久期与凸性
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√ 5年期票面利率为9%的债券； √ 25年期票面利率为9%的债券； √ 5年期票面利率为6%的债券； √ 25年期票面利率为6%的债券； √ 5年期的零息债券； √ 25年期的零息债券；
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
证明：由统一公债定义知，其每期现金流相同，
且无限存续，故有，
D 1
P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
y c
c
tc (1 y)t
1 y y
债券价格波动性
久期分析与凸度
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
债券的基本属性是其价格与到期收益率（利率）之间呈 负相关关系（如下图所示）。
价格
实际线
估计线
收益率
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
为了清楚地说明问题，我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元，且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值（表1-1）：
A、久期公式及其推导
P0 y
1 P0
1 1 y
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1 P0
令
D
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1
P0
1 P0
2、久期分析
久期，又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值（或均衡时的价格）对利率变动的敏感性， 或利率波动对债券价格所产生的影响。
久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言， 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。
A、久期公式及其推导
D
T
t
CFt (1 y)t
3、久期的内涵
从久期的功能考察，久期本质上反映了债券价 格对利率的敏感程度。它既衡量了债券未来收 益的平均时间，也反映了投资于该债券或债券 组合而使资产或资产自合暴露于风险中的时间 长短。因此，久期越长，风险就越大。
3、久期的内涵
久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性， 这也是久期的本质（功能）所在。在数学上这种 本质借助于一阶偏导数关系体现。
MD 1 D 1 y
4、久期的计算 收益率所变化所引致的债券价格波动
A、久期的计算程序
步骤一：计算各期现金流的现值 步骤二：计算债券的内在价值或价值 步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重； 步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部
付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
y f (x) y f ' (x) * x (x) y f ' (x) * x P f ' ( y) * P (P) P f ' ( y) * P D P * P
1 y P MDP * P 债券价格变动百分比和变动额
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62* 2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
由表1-1，我们计算得到表1-2（假定收益率9% 是基准水平）。
从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的，称为Maklkiel债券定价关系。
Maklkiel定理
债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系；
随着到期收 益的增大， 债券价格逐
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
图1-5债券久期与到期收益率的负相关关系
3、久期的内涵
对于久期，我们可以从时间角度和久期的作用于 功能两个方面来理解：
◆从时间角度考察，债券的久期是债权在未来时间 预期的收益现金流的加权平均时间长度，权数为:
CFt P0 (1 y)t
它是债权承诺的各期收益现金流的现值在债券理 论价格中所占的权重；
先求贷款的内在价值或现值：
P
100 (1 10%)
100 (1 10%)2
173.55
计算加权平均期限，即持续期：
D
1
100 (1 10%)
P
2
100 (1 10%) 2
P
1.476
考虑某面值为100，附息票利率为10%的3年期债券。
例2-9 假定该债券复利的年收益率为12%。息票每6个月付 息一次，利息为5.试计算该债券的持续期。
根据债券定价模型：
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
该式两边对利率y求偏导数得到：
P0
y
T
t
t 1
CFt (1 y)t1
DP0 1 y
3、久期的内涵
因此，
P0
P0
D
P0 y
P0 (1
y)
1 y
1 y
于是久期是债券价格对利率的弹性得证。在实际 运用中，经常对上述久期值进行修正，即得到所 谓的修正久期，定义为：
P0 MDy 10.62*0.10% 1.06% P0
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
显然，收益率微小变动时，修正久期可以比 较好地给出债券价格变动百分比的近似值。但 是，当收益率波动比较大时，这种方法就难以 与实际情况相吻合了。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
注意其中，
t 1
tc (1 y)t
1
y y2
c
统一公债的市场价值
统一公债的现金流：C，C，C，… …
则统一公债的市场价值为：
P
c 1 y
c (1 y)2
c (1 y)3
....
