQRS有三个顶点分别在三角形ABC的三条边上，且BQ=QC．求出正方形PQRS的面积．8. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？9. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．10. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD 的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．11. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？。
小学奥数五年级经典讲义之第一讲直线型面积的计算
第一讲 直线型面积的计算内容概述前三讲我们将针对几何部分进一步学习提高！首先，让我们一起来回顾一些基本知识！我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形。
我们的面积及周长都有相应的公式直接计算。
如下表：对于不规则图形的面积及周长计算，我们大都是由规则图形转化而来的！在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：① 等底等高的两个三角形面积相等．②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，ACD ∆和BCD ∆夹在一组平行线之间，且有公共底边CD 那么BCD ACD S S ∆∆=；反之，如果BCD ACD S S ∆∆=则可知直线AB 平行于CD 。
这节课我们将通过例题学习到几个很重要的定理结论！同学们注意做好笔记啊！例题精讲【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成（1）2个面积相等的三角形；（2）3个面积相等的三角形；（3）4个面积相等的三角形。
分析：（1）如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形；（2）如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一；（3）如下图，答案不唯一，以下仅供参考；前四种答案学生都容易得到，在这里我们需要特别说明的是第五个答案，请看例2 。
【例2】在学习三角形时，很多同学都听说过中位线，所谓中位线就是三角形两边中点的连线。
如右图所示，D、E、F分别是AB、AC、BC边的中点，根据定义可知DE、DF、EF就是三角形ABC的中线。
那么请你说明：（1）DE与BC平行（2）DE= 1/2 BC（3）S△ADE= 1/4 S△ABC分析：（1）在解答一些几何问题时，我们常常需要添加一些辅助线帮助我们分析解决。
如右图（1），连接DC、BE。
因为D、E分别是AB、AC的中点，所以S△BDC=1/2 S△ABC= S△BEC，又因为△BDC与△BEC同用BC做底，根据“内容概述”部分常用结论③可得：DE与BC平行。
小学奥数平面直线型几何知识汇总
平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
小学奥数几何知识点整理【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数⼏何知识点习题与答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇：⼏何图形的认知】【第⼆篇：常见定理】鸟头定理即共⾓定理。
燕尾定理即共边定理的⼀种。
共⾓定理： 若两三⾓形有⼀组对应⾓相等或互补，则它们的⾯积⽐等于对应⾓两边乘积的⽐。
共边定理： 有⼀条公共边的三⾓形叫做共边三⾓形。
共边定理：设直线AB与PQ交与M则S△PAB/S△QAB=PM/QM 这⼏个定理⼤都利⽤了相似图形的⽅法，但⼩学阶段没有学过相似图形，⽽⼩学奥数中，常常要引⼊这些，实在有点难为孩⼦。
为了避开相似，我们⽤相应的底，⾼的⽐来推出三⾓形⾯积的⽐。
例如燕尾定理，⼀个三⾓形ABC中，D是BC上三等分点，靠近B点。
连接AD，E是AD上⼀点，连接EB和EC，就能得到四个三⾓形。
很显然，三⾓形ABD和ACD⾯积之⽐是1：2 因为共边，所以两个对应⾼之⽐是1：2 ⽽四个⼩三⾓形也会存在类似关系 三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐是1：2 三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐也是1：2 所以三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐等于三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐，这就是传说中的燕尾定理。
以上是根据共边后，⾼之⽐等于三⾓形⾯积之⽐证明所得。
必须要强记，只要理解，到时候如何变形，你都能会做。
⾄于鸟头定理，也不要死记硬背，掌握原理，⽤起来就会得⼼应⼿。
【第三篇：平⾯图形】1、长⽅形 (1)特征 对边相等，4个⾓都是直⾓的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正⽅形 (1)特征： 四条边都相等，四个⾓都是直⾓的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式 c=4a s=a2 3、三⾓形 (1)特征 由三条线段围成的图形。
内⾓和是180度。
三⾓形具有稳定性。
三⾓形有三条⾼。
(2)计算公式 s=ah/2。
小学奥数几何六大模型及例题
闯关目标
等积变形
一半模型 ○ 鸟头模型
六大模型 ○ 燕尾模型 ○ 相似模型
蝴蝶模型
赛前热身
平面几何是小升初考试的必考内容，而 且常常以大题的形式出现，重点中学选 拔考试中几何题目分值较高，并且难度 有逐步增加的趋势，虽然几何题形式多 样，但通过总结归纳，掌握基本的几何 模型，有助于解决更多几何新题，难题。
例题4
将长16厘米，宽9厘米 的长方形的长和宽都分 成三等份，长方形内任 意一点O与分点及顶点 连接，如图，则阴影部 分的面积是 平方厘米。
例题5
如图，已知三角形 ABC面积为1，延长 AB至D，使BD=AB， 延长BC至E，使 CE=2BC，延长CA至F， 使AF=3AC，求三角 形DEF的面积。
等积变形
等积变形这里的积指的是面积，因为任何直线型图形都可分解成 若干个三角形，所以三角形是最基本图形，等积变形里主要研究的 是三角形面积变换。
三角形面积=底×高÷2 决定三角形面积的大小，取决于底和高这两个量。 等底等高：如果两个三角形等底等高，则这两个三角形面积相同 （如图1）；（典型的夹在一组平行线间的，两个三角形若同底，则 面积相同） 同底看高：如果两个三角形等底，但高不等，则面积比等于高的 比（如图2）； 同高看底：如果两个三角形等高，但底不等，则面积比等于底的 比（如图3）。
S A: S B A O C S O O : S B O D C S A D : S B A D C B : D C D
