人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题
新人教版七年级数学下册《实数》考点归纳及常见考题
新人教版七年级数学下册《实数》考点归纳及常见考题【知识要点】1、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”.2、如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）.3、正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.4、平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个.联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根.（3）0的算术平方根与平方根同为0.5、如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）.6、正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.7、求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9、一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如25==.2500,55010、平方表：（自行完成）1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.30a≥0.4、公式：⑴2=a（a≥0=a取任何数）.5、区分2=a （a ≥0），与 2a =a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0【典型例题】1.下列语句中，正确的是（ ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个 2. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是（-2）2的算术平方根B ．3是-9的算术平方根C ．16的平方根是±4D ．27的立方根是±33. 已知实数x ，y 满足2=0，则x-y 的值为多少？4.求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-5. 已知实数x ，y 满足2=0，则x-y 等于6. 计算（1）64的立方根是 .（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±.其中正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个7.易混淆的三个数（自行分析它们）（1）2a （2）2)(a （3）33a综合演练 一、填空题1、（-0.7）2的平方根是2、若2a =25,b =3,则a+b=3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是4、ππ-+-43＝ ___________ 5、若m 、n 互为相反数，则nm +-5＝_________6、若 a a -=2，则a______0 7、若73-x 有意义，则x 的取值范围是 8、大于-2，小于10的整数有______个. 9、当_______x 时，3x -有意义. 10、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a= ，x= .11、当_______x 时，32-x 有意义. 12、当_______x 时，x -11有意义. 二、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ） A ．4=±2 B ．2(9)81-==9 C.636=± D.992-=-3．64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D ．±2 4．4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．14三、利用平方根解下列方程．1、（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；四、解答题1、求972的平方根和算术平方根.2、计算33841627-+-+的值4、若a5、、b 、c 满足01)5(32=-+++-c b a ，求代数式a cb -的值.一、填空题：(每题3分，共30分)1、如图1，计划把河水引到水池A 中，可以先引AB ⊥CD ，垂足为B ，然后沿AB 开渠，则能使所开的渠最短，这样设计的依据是________________.2、如图2，AB ∥CD ，∠1=39°，∠C 和∠D 互余，则∠D=________，∠B=________.3、如图3，直线ba,与直线c 相交，给出下列条件：①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠ 5+∠3=180°，其中能判断a∥b的是_______________(填序号).4、把命题“等角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是_________________.5、如图4，已知AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，则∠2的度数为_______________.6、定点P在直线AB外，动点O在直线AB上移动，当PO最短时，∠POA=_______，这时线段PO所在的直线是AB的___________，线段PO叫做直线AB的______________.7、如图5，EF⊥AB于点F，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，∠1=∠2，则图中互相平行的直线是____________________.8、如图6，已知AB∥CD∥EF，则∠x、∠y、∠z三者之间的关系是___________.9、在下列说法中：⑴△ABC在平移过程中，对应线段一定相等；⑵△ABC在平移过程中，对应线段一定平行；⑶△ABC在平移过程中，周长保持不变；⑷△ABC在平移过程中，对应边中点的连线段的长等于平移的距离；⑸△ABC在平移过程中，面积不变，其中正确的有( )A、⑴⑵⑶⑷B、⑴⑵⑶⑷⑸C、⑴⑵⑶⑸D、⑴⑶⑷⑸10、如果∠α与∠β的两边分别平行，∠α与∠β的3倍少36°，则∠α的度数是( )A、18°B、126°C、18°或126°D、以上都不对11、完成下面的证明：已知，如图，AB∥CD∥GH，EG平分∠BEF，FG平分∠EFD 求证：∠EGF=90°。
七年级数学下册第六章实数知识集锦(带答案)
七年级数学下册第六章实数知识集锦单选题1、如图，若数轴上的点A，B，C，D表示数−1，1，2，3，则表示数4−√11的点应在（）A．A，O之间B．B，C之间C．C，D之间D．O，B之间答案：D分析：先估算出4−√11的值，再确定出其位置即可．解：∵9＜11＜16，∴3＜√11＜4，∴−4＜−√11＜−3，∴4−4＜4−√11＜4−3，即0＜4−√11＜1∴表示数4−√11的点应在O，B之间．故选：D．小提示：本题考查的是实数与数轴．熟知实数与数轴上各点是一一对应关系，能够正确估算出√11的值是解答此题的关键．2、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（）A．2√3B．3C．3√2D．4答案：A分析：根据正方形的面积公式即可求解．解：由题意知：正方形的面积等于边长×边长，设边长为a，故a²=12，∴a=±2√3，又边长大于0∴边长a=2√3．故选：A．小提示：本题考查了正方形的面积公式，开平方运算等，属于基础题．3、对多项式x−y−z−m−n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操作”，例如：(x−y)−(z−m−n)=x−y−z+m+n，x−y−(z−m)−n=x−y−z+m−n，…，给出下列说法：①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．