《轴对称图形》：轴对称的性质(含答案)演示教学

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人教版四年级数学下册第七单元第1课时《轴对称图形的性质及画法》课件

7 图形的运动(二)
轴对称图形的性质及画法
说一说：下面哪些是轴对称图形？它们有几条对称轴？
思考：仔细观察这些图形,你发现了什么?
思考：仔细观察这些图形,你发现了什么?
对称轴对称轴两边的图形完全重合了。
交流: A、A′和B、B′到对称轴的距离分别是多少？
你发现了什么？
轴对称图形中每组对应点到对称轴的
知识点 2 画一个图形的轴对称图形
2．以虚线为对称轴，画出各图的轴对称图形。
易错辨析
3．以虚线为对称轴，画出小船的轴对称图形。
辨析：没有正确理解轴对称图形的特征导致作图错误。
提升点 1 从不同方向画同一图形的轴对称图形
4．以虚线为对称轴，画出梯形两个不同方向的轴对称图形。
提升点 2 以对角线为对称轴画轴对称图形的另一半
5．画出轴对称图形的另一半(以虚线为对称轴)。
6．手工课上，亮亮将一张长方形纸对折，剪掉一个等腰直角三角形后得到下图。想一想，亮亮将这张纸展开后，会是什么样子呢？请你画一画。
(答案不唯一)
根据对称轴补全轴对称图形
练习
教材习题
1．选择合适的方法画出下面的角，并说说它们分别是哪一种角。（选题源于教材P46第12题）
画角略。10°、45°、60°的角是锐角，90°的角是直角，105°、120°的角是钝角，180°的角是平角。
知识点 1 补全轴对称图形
1．以虚线为对称轴，画出轴对称图形的另一半。
知识点轴对称图形的特征及对称轴
1．填一填。 (1)将图形沿着一条直线对折，如果直线两边的部分能够
( 完全重合 )，这样的图形就是轴对称图形，折痕所在的直线就是这个图形的( 对称轴 )。 (2)在轴对称图形中，对称点的连线与对称轴 (互相垂直 )，对称点到对称轴的距离( 相等 )。

轴对称(知识讲座)

§12．1 轴对称§12．1．1 轴对称〔一〕教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点轴对称图形的概念．教学难点能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十四章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两局部能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．我们的黑板、课桌、椅子等．我们的身体，还有飞机、汽车、枫叶等都是对称的．如课本的图14．1．2，把一张纸对折，剪出一个图案〔折痕处不要完全剪断〕，•再翻开这张对折的纸，就剪出了美丽的窗花．观察得到的窗花和图14．1．1中的图形，你能发现它们有什么共同的特点吗？窗花可以沿折痕对折，使折痕两旁的局部完全重合．不仅窗花可以沿一条直线对折，使直线两旁重合，上面图14．1．1中的图形也可以沿一条直线对折，使直线两旁的局部重合．结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的局部能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线〔成轴〕•对称．了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸翻开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》

教学设计2024秋季八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，掌握识别轴对称图形的方法，能画出给定图形的轴对称图形。

2.过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，培养学生的空间想象能力和图形变换能力；在小组合作中，提升交流与合作能力。

3.情感态度价值观：激发学生对数学美的感受，培养探索数学规律的兴趣；通过解决实际问题，增强应用数学的意识。

二、教学重点•轴对称图形的定义及其性质。

•如何判断一个图形是否为轴对称图形。

•掌握作轴对称图形的基本方法。

三、教学难点•理解轴对称图形中对称轴两侧图形全等的意义。

•灵活运用轴对称性质解决复杂图形问题。

四、教学资源•多媒体课件（包含轴对称图形的实例、动态演示）。

•实物教具（如对称的剪纸、镜子等）。

•学生分组材料（纸张、剪刀、直尺、铅笔）。

•教材及配套练习册。

五、教学方法•直观演示法：利用多媒体和实物展示轴对称现象。

•动手操作法：学生动手剪纸或画图，体验轴对称图形的形成过程。

•合作探究法：小组内讨论轴对称图形的性质，共同解决问题。

•归纳总结法：引导学生总结轴对称图形的特征和应用。

六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示自然界和生活中轴对称图形的图片（如蝴蝶、树叶、建筑等），引导学生观察并思考这些图形的共同特点。

•提出问题：这些图形有什么共同之处？你能举出更多这样的例子吗？2. 新课教学•定义讲解：明确轴对称图形的定义，强调对称轴、对应点、对应线段等概念。

•实例分析：选取几个典型的轴对称图形，引导学生分析其对称轴和对称性质。

•动手操作：•活动一：学生分组，利用纸张和剪刀尝试剪出轴对称图形，并讨论其对称轴。

•活动二：给定一个简单图形，要求学生画出其关于某条直线的轴对称图形，并说明作图步骤。

•归纳总结：总结轴对称图形的性质，强调对称轴两侧图形全等的特点。

结构图示意（简化版）：引入（生活实例）→ 定义讲解（轴对称图形）→ 实例分析（图形特征）→动手操作（剪纸/画图）→ 归纳总结（性质、作图方法）3. 课堂小结•回顾轴对称图形的定义、性质及作图方法。

《轴对称图形》：轴对称的性质(含答案)

第2章《轴对称图形》：2.2 轴对称的性质选择题1．把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1的度数等于（）A．65°B．55°C．45°D．50°（第1题）（第3题）（第4题）2．如图a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（）A．110°B．120°C．140°D．150°3．如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分别落在点C1，D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°填空题4．如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C，D分别落在C′，D′上，EC′交AD于点G，已知∠EFG=58°，那么∠BEG=度．5．如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若∠1=58°，则∠AEG=度．（第5题）（第6题）（第7题）6．将一矩形纸条，按如图所示折叠，则∠1=度．7．如图，一张宽度相等的纸条，折叠后，若∠ABC=110°，则∠1的度数为度．8．如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1=度．9．生活中，将一个宽度相等的低条按图所示的方法折叠一下，如果∠1=140°，那么∠2=度．（第8题）（第9题）（第10题）10．如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=．11．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2=80°，则∠B=度．（第11题）（第12题）（第13题）12．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为 cm2．13．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个．14．如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OBCD为厘米．（第14题）（第15题）（第16题）15．如图，已知正方形的边长为6cm，则图中阴影部分的面积是 cm2．16．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图②）．则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是．17．如图，a是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是度．18．如图，把一个长方形纸片沿EF折叠后，点D、C分别落在D′、C′的位置．若∠EFB=65°，则∠AED′等于度．（第18题）（第19题）（第20题）19．动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q 也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．20．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为 cm．21．如图，将矩形ABCD沿BE折叠，若∠CBA′=30°，则∠BEA′=度．（第21题）（第22题）（第23题）22．如图，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30度．将该纸片沿对角线BD翻折，点A落在点E处，EB交DC于点F，则点F到直线DB的距离为．23．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B= 度．24．如图，矩形纸片ABCD中，AD=9，AB=3，将其折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，那么折痕EF的长为．2（第24题）（第25题）（第26题）25．如图，D、E为AB、AC的中点，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=50°，则∠BDF=度．26．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，BC=2cm，把△ACD沿AD对折，使点C落在E的位置，则BE= cm．27．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠θ的度数是度．（第27题）（第28题）28．如图，三角形纸片ABC，AB=10cm，BC=7cm，AC=6cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．答案：选择题1．故选A．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据对折，对折角相等，由直线平行，内错角相等，根据角的等量关系，求得∠1．解答：解：作图如右，∵图形对折，∴∠1=∠2，∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠3=130°，∴∠1=65°，故选A．点评：本题考查图形的折叠与拼接，同时考查了三角形、四边形等几何基本知识，解题时应分别对每一个图形进行仔细分析，难度不大．2．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b∠GFC=140°，图c中的∠CFE=∠GFC-∠EFG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b中∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．3．故选B．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠前后对应角相等可知．解答：解：设∠ABE=x，根据折叠前后角相等可知，∠C1BE=∠CBE=50°+x，所以50°+x+x=90°，解得x=20°．故选B．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．填空题4．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：因为平行所以有∠EFG=∠CEF，又由题意可知∠FEC和∠FEG本就是同一个角，所以相等，根据平角概念即可求出∠BEG．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFG=∠CEF=58°，∵∠FEC=∠FEG，∴∠FEC=∠FEG=∠EFG=58°，∴∠BEG=180°-58°-58°=64°．点评：此题主要考查了折叠的性质和平行线的性质．学生平时要多进行观察，总结规律．明白折叠后等角是哪些角．5．故填64．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：此题要求∠AEG的度数，只需求得其邻补角的度数，根据平行线的性质以及折叠的性质就可求解．解答：解：根据长方形的对边平行，得AD∥BC，∴∠DEF=∠1=58°．再根据对折，得：∠GEF=∠DEF=58°．再根据平角的定义，得：∠AEG=180°-58°×2=64°．点评：运用了平行线的性质，还要注意折叠的题目中，重合的两个角相等，结合平角的定义即可求解．6．故填52．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据平行线的性质，折叠变换的性质及邻补角的定义可直接解答．解答：解：∵该纸条是折叠的，∴∠1的同位角的补角=2×64°=128°； ∵矩形的上下对边是平行的，∴∠1=∠1的同位角=180°-128°=52°．点评：本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等；邻补角的定义；折叠变换的性质． 7．故填55．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：利用平行线的性质和翻折变换的性质即可求得．解答：解：∵∠ABC=110°，纸条的上下对边是平行的， ∴∠ABC 的内错角=∠ABC=110°； ∵是折叠得到的∠1，∴∠1=0.5×110°=55°．故填55．点评：本题应用的知识点为：两直线平行，内错角相等． 8．故填65．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系列出方程求解则可．解答：解：根据题意得2∠1与130°角相等，即2∠1=130°，解得∠1=65°．故填65．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般． 9．故填110°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：如图，因为AB∥CD，所以∠BEM=∠1（两直线平行，内错角相等）；根据折叠的性质可知∠3=∠4，可以求得∠4的度数；再根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠BEM=∠1=140°，∠2+∠4=180°， ∵∠3=∠4，∴∠4=12∠BEM=70°，∴∠2=180°-70°=110°．点评：此题考查了折叠问题，注意折叠的两部分全等，即对应角与对应边相等．此题还考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．10．故填115°．考点：平行线的性质；翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据折叠的性质及∠1=50°可求出∠2的度数，再由平行线的性质即可解答．解答：解：∵四边形EFGH 是四边形EFBA 折叠而成， ∴∠2=∠3，∵∠2+∠3+∠1=180°，∠1=50°，∴∠2=∠3=12 （180°-50°）=12×130°=65°，又∵AD∥BC，∴∠AEF+∠EFB=180°，∴∠AEF=180°-65°=115°．点评：解答此题的关键是明白折叠不变性：折叠前后图形全等．据此找出图中相等的角便可轻松解答． 11．故答案为：40°．考点：三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）．分析：利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．解答：解：∵△ABC 沿着DE 翻折，∴∠1+2∠BED=180°，∠2+2∠BDE=180°， ∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）=360°，而∠1+∠2=80°，∠B+∠BED+∠BDE=180°， ∴80°+2（180°-∠B）=360°， ∴∠B=40°．故答案为：40°．点评：本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．12．故阴影部分的面积为8cm 2．考点：轴对称的性质．专题：压轴题．分析：正方形为轴对称图形，一条对称轴为其对角线；由图形条件可以看出阴影部分的面积为正方形面积的一半．解答：解：依题意有S阴影=12×4×4=8cm2，故阴影部分的面积为8cm2．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．13．答案为5个．考点：轴对称的性质．专题：压轴题；网格型．分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．解答：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△BCD，△BFH，△ADC，△AEF，△CGH．点评：本题考查轴对称图形的定义与判断，如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．14．故答案为：8．考点：轴对称的性质．分析：根据轴对称的性质和三角形周长的定义可知．解答：解：根据题意点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，故有MP=MC，NP=ND；则CD=CM+MN+ND=PM+MN+PN=8cm．故答案为：8．点评：本题考查轴对称的性质．对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．15．答案为18．考点：轴对称的性质．分析：根据图形的对称性，则阴影部分的面积即为正方形的面积的一半．解答：解：根据图形的对称性，知阴影部分的面积=正方形的面积的一半=12×6×6=18（cm2）．点评：此题要能够利用正方形的对称性，把阴影部分的面积集中到一起进行计算．16．答案为1：2．考点：剪纸问题．专题：压轴题．分析：本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．解答：解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．点评：本题必须以不变应万变，透过现象把握本质，才能将问题转化为熟悉的知识去解决．17．答案为120°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．解答：解：根据图示可知∠CFE=180°-3×20°=120°．故图c中的∠CFE的度数是120°．点评：本题考查图形的翻折变换．18．答案为50°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：首先根据AD∥BC，求出∠FED的度数，然后根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，则可知∠DEF=∠FED′，最后求得∠AED′的大小．解答：解：∵AD∥BC，∴∠EFB=∠FED=65°，由折叠的性质知，∠DEF=∠FED′=65°，∴∠AED′=180°-2∠FED=50°．故∠AED′等于50°．点评：本题利用了：1、折叠的性质；2、矩形的性质，平行线的性质，平角的概念求解．19．故答案为：2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：本题关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1．所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2．解答：解：当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时（如图），由勾股定理得A′C=4，此时BA′取最小值为1．则点A′在BC边上移动的最大距离为3-1=2．故答案为：2点评：本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．20．答案为3cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由题意得AE=AE′，AD=AD′，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．解答：解：将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．则阴影部分图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E， =BC+BD+CE+AD+AE ， =BC+AB+AC ， =3cm ．点评：折叠问题的实质是“轴对称”，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．21．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，折叠后形成的图形全等，找出对应的边角关系即可．解答：解：根据题意，∠A′=∠A=90°，∠ABE=∠A′BE，又∠CBA′=30°，则∠BEA′=180°-90°-30°=60°．点评：本题考查图形的轴对称．解题关键是找出由轴对称所得的相等的边或者相等的角．22．故答案为：2 33．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠性质可以得到，∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD，进而得到△DFB是等腰三角形，有DF=FD ，作FG⊥BD，由等腰三角形的性质：底边上的高与底边上的中线重合，则点G 是BD 的中点，而BD=ADsin30°=4，所以可求得FG=BGtan30°=2 33．解答：解：∵矩形纸片沿对角线BD 翻折，点A 落在点E 处∴∠FBD=∠ABD=30°，△DEB≌△BCD， ∴∠DBE=∠CDB， ∴DF=FB，∴△DFB 是等腰三角形，过点F 作FG⊥BD，则点G 是BD 的中点 ∵BD=ADsin30°=4 ∴BG=2∴FG=BGtan30°=2 33．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数的概念求解．23．故答案为：60．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠的性质知，∠DA1E=∠A=90°；DA1=AD=2CD，易证∠CDA1=60°．再证∠EA1B=∠CDA1．解答：解：由折叠的性质知，A′D=AD=2CD，∴sin∠CA′D=CD：A′D=1：2，∴∠CA′D=30°，∴∠EA′B=180°-∠EA′D-∠CA′D=180°-90°-30°=60°．故答案为：60．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、直角三角形的性质，同角的余角相等求解．24．答案为10 ．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：先判定三角形BDE是等腰三角形，再根据勾股定理及三角形相似的性质计算．解答：解：连接BD，交EF于点G，由折叠的性质知，BE=ED，∠BEG=∠DEG，则△BDE是等腰三角形，由等腰三角形的性质：顶角的平分线是底边上的高，是底边上的中线，∴BG=GD，BD⊥EF，则点G是矩形ABCD的中心，所以点G也是EF的中点，由勾股定理得，BD=310 ，BG=3102，∵BD⊥EF，∴∠BGF=∠C=90°，∵∠DBC=∠DBC，∴△BGF∽△BCD，则有GF：CD=BG：CB，求得GF=102，∴EF=10 ．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质求解．25．答案为80°．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据中位线的定义得出ED∥BC，再根据平行的性质和折叠的性质即可求．解答：解：∵D、E为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，ED∥BC，∴∠ADE=∠ABC∵∠ABC=50°，∴∠ADE=50°，由于对折前后两图形全等，故∠EDF=50°，∠BDF=180°-50°×2=80°．点评：本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．26．答案为 2 cm．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．解答：解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，∴∠CDE=∠BDE=90°，∵BD=CD，∴BD=ED，即△EDB是等腰直角三角形，∴BE= 2 BD= 2 BC= 2 cm．点评：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2等腰直角三角形的性质求解．27．答案为60°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题关键是把所求的角转移成与已知角有关的角．解答：解：根据对顶角相等，翻折得到的∠E=∠ACB可得到∠θ=∠EAC，∵△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB，AC边翻折180°形成的，∠BAC=150°，∴∠DAC=∠BAE=∠BAC=150°．∴∠DAE=∠DAC+∠BAE+∠BAC-360°=150°+150°+150°-360°=90°．∴∠θ=∠EAC=∠DAC-∠DAE=60°．点评：翻折前后对应角相等．28．答案为9．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：由折叠中对应边相等可知，DE=CD，BE=BC，可求AE=AB-BE=AB-BC，则△AED 的周长为AD+DE+AE=AC+AE．解答：解：DE=CD，BE=BC=7cm，∴AE=AB-BE=3cm，∴△AED的周长=AE+AD+DE=AC+AE=6+3=9cm．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．。