燕尾模型
从三角形一个顶点向对边 上任意一点画线段，在线 段上任取一点组成的图形 面积也会有如下关系：
金字塔、沙漏模型
所谓的金字塔、沙漏 模型，就是指形状相 同，大小不同的两个 三角形，一切对应线 段的长度成比例的模 型，如图所示：
小学奥数-直线型面积讲义图文版
1. 熟练运用直线型面积的最基本性质——等积变形；2. 熟练掌握直线型面积的两个模型： （1）等积变形 （2）鸟头模型直线型面积求解是在以三角形、长方形、正方形、梯形等一些规则图形为基础上进行的。
最基本的思想是等积变形。
一、等积变形①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =baS 2S 1 DC BA③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDA知识精讲教学目标第一讲 直线型面积（一）板块一、等积变形【例 1】 如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积．FE CBAFE C【解析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接BH 、CH ． ∵AE EB =，∴AEH BEH S S =△△．同理，BFH CFH S S =△△，S =S CGH DGH ，∴11562822ABCD S S ==⨯=阴影长方形(平方厘米)．【巩固】图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是 ．E GCB654321HBCG E【例 2】 如图，有三个正方形的顶点D 、G 、K 恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB 的边长为10厘米，求阴影部分的面积．KO QH G F EB A K O QH GF EBA【解析】 对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化．如右图所示，连接FK 、GE 、BD ，则////BD GE FK ，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得DGE BGE S S ∆∆=，KGE FGE S S ∆∆=，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB 的面积，即为210100=平方厘米．【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．GAB CDGAB CDF【巩固】(2008年西城实验考题)如图，ABCD 与AEFG 均为正方形，三角形ABH 的面积为6平方厘米，图中阴影部分的面积为 ．BE FHBCEFH【巩固】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？D G HE CCEHG D【例 3】 长方形ABCD 的面积为362cm ，E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？HGE【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、HC ，如下图：H E可得：12EHB AHB S S ∆∆=、12FHB CHB S S ∆∆=、12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++= 即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；而EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影，11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=．所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影 解法二：特殊点法．找H 的特殊点，把H 点与D 点重合，那么图形就可变成右图：GE (H )这样阴影部分的面积就是DEF ∆的面积，根据鸟头定理，则有：11111113636363613.52222222ABCD AED BEF CFD S S S S S ∆∆∆=---=-⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=阴影．【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD 内任取一点P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P 点连接,求阴影部分面积．P CAA CPCA【例 4】 (2007首届全国资优生思维能力测试)ABCD 是边长为12的正方形，如图所示，P 是内部任意一点，4BL DM ==、5BK DN ==，那么阴影部分的面积是 ．PKK P【解析】 （法1）特殊点法．由于P 是内部任意一点，不妨设P 点与A 点重合(如上中图)，那么阴影部分就是AMN ∆和ALK ∆．而AMN ∆的面积为(125)4214-⨯÷=，ALK ∆的面积为(124)5220-⨯÷=，所以阴影部分的面积为142034+=．（法2）寻找可以利用的条件，连接AP 、BP 、CP 、DP 可得右上图所示：则有:211127222PDC PAB ABCD S S S ∆∆+==⨯=同理可得：72PAD PBC S S ∆∆+=;而::4:121:3PDM PDC S S DM DC ∆∆===,即13PDM PDC S S ∆∆=；同理：13PBL PAB S S ∆∆=,512PND PDA S S ∆∆=,512PBK PBC S S ∆∆=;所以：15()()()()312PDM PBL PND PBK PDC PAB PDA PBC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++而()()()()PDM PBL PND PBK PNM PLK DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+++=+++阴影面积；145102DNM BLK S S ∆∆==⨯⨯=；所以阴影部分的面积是：15()()()312PNM PLK PDC PAB PDA PBC DNM BLK S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆+=+++-+即为：15727210224302034312⨯+⨯-⨯=+-=．【例 5】 (2008年四中考题)如右图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC∆的面积是 平方厘米．DADA【解析】 连接CD ．