以上说法中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3答案：D分析：给x−y添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确．解：∵(x−y)−z−m−n=x−y−z−m−n∴①说法正确∵x−y−z−m−n−x+y+z+m+n=0又∵无论如何添加括号，无法使得x的符号为负号∴②说法正确③第1种：结果与原多项式相等；第2种：x-（y-z）-m-n=x-y+z-m-n；第3种：x-（y-z）-（m-n）=x-y+z-m+n；第4种：x-（y-z-m）-n=x-y+z+m-n；第5种：x-（y-z-m-n）=x-y+z+m+n；第6种：x-y-（z-m）-n=x-y-z+m-n；第7种：x-y-（z-m-n）=x-y-z+m+n；第8种：x-y-z-（m-n）=x-y-z-m+n；故③符合题意；∴共有8种情况∴③说法正确∴正确的个数为3故选D ．小提示：本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键．4、已知min {a,b,c }表示取三个数中最小的那个数，例加：min{−1,−2,−3}=−3，当min{√x,x 2,x}=181时，则x 的值为（ ）A ．181B ．127C ．13D ．19 答案：D分析：根据题意可知√x,x 2,x 都小于1且大于0，根据平方根求得x 的值即可求解．解：∵min{√x,x 2,x}=181∴√x,x 2,x 都小于1且大于0∴x 2<x <√x∴x 2=181∴x =19（负值舍去）故选D小提示：本题考查了求一个数的平方根，判断√x,x 2,x 的范围是解题的关键．5、定义：若10x =N ，则x =log 10N ，x 称为以10为底的N 的对数，简记为lgN ，其满足运算法则：lgM +lgN =lg(M ⋅N)(M >0,N >0)．例如：因为102=100，所以2=lg100，亦即lg100=2；lg4+lg3=lg12．根据上述定义和运算法则，计算(lg2)2+lg2⋅lg5+lg5的结果为（ ）A ．5B ．2C ．1D ．0答案：C分析：根据新运算的定义和法则进行计算即可得．解：原式=lg2⋅(lg2+lg5)+lg5，=lg2⋅lg10+lg5，=lg2+lg5，=1，故选：C．小提示：本题考查了新定义下的实数运算，掌握理解新运算的定义和法则是解题关键．6、在四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是（）A．−2B．0C．−√3D．−1答案：A分析：根据实数比较大小的方法直接求解即可．解：∵−2<−√3<−1<0，∴四个实数−2，0，−√3，−1中，最小的实数是−2，故选：A．小提示：本题考查了有理数大小比较：正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．7、下列说法正确的是（）A．−81平方根是−9B．√81的平方根是±9C．平方根等于它本身的数是1和0D．√a2+1一定是正数答案：D分析：A、根据平方根的概念即可得到答案；B、√81的平方根其实是9的平方根；C、平方根等于它本身的数与算术平方根是它本身的数要分清楚；D、先判断出a2+1>0，再利用算术平方根的性质直接得到答案．A、−81是负数，负数没有平方根，不符合题意；B、√81=9，9的平方根是±3，不符合题意；C、平方根等于它本身的数是0，1的平方根是±1，不符合题意；D、a2+1>0，正数的算术平方根大于0，符合题意．小提示：此题考查了平方根及算术平方根的定义及性质，熟练掌握相关知识是解题关键．8、按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m=1，n=1B．m=1，n=0C．m=1，n=2D．m=2，n=1答案：D分析：逐项代入，寻找正确答案即可.解：A选项满足m≤n，则y=2m+1=3；B选项不满足m≤n，则y=2n-1=-1；C选项满足m≤n，则y=2m+1=3；D选项不满足m≤n，则y=2n-1=1；故答案为D；小提示：本题考查了根据条件代数式求值问题，解答的关键在于根据条件正确地代入代数式及代入的值.9、−√64的立方根等于（）A．−8B．−4C．−2D．±2答案：C分析：先求出−√64=−8，再求出-8的立方根即可得．3=−2，解：∵−√64=−8，√−8∴−√64的立方根等于-2，故选：C．小提示：本题考查了立方根的意义，解题的关键是掌握立方根．10、下列说法正确的是（）A．－4是（－4）2的算术平方根B．±4是（－4）2的算术平方根C．√16的平方根是－2D．－2是√16的一个平方根答案：D分析：根据算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得．A、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；B、(−4)2=16，16的算术平方根是4，则此项错误，不符题意；C、√16=4，4的平方根是±2，则此项错误，不符题意；D、√16=4，4的平方根是±2，则−2是√16的一个平方根，此项正确，符合题意；故选：D．小提示：本题考查了算术平方根、平方根，掌握理解定义是解题关键．填空题11、根据图中呈现的运算关系，可知a=______，b=______．答案：－2020 －2020分析：根据立方根和平方根的定义进行求解即可．解：∵2020的立方根是m，a的立方根是-m，∴m3=2020，∴(−m)3=−m3=−2020，∴a=−2020；∵n的两个平方根分别为2020、b，∴b =−2020，所以答案是：-2020，-2020．小提示：本题主要考查了平方根和立方根，熟知二者的定义是解题的关键．12、比较大小：√22______√33（填写“>”或“<”或“＝”）．答案：＞分析：比较两者平方后的值即可．解：∵(√22)2=12，(√33)2=13，∵12>13， ∴ √22>√33． 所以答案是：>．小提示：本题考查了实数的大小比较，解题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．13、写出一个比√2大且比√15小的整数______．答案：2（或3）分析：先分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．∵1＜√2＜2，3＜√15＜4，∴比√2大且比√15小的整数是2或3．所以答案是：2（或3）小提示：本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出√2与√15在哪两个相邻的整数之间是解答此题的关键．14、若√a +13与√a 2−53互为相反数，则a 3+5a 2﹣4的值为 _____．答案：12分析：先根据相反数的定义得√a +13+√a 2−53＝0，再利用立方根的意义进行整理，最后利用整体代入的方法即可求得答案 ．解：由题意得：√a +13+√a 2−53=03∴√a+13=−√a2−5∴a+1＝﹣（a2﹣5）．∴a2+a＝4．∴a3+a2＝4a．∴a3＝﹣a2+4a．∴a3+5a2﹣4＝﹣a2+4a+5a2﹣4＝4a2+4a﹣4＝4（a2+a）﹣4＝4×4﹣4＝12．所以答案是：12.小提示：本题考查的相反数的应用，立方根的应用，解题的关键是在于整理出所需形式，利用整体代入求解．15、若实数a的立方等于27，则a=________．答案：3分析：根据立方根的定义即可得．3=3，解：由题意得：a=√27所以答案是：3．小提示：本题考查了立方根，熟练掌握立方根的运算是解题关键．解答题16、据说，我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出：39．你知道他是怎么快速准确地计算出来的吗？请研究解决下列问题：(1)已知x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是______；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是______；∴x=______．(2)y3=614125，且y为整数，按照以上思考方法，请你求出y的值．答案：(1)2#，2#，22#(2)y=85分析：（1）根据立方根的定义和题意即可得出答案；（2）根据（1）中的方法计算书写即可得出结果．（1）解：∵x3=10648，且x为整数．∵1000=103<10648<1003=1000000，∴x一定是一个两位数；∵10648的个位数字是8，∴x的个位数字一定是2；划去10648后面的三位648得10，∵8=23<10<33=27，∴x的十位数字一定是2；∴x=22．