《轴对称现象》生活中的轴对称PPT赏析教学课件

第五章生活中的轴对称
轴对称现象
目录导航
01 学习目标 02 精典范例 03 变式练习 04 巩固训练
学习目标
1.经历观察生活中的轴对称现象、探索轴对称现象共同特征的过程,进一步积累数学活动经验和发展空间观念. 2.理解轴对称图形和成轴对称的图形的意义,能够识别这些图形并能指出它们的对称轴.体会轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值. 3.经历探索轴对称性质的过程,积累数学活动经验,发展空间观念.
A
B
C
D
变式练习
1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是A( )
A
B
C
D
2.下列“数字”图形中,有且仅有一条对称轴的是( A )
A
B
C
D
3.观察下图中的各组图形,其中成轴对称的有 ①② (填序号).
①
②
③
巩固训练 4.如图所示的几个图案中,是轴对称图形的是( A )
12.下面四个图形中,哪些是轴对称图形?如果是轴对称图形, 各有几条对称轴?分别画出来.
解:(1)不是;(2)(3)(4)都是轴对称图形,其中(2)有 3 条对称轴;(3)有 2 条对称轴;(4)有 1 条对称轴,画图略.
13.(1)正三角形,(2)正四边形,(3)正五边形,(4)正六边形,(5)正八边形,(6)正九边形都是轴对称图形,数一数它们的对称轴的条数.观察后分析:正多边形对称轴的条数与边数n有什么关系? 根据你的分析结果回答,正十边形、正十六边形、正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?
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(7) 英国
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《轴对称图形》(教案)三年级上册数学苏教版