根据题意可知，DEF ∆的面积为DAC ∆面积的13，DAC ∆的面积为ABC ∆面积的12，所以DEF ∆的面积为ABC ∆面积的111236⨯=．而DEF ∆的面积为5平方厘米，所以ABC ∆的面积为15306÷=(平方厘米)．【巩固】图中三角形ABC 的面积是180平方厘米，D 是BC 的中点，AD 的长是AE 长的3倍，EF 的长是BF长的3倍．那么三角形AEF 的面积是多少平方厘米？F ECBA【例 6】 如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成．求阴影部分的面积．48cm 224cm 236cm 212cm 2MNB A12cm 236cm 224cm 248cm 2【解析】 如图，将大长方形的长的长度设为1，则12112364AB ==+，24124483CD ==+，所以1113412MN =-=，阴影部分面积为211(12243648)5(cm )212+++⨯⨯=．【例 7】 (2009年第七届”希望杯”二试六年级)如图，在三角形ABC 中，已知三角形ADE 、三角形DCE 、三角形BCD 的面积分别是89，28，26．那么三角形DBE 的面积是 ．D【解析】 根据题意可知，8928117ADCADE DCE S S S ∆∆∆=+=+=，所以::26:1172:9BDC ADC BD AD S S ∆∆===， 那么::2:9DBE ADE S S BD AD ∆∆==，故222789(901)2019S =⨯=-⨯=-=．【例 8】 O 是长方形ABCD 内一点，已知OBC ∆的面积是25cm ，OAB ∆的面积是22cm ，求OBD ∆的面积是多少？POD C B【解析】 由于ABCD 是长方形，所以12AOD BOC ABCD S S S ∆∆+=，而12ABD ABCD S S ∆=，所以AOD BOC ABD S S S ∆∆∆+=，则BOC OAB OBD S S S ∆∆∆=+，所以2523cm OBD BOC OAB S S S ∆∆∆=-=-=．【例 9】 如右图，过平行四边形ABCD 内的一点P 作边的平行线EF 、GH ，若PBD ∆的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF 的面积比平行四边形PGAE 的面积大多少平方分米？CEFHPCEFH P【解析】 根据差不变原理，要求平行四边形PHCF 的面积与平行四边形PGAE 的面积差，相当于求平行四边形BCFE 的面积与平行四边形ABHG 的面积差． 如右上图，连接CP 、AP ．由于12BCP ADP ABP BDP ADP ABCD S S S S S S ∆∆∆∆∆+=++=，所以BCP ABP BDP S S S ∆∆∆-=．而12BCP BCFE S S ∆=，12ABP ABHG S S ∆=，所以()2216BCFE ABHG BCP ABP BDP S S S S S ∆∆∆-=-==(平方分米)．【例 10】 如右图，正方形ABCD 的面积是20，正三角形BPC ∆的面积是15，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB P【解析】 连接AC 交BD 于O 点，并连接PO ．如下图所示，可得//PO DC ，所以DPO ∆与CPO ∆面积相等(同底等高)，所以有：BPO CPO BPO PDO BPD S S S S S ∆∆∆∆∆+=+=，因为1120544BOC ABCD S S ∆==⨯=，所以15510BPD S ∆=-=．【巩固】如右图，正方形ABCD 的面积是12，正三角形BPC ∆的面积是5，求阴影BPD ∆的面积．PBAOAB DP【例 11】 (2008年”华杯赛”决赛)右图中，ABCD 和CGEF 是两个正方形，AG 和CF 相交于H ，已知CH等于CF 的三分之一，三角形CHG 的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF 的面积．HG F E D C B AHGF ED CB A【解析】 连接AC 、GF ，由于AC 与GF 平行，可知四边形ACGF 构成一个梯形．由于HCG ∆面积为6平方厘米，且CH 等于CF 的三分之一，所以CH 等于FH 的12，根据梯形蝴蝶定理或相似三角形性质，可知FHG ∆的面积为12平方厘米，AHF ∆的面积为6平方厘米，AHC ∆的面积为3平方厘米．那么正方形CGEF 的面积为()612236+⨯=平方厘米，所以其边长为6厘米．又AFC ∆的面积为639+=平方厘米，所以9263AD =⨯÷=(厘米)，即正方形ABCD 的边长为3厘米．那么，五边形ABGEF 的面积为：21369349.52++⨯=(平方厘米)．【例 12】 如图，已知长方形ADEF 的面积16，三角形ADB 的面积是3，三角形ACF 的面积是4，那么三角形ABC 的面积是多少？F ED CB AF ED CB A F ED CB A【解析】 方法一：连接对角线AE ． ∵ADEF 是长方形∴12ADE AEF ADEF S S S ∆∆==∴38ADB ADE S DB DE S ∆∆==， 12ACF AEF S FC EF S ∆∆== 5BE DE DB -1CE FE CF -∴1515162822BEC S ∆=⨯⨯⨯=∴132ABC ADEFADB ACF CBE S SS S S ∆∆∆∆=---=． 方法二：连接BF ，由图知1628ABF S =÷=△，所以16835BEF S =--=△，又由4ACF S =△，恰好是AEF △面积的一半，所以C 是EF 的中点，因此52 2.5BCE BCF S S ==÷=△△，所以1634 2.5 6.5ABC S =---=△【例 13】 (第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛)如图所示，三角形ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC边上的一点，且3AE EC =，O 为DC 与BE 的交点．若CEO ∆的面积为a 平方厘米，BDO ∆的面积为b 平方厘米．且b a -是2.5平方厘米，那么三角形ABC 的面积是 平方厘米．E baOD CBA【解析】 12ABC BCD BCO S S b S ∆∆∆==+，14ABC BCE BCO S S a S ∆∆∆==+，所以112.524ABC ABC S S b a ∆∆-=-=(平方厘米)．所以 2.5410ABC S ∆=⨯=(平方厘米)．【例 14】 如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米？G FD C【解析】 如下图，连接FC ，DBF 、BFG 的面积相等，设为x 平方厘米;FGC 、DFC 的面积相等，设为y 平方厘米，那么DEF 的面积为13y 平方厘米．xyy x GFE DCBA221BCD S x y =+=，BDE 111S =x+y=l 333⨯=．所以有0.531x y x y +=⎧⎨+=⎩①②．比较②、①式，②式左边比①式左边多2x ，②式右边比①式右边大0.5，有20.5x =，即0.25x =,0.25y =．