高中高考数学：无理不等式的解法

无理不等式的解法
无理不等式 —— 关键是把它同解变形为有理不等式组
1.
f ( x ) ≥ 0 ⇒ 定义域 f ( x) > g ( x)型 ⇔ g ( x) ≥ 0 f ( x ) > g ( x)
；
f ( x ) ≥ g ( x) ⇔
；
例 1 ： 解不等式
3x − 4 − x − 3 > 0
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
3
3
解之并联系定义域得原不等式的解为{x | 1 < x < 2或x > 10} 最后：小结 练习：解下列不等式 1． 2 x − 3 + 3 x − 5 > 5 x − 6 ( x > 2) 2． 3 x − 3 + x + 3 < 3 x + x + 3 ( x ≥ −3)
4 − 3 x ≥ 0 2 − x + 3 x − 2 ≥ 0 − x 2 + 3 x − 2 > ( 4 − 3 x ) 2
4 x ≤ 3 6 4 1 ≤ x < 2 ⇒ < x ≤ 5 3 6 < x < 3 5 2
− x − 3x − 2 ≥ 0 Ⅱ： 4 − 3x < 0
2.
f ( x) ≥ 0 f ( x) ≥ 0 f ( x) > g ( x)型 ⇔ g ( x) ≥ 0 或 f ( x) > [ g ( x)] 2 g ( x) < 0
2
；
f ( x) ≥ g ( x ) ⇔
；
例 2：解不等式 − x + 3x − 2 > 4 − 3x 解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集： Ⅰ：
3x − 4 ≥ 0 解：∵根式有意义 ∴必须有： ⇒ x≥3 x−3≥ 0
又有 ∵ 原不等式可化为 3x − 4 > x − 3 ，两边平方得： 3x − 4 > x − 3 ，解之： x > 1 2 ∴ {x | x ≥ 3} ∩ {x | x > 1 } = {x | x ≥ 3} 2
3
． ．
4 − 1− x > 2 − x
(
− 5 + 13 < x ≤ 1 )s 2
4
． ( x − 1)
x2 − x − 2 ≥ 0
( x ≥ 2或x = −1)
( −1 ≤ x ≤
---2---
5
2 − x − x +1 > 1
1− 5 ) 2
2 2
例 5：解不等式
9 − x 2 + 6x − x 2 > 3
2
9− x ≥0 − 3 ≤ x ≤ 3 解：要使不等式有意义必须： ⇒ ⇒0≤ x≤3 0≤ x≤6 6x − x ≥ 0
2

在 0≤x≤3 内 0≤ 9 − x ≤3 ， 0≤ 6 x − x ≤3 ∴ 9 − x >3− 6 x − x ，因为不等式两边均为非负 两边平方得： 9 − x > 9 + 6 x − x − 6 6 x − x ， 即 6 x − x >x 因为两边非负，再次平方： 6 x − x > x ，解之 0<x<3 ； 综合得：原不等式的解集为 0<x<3 例 6： 解不等式 2 − x + x − 1 > 1 解：定义域 x-1≥0 x≥1，原不等式可化为： x − 1 − 1 > x − 2 两边立方并整理得： ( x + 2) x − 1 > 4( x − 1) 在此条件下两边再平方, 整理得： ( x − 1)( x − 2)( x − 10) > 0
2

解Ⅰ：
6 解Ⅱ： 4 < x ≤ 2 ∴原不等式的解集为 {x | < x ≤ 2} 3 5
3.
f ( x) ≥ 0 f ( x) < g ( x)型 ⇔ g ( x) > 0 f ( x) < [ g ( x)] 2
；
f ( x) ≤ g ( x ) ⇔
例 3：解不等式
2x 2 − 6x + 4 < x + 2
2 x 2 − 6 x + 4 ≥ 0 x ≥ 2或x ≤ 1 ⇒ x > −2 ⇒ {x | 2 ≤ x < 10或0 < x ≤ 1} x + 2 > 0 2 x 2 − 6 x + 4 < ( x + 2) 2 0 < x < 10
解：原不等式等价于
特别提醒注意：取等号的情况
---1---
4.
其他型： 例 4：解不等式Baidu Nhomakorabea
2x + 1 > x + 1 − 1
1 2 x + 1 ≥ 0 1 x ≥ − ⇒ 2⇒x≥− 2 x +1 ≥ 0 x ≥ −1
解 ：要使不等式有意义必须：
原不等式可变形为： 2 x + 1 + 1 > x + 1 因为两边均为非负 ∴ ( 2 x + 1 + 1) > ( x + 1) ，即 2 2 x + 1 > −( x + 1) ∵x+1≥0 ∴不等式的解为 2x+1≥0 即 x ≥ − 1 2