c 1 y
1
1 1
y
1 (1 y)2
1 (1 y)3
表1-6 6只假想债券的持续期和修正的持续期
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
我们已经看到，久期实际上近似的表示了由于收 益率的微笑变化所引起的债券价格的变化。
举例如下：我们考虑前面6只假想债券中的“票面 利率6%的25年期”债券在9%收益率水平上以 70.3570价格出售时的情况。由前面的计算知道， 该债券修正久期为10.62.如果收益率从9%上升到 9.10%，即收益率变动了10个基点。那么我们可以 用公式计算得到债券价格变动百分比的近似值,
注意：这里息票率不是到期收益率或预期收益
率。这个定理的证明很简单，只要考虑债 券每期（最后一期除外）的现金流等于息 票率与面值之积后，求久期对息票率的偏 导数即可证明。
图1-3债券久期与息票率之间的负相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在债券息票率不变的条件下，债券的到期时间 与久期正相关：到期时间越长，久期也越大； 反之则反是。债券无论是以面值出售还是以高 于面值的溢价出售，久期总是随到期时间的增 长而增加（图1-4）；
证明：利用久期公式求久期对到期时间T的偏导
数，易证明该片导数为正。
图1-4债券久期与到期时间的正相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在其他条件既定时，债券的到期收益率与其久 期负相关：即到期收益率越低，久期越长；反 之成立（图1-5）。 证明思路同上。只需证明久期对债券到期收益 率的偏导数为负即可，请大家自己证明。
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
Maklkiel定理
利率风险与债券的息票率呈负相关关系。高息 票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相 比，后者对利率更为敏感（如，比较“9%/5” 和“6%/5”两种债券即可看出这一关系）；
利率水平变化多导致的债券价格的波动，是衡量债
券或债券组合利率风险的一个基本指标。我们简要
推导如下： P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
P0 y
1CF1 (1 y)2
2CF3 (1 y)3
TCFT (1 y)T 1
1
1
y
1CF1 (1 y)
B、是什么决定了久期？——久期定理
P0
PV
T t 1
CFt (1 y)t
T CFT t1 (1 y)T
D
1 P0
T 1 t t 1
0 (1 y)t
T
CFT (1 y)T
T
证毕。
B、是什么决定了久期？——久期定理
②直接债券的Macaulay久期小于其到期时间。 ◆只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的
....
c 1
y
n0
1 (1 y)n
c lim a1 (1 qn )
1 y
1 q
n
c
1 lim
1 (1 y)n
1 y
1 1
1 y
c *1 y c
1 y
y
y
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆到期收益率既定时，息票率与久期负相关，如 （图1-3)。
债券价格变动的近似额为：
P0 MDyP0
返回
B、是什么决定了久期？——久期定理
①贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到 期时间；
证明：
显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0
表1-1 6只假想债券的(价格——收益率)关系
表1-2 6只假想债券价格变动百分比 单位：%
Maklkiel定理
渐下降。
Maklkiel定理
利率的微小波动所导致的债券价格的波动幅度大致相 同；但收益率波动较大时，债券价格在收益率上升时 的变动幅度与在收益率下降时的变动幅度不同；给定 某一基点，在利率大幅度变动条件下，债券价格上升 的百分比大于价格下降的百分比；
Maklkiel定理
长期债券的价格比短期债券的价格对利率变动 更敏感；
T t 1
CFt (1 y)t
我们称之为Macualay久期。从而我们有，
P0 1 1 D y P0 1 y
进一步地，我们令 MD 1 D 表示修正久期，那么有 1 y
P0 1 MD y P0
A、久期公式及其推导
由此，我们可以得到债券价格变动的近似百分
比为： P0 MDy P0
t 1
P0
1 P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
t:债券产生现金流的各个时期；
T：债券到期期限；
y:债券的到期收益率，也即利率；
CFt:债券在第t期产生的现金流； P0：债券的理论价格（均衡时等于市场价格），其中
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
A、久期公式及其推导
久期的基本作用在于近似地衡量于1；
B、是什么决定了久期？——久期定理
③统一公债的Macaulay久期等于（1+y/y）；
证明：由统一公债定义知，其每期现金流相同，
且无限存续，故有，
D 1
P0
T t 1
t
CFt (1 y)t
y c
c
tc (1 y)t
1 y y
债券价格波动性
久期分析与凸度