而阴影部分面积为2550.253312y y +=⨯=平方厘米．【例 15】 (2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试)如图，45BC =，21AC =，ABC ∆被分成9个面积相等的小三角形，那么DI FK += ．KJIH GFE DC B A【解析】 由题意可知，::2:9BAD ABC BD BC S S ∆∆==，所以2109BD BC ==，35CD BC BD =-=；又::2:5DIF DFC DI DC S S ∆∆==，所以2145DI DC ==，同样分析可得10FK =，所以141024DI FK +=+=．【巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在角MON 的两边上分别有A 、C 、E 及B 、D 、F 六个点，并且OAB ∆、ABC ∆、BCD ∆、CDE ∆、DEF ∆的面积都等于1，则DCF ∆的面积等于 ．OBD FN【例 16】 (2009年四中入学测试题)如图，已知5CD =，7DE =，15EF =，6FG =，线段AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是 ．GFE DC BAABC DE FG【解析】 连接AF ，BD ．根据题意可知，571527CF =++=；715628DG =++=；所以，1527BE CBF F S S ∆∆=，1227BE CBF C S S ∆∆=，2128AEG ADG S S ∆∆=，728AED ADG S S ∆∆=，于是：2115652827ADG CBF S S ∆∆+=；712382827ADG CBF S S ∆∆+=；可得40ADG S ∆=．故三角形ADG 的面积是40．【例 17】 (2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70，8AB =，15AD =，四边形EFGO 的面积为 ．O GFEDBA【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和，以及三角形AOE 和DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积．由于长方形ABCD 的面积为158120⨯=，所以三角形BOC 的面积为1120304⨯=，所以三角形AOE 和DOG 的面积之和为312070204⨯-=；又三角形AOE 、DOG 和四边形EFGO 的面积之和为111203024⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，所以四边形EFGO 的面积为302010-=． 另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积=三角形AFC 面积+三角形BFD 面积-白色部分的面积，而三角形AFC 面积+三角形BFD 面积为长方形面积的一半，即60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050-=，所以四边形的面积为605010-=．【巩固】(2008年”华杯赛”初赛)如图所示，矩形ABCD 的面积为24平方厘米．三角形ADM 与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON 的面积是 平方厘米．NOMPDCBA【例 18】 (清华附中分班考试题)如图，如果长方形ABCD 的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ 的面积是多少平方厘米？3PD C B333D CB【解析】 如图，过M 、N 、P 、Q 分别作长方形ABCD 的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQD ∆、NAM ∆、PBN ∆、QCP ∆的面积之和为S ，四边形MNPQ的面积等于x ，则569x S x S +=⎧⎨-=⎩，解得32.5x =(平方厘米)．板块二 鸟头模型【例 19】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBAEDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△，::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===⨯⨯△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =⨯⨯△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？乙甲E DCBAA BCDE甲乙【解析】 连接AD ．∵3BE =，6AE =∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．【例 20】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA EDCBA【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===⨯⨯△△[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=⨯+⨯△△，所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =⨯⨯+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 21】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面积是多少？AB EC DDC EB A【解析】 由于180ABC DBE ︒∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =⨯⨯=⨯⨯=△△，设6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5⨯=平方厘米，三角形BDE 的面积是12.5平方厘米【例 22】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =⨯⨯=⨯⨯=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =⨯⨯=⨯⨯=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =⨯⨯=⨯⨯=△△设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米【例 23】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．