轴对称图形（教案）一、教学目标1.了解轴对称图形的概念和基本性质。

2.能够通过折纸法将图形进行轴对称。

3.能够自己画出轴对称图形。

二、教学重点1.轴对称图形的性质。

2.轴对称图形的绘制方法。

三、教学难点1.应用轴对称性质进行图形判断和绘制。

2.真正理解轴对称图形的概念和意义。

四、教学步骤1. 导入新课1.教师通过投影或黑板屏幕展示轴对称图形的概念，让学生们理解轴对称图形的本质和特点。

2.引导学生们自己找出周围环境中的轴对称图形，并让学生们在书面上记录下来。

2. 学习轴对称图形的基本性质1.让学生们针对记录下来的轴对称图形，一起分析轴对称性质的基本特点，引导学生们发现各类轴对称图形中的共性。

2.教师通过具体的图形设计举例介绍轴对称图形的性质。

3. 学习绘制轴对称图形1.将轴对称的概念引入到折叠纸片的教学中，让学生们切实地感受到轴对称图形的意义。

2.通过进行实际的折叠和绘制练习，让学生们更加熟练掌握轴对称图形的绘制方法。

4. 进行课堂练习1.让学生自己找到轴对称图形，并在书面上记录下来。

2.学生们以小组为单位进行图形绘制练习，巩固轴对称性质的掌握。

5. 课堂总结1.回顾今天的学习内容，让学生们自己总结轴对称图形的概念、性质和绘制方法。

2.让学生们体会轴对称图形所在的实物和实际生活中的应用。

五、作业布置1.按照课上学习的方法，对书本、文具盒、电视等周围环境中的轴对称图形进行记录和绘制。

2.完成教师布置的书面作业，并进行提交。

六、教学反思通过本节课的学习，学生们对于轴对称图形的概念和性质有了深入的了解。

其中，采用手折纸片的方式进行课堂教学，让学生们更加深刻地体会到轴对称图形的定义和实际用处。

同时，也充分锻炼了学生们的观察和想象能力，为他们今后的学习和生活中打下了基础。

第2章《轴对称图形》常考题集：2.2轴对称的性质（含答案）

度．（第1题）（第2题）（第3题）2．如图，将纸片△ABC 沿DE 折叠，点A 落在点A ′处，已知∠1+∠2=100°，则∠A 的大小等于度．3．如图，△ABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A ′处，若点D 为AB 边的中点，∠B=50°，则∠BDA ′的度数为．4．如图，三角形纸片ABC 中，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C 落在△ABC 内，若∠1=20°，则∠2的度数为度．（第4题）（第7题）（第8题） cm．．第2章《轴对称图形》常考题集：2.2 轴对称的性质填空题1．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B=55°，则∠BDF=5．小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张长方形纸片按左图方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按右图的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是6．把图一的矩形纸片ABCD 折叠，B 、C 两点恰好重合落在AD 边上的点P 处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD 的面积为cm ．度． cm．（第9题）（第10题）（第12题）10．如图，把矩形ABCD 沿EF 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点G 处，若∠CFE=60°，且DE=1，则边BC 的长为．．13．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1=64°，那么∠2等于．（第13题）（第14题）（第15题） 14．如图，矩形ABCD 中（AD ＞AB ），M 为CD 上一点，若沿着AM 折叠，点N 恰落在BC 沿直线AD 折过来，点C 落到点C 1的位置，如果BC=10，那么BC 1= ．16．如图，长方形纸片ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，现将A 、C 重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF ，则S △AEF = cm 2．（第16题）（第18题）17．如图，△ABC 中∠A=30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB=82°，则B=原三角形的∠B= 度．7．如图，将矩形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 点处，已知CE=3 cm ，AB=8 cm ，则图中阴影部分面积为8．如图（1）是四边形纸片ABCD ，其中∠B=120°，∠D=50度．若将其右下角向内折出△PCR ，恰使CP ∥AB ，RC ∥AD ，如图（2）所示，则∠C=9．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿着直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 的长为11．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，将它的一个锐角翻折，使该锐角顶点落在其对边的中点D 处，折痕交另一直角边于E ，交斜边于F ，则△CDE 的周长为12．如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若∠1=70°，则∠2= 度．上，则∠ANB+∠MNC= 度．15．如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=60°，把△ADCb 的值为．解答题A 1B 1C 1D 1；（2）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 关于直线l 对称的四边形A 2B 2C 2D 2．18．如图一张长方形纸片ABCD ，其长AD 为a ，宽AB 为b （a ＞b ），在BC 边上选取一点M ，将△ABM 沿AM 翻折后B 至B ′的位置，若B ′为长方形纸片ABCD 的对称中心，则a19．如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在落在四四边形BCDE 内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED 的度数为x ，∠ADE 的度数为y ，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x 或y 的代数式表示）（3）∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．20．如图，在方格纸上建立平面直角坐标系，线段AB 的两个端点都在格点上，直线MN 经过坐标原点，且点M 的坐标是（1，2）．（1）写出点A 、B 的坐标；（2）求直线MN 所对应的函数关系式；（3）利用尺规作出线段AB 关于直线MN 的对称图形．（保留作图痕迹，不写作法）21．作图题：（不要求写作法）如图，在10×10的方格纸中，有一个格点四边形ABCD （即四边形的顶点都在格点上）．（1）在给出的方格纸中，画出四边形ABCD 向下平移5格后的四边形的面积．．（3）写出点A 1，B 1，C 1的坐标．的坐标：；（2）求经过第2008次跳动之后，棋子落点与点P 的距离．22．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A （-1，5），B （-1，0），C （-4，3）．（1）求出△ABC（2）在图中作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 123．如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P 处开始依次关于点A 、B 、C 作循环对称跳动，即第一次跳到点P 关于点A 的对称点M 处，接着跳到点M 关于点B 的对称点N 处，第三次再跳到点N 关于C 的对称点处，…如此下去．（1）在图中画出点M 、N ，并写出点M 、N，）．24．如图所示，在直角坐标系xOy 中，A （-1，5），B （-3，0），C （-4，3）．（1）在图中作出△ABC 关于y 轴的轴对称图形△A ′B ′C ′；（2）写出点C 关于y 轴的对称点C ′的坐标（25．如图，已知网格上最小的正方形的边长为1．（1）分别写出A 、B 、C 三点的坐标；（2）作△ABC 关于y 轴的对称图形△A ′B ′C ′．（不写作法）26．如图，在正方形网格上有一个△ABC ．（1）作△ABC 关于直线MN 的对称图形（不写作法）；（2）若网格上的最小正方形的边长为1，求△ABC 的面积27．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”，如图1中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”．（1）求图1中四边形ABCD 的面积；（2）在图2方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为，）．．轴对称图形．28．下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1．（1）“小猪”所占的面积为多少？（2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）；（3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（29．认真画一画．如图，在正方形网格上有一个△DEF ．（1）作△DEF 关于直线HG 的轴对称图形△D ′E ′F ′（不写作法）；（2）作EF 边上的高（不写作法）；（3）若网格上的最小正方形边长为1，则△DEF 的面积为30．如图，写出△ABC 的各顶点坐标，并画出△ABC 关于Y 轴的对称图形，并直接写出△ABC 关于x 轴对称的三角形的各点坐标．答案：填空题1．故答案为：70．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：利用折叠的性质求解．利用折叠的性质求解．解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，AD=DF AD=DF AD=DF，，∵点D 是AB 的中点，∴AD=BD，由折叠可知AD=DF AD=DF，， ∴BD=DF，∴BD=DF，∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°∴∠DFB=∠B=55°，∠BDF=180°--2∠B=70°．2∠B=70°．故答案为：故答案为：707070．．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②中点的性质，等边对等角，等；②中点的性质，等边对等角，三角形内角和三角形内角和定理求解． 2．故本题答案为50°．°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质可知．根据折叠的性质可知．解答：解：连接AA′，AA′，易得AD=A′D，AE=A′E；AD=A′D，AE=A′E；故∠1+∠2=2（∠DAA′+∠EAA′）=2∠A=100°；3．故填80．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质可知点评：本题利用了：本题利用了：11对应边和对应角等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．度． 5．故应填1cm cm．．.考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：有关图形的折叠与拼接最好的解决方法是亲自动手操作．先求第一次折痕，再求第二次，从而求它们的关系．故∠A=50°．故∠A=50°．点评：本题通过折叠本题通过折叠变换变换考查学生的逻辑思维能力，考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，解决此类问题，应结合题意，最好最好实际操作实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． AD=A′D，再根据AD=A′D，再根据中点中点的性质得AD=BD AD=BD，BD=A′D，，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°，从而求解∠BDA'的度数．解答：解：由折叠的性质知，AD=A′D，解：由折叠的性质知，AD=A′D，∵点D 为AB 边的中点边的中点∴AD=BD，BD=A′D，∠DA′B=∠B=50°， ∴∠BDA′=180°∴∠BDA′=180°--2∠B=80°．、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，相等；相等；22、中点的性质，、中点的性质，等边对等角等边对等角，三角形的内角定理求解． 4．故填60．分析：根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合根据题意，已知∠A=65°，∠B=75°，可结合三角形内角和三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．解答：解：∵∠A=65°，∠B=75°，解：∵∠A=65°，∠B=75°，∴∠C=180°∴∠C=180°--（65°+75°）（65°+75°）=40=40度，度， ∴∠CDE+∠CED=180°∴∠CDE+∠CED=180°--∠C=140°，∠C=140°， ∴∠2=360°∴∠2=360°--（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°--300°=60度．度．故填6060．．点评：本题通过折叠变换考查三角形、本题通过折叠变换考查三角形、四边形四边形内角和定理．注意折叠前后图形全．故应填1445 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压解答：解：由勾股定理得，等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解． 7．故应填30cm 2．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出，再根据勾股定理列出方方程求解即可．解答：解：由折叠的性质知，解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5EF=DE=CD-CE=5，，AD=AF=BC AD=AF=BC，，由勾股定理得，由勾股定理得，CF=4CF=4CF=4，，AF 2=AB 2+BF 2，即AD 2=82+（AD-4AD-4））2，解得，解得，AD=10AD=10AD=10，， ∴BF=6，∴BF=6，图中阴影部分面积图中阴影部分面积=S =S △A B F +S △C E F =30cm 2．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解． 8．故应填95．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据折叠前后图形全等和平行线，根据折叠前后图形全等和平行线，先求出∠CPR 先求出∠CPR 和∠CRP，和∠CRP，再根据再根据再根据三角形内三角形内角和定理即可求出∠C．定理即可求出∠C．解答：解：第一次折痕的左侧部分比右侧部分短1cm 1cm，，第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm 1cm，，其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴其实这两条折痕是关于纸张的正中间的折痕成轴对称对称的关系，它们到它们到中线中线的距离是0.5cm 0.5cm，，所以在纸上形成的两条折痕之间的距离是1cm 1cm．．点评：考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折考查图形的拆叠知识及学生动手操作能力和图形的翻折变换变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，它属于轴对称，它属于轴对称，根据根据根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变． 6轴题．分析：利用折叠的性质和利用折叠的性质和勾股定理勾股定理可知． MN=5MN=5，，设Rt△PMN 的斜边上的高为h ，由，由矩形矩形的宽AB 也为h ，根据直角根据直角三角形的面积三角形的面积公式得，h=PM•PN÷MN=125，由折叠的性质知，由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12BC=PM+MN+PN=12，， ∴矩形的面积=AB•BC=1445．点评：本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，位置变化，对应边和对应角相对应边和对应角相解答：解：因为折叠前后两个图形全等，故∠CPR=12 ∠B=12 ×120°=60°，×120°=60°，∠CRP ∠CRP==12 ∠D=1250°=25°；50°=25°；∴∠C=180°∴∠C=180°--25°25°--60°=95°；∠C=95度；度；故应填9595．．点评：折叠前后图形全等是解决折叠问题的关键．9．故应填3cm cm．．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由折叠的性质知CD=DE 对应边和对应角相等；相等；22、勾股定理求解．、勾股定理求解． 10．故应填3 .考点：翻折变换（折叠问题）．分析：根据翻折变换的特点可知．解答：解：根据翻折变换的特点可知：解：根据翻折变换的特点可知：DE=GE DE=GE因为∠CFE=60°，因为∠CFE=60°，所以∠GAE=30°，所以∠GAE=30°，则AE=2GE=2DE=2AE=2GE=2DE=2，，所以AD=3AD=3，，所以BC=3BC=3．．点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，于轴对称，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠如本题中折叠前后角相等．前后角相等．11．故应填11或10 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题．分析：解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．解答：解：当角B 翻折时，翻折时，B B 点与D 点重合，点重合，DE DE 与EC 的和就是，AC=AE AC=AE．根据题意在．根据题意在Rt△BDE 中运用中运用勾股定理勾股定理求DE DE．．解答：解：由勾股定理得，解：由勾股定理得，AB=10AB=10AB=10．．由折叠的性质知，由折叠的性质知，AE=AC=6AE=AC=6AE=AC=6，，DE=CD DE=CD，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．，∠AED=∠C=90°．∴BE=AB ∴BE=AB-AE=10-6=4-AE=10-6=4-AE=10-6=4，，在Rt△BDE 中，由勾股定理得，中，由勾股定理得， DE 2+BE 2=BD 2即CD 2+42=（8-CD 8-CD））2，解得：解得：CD=3cm CD=3cm CD=3cm．．点评：本题利用了：本题利用了：11、折叠的性质：折叠是一种、折叠的性质：折叠是一种对称对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，位置变化，BC BC，也就是说等，也就是说等8，CD 为AC 的一半，故△CDE 的周长为8+3=118+3=11；；当A 翻折时，翻折时，A A 点与D 点重合．同理DE 与EC 的和为AC=6AC=6，，CD 为BC 的一半，所以CDE 的周长为6+4=106+4=10．故△CDE ．故△CDE 的周长为1010．．点评：本题考查图形的翻折变换．12．故填40．故填4040．．点评：本题考查了平行线的性质和折叠的知识，题目比较灵活，难度一般．∵∠1=64°，∵∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠3=∠1=64°，∴∠4=180°∴∠4=180°--2∠1=180°∠ANB+∠MNC=180°∠ANB+∠MNC=180°--∠ANM=90°．∠ANM=90°．点评：综合考查了折叠得到的对应角相等及平角定义．15．故应填5．考点：翻折变换（折叠问题）．考点：翻折变换（折叠问题）；平行线的性质．专题：计算题．分析：根据两根据两直线直线平行内错角相等和同旁内角互补，以及折叠关系列出方程解则可．可．解答：解：根据题意：2∠1与∠2互补，互补，得到：2∠1+∠2=180°，得到：2∠1+∠2=180°，∵∠1=70°，∵∠1=70°，∴140°+∠2=180°，∴140°+∠2=180°，∴∠2=40°∴∠2=40° 13．故应填52°．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：根据根据补角补角的定义、折叠的性质和平行线的性质可求解．解答：解：由折叠的性质可得∠3=∠1，解：由折叠的性质可得∠3=∠1，-2×64°=52°2×64°=52°∵长方形的对边平行，的对边平行，∴∠2=∠4=52°．∴∠2=∠4=52°．点评：此题主要利用了折叠的性质和平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 14．故应填90°．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：易得∠ANM=∠ADM=90°，那么根据平角定义即可得到所求的两个角的度数之和．解答：解：根据折叠的性质，有∠ANM=∠ADM=90°；故专题：应用题．分析：根据AD 是△ABC 的中线，BC=10BC=10，，先求得BD=5BD=5，，由折叠的性质知BC 1=BD=5=BD=5．．解答：解：由折叠可知DC=DC 1，∠ADC=∠ADC 1=60°，∴∠BDC 1=60°，=60°，又∵AD 是△ABC 的中线，的中线，BC=10BC=10BC=10，，∴BD=DC=DC 1=5=5，，∴△B ∴△BDC DC 1为等边三角形，∴BC 1=BD=5=BD=5．．16．故本题答案为7516．考点：翻折变换（折叠问题）．分析：由翻折的性质知D′F=DF，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，且，且CE=BC-BE 长，再证得△ABE≌△AD′F，有AF=AD-FD AF=AD-FD，则，则S△A E F =12AF•AB．AF•AB．解答：解：由题意知，D′F=DF，解：由题意知，D′F=DF，CE=AE CE=AE CE=AE，，在Rt△ABE 中，中，AB AB 2+BE 2=AE 2，AB 2+BE 2=（BC-BE BC-BE））2，即32+BE 2=（4-BE 4-BE））2，解得：解得：BE=BE=78， ∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，∴∠D′AF=∠BAE ∴∠D′AF=∠BAE又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB 又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB∴△D′AF≌△BAE ∴△D′AF≌△BAE∴FD=D′F=BE=78． ∴AF=AD ∴AF=AD-FD=4- -FD=4- 78 =258∴S △A E F =12 AF•AB=12 ×258 ×3=7516 ．故本题答案为7516 ．考点：翻折变换（折叠问题）．点评：本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称本题利用了折叠的性质：折叠是一种对称变换变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．，故由，故由勾股定理勾股定理求得BE 的点评：本题考查了翻折的性质，本题考查了翻折的性质，全等三角形全等三角形的判定和性质、勾股定理． 17．故应填78°．专题：压轴题．分析：在图①的△ABC 中，根据中，根据三角形内角和三角形内角和定理，可求得∠B+∠C=150°；结合折叠的性质和图②③可知：∠B=3∠CBD，即可在△CBD 中，得到另一个关于∠B、∠C 度数的等量关系式，联立两式即可求得∠B 的度数．的度数．解答：解：在△ABC 中，∠A=30°，则∠B+∠C=150°…①；根据折叠的性质知：∠B=3∠CBD，∠BCD=∠C；在△CBD 中，则有：∠CBD+∠BCD=180°中，则有：∠CBD+∠BCD=180°--82°，即：82°，即：13 ∠B+∠C=98°…②；①-②，得：23∠B=52°，∠B=52°，故应填 3 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压：解：连接CB′．cos∠ACB=cos30°=a：解答题19．考点：全等三角形的判定；三角形内解得∠B=78°．解得∠B=78°．点评：此题主要考查的是图形的折叠此题主要考查的是图形的折叠变换变换及三角形内角和定理的应用，能够根据折叠的性质发现∠B 和∠CBD 的倍数关系是解答此题的关键．关系是解答此题的关键．18．轴题．分析：连接CB′．由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的对角线．角线．由折叠的性质知可得△ABC 三边关系求解．三边关系求解．解答由于B'B'为长方形纸片为长方形纸片ABCD 的对称中心，∴AB′C 是矩形的是矩形的对角对角线．线．由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，由折叠的性质知，AC=2AB′=2AB=2b，∴sin∠ACB=AB：∴sin∠ACB=AB：AC=1AC=1AC=1：：2，∴∠ACB=30°．∴∠ACB=30°．b= 3 3 ．．点评：本题利用了：本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、矩形的性质，锐角三角函数的概念求解．角和定理；翻折变换（折叠问题）．专题：操作型；探究型．分析：（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点顶点是对应点，重合的角是对应角；点，重合的角是对应角；（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3）根据（）根据（22）中的表示方法，可以求得∠1+∠2，再找到∠A 和x 、y 之间的关系，就可建立它们之间的联系．系，就可建立它们之间的联系．解答：解：（1）△EAD≌△EA'D，其中∠EAD=∠EA'D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A'DE；（2）∠1=180°）∠1=180°-2x -2x -2x，∠2=180°，∠2=180°，∠2=180°-2y -2y -2y；；（3）∵∠1+∠2=360°）∵∠1+∠2=360°-2-2-2（（x+y x+y）=360°）=360°）=360°-2-2-2（180°（180°（180°--∠A）=2∠A．∠A）=2∠A．规律为：∠1+∠2=2∠A．）（8分）分）点评：根据图形，找出需要的点的坐标即可根据图形，找出需要的点的坐标即可21．考点评：在研究折叠问题时，有全等形出现，要充分利用全等的性质．20．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了考查平面直角坐标系的基本知识，但同时也考查了待定系数法待定系数法，解答：解：（1）A （-1-1，，3），B （-4-4，，2．（2分）分）（2）解法1：∵：∵直线直线MN 经过坐标原点，经过坐标原点，∴设所求函数的关系式是y=kx y=kx，，又点M 的坐标为（的坐标为（11，2）， ∴k=2．（3分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（4分）分）解法2：设所求函数的关系式是y=kx+b y=kx+b，，则由题意得：îïíïìb ＝0 k +b ＝2，解这个解这个方程组方程组，得îïíïìk ＝2 b b＝＝0 ，（6分）分）∴直线MN 所对应的函数关系式是y=2x y=2x．．（3）利用）利用直尺直尺和圆规，作线段AB 关于直线MN 的对称图形A′B′，如图所示．点：作图-轴对称变换．专题：作图题；压轴题；网格型．分析：在平移时要注意平移的方向和平移的距离．确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；确定图形中的确定图形中的关键点关键点；利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；按原图形顺序依次连接对应点，按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后所得到的图形即为平移后的图形．的图形．轴对称图形轴对称图形对应点到对称轴的距离相等，对应点到对称轴的距离相等，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，利用此性质找对应点，顺次连顺次连接即可．接即可．解答：解：作图如右图：解：作图如右图：分析：（1）根据网格可以看出三角形的底AB 是5，高是C 到AB 的距离，是3，解：（1）画出对应点的位置，连接即可．画出对应点的位置，连接即可．点评：本题考查的是平移变换与轴对称变换本题考查的是平移变换与轴对称变换作图作图．作平移图形时，作平移图形时，找找关键点的对应点也是关键的一步．的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：平移作图的一般步骤为：①①确定平移的方向和距离，确定平移的方向和距离，先确定一组对应点；先确定一组对应点；先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；②确定图形中的关键点；③利用第③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形．作轴对称后的图形的依据是作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质轴对称的性质，基本作法是①先确定图形的关键点；②利用轴②利用轴对称性对称性质作出关键点的对称点；③按原图形中的方式顺次连接对称点．22．考点：作图-轴对称变换．专题：综合题．利用面积公式计算．利用面积公式计算．（2）从三角形的各）从三角形的各顶点顶点向y 轴引轴引垂线垂线并延长相同长度，找对应点．顺次连接即可．可．（3）从图中读出新三角形三点的坐标．）从图中读出新三角形三点的坐标．解答：S △A B C =12 ×5×3=152（或7.57.5））（平方单位）．（2）如图．）如图．（3）A 1（1，5），B 1（1，0），C 1（4，3）．点评：本题综合考查了三角形的面积，网格，本题综合考查了三角形的面积，网格，轴对称图形轴对称图形，及直角坐标系，学生对所学的知识要会灵活运用．对所学的知识要会灵活运用．23．故本题答案为（-2，0），（4，4）．考点：作图-轴对称变换．专题：压轴题；规律型．分析：（1）点P 关于点A 的对称点M ，即是连接PA 延长到M 使PA=AM PA=AM，所以，所以M 的坐标是，N （4，4）；故答案为：故答案为：M M （-2-2，，0），N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，且2008÷3=669…1，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，处，∴PM ∴PM==OM 22+OP 22 =22+22 ＝2 2 2 ．．答：经过第2008次跳动后，棋子落点与P 点的距离为2 2 2 ．．点评：考查学生对点对称意义的理解及学生在新的知识环境下运用所学知识的能力．本题着重考查学生探索规律和计算能力．24．考点：作图-轴对称变换．专M （-2-2，，0），点M 关于点B 的对称点N 处，即是连接MB 延长到N 使MB=BN MB=BN，，所以N 的坐标是N （4，4）；（2）棋子跳动3次后又回点P 处，所以经过第2008次跳动后，棋子落在点M 处，根据处，根据勾股定理勾股定理可知PM 的值．的值．解答：解：（1）M （-2-2，，0）题：网格型．分析：（1）从三角形的三边向y 轴引轴引垂线垂线，并延长相同的距离找到三点的对称点，顺次连接．顺次连接．（2）从图形中找出点C′，并写出它的坐标．C′，并写出它的坐标．解答：解：（1）如图；）如图；（2）根据）根据轴对称图形轴对称图形的性质可：C′（的性质可：C′（44，3）．点评：本题主要考查了轴对称图形的作法，注意本题主要考查了轴对称图形的作法，注意画轴对称图形画轴对称图形找关键点的对称点然后顺次连接是关键．然后顺次连接是关键．25．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：根据点关于y 轴对称的特点找出各点的对称点，然后顺次连线即可．解答：解：（1）A （-3-3，，3），B （-5-5，，1），C （-1-1，，0）；（3分）分）（2）如上图．）如上图．26．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）分别作A、B 、C 关于MN 的对称点，顺次连接即可；的对称点，顺次连接即可；（2）可在△ABC 所在的2×3的网格中求面积．解答：解：（1）作图正确给5分；分；（2）此三角形面积为：）此三角形面积为：S △A B C =S 矩形D E C F -S △A B D -S △A C F -S △B E C=2×3=2×3--2×（较到位，学生需要学会触类旁通，举一反三．27．考点：作图-轴对称变换．专题：网格型．分析：（1）用矩形面积减去周围三角形面积即可；（2）画一个面积为解答：解：（1）根据面积公式得：方法一：）根据面积公式得：方法一：S=S=12×6×4=12；×6×4=12；方法二：S=4×6方法二：S=4×6- - 12 ×2×1×2×1- - 12 ×4×1×4×1- - 12 ×3×4×3×4- - 12×2×3=12；×2×3=12；（2）（只要画出一种即可）（只要画出一种即可） 12 ×1×2）×1×2）- - 12 ×1×3=6×1×3=6-2- -2- 32 =52．（5分）分）点评：此题考查此题考查轴对称图形轴对称图形的作法、动手操作、面积的计算，对综合能力考查比12的等腰三角形，即底和高相乘为24即可．即可．（8分）对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．28．故应填-4,1．考点：作图-轴对称变换．点评：解答此题要明确：如果一个图形沿着一条解答此题要明确：如果一个图形沿着一条直线直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是完全重合，这个图形就是轴对称图形轴对称图形；专题：网格型．分析：将“小猪”所占的面积转化为三角形和将“小猪”所占的面积转化为三角形和四边形四边形面积的和来解答，合理地进行图形的移动和变换是做此题的关键．解答：解：（1）4×4×12 +8×3×12 +1×1×12=32.5 =32.5；；（3分）分）（2）（画图）（6分）分）（3）（-4-4，，1）．（7分）分）点评：解答此题要明确解答此题要明确轴对称的性质轴对称的性质：①对称轴是一条直线．①对称轴是一条直线．②垂直并且平分一条②垂直并且平分一条线段线段的直线称为这条线段的垂直平分线，的直线称为这条线段的垂直平分线，或中或中或中垂线垂线．线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．③在轴对称图形中，对称轴两侧的对应点到对称轴两侧的距离相等． ④在轴对称图形中，对称轴把图形分成完全相等的两份．⑤如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．直平分线．29．故应填3 ．考点：作图-轴对称变换．专题：作图题．。