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
债券的基本属性是其价格与到期收益率（利率）之间呈 负相关关系（如下图所示）。
价格
实际线
估计线
收益率
1、债券价格与利率之间的关系：Malkiel定理
为了清楚地说明问题，我们假设了6只债券。这6只假 想的债券面值均为100元，且每半年付息一次。6只债 券的具体细节如下。我们计算了不同收益率下的债券 理论价格或内在价值（表1-1）：
A、久期公式及其推导
P0 y
1 P0
1 1 y
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1 P0
令
D
1CF1 (1 y)
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
1
P0
1 P0
2、久期分析
久期，又称持续期。该指标揭示了债券的市场 价值（或均衡时的价格）对利率变动的敏感性， 或利率波动对债券价格所产生的影响。
久期也衡量了债券的平均到期时间。具体而言， 久期衡量了债券承诺支付的现金流的加权平均 寿命或加权平均有效期。
A、久期公式及其推导
D
T
t
CFt (1 y)t
3、久期的内涵
从久期的功能考察，久期本质上反映了债券价 格对利率的敏感程度。它既衡量了债券未来收 益的平均时间，也反映了投资于该债券或债券 组合而使资产或资产自合暴露于风险中的时间 长短。因此，久期越长，风险就越大。
3、久期的内涵
久期也可以解释为债券价格对利率变化的弹性， 这也是久期的本质（功能）所在。在数学上这种 本质借助于一阶偏导数关系体现。
MD 1 D 1 y
4、久期的计算 收益率所变化所引致的债券价格波动
A、久期的计算程序
步骤一：计算各期现金流的现值 步骤二：计算债券的内在价值或价值 步骤三：计算各期现金流现值占内在价值的比重； 步骤四：以比重为权重，以时间为乘数，计算全部
付款作为现值收回的加权平均时间。
例2-8
银行有一期限为两年的贷款，每年产生100元的 现金流量，贴现率为10%，求该贷款的持续期。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
y f (x) y f ' (x) * x (x) y f ' (x) * x P f ' ( y) * P (P) P f ' ( y) * P D P * P
1 y P MDP * P 债券价格变动百分比和变动额
如下例：假定收益率上升了200个基点，譬如 从9%上升到11%，那么利用公式我们得到债 券价格变动百分比近似值为：
P0 MDy 10.62* 2% 21.24% P0
这显然与表1-2所列出的的结果-18.03相差甚 远。这样，我们就不得不寻找更为精确的刻画 债券价格波动的方法——凸度了。
由表1-1，我们计算得到表1-2（假定收益率9% 是基准水平）。
从该表中可以发现债券价格波动和收益率或利 率之间关系的5个特征。这是Maklkiel(1962) 提出的，称为Maklkiel债券定价关系。
Maklkiel定理
债券价格与债券的到期收益率或利率呈按关系；
随着到期收 益的增大， 债券价格逐
2CF3 (1 y)2
TCFT (1 y)T
A、久期公式及其推导
上式右边方括号内的部分表示了截止到期日时 债券现金流量的加权平均时间，权重是各期现 金流的现值占债券价格的比重。 该式也同样给了债券到期收益率变动所引起的 债券价格变化的近似值。将该式两边除以债券 价格，我们能够得到因到期收益率所引起的债 券价格变化的百分比的近似值。
图1-5债券久期与到期收益率的负相关关系
3、久期的内涵
对于久期，我们可以从时间角度和久期的作用于 功能两个方面来理解：
◆从时间角度考察，债券的久期是债权在未来时间 预期的收益现金流的加权平均时间长度，权数为:
CFt P0 (1 y)t
它是债权承诺的各期收益现金流的现值在债券理 论价格中所占的权重；
先求贷款的内在价值或现值：
P
100 (1 10%)
100 (1 10%)2
173.55
计算加权平均期限，即持续期：
D
1
100 (1 10%)
P
2
100 (1 10%) 2
P
1.476
考虑某面值为100，附息票利率为10%的3年期债券。
例2-9 假定该债券复利的年收益率为12%。息票每6个月付 息一次，利息为5.试计算该债券的持续期。
根据债券定价模型：
P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
该式两边对利率y求偏导数得到：
P0
y
T
t
t 1
CFt (1 y)t1
DP0 1 y
3、久期的内涵
因此，
P0
P0
D
P0 y
P0 (1
y)
1 y
1 y
于是久期是债券价格对利率的弹性得证。在实际 运用中，经常对上述久期值进行修正，即得到所 谓的修正久期，定义为：
P0 MDy 10.62*0.10% 1.06% P0
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
显然，收益率微小变动时，修正久期可以比 较好地给出债券价格变动百分比的近似值。但 是，当收益率波动比较大时，这种方法就难以 与实际情况相吻合了。
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
注意其中，
t 1
tc (1 y)t
1
y y2
c
统一公债的市场价值
统一公债的现金流：C，C，C，… …
则统一公债的市场价值为：
P
c 1 y
c (1 y)2
c (1 y)3
....