F EDCB AABCDEF【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．连接AE 、CD ． ∵11ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ⋅⨯===⋅⨯． 又1ABCS=，所以8FCES=．同理可得6ADFS =，3BDES=．所以186318DEFABCFCEADFBDESS SS S=+++=+++=．【例 24】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EFHGA B CD EF【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，∴111133ABC FBE S AB BC S BE BF ⋅⨯===⋅⨯△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．所以213618ABCD EFGH S S ==．【例 25】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．A B CD E F GHA B CD EF GH【解析】 连接AC 、BD ．由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ∆∆=，同理4HDG ADC S S ∆∆=．于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ∆∆=，同理9CFG CBD S S ∆∆=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ∆∆∆∆+=+=．那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ∆∆∆∆=+++-=+-==．【例 26】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGSS．SGF E DCBA【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．最后求得FGS S △的面积为4321115432210FGS S =⨯⨯⨯⨯=△．练习1. (第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是221cm ．问：长方形的面积是多少平方厘米？红绿黄红练习2. 如图，在平行四边形ABCD 中，EF 平行AC ，连结BE 、AE 、CF 、BF 那么与BEC 等积的三角形一共有哪几个三角形？F DECBA练习3. (97迎春杯决赛)如图，长方形ABCD 的面积是1，M 是AD 边的中点，N 在AB 边上，且2AN BN =.那么，阴影部分的面积是多少？课后练习练习4. 如图，三角形ABC 的面积是24，D 、E 和F 分别是BC 、AC 和AD 的中点．求三角形DEF 的面积．FE DCBA练习5. 如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？E D CBA AB CD E练习6. 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？A BCDEF。
小学奥数题库《几何》-直线型-毕克定理-4星题(含解析)
几何-直线型几何-毕克定理-4星题课程目标知识提要毕克定理•概念格点多边形：多边形的边必须是直线段，顶点要在格点上．•正方形格点和毕克定理一张由水平线和垂直线组成的方格纸，我们把水平线和垂直线的交点称为“格点〞．水平线和垂直线围成的每个小正方形称为“面积单位〞．毕克定理：S= N+L2−1其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．•三角形毕克定理S=(N+L2−1)×2=2N+L−12其中，N表示多边形内部格点数，L表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．精选例题毕克定理1. 在平面上，用边长为1的单位正方形构成正方形网格，顶点都落在单位正方形的顶点〔又称为格点〕上的简单多边形叫做格点多边形．最简单的格点多边形是格点三角形，而除去三个顶点之外．内部或边上不含格点的格点三角形称为本原格点三角形．如右图所示的格点三角形BRS．每一个格点多边形都能够很容易地划分为假设干个本原格点三角形．那么，右图中的格点六边形EFGHKB可以划分为个本原格点三角形．【答案】36【分析】根据格点面积公式：格点多边形面积=多边形内部格点数+多边形一周的格点数÷2−1,可得面积：15+8÷2+1=18,每个本原格点三角形最小面积是1×1×12=12,所以可以划分为本原格点三角形的个数为18÷12=36(个).2. 以下图中正六边形的面积为24平方米，其中A、B、C都是所在边的中点，D是BC的三等分点，阴影局部的面积是平方米．【答案】5【分析】将六边形分割为三角形格点，如上图所示，正六边形被分成24个面积为1平方米的正三角形，根据毕克公式，内部点n=2，边上点b=3，那么阴影的面积为：(2+3÷2−1)×2=5〔平方米〕．3. 如图，水平相邻和竖直相邻的两个格点间的距离都是1，那么图中阴影局部的面积是．【答案】17【分析】根据毕克定理，正方形格点图算面积：面积=内部点+边界点÷2−1.内部点：8个；边界点：20个；所以面积：8+20÷2−1=17.4. 如以下图所示，网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米．小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影〔马的轮廓由小线段组成，小线段的端点在格子点上或在格线上〕，那么这个剪影的面积为平方厘米．【答案】56.5【分析】通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米． 5. 如图相邻两个格点间的距离是1，那么图中阴影三角形的面积为．【答案】1211【分析】连接AD、CD、BC．那么可根据格点面积公式，可以得到△ABC的面积为：1+42−1=2,△ACD的面积为：3+32−1=3.5,△ABD的面积为：2+42−1=3.所以BO:OD=S△ABC:S△ACD=2:3.5=4:7,所以S△ABO=44+7×S△ABD=411×3=12 11.6. 如图，水平方向和竖直方向上相邻两点之间的距离都是m，假设四边形ABCD的面积是23，求五边形EFGHI的面积．【答案】28【分析】根据毕克定理：S=a+b÷2−1,有(10+5÷2−1)×m2=23,有m2=2;所以五边形EFGHI的面积是(12+6÷2−1)×2=28.7. 如图，是一个漂亮礼盒的平面图，相邻两个格点距离为1，请求出图形的面积是多少？【答案】21【分析】方法一：利用割补，图中长方形的面积是2×6=12，左边三角形我们可以把它包含在一个4×4的方阵中如下左图，用总面积减去其他三角形的面积，所以左边三角形面积是4×4−3×4÷2−1×2÷2−2×4÷2=5，右边三角形同理包含在一个4×5的长方形中，所以右边三角形的面积是4×5−(1+5)×4÷2−4×1÷2−4×1÷2=4，所以礼盒的总面积是12+5+4=21．