《轴对称图形》教案(最新5篇)

《轴对称图形》教案（最新5篇）《轴对称图形》教案篇一教学目标：1、联系生活中的具体事物，通过观察和动手操作初步体会生活中的轴对称现象，认识轴对称图形的基本特征。

2、会用动手或观察等方法辨别轴对称图形，能利用身边的工具制作轴对称图形，并在认识、制作和欣赏轴对称图形的过程中，感受到物体图形的对称美，激发学生良好的数学情感。

3、在对知识的探究过程中，培养学生的合作能力，动手能力、空间思维能力和良好的学习情感。

教学重点：理解轴对称图形的特征。

教学难点：掌握并能准确辨别较为复杂的轴对称图形。

教具准备：多媒体网络课件、钉子板、剪刀等教学过程：一、活动导入谈话：同学们，老师今天带来了一个美丽的朋友，大家看！（出示只有一个触角的蝴蝶的图片。

）提问：仔细观察这张图片，你有什么发现和感受，还应该怎么做才好看？学生回答。

教师：今天我们要研究的问题和这只美丽的蝴蝶也有一定的关系。

板书课题：轴对称图形，同时引导学生看了课题你想研究哪些问题？（请学生提出自己赶兴趣的问题）二、识轴对称图形1、课件出示天安门、飞机、奖杯图片。

引导学生观察图片上的物体，说说它们有什么共同特征。

教师：同学们请拿出你们自己手中的这些平面图形，折一折、比一比，和同组的同学交流一下你们发现了什么？（先小组讨论，再汇报）引导学生用手摸一摸对折后的两边，说说有什么样的感觉。

得出结论：这些图形对折后“两部分完全重合”。

介绍：我们把这些对折后能完全重合的图形称为“轴对称图形”。

（板书轴对称图形定义）。

中间这条折痕就是轴对称图形的对称轴。

（板书：对称轴）谈话：我们生活中还有哪些常见物体的平面图形也是轴对称图形呢？（学生交流并回答）2、试一试谈话：同学们你们的学具袋中有几种不同的多边形，它们是轴对称图形吗？引导学生参照轴对称图形的定义，动手折一折、比一比，看看这些常见的图形哪些是轴对称图形？汇报时引导学生用“完全重合”等词语来描述和判断是否是轴对称图形。

3、判断轴对称图形谈话：下面我们一起到“轴对称图形博物馆”去看看。

八(上)数学第2章《轴对称图形》教案(含答案)

