矩阵的基本概念

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§1 矩阵及其运算

教学要求:理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵(比如零矩阵,单位矩阵,对称矩阵和反对称矩阵 ) 的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。能熟练正确地进行矩阵的计算。知识要点:

一、矩阵的基本概念

矩阵,是由个数组成的一个行列的矩形表格,通常用大写字母表示,组成矩阵的每一个数,均称为矩阵的元素,通常用小写字母其元素表示,其中下标都是正整数,他

们表示该元素在矩阵中的位置。比如,或表示一个矩阵,下标表示元素位于该矩阵的第行、第列。元素全为零的矩阵称为零矩阵。

特别地,一个矩阵,也称为一个维列向量;而一个

矩阵,也称为一个维行向量。

当一个矩阵的行数与烈数相等时,该矩阵称为一个阶方阵。对于方阵,从左上角到右下角的连线,称为主对角线;而从左下角到右上角的连线称为付对角线。若一个阶方阵的主对角线上的元素都是,而其余元素都是零,则称为单位矩阵,记为,即:

。如一个阶方阵的主对角线上(下)方的元素都是零,则称为下(上)三角矩阵,例如,是一

个阶下三角矩阵,而则是一个阶上三角矩阵。今后我们用表示数域上的矩阵构成的集合,而用

或者表示数域上的阶方阵构成的集合。

二、矩阵的运算

1、矩阵的加法:如果是两个同型矩阵(即它们具有相同的行数和列数,比如说),则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵(即),的元素为和对应元素的和,即:。

给定矩阵,我们定义其负矩阵为:。这样我们可以定义同型矩阵的减法为:。由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算,容易验证,矩阵的加法满足下列运算律:

( 1)交换律:;

( 2)结合律:;

( 3)存在零元:;

( 4)存在负元:。

2 、数与矩阵的乘法:

设为一个数,,则定义与的乘积仍为中的一个矩阵,中的元素就是用数乘中对应的元素的道德,即。由定义可知:。容易验证数与矩阵的乘法满足下列运算律:

(1 );

(2 );

(3 );

(4 )。

3 、矩阵的乘法:

设为距阵,为距阵,则矩阵可以左乘矩阵(注意:距阵德列数等与矩阵的行数),所得的积为一个距

阵,即,其中,并且。据真的乘法满足下列运算律(假定下面的运算均有意义):

( 1)结合律:;

( 2)左分配律:;

( 3)右分配律:;

( 4)数与矩阵乘法的结合律:;

( 5)单位元的存在性:。

若为阶方阵,则对任意正整数,我们定义:,并规定:由于矩阵乘法满足结合律,我们有:,。

注意:矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别,特别应该注意的是:(1 )矩阵乘法不满足交换律:一般来讲即便有意义,也未必有意义;倘使都有意义,二者也未必相等(请读者自己举反例)。正是由于这个原因,一般来讲,,。(2 )两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵,即未必能推出

或者(请读者自己举反例)。

(3 )消去律部成立:如果并且,未必有。

4 、矩阵的转置:

定义:设为矩阵,我们定义的转置为一个

矩阵,并用表示的转置,即:。矩阵的转置运算满足下列运算律:

(1 );

(2 );

(3 );

(4 )。

5、对称矩阵:

定义1.11 阶方阵若满足条件:,则称为对称矩阵;若满足条件:,则称为反对称矩阵。若设,则为对称矩阵,当且仅当对任意的成立;为反对称矩阵,当

且仅当对任意的成立。从而反对称局针对角线上的元素必为零。对称矩阵具有如下性质:

(1 )对于任意矩阵,为阶对称矩阵;而为阶对称矩阵;

(2 )两个同阶(反)对称矩阵的和,仍为(反)对称矩阵;

(3 )如果两个同阶(反)对称矩阵可交换,即,则它们的乘积必为对称矩阵,即。

思考题:

1、设为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,

为第个分量为,而其余分量全为零的维列向量,

为矩阵,试计算;

2 、设为阶方阵,并且对任意有,你能得出什么结论?

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