方法二：利用毕克定理，略．8. 如图，计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】12【分析】方法一：利用分割法，将原四边形分割成两个三角形ABC和ABD，ABC是单位三角形CEF面积的4倍，从而面积是4．同理ABD的面积是单位三角形CEF的8倍，所以面积是8，因此四边形面积是4+8=12．方法二：利用三角形毕克定理：S=(N+L2−1)×2，N:5个，L:4个，所以面积是(5+4÷2−1)×2=12．9. 相邻两个格点距离为1，求以下各个格点多边形的面积是多少？【答案】15；20【分析】利用毕克定理，图〔1〕N:10个，L:12个，面积是10+12÷2−1=15；图〔2〕N:16，L:10，面积是16+10÷2−1=20．10. 如图，有21个点，每相邻三个点成“∵〞或“∴〞，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC的面积是多少？【答案】10【分析】方法一：利用割补，将ABC分割成四个三角形，易得S△DEF=1，S△ACD=2，S△AEB=3，S△FBC=4，所以S△ABC=1+2+3+4=10．方法二：毕克定理，N:4个，L:4个，所以S△ABC=(4+42−1)×2=10．11. 如图，如果每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．四边形ABCD 和三角形EFG 的面积分别是多少平方厘米？【答案】20平方厘米，10平方厘米【分析】四边形ABCD 中，N:9个，L:4个，毕克定理可知 S 四边形ABCD =(9+42−1)×2=20(平方厘米); 在三角形EFG 中，N:4个，L:4个，S 三角形EFG =(4+42−1)×2=10(平方厘米). 12. 如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【答案】6.5【分析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N +L 2−1)×单位正方形面积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有N =4，L =7，那么用粗线围成图形的面积为： (4+72−1)×1=6.5(平方厘米) 方法二：如以下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有①=3÷2=1.5②=2÷2=1③=2÷2=1④=2÷2=1⑤=2÷2=1⑥=2÷2=1还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1.5+l +1+1+1+1+3=9.5,而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16−9.5=6.5(平方厘米).13. 如图，每个小正方形的面积均为2平方厘米．阴影多边形的面积是多少平方厘米？【答案】19平方厘米【分析】阴影局部的面积为：(7+72−1)×2=19(平方厘米)． 14. 计算下面各图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】22；23【分析】利用毕克定理．图〔1〕，N:7个，L:10个，S =(7+10÷2−1)×2=22； 图〔2〕，N:5，L:15，S =(5+15÷2−1)×2=23．15. 求以下格点多边形的面积〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕．【答案】19；19；18；21【分析】方法一：分割法，略．方法二：毕克定理，图〔1〕N:7个，L:7个，S =(7+7÷2−1)×2=19；图〔2〕N:8个，L:5个，S =(8+5÷2−1)×2=19；图〔3〕N:7个，L:6个，S =(7+6÷2−1)×2=18；图〔4〕N:8个，L:7个，S =(8+7÷2−1)×2=21．16. 如图，中相邻两个格点的距离都是1，图中三个图形的面积分别是多少？【答案】3；11；5.5【分析】方法一：利用割补，第一个图“喇叭〞的面积是3；第二个图“狗〞的面积是11；第三个图“猫〞的面积是5.5．方法二：利用毕克定理，S=N+L2−1．用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积．内部点边上点正方形个数喇叭080+8÷2−1=3狗2202+20÷2−1=11猫0130+13÷2−1=5.517. 计算图形面积是多少？〔每相邻三个点“∵〞或“∴〞成面积为1的等边三角形〕【答案】24【分析】利用毕克定理．N:8个，L:10个，S=(8+10÷2−1)×2=24．18. 如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】20【分析】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L−2)×单位正三角形面积其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4−2)×1=20(平方厘米).方法二：如以下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4局部计算，其中①局部对应的平行四边形面积为4，所以①局部的面积为2，②、③、④局部对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④局部的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米).19. 计算以下图面积并完成表格．〔每个小正方形面积是1〕【答案】见解析【分析】。
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平面直线型几何专题吴哲孙雪艳2016年3月目录第1讲等积变形第2讲一半模型第3讲等高(等底)模型第4讲鸟头模型第5讲风筝模型第6讲蝴蝶模型第7讲沙漏模型和金字塔模型第8讲燕尾模型第1讲 等积变形【知识点分析】1、定义：图形形状发生变化，面积保持不变。
比如：对称、平移、旋转等都是保持图形面积。