八（上）数学第2章《轴对称图形》教案（含答案）一．轴对称图形二．镜面对称三．轴对称的性质四．作图-轴对称变换五．翻折变换（折叠问题）六．利用轴对称设计图案七．角平分线的性质八．线段垂直平分线的性质九．等腰三角形的性质十．等腰三角形的判定十一．等腰三角形的判定与性质十二．等边三角形的性质十三．等边三角形的判定十四．等边三角形的判定与性质十五．含30度角的直角三角形十六．直角三角形斜边上的中线一．轴对称图形（共6小题）（1）轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．（3）常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列银行的标识中，是轴对称图形的是（）A．中国建设银行B．招商银行C．交通银行D．中国农业银行3．下列四个图形中，是轴对称图形的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．线段、正三角形，平行四边形、菱形中，只是轴对称图形的是．5．平行四边形，长方形，等边三角形，半圆这几个几何图形中，对称轴最多的是．6．如图，3×3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形共有个．二．镜面对称（共4小题）1、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．2、关于镜面问题动手实验是最好的办法：写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．1．如图，课间休息时，小新将镜子放在桌面上，无意间看到镜子中有一串数字，原来是桌旁墙面上张贴的同学手机号码中的几个数字，请问镜子中的数字对应的实际数字是．2．如图，从镜子中看到一钟表的时针和分针，此时的实际时刻是．3．开车时，从后视镜中看到后面一辆汽车车牌号的后四位数是“”，则该车号牌的后四位应该是．4．室内墙壁上挂一平面镜，小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示，则这时的实际时间应是（）A．3：20B．3：40C．4：40D．8：20三．轴对称的性质（共10小题）（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．1．下列说法错误的是（）A．关于某直线成轴对称的两个图形一定能完全重合B．线段是轴对称图形C．全等的两个三角形一定关于某直线成轴对称D．轴对称图形的对称轴至少有一条2．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，点E，F分别在线段BD、CD上，点G 在EF的延长线上，△EFD与△EFH关于直线EF对称，若∠A＝60°，∠BEH＝84°，∠HFG＝n°，则n＝．3．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°4．如图，△ABC和△ADE关于直线l对称，已知AB＝15，DE＝10，∠D＝70°．求∠B的度数及BC、AD的长度．5．如图，△ABC与△DEF关于直线l对称，BE交l于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝DF B．BO＝EO C．AD⊥l D．AB∥EF第5题第6题第7题第8题6．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个7．如图，P为∠AOB内一点，分别画出点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接P1P2．交OA于点M，交OB于点N．若P1P2＝5cm，则△PMN的周长为．8．如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝4，P是BC边上的动点（不与B，C重合），点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，则线段MN长的取值范围是．9．如图，点P在∠AOB的内部，点C和点P关于OA对称，点P关于OB对称点是D，连接CD交OA于M，交OB于N．（1）①若∠AOB＝60°，则∠COD＝°；②若∠AOB＝α，求∠COD的度数．（2）若CD＝4，则△PMN的周长为．10．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA，有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA 平分∠BOC；其中正确的结论个数是（）A．0个B．3个C．2个D．1个四．作图-轴对称变换（共6小题）几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．1．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；（2）求△ABC的面积．2．已知，在10×10网格中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC是格点三角形（三角形的顶点是网格线的交点）．（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）画出△A1B1C1向下平移5个单位长度得到的△A2B2C2；（3）若点B的坐标为（4，2），请写出点B经过两次图形变换的对应点B2的坐标．3．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A、B都在格点上（两条网格线的交点叫格点）．（1）作出三角形ABC关于直线MN对称的三角形A1B1C1．（2）说明三角形A2B2C2可以由三角形A1B1C1经过怎样的变换而得到？（要说明变换过程）4．已知：如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C、M、N都在格点上．（1）画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1．（2）在直线MN上找点P，使|PB﹣P A|最大，在图形上画出点P的位置，并直接写出|PB﹣P A|的最大值．5．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度．△ABC关于y轴对称图形为△A1B1C1，画出△A1B1C1．6．在平面直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示．（1）顶点A关于x轴对称的点的坐标A'（，），顶点C先向右平移3个单位，再向下平移2个单位后的坐标C'（，）；（2）将△ABC的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1得△DEF，请你直接画出图形；（3）在平面直角坐标系xOy中有一点P，使得△ABC与△PBC全等，这样的P点有个．（A点除外）五．翻折变换（折叠问题）（共8小题）1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．2、折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．1．将一张长方形纸片按如图所示折叠，如果∠1＝65°，那么∠2等于．2．如图，E是AB边上的中点，将△ABC沿过E的直线折叠，使点A落在BC上F处，折痕交边AC于点D，若△ABC的周长为8，则△DEF的周长等于（）A．4+B．8C．4D．6第2题第3题第4题3．将一张长方形纸条折成如图所示的形状，BC为折痕，若∠DBA＝80°，则∠ABC等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G．已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是（）A．30°B．45°C．74°D．75°5．如图1，在长方形纸片ABCD中，E点在边AD上，F、G分别在边AB、CD上，分别以EF、EG为折痕进行折叠并压平，点A、D的对应点分别是点A′和点D′，若ED′平分∠FEG，且ED′在∠A′EF内部，如图2，设∠A′ED'＝n°，则∠FEG的度数为（用含n的代数式表示）．32．如图，图①是一个四边形纸条ABCD，其中AB∥CD，E，F分别为边AB，CD上的两点，且∠BEF＝27°，将纸条ABCD沿EF所在的直线折叠得到图②，再将图②中的四边形BCFM沿DF所在直线折叠得到图③，则图③中∠EFC的度数为．6．如图已知，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上．有下列结论：①EF平分∠MED；②∠2＝2∠3；③∠1+∠3＝90°；④∠1+2∠3＝180°其中一定正确的结论有．（填序号）7．如图，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．B．C．D．六．利用轴对称设计图案（共6小题）利用轴对称设计图案关键是要熟悉轴对称的性质，利用轴对称的作图方法来作图，通过变换对称轴来得到不同的图案．1．如图，在4×4的正方形网格中，有4个小正方形已经涂黑，若再涂黑任意1个白色的小正方形（每个白色小正方形被涂黑的可能性相同），使新构成的黑色部分图形是轴对称图形的概率是．2．如图，在等边三角形网格中，已有两个小等边三角形被涂黑，若再将图中其余小等边三角形涂黑一个，使涂色部分构成一个轴对称图形，则有种不同的涂法．3．如图所示，在4×4的正方形网格中，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．△ABC是一个格点三角形，请你在图1，图2，图3中分别画出一个与△ABC成轴对称的格点三角形，并将所画三角形涂上阴影．（注：所画的三个图不能重复．）4．如图所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，小明用n个这样的图形，按照如图（2）所示的方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙．（1）用含a、b的式子表示c；（2）当n＝2时，求小明拼出来的图形总长度；（用含a、b的式子表示）（3）当a＝4，b＝3时，小明用n个这样的图形拼出来的图形总长度为28，求n的值．5．如图，是由4×4个大小完在一样的小正方形组成的方格纸，其中有两个小正方形是涂黑的，请再选择三个小正方形并涂黑，使图中涂黑的部分成为轴对称图形．并画出它的一条对称轴（如图例．画对一个得1分）6．如图，在4×4正方形网格中，将图中的2个小正方形涂上阴影，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个七．角平分线的性质（共11小题）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE1．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，则点P、Q、M、N中在∠AOB的平分线上是（）A．P点B．Q点C．M点D．N点第1题第2题第3题第4题2．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC3．如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2.5，则两平行线AD与BC间的距离为（）A．3B．4C．5D．64．已知：DA平分∠CAB，DB平分∠ABC，DE⊥AB于点E，△ABC的周长是12，面积是6，则DE的长是．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度向点C运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P恰好在∠ABC的角平分线上，求出此时t的值；（2）若点P使得PB+PC＝AC时，求出此时t的值．6．已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：P A平分∠MAN．7．如图，△ABC中，AB＝2.5cm，AC＝6cm，BC＝6.5cm，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点P，过点P作PD ⊥BC，垂足为点D，则线段PD的长为cm．8．如图，△AOB的外角∠CAB，∠DBA的平分线AP，BP相交于点P，PE⊥OC于E，PF⊥OD于F，下列结论：（1）PE＝PF；（2）点P在∠COD的平分线上；（3）∠APB＝90°﹣∠O，其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，若AC＝3，BC＝4，则S△ABD：S△ACD为（）A．5：4B．5：3C．4：3D．3：410．如图，AB∥CD，BE和CE分别平分∠ABC和∠BCD，AD过点E，且与AB互相垂直，点P为线段BC上一动点，连接PE．若AD＝8，则PE的最小值为（）A．8B．6C．5D．411．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由；（3）如图③，延长线段CP、QB交于点E，△CQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数．八．线段垂直平分线的性质（共12小题）（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．1．如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且EF＝GH，我们知道按如图所作的直线l为线段FG的垂直平分线．下列说法正确的是（）A．l是线段EH的垂直平分线B．l是线段EQ的垂直平分线C．l是线段FH的垂直平分线D．EH是l的垂直平分线2．若P是△ABC所在平面内的点，且P A＝PB＝PC，则下列说法正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条角平分线的交点C．点P是△ABC三边上高的交点D．点P是△ABC三边中线的交点3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，且顶点在格点上，在△ABC内部有E、F、G、H四个格点，到△ABC 三个顶点距离相等的点是（）A．点E B．点F C．点G D．点H第3题第4题第5题4．如图，在△ABC中，AC＝10，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点D，△BDC的周长为18，则BC的长为（）A．4B．6C．8D．105．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，垂足为E，交BC边于D点，若AC＝5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（）A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm6．如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC 于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°7．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BD于点E，连接CE，若∠A＝60°，∠ACE＝24°，则∠ABE的度数为（）A．24°B．30°C．32°D．48°8．如图，在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB边的垂直平分线交AB于点E，交BC于点D，且∠BAD＝15°，BD＝18cm，则AC的长是cm．9．如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．（1）直接写出∠BAC的度数；（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．10．已知如图，点A、点B在直线l异侧，以点A为圆心，AB长为半径作弧交直线l于C、D两点．分别以C、D 为圆心，AB长为半径作弧，两弧在l下方交于点E，连结AE．（1）根据题意，利用直尺和圆规补全图形；（2）证明：l垂直平分AE．11．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．12．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．九．等腰三角形的性质（共6小题）（1）等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．1．如果等腰三角形两边长是4cm和8cm，那么它的周长是（）A．16 cm B．20cm C．21 cm D．16或20cm2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC．工程人员这种操作方法的依据是（）A．等边对等角B．垂线段最短C．等腰三角形“三线合一”D．线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等3．等腰三角形的两边长分别为a、b，且a、b满足|2a﹣3b﹣7|+（2a+3b﹣13）2＝0，等腰三角形的周长为（）A．7B．11或7C．11D．7或104．如图，△ABC是等腰三角形，点O是底边BC上任意一点，OE、OF分别与两边垂直，等腰三角形的腰长为6，面积为15，则OE+OF的值为（）A．5B．7.5C．9D．105．已知，等腰三角形的一边是3，另一边是方程+＝1的解，则这个三角形的周长是（）A．10B．11C．10或11D．7或86．如果等腰三角形的一个内角为50°，那么其它两个内角为（）A．50°，80°B．65°，65°C．50°，65°D．50°，80°或65°，65°十．等腰三角形的判定（共11小题）判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．【简称：等角对等边】说明：①等腰三角形是一个轴对称图形，它的定义既作为性质，又可作为判定办法．②等腰三角形的判定和性质互逆；③在判定定理的证明中，可以作未来底边的高线也可以作未来顶角的角平分线，但不能作未来底边的中线；④判定定理在同一个三角形中才能适用．1．如图所示的方格纸中，每个方格均为边长为1的小正方形，我们把每个小正方形的顶点称为格点，现已知A、B、C、D都是格点，则下列结论中正确的是（）A．△ABC、△ABD都是等腰三角形B．△ABC、△ABD都不是等腰三角形C．△ABC是等腰三角形，△ABD不是等腰三角形D．△ABC不是等腰三角形，△ABD是等腰三角形2．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，∠B＝40°，边AB的垂直平分线与边AB交于点E，与边BC交于点D．（1）求∠ADC的度数；（2）求证：△ACD为等腰三角形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．（1）若BE﹣EC＝2，求CE的长；（2）若∠A＝36o，求证：△BEC是等腰三角形．4．下面叙述不可能是等腰三角形的是（）A．有两个内角分别为75°，75°的三角形B．有两个内角分别为110°和40°的三角形C．有一个外角为100°，一个内角为50°的三角形D．有一个外角为140°，一个内角为100°的三角形5．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数不可能为（）A．120°B．75°C．60°D．30°35．在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”，即“如图，已知：∠B＝∠C，求证：AB＝AC”时，小明作了如下的辅助线，下列对辅助线的描述正确的有（）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D②取BC边的中点D，连接AD③过点A作AD⊥BC，垂足为点D④作BC边的垂直平分线AD，交BC于点DA．1个B．2个C．3个D．4个36．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，在直线BC上取一点P使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P 有个．37．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC边上的中点，G是AC边上一点，过G作EF⊥BC，交BC于点E，交BA的延长线于点F．（1）求证：AD∥EF；（2）求证：△AFG是等腰三角形．38．如图是5×5的正方形方格图，点A，B在小方格的顶点上，要在小方格的项点确定一点C，连接AC和BC，使△ABC是等腰三角形，则方格图中满足条件的点C的个数是（）A．4B．5C．6D．739．如图，关于△ABC，给出下列四组条件：①△ABC中，AB＝AC；②△ABC中，∠B＝56°，∠BAC＝68°；③△ABC中，AD⊥BC，AD平分∠BAC；④△ABC中，AD⊥BC，AD平分边BC．其中，能判定△ABC是等腰三角形的条件共有（）A．1组B．2组C．3组D．4组40．如图，已知∠MON，在边ON上顺次取点P1，P3，P5…，在边OM上顺次取点P2，P4，P6…，使得OP1＝P1P2＝P2P3＝P3P4＝P4P5…，得到等腰△OP1P2，△P1P2P3，△P2P3P4，△P3P4P5…（1）若∠MON＝30°，可以得到的最后一个等腰三角形是；（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△P3P4P5，则∠MON的度数α的取值范围是．十一．等腰三角形的判定与性质（共15小题）1、等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有关问题中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线【“三线合一”】，3、等腰三角形性质问题都可以利用三角形全等来解决，但要注意纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，凡可以直接利用等腰三角形的问题，应当优先选择简便方法来解决．1．用一条长为18的绳子围成一个等腰三角形．（1）若等腰三角形有一条边长为4，它的其它两边是多少？（2）若等腰三角形的三边长都为整数，请直接写出所有能围成的等腰三角形的腰长．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多可画几个？（）A．9个B．7个C．6个D．5个3．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝20°，BP平分∠ABC；点D是射线BP上一点，如果点D满足△BCD是等腰三角形，那么∠BDC的度数是．4．如图，点G在CA的延长线上，AF＝AG，AD⊥BC，GE⊥BC．求证：AD平分∠BAC．证明：∵AF＝AG（已知），∴∠AGF＝∠AFG（）．∵AD⊥BC，GE⊥BC（已知），∴∠ADC＝∠GEC＝90°（）．∴AD∥GE（）．∴∠CAD＝（两直线平行，同位角相等）．∠BAD＝∠AFG（）．∴∠CAD＝∠BAD（等量代换）．∴AD平分∠BAC（）．5．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC 交AB于点F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数．（2）求证：FB＝FE．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，DE经过点O，且DE∥BC，DE分别交AB、AC于D、E，则图中等腰三角形的个数为（）A．2B．3C．4D．57．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论，其中正确的有（）①△BDF是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③若∠A＝50°，则∠BFC＝115°；④DF＝EF．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是AB的中点，连结DE．（1）求证：△ABD是等腰三角形；（2）求∠BDE的度数．9．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，BE⊥BD，DE∥BC，BE与DE交于点E，DE交AB于点F．（1）若∠A＝56°，求∠E的度数；（2）求证：BF＝EF．10．（1）如图①，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB、AC于点E、F，试猜想EF、BE、CF之间有怎样的关系，并说明理由；（2）如图，若将图①中∠ACB的平分线改为外角∠ACD的平分线，其它条件不变，请直接写出EF、BE、CF 之间的关系．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）EF⊥AB；（2）△ACF为等腰三角形．12．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC的平分线交CD的延长线于点E，F是BE的中点，连接CF并延长交AD于点G．（1）求证：CG平分∠BCD．（2）若∠ADE＝110°，∠ABC＝52°，求∠CGD的度数．13．在△ABC中，点E，点F分别是边AC，AB上的点，且AE＝AF，连接BE，CF交于点D，∠ABE＝∠ACF．（1）求证：△BCD是等腰三角形．（2）若∠A＝40°，BC＝BD，求∠BEC的度数．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．15．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．（1）出发2秒后，求△ABP的周长．（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？十二．等边三角形的性质（共7小题）（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．1．如图，在△ABC中，点D，E在边上，DE∥BC，若△ADE是等边三角形，AD＝2，BD＝3，则△ABC的周长为（）A．6B．9C．15D．182．如图，已知等边△ABC的周长是12，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，则PD+PE+PF 的值是（）A．12B．8C．4D．33．如图，直线l1∥l2，等边△ABC的顶点C在直线l2上，若边AB与直线l1的夹角∠1＝40°，则边AC与直线l2的夹角∠2＝°．第3题第4题第5题4．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD，∠ABC＝160°，∠BCD＝80°，△PDC为等边三角形，则∠ADC的度数为（）A．70°B．75°C．80°D．85°5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，以AC为边在△ABC外作等边三角形△ACD，连接BD．则BD 的最大值是．6．如图，△ABC是等边三角形，BC＝BD，∠BAD＝20°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．55°C．60°D．65°7．如图，在等边△ABC中，BD＝2DC，DE⊥BE，CE，AD相交于点P，则（）A．AP＞AE＞EP B．AE＞AP＞EP C．AP＞EP＞AE D．EP＞AE＞AP十三．等边三角形的判定（共9小题）（1）由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．（2）判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．（3）判定定理2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．说明：若已知或能求得三边相等则用定义来判定；若已知或能求得三个角相等则用判定定理1来证明；若已知等腰三角形且有一个角为60°，则用判定定理2来证明．1．如图，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，点E，F为垂足，求证：△DEF是等边三角形．2．如图，△ABC中，∠A＝60°，分别以A，B为圆心，大于AB长的一半为半径画弧交于两点，过两点的直线交AC于点D，连结BD，则△ABD是三角形．3．已知，在△ABC中，AB＝AC，如图，（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD•BC4．下列三角形中：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个角都相等的三角形；④三边都相等的三角形．其中是等边三角形的有（填序号）．5．已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，则此三角形的形状为．6．如果三角形的三边a、b、c适合（a2﹣2ac）（b﹣a）＝c2（a﹣b），则a、b、c之间满足的关系是；有同学分析后判断△ABC是等边三角形，你的判断是．7．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）A．①②③④B．①②④C．①③D．②③④8．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．9．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C顺时针旋转60°得△ADC，。