所以答案是：2，2，22．（2）∵1000=103<614125<1003=100000，∴y一定是两位数；∵614125的个位数字是5，∴y的个位数字一定是5；划去614125后面的三位125得614，∵512=83<614<93=729，∴y的十位数字一定是8；∴y=85．小提示：本题考查立方根，灵活运用立方根的计算是解题的关键．17、如图，把图（1）中两个小正方形纸片分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到如图（2）的大正方形．问题发现若大正方形的面积为32cm2，则小正方形的面积是__________cm2，边长为___________cm；知识迁移某兴趣小组想将图（1）中的一个小正方形纸片，沿与边平行的方向剪裁出面积为12cm2，且长宽之比为3∶2的长方形纸片．兴趣小组能否剪裁出符合要求的长方形纸片？请说明理由．拓展延伸如图（3）是由5个边长为1的小正方形组成的纸片，能否把它剪开并拼成一个大正方形？若能，请画出示意图，并写出边的长度，若不能，请说明理由．答案：问题发现：小正方形的面积为16cm2，边长为4cm知识迁移：不能裁出符合要求的长方形纸片拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，示意图见解析，大正方形边长为√5分析：问题发现：先求出小正方形的面积，再根据正方形的面积等于边长的平方求边长；知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，利用面积列方程，最后检验即可；拓展延伸：新的大正方形面积为5，则边长为√5，可以把它剪开并拼成一个大正方形．问题发现：小正方形的面积为32÷2=16cm2，∴小正方形的边长为4cm．所以答案是：16；4．知识迁移：设长和宽分别为3x、2x，由题意得：3x⋅2x=12，整理得：x2=2，∵实际问题x为正数，∴x=√2，∴长方形的长为3x=3√2≈5.19>4，即裁剪后的长方形的长大于小正方形的边长，∴不能裁出符合要求的长方形纸片．拓展延伸：能把它剪开并拼成一个大正方形，裁剪示意图如图所示：∵原图形的面积是5，∴裁剪后的正方形面积也是5，∴大正方形边长为√5．小提示：本题考查了算术平方根的实际应用、正方形的面积和正方形的有关画图，巧妙地根据网格的特点画出正方形是解此题的关键．18、求下列式子中的x ：(1)25(x ﹣35)2＝49；(2)12(x +1)2＝32． 答案：(1)x 1＝2，x 2＝−45(2)x 1＝7，x 2＝﹣9分析：（1）两边同时除以25，再开平方解一元一次方程即可；（2）方程两边同时乘以2，再开平方解一元一次方程即可．（1）解： 25（x ﹣35）2＝49，（x ﹣35）2＝4925， x ﹣35＝±75，x ﹣35＝75或x ﹣35＝﹣75，解得：x 1＝2，x 2＝−45；（2）12（x +1）2＝32， （x +1）2＝32×2，（x +1）2＝64， x +1＝±8，x +1＝8或x +1＝﹣8，解得：x 1＝7，x 2＝﹣9．小提示：此题考查了利用平方根定义解方程，正确理解并掌握平方根的定义是解题的关键．。
最新人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题。
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“ ”。
2.如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“± ”
（a称为被开方数）。
3.正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4.平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
6.计算
（1）64的立方根是4
（2）下列说法中：① 都是27的立方根，② ，③ 的立方根是2，④ 。其中正确的有（B）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
7.易混淆的三个数（自行分析它们）
（1） （2） （3）
9、大于- ，小于 的整数有______个。
10、一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_____，x=_____。
11、当 时， 有意义。
12、当 时， 有意义。
13、当 时， 有意义。
14、当 时，式子 有意义。
15、若 有意义，则 能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
9．下列说法：(1) 是9的平方根；(2)9的平方根是 ；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）
A．3个 B．2个C．1个 D．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A、任意算术平方根是正数
B、只有正数才有算术平方根
C、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
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2020-2021学年人教版七年级下册第六章实数知识点总结及题型分类
实数全章复习与巩固知识点一：平方根和立方根 类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数③有特定结构的数，如0.1010010001… 2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0； （2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（30≥ (0a ≥).非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：数a 的相反数是－a ；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则 1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【例题训练】 类型一、算术平方根1.求下列各数的算术平方根 ⑴100 ⑵4964 ⑶0.0001 ⑷0 ⑸124变式：x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 2x ≥ C. 2x > D. 2x ≤提升：已知21a -的算术平方根是3，31a b +-的算术平方根是4，c 的整数部分，求2a b c +-的算术平方根 课堂小练1、 非负数a 的算术平方根表示为___，225的算术平方根是____，0的算术平方根是____2、____,_____===3、_____, 0.64-的算术平方根____4、 若x 是49的算术平方根，则x =（ ）A. 7B. －7C. 49D.－495、 7=，则x 的算术平方根是（ ）6、 若()2130x y -+++，求,,x y z 的值。
人教版七年级数学下册期末必考知识点总结和例题：实数