2、常见类型：（1）同底等高—— 两平行线间的等积变形（平行线间距离处处相等） 平行线“拉点“法（A 1可以在L 1上随便拉到任何地方）112ABC A BC L //L S =S △△若，则技巧：平行线的来源A 、平行四边形(包括长方形和正方形)和梯形B 、已知平行C 、并排摆放的正方形的同方向对角线 （2）等底同高ABD ACD D BC S =S △△若为中点，则A 1CBAL 2L 1BC（3）等高等底12ABC EFG BC=FG h h S =S △△若、=，则3、本质：将三角形的面积关系转化成三角形底和高等对应的线段长度关系【典型例题】例1：将任意一的三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？你能想到多少种？【解题点拨】图中的点为中点、三等分点或四等分点ABFG例2：如图，在梯形A B C D 中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，梯形上下两个底平行 以MP 为底：△MPN =△MPO 以NO 为底：△N OM=△NOP等量减等量，差相等：△MNQ =△POQ例3：正方形A B C D 和正方形C E F G ，且正方形A B C D 边长为20厘米，则图中阴影面积为多少平方厘米？【解题点拨】考察平行线间的等积变形，并排摆放的正方形的同方向对角线平行。
如图，连接CF ，则BD//CF,以CF 为底，△CFD 与△CFB 面积相等，同时减去△CFH，得到△BCH 与△DFH 面积相等，所以阴影部分面积就等于△BCD 的面积，等于20×20÷2=200平方厘米FCAFCA本题直接求阴影面积比较麻烦，利用等积变形巧妙转化方便解题。
例4：在梯形A B C D 中，O E 平行于A D 。
如果三角形A O B 的面积是7平方厘米，则三角形D E C 的面积是______ 平方厘米。
【解题点拨】题中有多条平行线，注意使用平行线间的等积变形。
∵AD //EO//BC∴S △EOA = S △EOD，S △EOB = S △EOC，S △AOB = S △COD∴S △DEC = S △COD + S △EOD + S △EOC = S △AOB + S △EOA + S △EOB =7+7=14例5：如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD ＝ AB ；延长BC 至E ，使CE ＝ BC ；延长CA 至F ，使AF ＝ 2AC ，求三角形DEF 的面积。
【解题点拨】题中有多个中点、三等分点，如图连接：∵S △ABC =1，AB=BD ∴S △DBC =S △ABC =1又BC=CE ∴S △ACE =S △ABC =1，S △DBC =S △EDC =1 又AF=2AC ∴S △AFE =2S △ACE =2，S △AFB =2S △ACB =2 又AB=DB ∴ S △AFB = S △DFB =2所以三角形DEF 的面积为=1+1+1+1+2+2+2=10例6：如图，D 是三角形ABC 一边上的中点，两个长方形分别以B 、 D 为顶点，并且有一个公共顶点E ，已知两块阴影部分的面积分别是100和120，则三角形BDE 的面积是多少？【解题点拨】题中已知阴影部分的面积，要求面积，想办法转化。
∵D 为AC 中点 ∴S △ADB = S △CDB又ED 和EB 分别将两个长方形平分面积所以阴影部分差的面积就是三角形BDE 的2倍（解题关键） 所以三角形BDE 的面积为（120-100）÷2=10D BAE C第2讲 一半模型【知识点分析】1、平行四边形的一半模型（适用于长方形和正方形） 基础模型：12S =S 阴平行四边形证明：12S =S =S =S ⨯÷⨯阴阴平行四边形平行四边形底高2，底高，所以 拓展1：图（1）中为平行四边形内部的一条平行线，12S =S 阴平行四边形图（2）为内部任意一点，相等于把图（1）中两个点变为一个点，12S +S =S +S =S 下下上左平行四边形图（3）中为平行四边形内部一平行线，12S =S 阴平行四边形（3）（2）（1）或拓展2：图（1）为平行四边形到长方形的变化 图（2）2S =S =S 正阴长图（3）2S =S =S 正阴长,图（3）是图（2）的变形 2、梯形的一半模型：12S =S 阴梯形（取梯形腰上中点连接三角形）证明：延长DE 交CB 的延长线于F ，得到ADE FBE CDF S =S S =S △△△梯形，,因为E 为AB 的中点，显然E 也为DF 的中点，容易得到1122CDF S =S =S △阴梯形拓展：在梯形中位线上任意选择一点，12S =S 阴梯形（3）（1）（2）FC证明：如图，将K 点移动到L 点GJK GJL S =S △△，HIK HIL S =S △△，由梯形的一半模型得证：12S =S 阴梯形3、 任意四边形的一半模型： 基础模型:任意四边形，取上下两个边的中点连接，则12S =S 阴四边形 证明：连按照如图连接，则根据中点可以知道，1234S =S S =S ，，所以12S =S 阴四边形 拓展1：将中点变为三等分点LJIHG KS 4S 3S 2S 1证明23S =S 阴四边形，证明方法同上，连接对角线即可（略）拓展2：取三等分点连接13S =S 阴四边形,证明方法如图，根据拓展1的结论可得：23ABCD S =S 四四边形，根据基础模型知道：12ABCD S =S 阴四，所以13S =S 阴四边形拓展3：上面一条边三段长度比例为3:2:1，下面一条边三段长度比例为1:2:3，则13S =S 阴四边形证明：如图连接，证法同拓展2，根据基础模型结论可得：12ABCD S =S 四四边形，根据拓展1的结论可得23ABCD S =S 阴四，所以13S =S 阴四边形证明B①②③③②①①②③①②③证明CA DB拓展4：取各边三等分点，连接得中心阴影，则19S =S 阴四边形证明：如图，由拓展2知13GHKL S =S 四四边形，只需要证明K 1、N 1和L 1、M 1、分别是GL 和KH 的三等分点就可以。
如图连接，（需要用到相似），根据三等分点容易得到EL//BD//GJ,而且1112113322EL=BD GJ=BD EL=GJ LK =K G ，，所以，所以 ，得到K 1是GL 的三等分点，同理可以证明另外三个点也是三等分点，所以13G H K LS =S 阴四， 所以19S =S 阴四边形【典型例题】例1：（1）平行四边形草场分成了A 、B 、C 、D 四个三角形，草匀速生长，A 草场的草可供40头牛吃，B 草场的草可供30头牛吃，C 草场的草可供100头牛吃，那么D 草场呢？【解题点拨】由平行四边形一半模型可以知道：A+C=B+D ，所以，D=40+100-30=110头注意：草地面积和牛数使一一对应的。
证明F GBD BAC（2）（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）已知EF 为梯形的中位线，三角形ADG 的面积为15平方厘米，三角形BCG 的面积占梯形总面积的720，求梯形ABCD 的面积？【解题点拨】由梯形的一半模型知道，12ADG BCG ABCD S +S =S △△梯 ，所以梯形ABCD的面积=21715)100220-cm ÷=（ 例2：（三帆中学2006年考题）如图，P 为平行四边形ABCD 外一点，已知三角形PAB 的面积等于7平方厘米，三角形PCD 的面积是3平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。