北师大版七年级数学下册 5.2 《探索轴对称的性质》教学课件(共31张ppt)

称轴垂直平分，对应线段相等课，对堂应小角相结等．
2．画轴对称图形的步骤：（1）确定对称轴；（2）根据对称轴确定关键点的对称位置；（3）将找到的对称点顺次连接起来．
再见
D'
B
E
E'
B'
活动2.右图是一个轴对称图形：
D
（1）你能找出它的对称轴吗?
3
（2）连接点A与点A1的线段探与对究称轴新有知A B
C
什么关系？连接点B与点B1的线段呢？
D1
4
A1
C1 B1
（3）线段AD与线段A1D1有什么关系？线段BC与B1C1呢？为什么？
12
（4）∠1与∠2有什么关系? ∠ 3与∠4呢？说说你的理由？
纸打开后铺平．如图
A
D B
C
1
3
F
E
C'
2
4
F'
E'
A'
D' B'
A
C
1
C'
A'
2
问（题轴对1：称两）个“14”有什探么关究系新？知B D
3
F
E
4
F'
E'
D' B'
问题2：在上面扎字的过程中，点E与点E′重合，点F与点F′重合．设折痕所在直线为l，连接点E与点 E′的线段与l有什么关系？点F与点F′呢？
6cm2
，
∴h＝4 ．
随堂练习
5.如图，已知牧马营地在M处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再到草地吃草，然后
回到营地，试设计出最短的放牧路线．
随堂练习
解：以河为对称轴作M的对称点，过作草地的垂线，垂线和河的交点H就是所求的点．

七年级数学下册轴对称图形(湘教版)

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十九、要想成就伟业，除了梦想，必须行动。——佚名
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二十、忘掉今天的人将被明天忘掉。──歌德
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二十一、梦境总是现实的反面。——伟格利
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二十二、世界上最快乐的事，莫过于为理想而奋斗。——苏格拉底
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二十三、“梦想”是一个多么“虚无缥缈不切实际”的词啊。在很多人的眼里，梦想只是白日做梦，可是，如果你不曾真切的拥有过梦想，你就不会理解梦想的珍贵。——柳岩
4.下列图形中对轴称只有两条的是( )
A.圆
B.等边三角形
C.长方形
D.等腰梯形
【解析】选C.圆有无数条对称轴,故A选项错误;等边三角形有3
条对称轴,故B选项错误;长方形有2条对称轴,故C选项正确;等腰
梯形有1条对称轴,故D选项错误.
5.如图,正方形ABCD的边长为4cm,则图中阴影部分的面积为 cm2.
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四十三、梦想家的缺点是害怕命运。——斯·菲利普斯
•
四十四、从工作里爱了生命，就是通彻了生命最深的秘密。——纪伯伦
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四十五、穷人并不是指身无分文的人，而是指没有梦想的人。——佚名
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四十六、不要怀有渺小的梦想，它们无法打动人心。——歌德
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四十七、人生最苦痛的是梦醒了无路可走。做梦的人是幸福的；倘没有看出可以走的路，最要紧的是不要去惊醒他。——鲁迅
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二十八、青少年是一个美好而又是一去不可再得的时期，是将来一切光明和幸福的开端。——加里宁
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二十九、梦想家命长，实干家寿短。——约·奥赖利
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三十、青年时准备好材料，想造一座通向月亮的桥，或者在地上造二所宫殿或庙宇。活到中年，终于决定搭一个棚。——佚名
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三十一、在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚。——毛姆

二年级《轴对称图形》教案（精选5篇）

二年级《轴对称图形》教案二年级《轴对称图形》教案（精选5篇）作为一名为他人授业解惑的教育工作者，有必要进行细致的教案准备工作，编写教案有利于我们弄通教材内容，进而选择科学、恰当的教学方法。

那要怎么写好教案呢？下面是小编帮大家整理的二年级《轴对称图形》教案（精选5篇），欢迎阅读，希望大家能够喜欢。

二年级《轴对称图形》教案1教学内容：人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学（二年级下册）》第三单元“图形的运动”第一课时轴对称图形（课本第29页例1的内容）教学目标：1．知识目标：使学生通过观察、操作，初步认识对称现象并能判断对称的图形；会画对称轴。

2．能力目标：发展学生的空间观念，培养学生的观察能力和动手操作能力，学会欣赏数学美。

3．情感、态度、价值观：通过探究活动，激发学生学习的热情，培养主动探究的能力；让学生感受对称图形的美，学会欣赏数学美。

教学重点：理解对称图形的概念，能正确找、画对称轴。

教学难点：准确找对称轴。

教、学具准备：1．教具：图片、课件、2．学具：剪刀、彩纸和正方形、长方形、圆形的纸各一张教学过程：一导入新课激趣感知师：同学们老师今天给你们带来了几张漂亮的图片，想看吗？生：想。

课件出示图片：喜字、表演杂技、门、举重、蝴蝶、小毛驴师：漂亮吗？生：漂亮。

师：它们不仅漂亮还都隐藏着一个共同特征，赶快睁大小眼睛找一找共同特点是什么？生1：喜字的两边一样。

生2：小毛驴的两边一样。

生3：举重的两边一样。

……二、师生互动探索新知1、认识对称师：同学们观察的真仔细，这些图片的两边无论形状大小都一样。

如果把图片从中间开始对折后，两边又会怎样？（点击图片动画对折）生：和在一起了。

师：这是完全重合，从中间开始，两边的图形对折后没有多一点，也没有少一点。

这些图片都是对称的。

（板书课题---对称）师：谁能告诉老师，什么样的物体是对称的？生：两边完全重合就是对称的。

师：你学的真认真。

在你生活的周围就有许多对称的物体，请你留心想一想，说一说。

《轴对称图形》课件(人教版)小学数学2

我们就把这样的图形叫做轴对称图形。那条折痕就叫做对称轴。
*判断一个图形是否对称,关键是能否找到一条直线, 沿这条直线对折,直线两旁是否能重合。
*剪纸时，先把纸张对折好再剪，剪出的图形展开后是对称的.
作业设计：
动手操作，制作对称图形
拿一张纸，对折以后，在对折的这边画出你想要画的图形的一半然后把它剪下来，就可以得到一个你喜欢的对称图形。再写上祝福语，作为礼物，送给爸爸妈妈，让他们也欣赏到对称图形的对称美，同时还能感受到你对他们的爱。
人民教育出版社二年级数学下册
1 教材分析
教材在编排上，按照知识引入——概念教学—— 知识应用的顺序逐步展开的，体现了知识的形成过程。教材借助于生活中的实例和学生的操作活动如观察、折一折、剪一剪、画一画等，帮助学生发展空间观念，层次分明，循序渐进地指导学生认识自然界和日常生活中具有轴对称性质的事物，使学生进一步认识前面所学的平面图形的本质特征，了解对称在生活中的应用性，体验生活中的数学美，并学会欣赏数学美。
下面这些图形中，哪些是轴对称图形
√
√
游戏二：心灵手巧
下面的图形你能找出几条对称轴？动手折一折。
2条
4条
无数条
游戏三：火眼金晴
游戏四：找朋友
下面的图案各是从哪张纸上剪下来的？你能连一连吗？
请欣赏生活中的对称图形
脸谱艺术
工艺品欣赏
建筑欣赏
今天这节课你有什么收获呢?
*把一个图形对折以后，两侧能完全重合，
4 教法与学法
教法与学法：本课主要采用了直观演示法、操作发现法、设疑诱导法、游戏激趣法。引导学生通过观察发现、动手操作、自主探究、合作交流的学习方法，从而实现对新知的建构。