人教版七年级数学下册期末必考知识点总结：实数考点一平方根、立方根、算术平方根的意义【例1】(1)4的算术平方根是()A.2B.-2C.±2()A.4B.±4C.2D.±2的相反数是()A.2B.-2C.12D.-12【分析】(1)因为22=4,所以4的算术平方根是2;，4的平方根是±22；(3)因为23=8,=2,2的相反数是-2,的相反数是-2.【解答】(1)A (2)D (3)B【方法归纳】求一个数的平方根、算术平方根以及立方根时，首先应对该数进行化简,然后结合它们的意义求解.只有非负数才有平方根和算术平方根,而所有实数都有立方根,且实数与其立方根的符号一致.1.求下列各数的平方根：(1)2549;(2)214;(3)(-2)2.2.求下列各式的值：.考点二实数的分类【例2】把下列各数分别填入相应的数集里.-3π,-2213,0.324,0080008…无理数集合｛…｝;有理数集合｛…｝;分数集合｛…｝;负无理数集合｛…｝.【分析】根据实数的概念及实数的分类,把数填到相应的数集内即可.【解答】无理数集合｛-3π,0.8080080008…,…｝;有理数集合｛-2213,0.324…｝;分数集合｛-2213,0.324371,0.5,…｝;负无理数集合｛-3π,…｝.【方法归纳】我们学过的无理数有以下类型：π，3π等含π的式子，等开方开不尽的数;0.1010010001…等特殊结构的数.注意区分各类数之间的不同点,不能只根据外形进行判断,如误认为是无理数.3.下列实数是无理数的是()A.-1B.0C.πD.134.实数-7.5,,4,,-π,0.15,23中,有理数的个数为a,无理数的个数为b,则a-b 的值为()A.2B.3C.4D.55.把下列各数分别填入相应的集合中：+17.3，12，0，π，-323，227，9.32%，考点三实数与数轴【例3】在如图所示的数轴上,AB=AC,A ，B -1,则点C 所对应的实数是()3333+1【分析】由题意得AB=3-(-1)=3+1,所以AC=3+1.所以C点对应的实数为333【解答】D【方法归纳】实数与数轴上的点一一对应.求数轴上两点间的距离就是用右边的数减去左边的数；求较小的数就用较大的数减去两点间的距离;求较大的数就用较小的数加上两点间的距离.6.如图，若A是实数a在数轴上对应的点，则关于a，-a，1的大小关系表示正确的是()A.a＜1＜-aB.a＜-a＜1C.1＜-a＜aD.-a＜a＜17.实数在数轴上的位置如图所示，下列式子错误的是()A.a<bB.|a|>|b|C.-a<-bD.b-a>08.实数m，n在数轴上的位置如图所示，则|n-m|＝__________.考点四实数的运算【例4】30.125131623718⎛⎫⎪⎝⎭-.【分析】将被开方数化简,然后根据算式的运算顺序求解.【解答】原式3184916316412-74+14=-1.【方法归纳】当被开方数是小数时通常将其化成分数,然后求其方根;当被开方数是带分数时通常将其化成假分数，然后求方根;当被开方数是a2时通常先计算出a2的值，然后求方根.9.计算：35128131-10.计算：(-2)3()24-()334-(12)2-20×2-1|.复习测试一、选择题(每小题3分,共30分)1.下列说法正确的是()A.-2是-4的平方根 B.2是(-2)2的算术平方根C.(-2)2的平方根是2 D.8的平方根是42.下列语句正确的是()A.如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数一定是0B.一个数的立方根不是正数就是负数C.负数没有立方根D.一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是03.下列各式错误的是()A.=0.2B.=-13 C.=±24.在3.12578，227，5.27，3π-1中，无理数的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个5.如图，数轴上A ，B 和5.1，则A ，B 两点之间表示整数的点共有()A.6个B.5个C.4个D.3个6.的值()A.在2和3之间B.在3和4之间C.在4和5之间D.在5和6之间7.如图，数轴上点P 表示的数可能是()C.-3.28.=0，则a 与b 的关系是()A.a=b=0B.a 与b 相等C.a 与b 互为相反数D.a=1b9.已知n 是整数，则n 的最小值是()A.3B.5C.15D.2510.求1+2+22+23+…+22014的值，可令S=1+2+22+23+…+22014，则2S=2+22+23+…+22015，因此2S-S=22015-1，仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52014的值为()A.52014-1 B.52015-1C.2015514- D.2014514-二、填空题(每小题4分,共20分)11.已知a 、b 是两个连续的整数，且则2a+b=__________.12.=2，则2x+5的平方根是__________.13.-27__________.14.对于任意不相等的两个数a ，b,定义一种运算※如下：a ※b=a b -,如3※2=32-那么12※4=__________.15.=3…所提示的规律，可得出一般性的结论是____________________(用含n 的式子表示).三、解答题(共50分)16.(15分)计算：(1)2-5+3；(2)+1+3+|1-|；17.(10分)求下列各式中的x ：(1)25(x-1)2=49;(2)64(x-2)3-1=0.18.(8分)已知|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，求a 和b 的值.19.(8分)座钟的摆摆动一个来回所需的时间称为一个周期，其计算公式为T ＝2，其中T 表示周期(单位：秒)，l 表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒2.假如一台座钟的摆长为0.5米，它每摆动一个来回发一次滴答声，那么在一分钟内，该座钟大约发出多少次滴答声？(可利用计算器计算，其中π取3.14)20.(9分)已知:M=a 是a+b+3的算术平方根,N=2a b -a+6b 的算术平方根,求M ·N 的值.参考答案变式练习1.(1)±57；(2)±32；(3)±2.2.(1)-4；(2)-0.6.3.C4.B5.+17.3，12，0，-323，227，9.32%，-25，…π，+17.3，-323，227，9.32%，…12，0，-25，…6.A7.C8.m-n9.原式=8-9-1=-2.10.原式=-8×4+(-4)×14+20×)=-32-1+20-20.复习测试1.B2.D3.C4.D5.C6.C7.B 8.C9.C10.C11.1012.±313.-1或-514.1215.=n (n 为大于或等于2的自然数)16.(1)原式；(2)原式；(3)原式=5+1+12-4=14.17.(1)化简得(x-1)2=49 25.所以x-1=±7 5.所以x=125或x=-25；(2)化简得(x-2)3=1 64.所以x-2=1 4.所以x=9 4.18.因为|a-b-1|≥0，3(a-2b+3)2≥0,又因为|a-b-1|与3(a-2b+3)2互为相反数，所以a-b-1=0，a-2b+3=0，解它们组成的方程组得a=5，b=4.19.∵T＝2，T表示周期(单位：秒)，l表示摆长(单位：米)，g=9.8米/秒2.∴T=2 1.42(秒).∴在一分钟内，该座钟大约发出滴答声的次数为60÷1.42≈42.20.由题意,得2,22 2.a ba b-=-+=⎧⎨⎩解得4,2.ab==⎧⎨⎩∴于是M·N=3×4=12.。
人教版初中七年级数学下册第六单元《实数》知识点总结(含答案解析)(1)
一、选择题1．给出下列各数①0.32，②227，③π，④5，⑤0.2060060006（每两个6之间依次多个0），⑥327，其中无理数是（ ） A ．②④⑤ B ．①③⑥ C ．④⑤⑥D ．③④⑤ 2．下列各式计算正确的是（ ）A ．31-=-1B ．38= ±2C ．4= ±2D ．±9=3 3．下列说法中错误的有（ ）①实数和数轴上的点是一一对应的；②负数没有立方根；③算术平方根和立方根均等于其本身的数只有0；④49的平方根是7±，用式子表示是497=±．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个4．数轴上有O 、A 、B 、C 四点，各点位置与各点所表示的数如图所示．若数线上有一点D ，D 点所表示的数为d ，且|d ﹣5|＝|d ﹣c |，则关于D 点的位置，下列叙述正确的是？（ ）A ．在A 的左边B ．介于O 、B 之间C ．介于C 、O 之间D ．介于A 、C 之间5．已知n 是正整数，并且n -1＜326+＜n ，则n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106．数轴上表示下列各数的点，能落在A ，B 两个点之间的是（ ）A ．3B 7C 11D 137．关于x 的多项式32711159x mx x --+与多项式22257x nx --相加后不含x 的二次和一次项，则()mn n -+平方根为（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．3±8．30.31，3π，27-912-38 1.212212221…(每两个1之间依次多一个2)中，无理数的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4 9．