【解题点拨】过P 做平行线构造平行四边形，利用一半模型解题222273ABEFPAB DCEFPCD ABCDABEFDCEFS=S S=S S=S-S=-=cm ⨯△，△，（）8AA例3：O 为长方形ABCD 内一点，5OBC OAB OBD S =S =2S =△△△，，求？【解题点拨】考察任意一点的一半模型和对角线的一半模型12OBC OAD OAB OAD OBD ABCDS +S =S +S +S =S△△△△△，得523OBD OBC OAB S =S S =-=-△△△例4：O 为平行四边形ABCD 内一点，过点O 做边的平行线，已知8OBD S =△ ，求OHCF AEOGSS=-？【解题点拨】如图，连接OA 与OC ，根据例3中的结论可以知道：OBD OBC OAB S =S S =8-△△△，又22BCFEOBC ABHGAOB S =S S=S △△，， 所以，216OHCF AEOGBCFE ABHGOBC OAB SS=SS=S S =--⨯-△△（）APCBO DF E H GBDCA OG B例5：（1）（2008仁华考题）正方形边长为10，四边形EFGH 的面积为5，求阴影部分的面积是多少？【解题点拨】一半模型的变形，正方形中的两个三角形有重叠部分，如果没有重叠，两个三角形面积和应为10×10÷2=50，重叠部分面积是5，所以阴影部分的面积为50-5×2=40（2）四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 是各边中点，求阴影部分面积与四边形PQRS 的面积之比是多少？12BGDE AFCH ABCD S =S =S 四四四【解题点拨】由任意四边形一半模型可知： 所以BG D E A F C HS +S=S 四四四，根据重叠等于未覆盖，可以知道1:1PQ R S P Q R S S =S S S =四阴四阴，所以：H GE BCADFPQR S H E F G A DBC例6：（2008走美六年级初赛）长方形ABCD 中，阴影部分面积为70，AB=8，AD=15，求四边形EFGO 的面积？【解题点拨】解法一：一半模型三角形BDF 和三角形ACF 如果没有重叠的话，面积和应该是长方形面积的一半：8×15÷2=60， 实际面积是50，所以四边形EFGO 的面积是60-50=10解法二：梯形蝴蝶模型（学习过蝴蝶模型的同学可以理解下） 在梯形ABFD中，根据蝴蝶模型可以知道：,70158210ABE DEF EFGO S S S ===-⨯÷△△四所以AGE O BCDF第3讲 等高（等底）模型【知识点分析】1、基础知识： 三角形面积=底⨯高2÷所以：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 若底不变，高越大(小)，面积越大(小)； 若高不变，底越大(小)，面积越大(小)； 2、模型结论：① 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；如图12::S S a b =② 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 特殊：等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线）其他常用结论：（1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．（2）等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；（3）三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；（4）两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．baS 2S 1DC BA3、 拓展结论：拓展1： 图（1）：四边形ABCD 为正方形，E 、F 、G 是各边中点，H 是是AD 上任意一点，则12S =S 正阴 证明：连接BH 、CH ，根据等高等底知：S =S S =S S =S ①②③④⑤⑥，，， 所以12S =S 正阴 图（2）：四边形ABCD 为正方形，E 、F 、G 是各边三等分点，H 是是AD 上任意一点，则13S =S 正阴 （证明方法同上）图（3）：四边形ABCD 为长方形，E 、F 、G 是各边中点，H 是是AD 上任意一点，则12S =S 阴长 （证明方法同上）拓展2：图（1）：12S =S 阴小正，证明：根据平行，A 可以移动到D ，12BCD S =S =S △阴小正图（2）：12S =S 阴小正，证明同上（辅助线如图）图（3）：12S =S 阴大正，证明同上（辅助线如图）（3）（2）（1）G E E GF E BAB（4）（1）（2）（3）D图（4）：12S =S 阴中正，证明：辅助线如图，根据平行BFA BFE BFC BFD S =S S =S △△△△，，所以，12S =S 阴中正 【典型例题】例1：如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC ，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的几倍？【解题点拨】DEB △与DAB △等高，DEC △与DAC △等高，面积比等于对应的底边之比,()1:41:4):1:4BDE BDA CDE CDA BDE CDE BDA CDA S S =S S =S +S S +S =△△△△△△△△：，：，所以(即1:4EBC ABC S S =△△： ，故三角形ABC 的面积是三角形EBC 面积的4倍 例2：长方形ABCD 的面积为36， E 、F 、G 为各边中点， H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？【解题点拨】（法1）特殊点法．由于H 为AD 边上任意一点，找H 的特殊点，把H 点与A 点重合（如图），那么阴影部分的面积就是AEF ∆与ADG ∆的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 面积的18和14，所以阴影部分面积为长方形ABCD 面积的113848+=，为33613.58⨯= ． EDCBAE（法1） （法2）（法2）等高等底模型．连接BH 、HC ，可以得到：12EHBAHB S S ∆∆=，12FHBCHB S S ∆∆=，12DHG DHC S S ∆∆=，而36ABCD AHB CHB CHD S S S S ∆∆∆=++=，即11()361822EHB BHF DHG AHB CHB CHD S S S S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=⨯=；又1=S 2EHB BHF DHG EBF S S S S S ∆∆∆∆++=+阴影长（这个结论就是拓展1中的图3）11111()()36 4.522228EBF S BE BF AB BC ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯=． 所以阴影部分的面积是：1818 4.513.5EBF S S ∆=-=-=阴影．例3：（第6届走美杯5年级决赛第8题）央如图， A 、B 、C 都是正方形边的中点，△COD 比△AOB 大15平方厘米。