新人教版第十三章《轴对称》全章教案

§轴对称（1）教学目标：1．了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系．2．探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用．3．了解线段垂直平分线的概念．教学重、难点：轴对称的概念和性质教学过程：一、问题导入：引言对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至日常生活用品，都可以找到对称的例子，对称给我们带来美的感受！二、课本精讲：问题1 如图，把一张纸对折，剪出一个图案（折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花．观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．教师：你能举出一些轴对称图形的例子吗？问题2观察下面每对图形（如图），你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？共同特征：每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形都能与右边的图形重合．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．教师：你能再举出一些两个图形成轴对称的例子吗？教师：你能结合具体的图形说明轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别与联系吗？两者的联系：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条轴对称．两者的区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合．问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？教师：你能说明其中的道理吗？上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，那么，直线MN 垂直线段AA′，BB′和CC′，并且直线MN 还平分线段AA′，BB′和CC′”．如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…其他条件不变，上述结论还成立吗？问题3 如图，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′,B′,C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？成轴对称的两个图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分；对称轴垂直平分对称点所连线段．问题4 下图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？能说明理由吗？结论：直线l 垂直线段AA′，BB′，直线l平分线段AA′，BB′（或直线l 是线段AA′，BB′的垂直平分线）．教师：你能用数学语言概括前面的结论吗？轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．三、巩固提高：教科书60页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系是什么？（3）成轴对称的两个图形有什么性质？轴对称图形有什么性质？我们是怎么探究这些性质的？五、课后作业：教科书习题13.1第1、2、3、4、5题课后反思：轴对称（2）教学目标：1．理解线段垂直平分线的性质和判定．2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问题．3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的道理．教学重、难点：线段垂直平分线的性质．教学过程：一、问题导入：探索并证明线段垂直平分线的性质如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，…是l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，…到点A 与点B 的距离之间的数量关系．教师：你能用不同的方法验证这一结论吗？二、课本精讲：请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段AB 两个端点的距离相等吗？线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．证明：“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．”已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上．求证：PA =PB．用符号语言表示为：∵CA =CB，l⊥AB，∴PA =PB线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．教师：反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的垂直平分线上呢？点P 在线段AB 的垂直平分线上．已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上．用数学符号表示为：∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上．与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．教师：你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？这些点能组成什么几何图形？在线段AB 的垂直平分线l 上的点与A，B 的距离都相等；反过来，与A，B 的距离相等的点都在直线l上，所以直线l 可以看成与两点A、B 的距离相等的所有点的集合．教师：如何用尺规作图的方法经过直线外一点作已知直线的垂线？三、巩固提高：教科书62页练习1、2.四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？两者之间有什么关系？（3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？五、课后作业：教科书习题13.1第6、9题课后反思：轴对称（3）教学目标：1．能用尺规作线段的垂直平分线．2．进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据．3．运用尺规作图的方法解决简单的作图问题．教学重点：作线段的垂直平分线．教学难点：作线段的垂直平分线．教学过程：一、问题导入：有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？二、课本精讲：作线段的垂直平分线我们已能用尺规完成：（1）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；（3）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线．教师：那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？例1 如图，点A 和点B 关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？教师：怎样作线段AB 的垂直平分线呢？作法：如图．（1）分别以点A，B 为圆心，以大于AB的为半径作弧，两弧相交于C，D 两点；（2）作直线CD．CD 就是所求作的直线．教师：这种作法的依据是什么？教师：这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中点．教师：如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？三、巩固提高：教科书64页练习1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）作线段的垂直平分线的依据是什么？举例说明这种作法有哪些运用？（3）如何用尺规作轴对称图形的对称轴？五、课后作业：教科书习题13.1第10、12题．课后反思：13.2 画轴对称图形（1）教学目标：1．理解图形轴对称变换的性质．2．能按要求画出一个平面图形关于某直线对称的图形．教学重点：画轴对称图形．教学难点：画轴对称图形．教学过程：一、问题导入：在一张半透明纸张的左边部分，画出左脚印，如何由此得到相应的右脚印？二、课本精讲：请动手在一张纸上画一个你喜欢的图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看你得到了什么？由一个平面图形得到与它关于一条直线对称的图形．一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l 对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同；新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l 的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．教师：如果有一个图形和一条直线，如何作出这个图形关于这条直线对称的图形呢？例1 如图，已知△ABC 和直线l，画出与△ABC关于直线l 对称的图形．画法：（1）如图，过点A 画直线l 的垂线，垂足为点O，在垂线上截取OA′=OA，点A′就是点A 关于直线l 的对称点；（2）同理，分别画点B，C 关于直线l 的对称点B′，C′；（3）连接A′B′，B′C′，C′A′，得到的△A′B′C′即为所求．教师：如何验证画出的图形与△ABC 关于直线l 对称？已知一个几何图形和一条直线，说一说画一个与该图形关于这条直线对称的图形的一般方法．几何图形都可以看作由点组成．对于某些图形，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．三、巩固提高：教科书68页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）一个平面图形和与它成轴对称的另一个图形之间有什么关系？（3）画轴对称图形的一般方法是什么？依据是什么？五、课后作业：教科书习题13.2第1题．课后反思：13.2 画轴对称图形（2）教学目标：1．理解在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴对称的点的坐标的变化规律．2．掌握在平面直角坐标系中作出一个图形的轴对称图形的方法．教学重、难点：在平面直角坐标系中关于x 轴或y轴对称的点的变化规律和作出与一个图形关于x 轴或y轴对称的图形．教学过程：一、问题导入：如图，如果以天安门为原点，分别以长安街和中轴线为x轴和y 轴建立平面直角坐标系，对应于东直门的坐标，你能找到西直门的位置，说出西直门的坐标吗？二、课本精讲：探究并归纳已知点关于坐标轴对称的点的坐标变化规律对于平面直角坐标系中任意一点，你能找出其关于x 轴或y 轴对称的点的坐标吗？它们之间有什么规律？在平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于x 轴对称的点，把它们的坐标填入表格中．教师：观察下图中关于x 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？关于x 轴对称的每对对称点的横坐标相等，纵坐标互为相反数．教师：观察关于y 轴对称的每对对称点的坐标有怎样的变化规律？关于y 轴对称的每对对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等．教师：请你再找几个点，分别画出它们的对称点，检验一下你发现的规律．点（x，y）关于x 轴对称的点的坐标为（___，____）；点（x，y）关于y 轴对称的点的坐标为（___，____）．例如图，四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别为A（-5，1），B（-2，1），C（-2，5），D（-5，4），分别画出与四边形ABCD 关于x 轴和y 轴对称的图形．教师：归纳画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤.先求出已知图形中一些特殊点（多边形的顶点）的对称点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到这个图形的轴对称图形．步骤简述为：（1）求特殊点的坐标；（2）描点；（3）连线．三、巩固提高：教科书70页练习1、2、3四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）在平面直角坐标系中，已知点关于x 轴或y 轴的对称点的坐标有什么变化规律，如何判断两个点是否关于x 轴或y 轴对称？（3）说一说画一个图形关于x 轴或y 轴对称的图形的方法和步骤．五、课后作业：教科书习题13.2第2、4、5题．课后反思：13.3 等腰三角形（1）教学目标：1．探索并证明等腰三角形的两个性质．2．能利用性质证明两个角相等或两条线段相等．3．结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用．教学重、难点：探索并证明等腰三角形性质．教学过程：一、问题导入：如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC 有什么特点？教师：仔细观察自己剪出的等腰三角形纸片，你能发现这个等腰三角形有什么特征吗？教师：同学们剪下的等腰三角形纸片大小不同，形状各异，是否都具有上述所概括的特征？二、课本精讲：教师：在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？等腰三角形的特征:（1）等腰三角形的两个底角相等；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．教师：利用实验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2．对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？（1）你能根据结论画出图形，写出已知、求证吗？（2）结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是什么？（3）如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？从剪图、折纸的过程中你能获得什么启发？已知：如图，△ABC 中，AB =AC．求证：∠B = ∠C．你还有其他方法证明性质1吗？可以作底边的高线或顶角的角平分线.教师：性质2可以分解为三个命题，本节课证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”．教师：在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴．三、巩固提高：教科书77页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些主要内容？（2）我们是怎么探究等腰三角形的性质的？（3）本节课你学到了哪些证明线段相等或角相等的方法？五、课后作业：教科书习题13.3第1、2、4、6题．课后反思：13.3 等腰三角形（2）教学目标：1．探索等腰三角形判定定理．2．理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明．3．了解等腰三角形的尺规作图.教学重、难点：理解和运用等腰三角形的判定定理教学过程：一、问题导入：问题等腰三角形性质定理的内容是什么？这个命题的题设和结论分别是什么？性质定理的条件是：一个三角形中有两条边相等．结论：这两条边所对的角相等．二、课本精讲：思考性质定理证明方法是什么？作顶角的平分线或底边上的高或底边的中线，将一个三角形的问题转化为两个全等三角形来证明两个角相等．问题一个三角形满足什么条件是等腰三角形？思考1 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边有什么关系？这两个角所对的边相等．思考2 这个命题的题设和结论又分别是什么呢？如何证明这个命题？题设：一个三角形有两个角相等．结论：这两个角所对的边相等．问题类比等腰三角形性质定理的证明方法，你能选择一种来证明这个命题吗？已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠C. 求证：AB =AC．教师：你还有其他证明方法吗？思考能作底边BC 上的中线吗？等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．符号语言：∵在△ABC 中，∠B =∠C，∴AB =AC．思考与等腰三角形性质进行比较看有什么区别？例1 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥BC．求证：AB =AC.例2 已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高的长为h ，求作这个等腰三角形.作法：（1）作线段AB =a；（2）作线段AB 的垂直平分线MN，与AB 相交于点D；（3）在MN上取一点C，使DC =h；（4）连接AC，BC，则△ABC 就是所求作的等腰三角形.三、巩固提高：教科书79页练习1、2、3、4四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）等腰三角形的判定方法有哪几种？（3）结合本节课的学习，谈谈等腰三角形性质和判定的区别和联系．五、课后作业：教科书习题13.3第2、5题．课后反思：13.3 等腰三角形（3）教学目标：1．探索等边三角形的性质和判定．2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明．教学重、难点：探索等边三角形的性质与判定．教学过程：一、问题导入：问题满足什么条件的三角形是等边三角形？三条边都相等的三角形是等边三角形．二、课本精讲：请分别画出一个等腰三角形和等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系？联系：等边三角形是特殊的等腰三角形；区别：等边三角形有三条相等的边，而等腰三角形只有两条.问题等腰三角形有哪些特殊的性质呢？从边的角度：两腰相等；从角的角度：等边对等角；从对称性的角度：轴对称图形、三线合一．思考将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应的结论吗？图形边角轴对称图形等腰三角形两边相等（定义）两底角相等（等边对等角）是（三线合一）一条对称轴等边三角形三边相等（定义）对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论进行证明.已知：△ABC 是等边三角形求证：∠A =∠B =∠C =60°．证明：∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC，BC =AB．∴∠A =∠B，∠A =∠C ．∴∠A =∠B =∠C ．∵∠A +∠B +∠C =180°，∴∠A =60°．∴∠A =∠B =∠C =60°．等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.符号语言：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°思考利用所学知识判断，等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.问题等边三角形除了用定义（即用边）来判定以外，能否利用角来判定呢？思考1 一个三角形的三个内角满足什么条件是等边三角形？思考2 一个等腰三角形满足什么条件是等边三角形？三个角都相等的三角形或者一个角为60°的等腰三角形．请你将得到的这两个命题进行证明.等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵∠A=∠B =∠C ，∴△ABC 是等边三角形．等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．符号语言：在△ABC 中，∵BC =AC，∠A =60°，∴△ABC 是等边三角形．判定等边三角形的方法：从边的角度：等边三角形的定义；从角的角度：等边三角形的两条判定定理．等边三角形的判定定理1：三个角都相等的三角形是等边三角形．等边三角形的判定定理2：有一个角为60°的等腰三角形．例1 如图，△ABC 是等边三角形，DE∥BC, 分别交AB，AC 于点D，E．求证：△ADE 是等边三角形.三、巩固提高：教科书80页练习1、2四、课堂小结：（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定；（2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？共有几种判定等边三角形的方法？（3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．五、课后作业：教科书习题13.3第12、14题．课后反思：13.3 等腰三角形（4）教学目标：1．探索含30°角的直角三角形的性质．2．理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算．教学重、难点：探索并理解含30°角的直角三角形的性质.教学过程：一、问题导入：问题已知△ABC 中，∠A =60°,（）.请你在括号内补充一个条件，使△ABC 能成为等边三角形.二、课本精讲：思考1 等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？思考2 这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？活动用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出怎样的三角形？能拼出等边三角形吗？请说说你的理由．问题你能借助这个图形，找到含30°角的直角△ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间有什么数量关系吗？猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.问题请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.思考这个命题是真命题吗？请进行证明．已知：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.求证：BC = AB．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，∴BC = AB．例如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB的中点，立柱BC、DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多长？三、巩固提高：教科书81页练习四、课堂小结：（1）本节课学习了哪些内容？（2）在应用含30°角的直角三角形的性质时，能解决哪些问题？需要注意哪些问题？五、课后作业：教科书习题13.3第15题．课后反思：(A)(B)(C)(D)第十三章轴对称13.1《轴对称（1）》导学案班级：姓名：一、学习目标：1．理解轴对称图形及轴对称的定义，认识轴对称与全等的关系，了解轴对称图形与轴对称的联系与区别。

轴对称图形及其性质(一)(解析版)

第九讲轴对称图形及其性质（一）知识点一轴对称图形及轴对称性质1、轴对称图形如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．注意：轴对称图形的对称轴可能只有一条，也可能有多条甚至无数条．2、两个图形成轴对称如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做这两个图形的对称轴．3、轴对称的性质在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等．注意：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，沿对称轴折叠后，重合的点是对应点，叫做对称点．类似地，重合的线段是对应线段，重合的角是对应角．知识点二利用轴对称作图1、已知轴对称图形求作对称轴方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对称轴．2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形．经典例题【例1】选择题（1）如图，ABC∠度数为()C∠=︒，则B'∠=︒，20∆与△A B C'''关于直线l对称，若50AA．110︒B．70︒C．90︒D．30︒【解析】A．（2）下列说法：①线段的对称轴有两条；②角是轴对称图形，对称轴是它的角平分线；③两个全等的等边三角形一定成轴对称；④两个图形关于某条直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线两侧；⑤到直线L距离相等的点关于L对称．其中说法不正确的有()A．3个B．2个C．1个D．4个【解析】D．【例2】如图，AOB∠=︒，BOD ∆与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称，AO的延长线交BC于点D．若46∠=︒．∠=︒，则ADCC22【解析】AOB与COB∆关于边OB所在的直线成轴对称，∆∴∆≅∆，AOB COB∠=∠，∴∠=∠=︒，ABO CBO22A C，∠=∠+∠BOD A ABO∴∠=︒-︒=︒，462224ABO∴∠=∠=︒，ABD ABO248∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，ADC A ABD224870故答案为：70．【例3】如图，在Rt ABCBC=，AD平分CABAC=，4∠交BC于D点，E，F分ACB∠=︒，3∆中，90别是AD，AC上的动点，求CE EF+的最小值.【解析】在AB上取一点G，使AG AF==∠=∠CAD BAD，AE AE∴∆≅∆()AEF AEG SAS∴=FE EG∴+=+CE EF CE EG则最小值时CG垂直AB时，CG的长度12CG=5【例4】如图在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．A B C；（1）在图中画出与ABC∆关于直线l成轴对称的△111（2）利用网格线在直线l上求作一点P，使得PA PC+最小，请在直线l上标出点P位置．A B C即为所求作．【解析】解：（1）如图，△111（2）如图，点P即为所求作．【例5】如图，在ABCBC cm==，8=，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，∆中，10AB AC cm在直线MN上存在一点P，使P、B、C三点构成的PBC∆的周长最小值．∆的周长最小，求PBC【解析】如图，连接PA．=++，8=，BC cm的周长BC PB PC∆PBC∴+的值最小时，PBC∆的周长最小，PB PC垂直平分线段AB，MN∴=，PA PB，∴+=+=PB PC PA PC AC cm10∴+的最小值为10cm，PB PC∴∆的周长的最小值为18cm．PBC故答案为18cm【例6】在等边ABC∆中，点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且=，点Q关于直线AC的对称点为M，连接AM，PM，求证：PA PM=．AP AQ【解析】证明：AP AQ，=∴∠=∠，APQ AQP∆是等边三角形，ABC∴∠=∠，B C∠=∠+∠，，AQP C CAQ∠=∠+∠APQ B BAP∴∠=∠，BAP CAQ点Q关于直线AC的对称点为M，∴=，QAC MAC∠=∠，AQ AM∠=∠，BAP CAQ∴∠=∠，MAC BAP∴∠+∠=∠+∠=︒，BAP PAC MAC CAP60∴∠=︒，PAM60=，AP AQ∴=，AP AM∴∆是等边三角形APM∴=．AP PM配套练习1、如图，ABC ∆与DEF ∆关于直线l 对称，BE 交l 于点O ，则下列说法不一定正确的是()A ．AC DF=B ．BO EO =C ．AD l ⊥D ．//AB EF【解析】D ．2、在44⨯的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与ABC ∆关于某条直线对称的格点三角形，最多能画()个．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】C ．3、如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B 、D 两点落在B '、D '点处，若得70AOB ∠'=︒，则B OG ∠'的度数为．【解析】根据轴对称的性质得：B OG BOG∠'=∠又70AOB ∠'=︒，可得110B OG BOG ∠'+∠=︒1110552B OG ∴∠'=⨯︒=︒．4、如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6BC =，8AC =，10AB =，动点P 在边AB 上运动（不与端点重合），点P 关于直线AC ，BC 对称的点分别为1P ，2P ．则在点P 的运动过程中，线段12P P 的长的最小值是．【解析】如图，连接CP ，点P 关于直线AC ，BC 对称的点分别为1P ，2P ，12PC PC P C ∴==，∴线段12P P 的长等于2CP ，如图所示，当CP AB ⊥时，CP 的长最小，此时线段12P P 的长最小，90ACB ∠=︒ ，6BC =，8AC =，10AB =，4.8AC BC CP AB⨯∴==，∴线段12P P 的长的最小值是9.6，故答案为：9.6．5、如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（用直尺画图）（1）画出格点ABC ∆（顶点均在格点上）关于直线DE 对称的△111A B C ；（2）在DE 上画出点P ，使1PB PC +最小；（3）在DE 上画出点Q ，使1||QB QC -最大．A B C即为所求作．【解析】（1）如图，△111（2）如图，点P即为所求作．（3）如图点Q即为所求作．。

