变化率问题

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• (8)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在 给定区间上的不超过三次的多项式函数的最大 值、最小值．
• (9)了解导数在实际问题中的应用，结合给出的 实际问题(如使利润最大、效率最高、用料最省 等问题)，体会导数在解决实际问题中的作用．
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• (4)了解常数函数和幂函数的求导方法和规律， 会求任意幂函数y＝xα(α∈Q)的导数，掌握基本 初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基 本初等函数的导数．
• (6)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导 数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简 单的复合函数的导数．
• (7)了解函数的单调性与导数的关系；能利用导 数研究函数的单调性；会求不超过三次的多项 式函数的单调区间．
数的思想及其内涵； • 2．能够利用公式求简单函数的导数及简
单复合函数的导数； • 3．能利用导数研究函数的单调性，求函
数的极值和最值； • 4．利用导数知识解决一些最优化问题； • 5．了解定积分的概念，了解微积分基本
定理的含义．
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• 本章学习难点： • 1．导数概念的理解； • 2．用导数研究函数的单调性，求函数的
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• 1．1 变化率与导数 • 1．1.1 变化率问题
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• 1．通过实例了解平均变化率的概念． • 2．会求一些简单函数的平均变化率．
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• 本节重点：函数的平均变化率的概念． • 本节难点：函数平均变化率的求法． • 1．Δx是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，
也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数 值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以 等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.
• (10)通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例， 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定 积分的基本思想，了解定积分的概念．
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• (11)通过实例了解微积分基本定理． • (12)应用定积分解决一些简单的几何、物理
问题．
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• ●重点难点 • 本章学习重点： • 1．理解导数的概念及符号记法，体会导
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• 过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋ Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的 斜率．
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• [解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 • ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
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• [分析] 先将正弦函数在每个自变量的附 近的平均变化率求出，然后进行大小的比 较．
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• 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法．深刻体会“以直代曲”、“以不变代变” 和“无限逼近”的微积分的基本思想方法．
• 导数概念的核心是变化率，学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义，对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数，导数是研究函数的有力工具．由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减，由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓．导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法，利用导数，我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)＝0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题．
A.
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• 二、填空题 • 4．已知函数f(x)＝x3－2，则f(x)从2到2.1的
平均变化率为________． • [答案] 12.61
• (2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15， • f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81， • ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
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• [分析] 本题直接利用概念求平均变化率． 先求出表达式，再直接代入数据可以求得 相应的平均变化率的值．
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• [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
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• 已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化 率．
• (1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1； • (3)a＝－2，b＝1.5. • [解析] (1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3， • f(2)＝22＋2×2＝8， • ∴f(x)从1到2的平均变化率为
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• [点评] 本题的关系是将平均变化率的式 子进行变形，以便于判断k1与k2的大小．
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• 一、选择题
• 1．质点运动规律为s(t)＝t2＋3，则从3到3
＋Δt的平均速度为
()
• [答案] A
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• 2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A， B，且xA＝1，xB＝1.1，则平均变化率为 ()
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• 2．求函数平均变化率的步骤 • 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
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• [例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． • [分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
• [点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形式 ．
极值和最值； • 3．利用导数知识解决一些最优化问题； • 4．定积分概念的理解．
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• ●学法探究
• 导数是微积分的初步知识，是研究函数、 解决实际问题的有力工具．学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进 一步理解导数的概念和导函数的定义，掌 握导数的几何意义，掌握基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算法则，通过具 体实例，认识导数的工具性及其与实际问 题的联系，感受导数在解题中的作用，充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等 价转化思想及理论联系实际的思想方法．
变化率问题
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• ●课程目标 • (1)理解函数在某点的平均变化率的概念，
掌握函数平均变化率的求法． • (2)理解运动物体的速度在某时刻的瞬时变
化率(瞬时速度)，知道函数在某点x0处的 瞬时变化率就是导数，理解导数的概念和 定义，会求函数在某点处的瞬时变化率(导 数)． • (3)理解导数的几何意义，并会求出曲线在 某点处的切线方程．
• A．4
B．4x
• C．4.2
D．4.02
• [答案] C
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• 3．已知函数f(x)，当自变量由x0变化到x1 时函数值的增量与相应的自变量的增量比
是函数
()
• A．在区间[x0，x1]上的平均变化率 • B．在x0处的变化率 • C．在x1处的变化率 • D．以上结论都不对
• [答案] A
• [解析] 符合平均变化率的概念，故应选