如图是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n （n 是整数，且n ≥3）行从左向右数第（n ﹣2）个数是（ ）（用含n 的代数式表示）A 21n -B 22n -C 23n -D 24n - 10．已知：m 、n 为两个连续的整数，且5m n <，以下判断正确的是（ ） A 545 B ．3m =C 50.236D ．9m n += 11．若1a >，则a ，a -，1a 的大小关系正确的是（ ） A ．1a a a >-> B ．1a a a>-> C ．1a a a >>- D ．1a a a ->> 12．下列各数中是无理数的是（ ） A ．227 B ．1.2012001 C ．2π D 8113．一个正方体的体积为16，那么它的棱长在（ ）之间A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和5 14．已知|x |＝2，y 2＝9，且xy ＜0，则x +y 的值为（ ） A ．1或﹣1 B ．-5或5 C ．11或7 D ．-11或﹣7 15．下列各组数中都是无理数的为（ ）A ．0.07，23，π；B ．0.7•，π2；C 26，π；D ．0.1010101……101，π3二、填空题16．阅读下面的文字，解答问题：无理数是无限不循环小数，因此无理数的小数部分我们不可能全部地写出来，比如π、2等，而常用“……”或者“≈”212的小数部分，你同意小刚的表示方法吗？ 2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 459<<，即253<<， 5252也就是说，任何一个无理数，都可以夹在两个相邻的整数之间．根据上述信息，请回答下列问题：（113______，小数部分是_______；（2）107+也是夹在两个整数之间的，可以表示为107a b <+<，则a b +=_____； （3）若404x y -=+，其中x 是整数，且01y <<．求：x y -的相反数． 17．把下列各数填在相应的集合里：4，3.5，0，3π，5-4，10%，2-3，2016，﹣2.030030003…（每两个3之间依次多一个0） 正分数集合{ …}负有理数集合{ …}非负整数集合{ …}无理数集合{ …}．18．对于实数x ，规定[x ]表示不大于x 的最大整数，如[4]＝4，[3]＝1，如[﹣2.5]＝﹣3，现对82进行如下操作：82−−−→第一次[82]＝9−−−→第二次[9]＝3−−−→第三次[3]＝1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，按照以上操作，只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的正整数是__．19．已知a 、b 满足2|3|0a b -++=，则（a +b ）2021的值为________．20．已知57+的整数部分为a ，57-的小数部分为b ，则2ab b +=_________． 21．一个正数的两个平方根分别为27a -与34a -+，则这个正数为_______． 22．计算：（1）3243333225⎛⎫+-- ⎪⎝⎭； （2）381|13|6463+----．23．根据如图所示的程序计算，若输出y 的值为16，则输入x 的值为 ______．24．观察下面一列数：－1，2，－3，4，－5，6，－7……，将这列数排成下图形式．按照此规律排下去，那么第_________行从坐标数第_________个数是－2019．25．已知有理数1a ≠，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--，如果13a =-，2a 是1a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，4a 是5a 的差倒数…依此类推，那么的12342017201820192020a a a a a a a a -+-⋅⋅⋅+-+-值是______．26．规定一种关于a 、b 的新运算：2*2a b b ab a =+-+，那么()3*2-=______．三、解答题27．计算：（1()23-．（2）()21183⎤⎛⎫-⨯-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦． 28．求下列各式中x 的值：（1）()214x -=；（2）3381x =-．29．已知1x -的算术平方根是3，24x y ++的立方根也是3，求23x y -的值． 30．解答下列各题．（1）已知2x +3与x -18是某数的平方根，求x 的值及这个数．（2）已知20c d -=，求d +c 的平方根．。
实数(6个知识点+7类热点题型讲练+习题巩固)(原卷版)七年级数学下册
第03讲实数课程标准学习目标①无理数的概念及其常见的形式②实数的概念及其分类③实数与数轴④实数的性质⑤实数的大小比较⑥实数的运算1.掌握无理数的概念及其三种形式，能够准确的判断无理数。
2.掌握无理数的概念及其分类，能够准确的进行分类。
3.掌握实数与数轴的关系，能够熟练的应用。
4.掌握实数的相关性质，并能够熟练的应用。
5.掌握实数的大小比较方法，能够准确的判定实数的大小关系。
6.掌握实数的运算法则，并能够熟练的进行计算。
知识点01无理数的概念及其形式1.无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数。
2.无理数的三种形式：①含有，且被开方数开方。
②π以及化简后含有π的数。
③具有特定结构的数。
如0.1010010001...【即学即练1】1．下列各数：，，0，，﹣3.14，，2.101101110…（每两个0之间依次多一个1），其中是无理数的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个知识点02实数的概念及其分类1.实数的概念：与统称为实数。
2.实数的分类：①按定义分类：②按性质分类：【即学即练1】2．把下列各数填入相应的横线内：0.，0，﹣9，﹣6.8，2﹣π，，，80%，，0.7373373337…（两个“7”之间依次多一个“3”），．无理数：{…}；整数：{…}；分数：{…}；实数：{…}．知识点03实数与数轴1.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是关系。
数轴上每一个点都只能表示1个实数，每一个实数都只能找数轴上找一个点来表示它。
【即学即练1】3．在数轴上对应的点可能是（）A．点M B．点N C．点O D．点P知识点04实数的相关概念及其性质1.相反数：只有的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是。
若a 与b 互为相反数，则=+b a 。
2.绝对值：实数a 到原点的距离用来表示。
()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==0000＞＜a a a a a a ；①任意实数的绝对值都是一个，即|a |0；②互为相反数的两个数绝对值。
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
七年级下册人教版数学第六章实数知识要点及经典题型
实数知识要点：
1. 整数与有理数的关系：整数包含了有理数的全部内容，即整数是有理数的一种特殊形式。
2. 无理数：不能表示为两个整数的比的数，无理数是一类不是有理数的实数。
3. 实数的分类：实数可以分为有理数和无理数两种。
4. 实数的四则运算法则：实数的加减、乘除运算满足相应的运算法则。
5. 整式的运算：根据四则运算法则，对整式进行加减乘除运算。
6. 实数的比较：对于任意两个实数a和b，有以下三种情况：
a>b，a=b，a<b。
7. 绝对值的定义：实数a的绝对值表示为|a|，定义为a的值和
0的距离，即|a|=a（a≥0），|a|=-a（a<0）。
经典题型：
例1：计算下列各式的值：a) -3+5; b) 4-(-7); c) -2×3.
解答：
a) -3+5 = 5-3 = 2
b) 4-(-7) = 4+7 = 11
c) -2×3 = -6
例2：比较大小：a) -5和-3；b) -3和4-7.
解答：
a) -5<-3
b) -3<4-7，即-3<-3，两个数比较大小结果相同。
例3：计算下列各式的绝对值：a) |5|; b) |-7|; c) |-3+4|.