c 1 y
1
1 1
y
1 (1 y)2
1 (1 y)3
表1-6 6只假想债券的持续期和修正的持续期
B、债券价格波动的估算：久期方法的运用
我们已经看到，久期实际上近似的表示了由于收 益率的微笑变化所引起的债券价格的变化。
举例如下：我们考虑前面6只假想债券中的“票面 利率6%的25年期”债券在9%收益率水平上以 70.3570价格出售时的情况。由前面的计算知道， 该债券修正久期为10.62.如果收益率从9%上升到 9.10%，即收益率变动了10个基点。那么我们可以 用公式计算得到债券价格变动百分比的近似值,
注意：这里息票率不是到期收益率或预期收益
率。这个定理的证明很简单，只要考虑债 券每期（最后一期除外）的现金流等于息 票率与面值之积后，求久期对息票率的偏 导数即可证明。
图1-3债券久期与息票率之间的负相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在债券息票率不变的条件下，债券的到期时间 与久期正相关：到期时间越长，久期也越大； 反之则反是。债券无论是以面值出售还是以高 于面值的溢价出售，久期总是随到期时间的增 长而增加（图1-4）；
证明：利用久期公式求久期对到期时间T的偏导
数，易证明该片导数为正。
图1-4债券久期与到期时间的正相关关系
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆在其他条件既定时，债券的到期收益率与其久 期负相关：即到期收益率越低，久期越长；反 之成立（图1-5）。 证明思路同上。只需证明久期对债券到期收益 率的偏导数为负即可，请大家自己证明。
Maklkiel定理
随着期限的增加，债券价格对收益率或利率的 变动的敏感程度以一个下降的速率增加。换言 之，利率风险和债券的期限不成比例，而是滞 后于这个比例的变化（如，尽管债券“9%/25” 是”9%/5”到期时间的5倍，但是前者的利率敏 感性与后者的比值小于5）。
Maklkiel定理
利率风险与债券的息票率呈负相关关系。高息 票利率债券的价格与低息票利率债券的价格相 比，后者对利率更为敏感（如，比较“9%/5” 和“6%/5”两种债券即可看出这一关系）；
利率水平变化多导致的债券价格的波动，是衡量债
券或债券组合利率风险的一个基本指标。我们简要
推导如下： P0
V
T t 1
CFt (1 y)t
P0 y
1CF1 (1 y)2
2CF3 (1 y)3
TCFT (1 y)T 1
1
1
y
1CF1 (1 y)
B、是什么决定了久期？——久期定理
P0
PV
T t 1
CFt (1 y)t
T CFT t1 (1 y)T
D
1 P0
T 1 t t 1
0 (1 y)t
T
CFT (1 y)T
T
证毕。
B、是什么决定了久期？——久期定理
②直接债券的Macaulay久期小于其到期时间。 ◆只有仅剩最后一期就要期满的直接债券的
....
c 1
y
n0
1 (1 y)n
c lim a1 (1 qn )
1 y
1 q
n
c
1 lim
1 (1 y)n
1 y
1 1
1 y
c *1 y c
1 y
y
y
B、是什么决定了久期？——久期定理
◆到期收益率既定时，息票率与久期负相关，如 （图1-3)。
债券价格变动的近似额为：
P0 MDyP0
返回
B、是什么决定了久期？——久期定理
①贴现债券或零息债券的Macaulay久期等于其到 期时间；
证明：
显然，对贴现债券而言，其持续期就等于其到期 期限。因为贴现债券只有到期时才会发生现金流。 即，
CF1 CF2 CFT 1 0