高二数学椭圆教案

高二数学椭圆知识点

1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数

)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭

圆的焦距.

注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨

迹无图形.

2、椭圆的标准方程

1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b

x a y )0(>>b a ，其中2

22b a c -=；

3、椭圆：122

22=+b

y a x )0(>>b a 的简单几何性质

（1）对称性：对于椭圆标准方程122

22=+b

y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴

为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对

称中心称为椭圆的中心。

（2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。

（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆

122

22=+b

y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

（4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a

c

a c e ==

22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<

仅当b a =时，0=c ，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为a y x =+2

2。 注意： 椭圆122

22=+b

y a x 的图像中线段的几何特征（如下图）：

)2(21a PF PF =+

e PM PF PM PF ==

2

21

1；

)2(22

1c

a PM PM =+；

4、椭圆的令一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有

e PM PF PM PF ==

2

21

1

5：椭圆12222=+b y a x 与 122

22=+b

x a y )0(>>b a 的区别和联系

标准方程

122

22=+b y a x )0(>>b a 122

22=+b

x a y )0(>>b a 图形

性质

焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F

焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤ b x ≤，a y ≤ 对称性

关于x 轴、y 轴和原点对称

顶点 )0,(a ±，),0(b ±

),0(a ±，)0,(b ±

轴长 长轴长=a 2，短轴长=b 2

离心率

)10(<<=

e a

c

e 准线方程 c

a x 2

±=

c

a y 2

±=

焦半径

01ex a PF +=，02ex a PF -= 01ey a PF +=，02ey a PF -=

基础练习：

一、选择题：本大题共6小题，每小题7分，共42分。

1. 设定点()3,01-F ，()302,F ，动点()y ,x P 满足条件1021=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）

A. 椭圆

B. 线段

C. 椭圆或线段

D. 不存在

2. 已知椭圆122

22=+y a

x 的一个焦点为()0,2，则椭圆的方程是（ ） A. 12422=+y x B. 12

32

2=+y x C. 1222

=+y x D. 12622=+y x 3. 椭圆

116

252

2=+y x 上一点M 到一个焦点1F 的距离是2，则点M 到另一个焦点2F 的距离是（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 1

4. 椭圆1942

2=+y x 的焦点坐标是（ ）

A. ()0,5±

B. ()

5,0± C. ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛±

0,65 D. ⎪⎭

⎫

⎝⎛±0,365 5曲线14922=+y x 和19

42

2=+y x 没有（ ） A. 相同的焦点 B. 相同的离心率 C. 相同的短轴 D. 相同的长轴

6椭圆的对称轴是坐标轴，离心率为

3

1

，长轴长为12，则椭圆方程为（ ） A.

112814422=+y x 或114412822=+y x B. 1462

2=+y x C.

1323622=+y x 或1363222=+y x D. 16422=+y x 或1462

2=+y x 7椭圆12

2=+my x 的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的取值是（ ）

A.21

B. 2

C.4

1

D. 4

二、填空题：本大题共4小题，每小题7分，共28分。把答案填在题中横线上。

8. 已知椭圆方程14

82

2=+y x ，离心率为 ，此椭圆的长轴长为 。

9. 椭圆3282

2=+y x 的焦点坐标为 ，顶点坐标为 。 10.22=a ，3=

b ,则焦点在y 轴上的椭圆的离心率为 。．

11 焦点在x 轴上，焦距为24的椭圆方程是 。

三、解答题：本大题共2小题，满分30分。

12. （15分）平面内两个定点的距离是8，写出到这两个定点距离的和是10的动点的轨迹方程。

13（15分）已知椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在x 轴上，离心率3

2

=

e ，短轴长为58，求椭圆的方程。

双曲线知识点

1 双曲线定义：

①到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．

要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；

当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.