解答：
a) |5| = 5
b) |-7| = 7
c) |-3+4| = |1| = 1。
(完整版)七年级下册实数知识点总结及常见题,推荐文档
D．81
2、若 a 2 =25, b =3,则 a+b=
2．下列计算正确的是（ ）
3、已知一个正数的两个平方根分别是 2a﹣2 和 a﹣4，则 a 的值是
A． 4 =±2
B． (9)2 81 =9
4、 3 4 ＝ ____________
C. 36 6
D. 92 9
我去人也就有人！为UR扼腕入站内信不存在向你偶同意调剖沙龙课反倒是龙卷风前一天 2
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于 0，则每一个非负数都为 0（此性质
的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。（3）0 的算术平方
应用很广，务必掌握）。
根与平方根同为 0。 5. 如果 x3=a，则 x 叫做 a 的立方根，记作“ a” （a 称为被开方数）。 6. 正数有一个正的立方根；0 的立方根是 0；负数有一个负的立方根。
【典型例题】 1.下列语句中，正确的是（ ）
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。 8. 立方根与平方根的区别：
A．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和 0 有平方根，负数
B．负数没有立方根
没有平方根，正数的平方根有 2 个，并且互为相反数，0 的平方根只有一个且为 0. C．一个实数的立方根不是正数就是负数
七年级下册第六章实数
建议收藏下载本文，以便随时学习！ 3、若 x 1 (3x y 1)2 0，求 5x y2 的值。
4、若 a、b、c 满足 a 3 (5 b)2 c 1 0 ，求代数式 b c 的值。 a
y 2x x 2 25
5、已知
0 ，求 7（x＋y）－20 的立方根。
(完整word版)七年级下册数学实数知识点归纳与考题
七年级数学（下）辅导资料【知识要点】1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如502500,525==.10.相反数：互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数 a+b=0.倒数：（1）0没有倒数 (2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数绝对值|a|≥0．11．有效数字和科学记数法（1）有效数字：一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．（2）科学记数法：把一个数用(1≤a ＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3意义的条件是a≥0。
人教版数学七年级下册第六章实数基础知识点讲解+典型例题讲解.doc
【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】平方根（基础）【学习目标】1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．【要点梳理】知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；a a a 的算术平方根”，a 叫做被开方数.要点诠释：a a a 0，a ≥0. 2.平方根的定义如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根.求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. a (a ≥0)的平方根的符号表达为(0)a a ≥a 是a 的算术平方根.知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：a a2．联系：（1）平方根包含算术平方根；（2）被开方数都是非负数；（3）0的平方根和算术平方根均为0．要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.知识点三、平方根的性质20||000a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩()20a aa =≥知识点四、平方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=.【典型例题】类型一、平方根和算术平方根的概念1、下列说法错误的是（ ）A.5是25的算术平方根B.l 是l 的一个平方根C.()24-的平方根是－4 D.0的平方根与算术平方根都是0【答案】C ；【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．A.因为25＝5，所以本说法正确；B.因为±1＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；C.因为±()24-＝±16＝±4，所以本说法错误；D.因为0±＝0，0＝0，所以本说法正确；【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：（1）9-没有平方根．（ ）（2）164=±．（ ） （3）21()10-的平方根是110±．（ ） （4）25--是425的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）164=；（4）25是425的算术平方根． 2、 填空：（1）4-是 的负平方根． （2116表示 的算术平方根，116= ． （3181的算术平方根为 ． （43x =，则x = ，若23x =，则x = ．【思路点拨】（3）181就是181的算术平方根＝19，此题求的是19的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)11;164(3)13 (4) 9；±3【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.举一反三：【变式1】下列说法中正确的有（ ）：①3是9的平方根． ② 9的平方根是3．③4是8的正的平方根．④ 8-是64的负的平方根．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B ；提示：①④是正确的.【变式2】求下列各式的值：（1）325 （2）8136+（3）0.040.25- （4）40.36121⋅【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）6553、使代数式1x +有意义的x 的取值范围是______________． 【答案】x ≥1-；【解析】x ＋1≥0，解得x ≥1-.【总结升华】当式子a 有意义时，a 一定表示一个非负数，即a ≥0，a ≥0. 举一反三：【变式】（2015春•中江县期中）若+（3x+y ﹣1）2=0，求5x+y 2的平方根．【答案】解：∵+（3x+y ﹣1）2=0， ∴，解得，，∴5x+y 2=5×1+（﹣2）2=9，∴5x+y 2的平方根为±=±3．类型二、利用平方根解方程4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值（1）169x2=144（2）（x﹣2）2﹣36=0．【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根定义求解．【答案与解析】解：（1）169x2=144，两边同时除以169，得1442x=169开平方，得x=（2）（x﹣2）2﹣36=0，移项，得（x﹣2）2=36开平方，得x﹣2=±6，解得：x=8或x=﹣4．【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个．类型三、平方根的应用5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？【答案与解析】解：设宽为x，长为3x，由题意得，x·3x＝132332x＝1323x=±21x＝－21(舍去)答：长为63米，宽为21米.【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】立方根【学习目标】1. 了解立方根的含义；2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根.【要点梳理】要点一、立方根的定义如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根或三次方根.这就是说，如果3=，那么x叫做a的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方.x a要点诠释：一个数a3a a是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算.要点二、立方根的特征立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质33a a -=-33a a =()33a a =要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，30.000 2160.06＝，30. 2160.6＝，3 2166＝，3216000 60＝. 【典型例题】 类型一、立方根的概念1、（2016春•吐鲁番市校级期中）下列语句正确的是（ ） A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0 B ．一个数的立方根不是正数就是负数 C ．负数没有立方根D ．一个不为零的数的立方根和这个数同号，0的立方根是0 【思路点拨】根据立方根的定义判断即可. 【答案】D ；【解析】A ．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或-1，故错误；B ．一个数的立方根不是正数就是负数，错误，还有0；C ．负数有立方根，故错误；D ．正确.【总结升华】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义. 举一反三：【变式】下列结论正确的是（ ）A ．64的立方根是±4B ．12-是16-的立方根 C ．立方根等于本身的数只有0和1D ．332727-=-【答案】D.类型二、立方根的计算2、求下列各式的值：（1）327102-- （2）3235411+⨯ （3）336418-⋅ （4）23327(3)1-+--- （5）10033)1(412)2(-+÷-- 【答案与解析】解：（1）310227-- （2）3321145⨯+ （3）331864⋅-3642743==33=116425=729=9⨯+ 1=241=2⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭-（4）23327(3)1-+---=331=1-++（5）310031(2)2(1)4--÷+-3=21247=1=33÷++【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方.举一反三：【变式】计算：（1）30.008-=______；（2）=364611______； （3）=--312719______．（4）=-33511)(______. 【答案】（1）－0.2；（2）54；（3）23；（4）45. 类型三、利用立方根解方程3、（2015春•北京校级期中）（x ﹣2）3=﹣125．【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x ﹣2）3=﹣125， 可得：x ﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3．【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x ﹣2看成一个整体． 举一反三：【变式】求出下列各式中的a ：（1）若3a ＝0.343，则a ＝______；（2）若3a －3＝213，则a ＝______； （3）若3a ＋125＝0，则a ＝______；（4）若()31a -＝8，则a ＝______．【答案】（1）a ＝0.7；（2）a ＝6；（3）a ＝－5；（4）a ＝3． 类型四、立方根实际应用4、在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为643cm ，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了169πcm ．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？【思路点拨】铁块排出的643cm 水的体积，是铁块的体积，也是高为169πcm 烧杯的体积. 