轴对称图形的性质

5. 下面说法中正确的是（Ｃ）
Ａ.设Ａ，Ｂ关于直线MN对称，则 AB垂直平分MN。Ｂ.如果△ABC≌△DEF,则一定存在一条直线MN，使△ABC与△DEF关于MN对称。 C.如果一个三角形是轴对称图形，且对称轴不止一条，则它是等边三角形。Ｄ.两个图形关于MN对称，则这两个图形分别在MN的两侧。
3个 D.
下面说法中正确的是（）
线的垂直平分线） B B' (2)在上面扎字的过程中，点E与点E´重合，点F与点F´重合．折痕所在直线为l，连接点E与点E´的线段与l有什么关系? (对应点,对称点
) 右图是一个轴对称图形：
C
C'
（3）线段AD与线段A′D′有什么关系？
D．这直线两旁或这直线上
（2）连接点A与点A′的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B′的线段呢？
右图是一个轴对称图形：
（2）连接点A 与点A′的线段与对称轴有什么关系？连接点B与点B′的线段呢？
右图是一个轴对称图形：
对应点所连的线段被对称轴垂直平分。
右图是一个轴对称图形：
（3）线段AD 与线段A′D′有什么关系？线段BC与 B′C′呢？为什么？
对应线段相等，
右图是一个轴对称图形：
轴对称图形的性质
轴对称图形
把一个图形沿着某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形
成轴对称
两个图形沿着某条直线对折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么，我们就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
全等图形
两个能够完全重合的图形称为全等图形
1、轴对称图形和轴对称的区别
轴对称图形
图
A

人教初中数学八上第章《轴对称》教案 (公开课获奖)

工程设计内容备注课时第 1课时课型新课教具剪刀、红纸、直尺、铅笔。

教学目标知识与能力掌握轴对称图形和关于直线成轴对称等概念。

过程与方法通过生活中的具体实例认识，培养观察思维、操作、归纳能力。

态度与情感体验数学与生活的联系，开展审美观。

重点准确掌握轴对称图形和关于直线成轴对称的实质。

难点轴对称图形和关于直线成轴对称的区别和联系。

教学手段方法创设情境－主体探究－合作交流－应用提高．教学过程教师活动学生活动说明或设计意图创设情境，欣赏图片，感受生活中的轴对称现象和轴对称图形展示课本上的图片〔轴对称图形〕引导学生说出这些图形的共同特点.教师明确：对称的多样性，而其中轴对称是重要的一种；本节要研究的内容是：轴对称有哪些性质？学生展示他们事先自制的图片。

说出教师展示的图片的共同特征，并列举所见到的图形。

展示的图片，包含自然景象、建筑物、艺术作品等与生活实际相关的图形，让学生感知对称图形，激发学生的学习热情。

探究新知：1.轴对称图形的概念和成轴对称的概念。

教师先把长方形纸片对折，用剪刀剪出一个图案，再翻开这个图案，让学生欣赏。

展示一些窗花。

教师归纳轴对称图形的概念并板书概念。

45.教师引导得出两个图形关于某直线对称及轴对称的概念，并板书概念。

6.结合教材图13.1-2和13.1-3进行比拟，得出轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系。

轴对称是说两个图形的位置关系．而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形．轴对称的两个图形和轴对称图形都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合；如果把轴对称图形沿对称轴分成两局部，那么这两个图形就是关于这条直线成轴对称；反过来，如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．学生动手剪窗花。

学生在观察、互相交流的根底上描述图形的特征。

学生举例，4.学生观察图13.1-3，互相交流，得出两个图形关于某直线对称及对称轴、对称点的概念。

些生活中两个图形成轴对称的例子。

6.学生观察交流，得出轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系。

专题03《轴对称》(学生版)

专题03 轴对称1．轴对称图形与轴对称的相关概念（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称的性质（1）轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形．（2）轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．（3）如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（4）轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（5）两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上．3．轴对称与轴对称图形的区别与联系区别：（1）轴对称是指两个图形间的位置关系，轴对称图形是指一个具有特殊形状的图形；（2）轴对称涉及两个图形，轴对称图形是对一个图形而言的．联系：（1）定义中都有一条直线，都要沿着这条直线折叠重合；（2）如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分（即看成两个图形），那么这两个图形就关于这条直线成轴对称；反过来，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．4．线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等．判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．画一图形关于某条直线的轴对称图形的步骤先找到关键点，画出关键点的对应点，然后按照原图顺序依次连接各点．6．关于坐标轴对称的点的坐标的关系（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）．（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）．（3）点（x，y）关于原点轴对称的点的坐标为（-x，-y）．7．等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，（简写成等边对等角）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，（简写成三线合一）．8．等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成等角对等边）．9．等边三角形的性质等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60度．10．等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等腰三角形．（2）有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形．11．含30度角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半．12．最短路径问题利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间线段最短”问题．考点一、轴对称图形例1 （2020永州）永州市教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育．下列安全图标不是轴对称的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】A、是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．【名师点睛】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．考点二、轴对称的性质例2（2020哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解析】解：∵∠BAC=90°，∠B=50°，∴∠C=40°，∵△ADB与△ADB/关于直线AD对称，点B的对称点是B/，∴∠AB/B=∠B=50°，∴∠ACB/=∠AB/B-∠C=10°，故选：A.【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，轴对称图形的两个部分也是全等图形，轴对称（轴对称图形）对应线段相等，对应角相等．考点三、利用轴对称设计图案的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．A，B，C均为格例3 （2020吉林）图①、图②、图③都是33点．在给定的网格中，按下列要求画图：（1）在图①中，画一条不与AB 重合的线段MN ，使MN 与AB 关于某条直线对称，且M ，N 为格点．（2）在图②中，画一条不与AC 重合的线段PQ ，使PQ 与AC 关于某条直线对称，且P ，Q 为格点．（3）在图③中，画一个DEF ∆，使DEF ∆与ABC ∆关于某条直线对称，且D ，E ，F 为格点．【答案】（1）（2）（3）见解析．【解析】（1）如图①，MN 即为所求；（2）如图②，PQ 即为所求；（3）如图③，△DEF 即为所求．【名师点睛】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称性质是解本题的关键．考点四、图形的剪拼例4 （2020武汉一模）小明将一张正方形纸片按如图所示的顺序折叠成纸飞机，当机翼展开在同一平面时（机翼间无缝隙），AOB ∠的度数是．【答案】22.5︒【解析】在解本题的过程中，可以找一张正方形的纸片进行如题操作，通过测量，来得到答案，也可以利用图形的轴对称的性质，直接得到AOB ∠的度数是22.5︒．【名师点睛】关键是要理解折叠的过程，得到关键信息，能够通过折叠理解角之间的对称关系是解题的关键．考点五、轴对称与最小值例5 （2020荆门）在平面直角坐标系中，长为2的线段CD （点D 在点C 右侧）在x 轴上移动()0,2A ，()0,4B ，连接AC 、BD ，则AC BD +的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设C（m，0），∵CD=2，∴D（m+2，0），∵A（0，2），B（0，4），∴∴要求AC+BD的最小值，相当于在x轴上找一点P（n，0），使得点P到M（0，2）和N（-2，4）的距离和最小，如图1中，作点M关于x轴的对称点Q，连接NQ交x轴P/，连接MP/，此时P/M+P/N的值最小.∵N（-2，4），Q（0，-2）P/M+P/N的值最小值=P/N+P/=∴AC+BD的最小值为故选：B.【名师点睛】本题考查对称轴—最短问题，坐标与图形的性质，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会利用数形结合的思想思考问题，学会用转化的思想解决问题，属于中考选择题中的压轴题.考点六、线段垂直平分线的性质例6 （2020枣庄）如图，在ABCBC=，5AC=，∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE，若6则ACE∆的周长为()A．8B．11C．16D．17【答案】B【解析】DE 垂直平分AB ，AE BE ∴=，ACE ∴∆的周长AC CE AE =++AC CE BE =++AC BC =+56=+11=，故选B ．【名师点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．考点七、坐标与图形变化--对称例7 （2020济南）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点都在格点上如果将△ABC 先沿y 轴翻折，再向上平移3个单位长度，得到△A'B'C'，那么点B 的对应点B'的坐标为（）A ．（1，7）B ．（0，5）C ．（3，4）D ．（-1，2）【答案】C 【解析】由坐标系可得B （-1，1），将△ABC 先沿y 轴翻折得到B 点对应点（3，1）再向上平移3个单位长度，点B 的对应点/的坐标为（3，1+3），即（3，4），故选：C.【名师点睛】本题考查了坐标与图形变化--对称和平移，熟练掌握点的坐标的变化规律是解题的关键．考点八、等腰三角形的性质例8 （2020齐齐哈尔）等腰三角形的两边长分别为3，4，其这个等腰三角形周长是．【答案】10或11．【解析】由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，三角形三边长为3，3，4，334+>，能构成三角形；周长=3+3+4=10，（2）当腰长为4时，三角形三边长为3，4，4，周长=3+4+4=11，故答案为：10或11．【名师点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．考点九、等腰三角形的判定例9 （2020黄冈模拟）如图，已知∠C ＝∠D ＝90°，BC 与AD 交于点E ，AC ＝BD ，求证：AE ＝BE ．【答案】见解析【解析】证明：∵∠C ＝∠D ＝90°，∴△ACB 和△BDA 是直角三角形，在Rt △ACB 和Rt △BDA 中，{AB =BA AC =BD， ∴Rt △ACB ≌Rt △BDA （HL ），∴∠ABC ＝∠BAD ，∴AE ＝BE ．【名师点睛】本题考查了全等的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记掌握等腰三角形的判定定理，证明三角形全等是解题的关键．考点十、等边三角形的性质例10 （2020常州）如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线分别交BC 、AB 于点E 、F ．若△AFC 是等边三角形，则∠B= °．【答案】30【解析】∵EF 垂直平分BC ，∴BF=CF ，∴∠B=∠BCF ，∴△ACF 为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°，故答案为：30.【名师点睛】此题主要考查了等边三角形的性质，垂直平分线的性质，三角形外角的性质，利用垂直平分线的性质求出∠B=∠BCF 是解本题的关键．考点十一、等边三角形的性质与判定例11 （2020宜昌）如图，在一个池塘两旁有一条笔直小路（B ，C 为小路端点）和一棵小树（A 为小树位置）．测得的相关数据为：∠ABC=60°，∠ACB=60°，BC=48米，则AC= 米．【答案】48【解析】∵∠ABC=60°，∠ACB=60°，∴∠BAC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵BC=48米，∴AC=48米.故答案为：48.【名师点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是得到△ABC 是等边三角形．考点十二、含30度角的直角三角形例12 （2020黔西南州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°点D在线段BC上，且∠B=30°，∠ADC=60°，，则BD的长度为．【答案】．【解析】∵∠C=90°，∠ADC=60°，∴∠DAC=30°，∴CD=12 AD，∵∠B=30°，∠ADC=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AD，∴BD=2CD，∵∴，∴∴故答案为：【名师点睛】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，直角三角形30°所对的直角边等于斜边一半的性质，属于基础题，速记性质是解题的关键.1.（2020宜昌）下面四幅图是摄影爱好者抢拍的一组照片．从对称美的角度看，拍得最成功的是（）A．B．C．D．2．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数是（）A．100°B．104°C．108°D．112°3.（2020潜江模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝105°，∠C′＝30°，则∠B＝（）A．25°B．45°C．30°D．20°4.（2019·广西北部湾）如图，在△ABC中AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG的度数为（）A. 40°B. 45°C.50°D.60°5．（2020大连）平面直角坐标系中，点P（3，1）关于x轴的对称的点的坐标是（）A．（3，1）B．（3，−1）C．（−3，1）D．（−3，−1）6.（2020毕节）已知等腰三角形两边的长分别为3和7，则此等腰三角形的周长（）A．13 B. 17 C. 13或17 D.13或107．（2020聊城）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（）A．120° B. 130° C. 145° D.150°8.（2020武汉东西湖模拟）如图，已知△ABC中，AB＝3，AC＝5，BC＝7，在△ABC所在平面内一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．2条B．3条C．4条D．5条9．（2020成都一模）如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于O，MN过点O且与BC平行．△ABC的周长为20，△AMN的周长为12，则BC的长为（）A．10 B．16 C．8 D．410．如图，在△ABC 中，AB =AC =11，∠BAC =120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是∠BAD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 的延长线于点E ，则DF 的长为（）A ．4.5B ．5C ．5.5D ．611.（2020温州模拟）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。

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