【答案与解析】解：铁块排出的643cm 的水的体积，是铁块的体积．设铁块的棱长为y cm ，可列方程364,y =解得4y =设烧杯内部的底面半径为x cm ，可列方程216649x ππ⨯=,解得x =6. 答：烧杯内部的底面半径为6cm ，铁块的棱长 4cm .【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 举一反三：【变式】将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 333a b +.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数（基础）【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如5.要点二、实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 【典型例题】类型一、实数概念1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (7)3π-【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73--无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三： 【变式】（2015春•聊城校级月考）在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（ ）A ．②③B ．②③④C ．①②④D ．②④ 【答案】C ；解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确；③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确．类型二、实数大小的比较2、比较520.5的大小． 【答案与解析】解：作商，得5250.5=51>，即5210.5>50.5>． 【总结升华】根据若a ，b 均为正数，则由“1a b >，1a b =，1ab<”分别得到结论“a b >，a b =，a b <，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法.举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π-- 7___54__2323___32 32 9___0－ 3___10-- |43|___(7)--- 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、（2015•枣庄）实数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．ac ＞bcB ．|a ﹣b|=a ﹣bC ．﹣a ＜﹣b ＜cD ．﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c【答案】D ；【解析】解：∵由图可知，a ＜b ＜0＜c ， ∴A 、ac ＜bc ，故A 选项错误； B 、∵a ＜b ， ∴a ﹣b ＜0，∴|a ﹣b|=b ﹣a ，故B 选项错误； C 、∵a ＜b ＜0，∴﹣a ＞﹣b ，故C 选项错误； D 、∵﹣a ＞﹣b ，c ＞0，∴﹣a ﹣c ＞﹣b ﹣c ，故D 选项正确． 故选：D ．【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键．类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－ 【答案与解析】 解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________．【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3； 【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 举一反三：【变式】已知2(16)|3|30x y z ++++-=，求xyz 的值．【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．∴xyz ＝(16)(3)312-⨯-⨯=.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】实数全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 【知识网络】【要点梳理】类型项目平方根 立方根 被开方数 非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零； 负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==要点二：实数有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2532等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。
新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结与阶梯练习
考点一、实数的概念及分类 1、实数的分类f 耳理數-窖 卜有除卜数和无删16环彳囁斓彳 L员」厂正无理数3无理数 T 卜 无0环循环4蠟匕员无理数 j2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳 起来有四类(1 )开方开不尽的数，如.7, 3 2等；(2)有特定意义的数，如圆周率 n,或化简后含有 n 的数，如_兀+8 等;3(3 )有特定结构的数，如 0.1010010001,等; (4)某些三角函数，女口sin60°等(这类在初三会出现)判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如 3、有理数与无理数的区别(1) 有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数; (2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根 1、概念、定义(1) 如果一个正数 x 的平方等于 a ，即； 」，那么这个正数 x 叫做a 的算术平方根。
(2)如果一个数的平方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的平方根(或二次方跟) 。
如果- L !,那么x 叫做a的平方根。
f一 ...................................................... J *(3)如果一个数的立方等于 a ，那么这个数就叫做 a 的立方根(或 a 的三次方根)。
如果】 L ，那么x叫做a 的立方根。
2、运算名称第六章实数,而不是无理数。
(1)求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号(1)正数a的算术平方根，记作“.a ”。
(2) a(a > 0)的平方根的符号表达为(3) 一个数a 的立方根，用 表示，其中 a 是被开方数，3是根指数。
4、运算公式I a a>0 §(耐“(“巧好+”；:;;旺护關* 游―韵縛齡渊明期《号内卿拿團根号外面，.4、开方规律小结艇总a显a(1 )若a > 0，贝U a 的平方根是 ，a 的算术平方根 ；正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习
第六章实数考点一、实数的概念及分类1、实数的分类2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类,7等；（1）开方开不尽的数，如32π+8等；（2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3（3）有特定结构的数，如…等；（4）某些三角函数，如sin60o等（这类在初三会出现）π判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如03、有理数与无理数的区别（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义（1）如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
（2）如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。
如果，那么x叫做a的平方根。
（3）如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。
如果，那么x叫做a 的立方根。
2、运算名称（1）求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
（2）求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号（1）正数a的算术平方根，记作“a”。
（2）a(a≥0)的平方根的符号表达为。
（3）一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式4、开方规律小结（1）若a≥0，则a的平方根是a中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根。
实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
（2）若a<0，则a 没有平方根和算术平方根；若a 为任意实数，则a 的立方根是。
（3）正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
考点三、实数的性质有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。
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第六章实数知识网络:考点一、实数的概念及分类1、实数的分类厂正有理針3「育理数冲零卜有限卜数和王限値环外数宴埶齐L定有理割」厂正形里麹'IJ无理埶 Y 卜无限羽爾环扌觀L煲无理数」2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类(1)开方开不尽的数，如、7,32等；(2)有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有n的数，如\ +8等；3(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4)某些三角函数，如sin60。
等(这类在初三会出现)判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如16是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义(1)如果一个正数x的平方等于a,即二'二，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
(2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。
如果叮卫，那么x叫做(3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。
如果厂亠x叫做a的立方根。
2、运算名称(1)求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号(1)正数a的算术平方根，记作“.可”。
(2)a(a>0)的平方根的符号表达为' ' 1 o(3)一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式(石『=谨(a^Q)口= _坯(注意：弦说明三次根号内的员号可以移到根号外面)4、开方规律小结(1)若a>0,则a的平方根是a, a的算术平方根，a;正数的平方根有两个，它们互为相反数,中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
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实数知识点一、实数的倒数、相反数和绝对值1、相反数只有符号不同样的两个数叫做互为相反数〔零的相反数是零〕，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，若是 a 与 b 互为相反数，那么有 a+b=0， a=— b，反之亦成立。
2、绝对值一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a| ≥0。
零的绝对值时它自己，也可看作它的相反数，假设 |a|=a ，那么 a≥ 0；假设 |a|=-a ，那么 a≤ 0。
正数大于零，负数小于零，正数大于所有负数，两个负数，绝对值大的反而小。
3、倒数若是 a 与 b 互为倒数，那么有ab=1，反之亦成立。
倒数等于自己的数是 1 和 -1 。
零没有倒数。
二、平方根、算数平方根和立方根1、平方根若是一个数的平方等于a，那么这个数就叫做 a 的平方根〔或二次方跟〕。
一个数有两个平方根，他们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数 a 的平方根记做“ a 〞。
2、算术平方根正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ a 〞。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a 〔 a0〕a0a 2a；注意 a 的双重非负性：- a〔a <0〕a03、立方根若是一个数的立方等于a，那么这个数就叫做 a 的立方根〔或 a 的三次方根〕。
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：3a 3 a，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
三、科学记数法和近似数1、有效数字一个近似数四舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。
2、科学记数法把一个数写做 a 10n的形式，其中1a10 ，n是整数，这种记数法叫做科学记数法。
四、实数大小的比较1、数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴〔画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可以〕。
2、实数大小比较的几种常用方法（1〕数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。
人教版七年级下册数学第六章 实数 知识点整理含答案
人教版七年级下册数学第六章 实数 知识点整理含答案知识梳理1.一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a.那么这个正数x 叫做a 的_______.2.0的算术平方根是_______3.如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的_______或_______.4.正数有_______个平方根，它们互为_______;0的平方根是_______;负数_______平方根.5.如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的_______或_______.6.正数的立方根是_______，负数的立方根是_______，0的立方根是_______.7.无限不循环小数叫做_______.8.有理数和无理数统称_______.9.数a 的相反数是_______10.一个正实数的绝对值是_______;一个负数的绝对值是它的_______;0的绝对值是_______. 知识反馈★知识点1:算术平方根1.16的算术平方根等于( )A.士4B.4C.-4D.4 2.求下列各数的算术平方根:(1)64 (2)169 (3)225196 (4)(-9)23. 若a 3有意义，求a 的最大值.★知识点2:估算4.估计88的大小应 ( )A.在9.1～9.2之间 B 在9.2～9.3之间C.在9.3~9.4之间D.在9.4～9.5之间★知识点3:用计算器求一个正数的算术平方根5.用计算器求576的算术平方根的按键原序为______________,结果为_________.6.用计算器计算(精确到0.01) (1)76 (2)5.1594 (3)001237.07某农场有一块长30m 、宽20m 的长方形场地，现要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的西积为场地面积的一半，问:能否建成?鱼池的边长为多少m?(到0.01m)★知识点4:平方根及其性质8.下列算式正确的是( ) A.9.0=0.3 B.916=±34 C.)4(2 ＝-4 D.土121＝±11 9.下列各数只有一个平方根的是( )A.5B.-2C.0D.-(-3)10.求下列各数的平方根;(1)49 (2)1.69 (3)8149 (4)44911，下列各数有平方根吗?如果有，求出它的平方根;如果没有，请说明理由， (1)-2516 (2)(-1.2)212.小磊家的客厅是用整块的正方形地板砖铺成的，面积为21.6m 2，皮皮数了一下正好是60块地板砖，请你帮忙计算一下每块地板砖的边长是多少cm(砖与砖之间的空隙忽略不计)★知识点5:立方根及其性质13.下列各项中，互为相反数的是( )A.(-3)3的立方根和-33的立方根B.-23的立方根和(-2)3的立方根C.-13的立方根和13的立方根D.43的立方根和(-4)2的算术平方根14.求下列各数的立方根(1)(-4)3 (2)729 (3)-216125 (4)-2712515.-327-=__________; 3343125-__________. ★知识点6:用计算器求立方跟16.用计算器求下列各数的立方根(精到0.001)(1)2013 (2)1594.5 (3)0.00123717.如果球的半径是r ，则球的体积用公式V=34πr 3来计算.当体积V=500cm 3，半径r 是多少cm? (x 取3.14，r 精确到0.01cm)★知说点7:无理数18.把下列各数填入表示它所在的数集的圈里； -1211，2，-4，0，-4.0，38，4π，0.••32，3.14,12-,10，3,-27有理数集 无理数集★知识点8:实数的有关概念及分类19.如果将整数看作小数点后面是0的小数，对实数进行下面的分类中，不正确的是( ) A 实数分为:小数和分数 B 实数分为:正实数、零和负实数C.实数分为:有限小数、无限循环小数和无限不循环小数D.实数分为:有理数和无理数20.如图，在数轴上表示实数15的点可能是( )A.点PB.点QC.点MD.点N21、比较2、5、37的大小，正确的是( ) A.37<2<5 B.2<5<37 C.2＜37＜5 D.5<37<222，求下列各数的相反数和绝对值 ( 1)2π-2 (2)3-23★知识点9:实数的运算23，计算 (1)|-2|-9-(5)2 (2)3383301.021*********--+-24求下列各式的值(精到0.01)(1)21+2-π (2)2-ππ3-- (3)04.0102532-+25.设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.参考答案。
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人教版七年级数学下册实数知识点归纳及常见考题
【知识要点】
1.算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2. 如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“±a”
（a称为被开方数）。
3. 正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
4. 平方根和算术平方根的区别与联系：
区别：正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个。
联系：（1）被开方数必须都为非负数；（2）正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根。
（3）0的算术平方根与平方根同为0。
5. 如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”
（a称为被开方数）。
6. 正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
7. 求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
8. 立方根与平方根的区别：
一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为0.
9. 一般来说，被开放数扩大（或缩小）n倍，算术平方根扩大（或缩小）n倍，例如
50
2500
,5
25=
=.
10.平方表：（自行完成）
1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
30a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0a取任何数）。
5、区分)2=a（a≥0），与
2
a=a
6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
【典型例题】
1.下列语句中，正确的是（ D ）
A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数
B ．负数没有立方根
C ．一个实数的立方根不是正数就是负数
D ．立方根是这个数本身的数共有三个
2. 下列说法正确的是（ C ）
A ．-2是（-2）2的算术平方根
B ．3是-9的算术平方根
C ．16的平方根是±4
D ．27的立方根是±3
3. 已知实数x ，y 满足
2=0，则x-y 等于
解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
4.求下列各式的值
（1）81±；（2）16-；（3）259
；（4）2)4(-
解答：（1）因为8192=，所以±81=±9.
（2）因为1642=，所以－416-=.
（3）因为2
53⎪
⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.
（4）因为22)4(4-=，所以
4)4(2=-. 5. 已知实数x ，y 满足
2=0，则x-y 等于 解答：根据题意得，x-2=0，y+1=0，
解得x=2，y=-1，
所以，x-y=2-（-1）=2+1=3．
6. 计算
（1）64的立方根是 4
（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832
±=±。
其中正确的有 （ B ）
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
7.易混淆的三个数（自行分析它们）
（1）2a （2）2)(a （3）33a
综合演练
一、填空题
1、（-0.7）2的平方根是
2、若2a =25,b =3,则a+b=
3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是
4、ππ-+-43＝ ____________
5、若m 、n 互为相反数，则
n m +-5＝_________ 6、若 a a -=2，则a______0
7、若73-x 有意义，则x 的取值范围是
8、16的平方根是±4”用数学式子表示为
9、大于-2，小于10的整数有______个。
10、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。
11、当_______x 时，3x -有意义。
12、当_______x 时，32-x 有意义。
13、当_______x 时，x -11
有意义。
14、当________x 时，式子21
--x x 有意义。
15、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为
二、选择题
1． 9的算术平方根是（ ）
A ．-3
B ．3
C ．±3
D ．81
2．下列计算正确的是（ ）
A ±2
B C.636=± D.992-=-
3．下列说法中正确的是（ ）
A ．9的平方根是3
B 2
2
4． 64的平方根是（ ）
A ．±8
B ．±4
C ．±2 D
5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）
A ．4
B ．18
C ．-14
D ．1
4
6．下列结论正确的是（ ） A
6)6(2-=-- B 9)3(2=- C
16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
7．以下语句及写成式子正确的是（ ）
A 、7是49的算术平方根，即749±=
B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-
C 、7±是49的平方根，即749=±
D 、7±是49的平方根，即749±=
8．下列语句中正确的是（ ）
A 、9-的平方根是3-
B 、9的平方根是3
C 、 9的算术平方根是3±
D 、9的算术平方根是3
9．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其
中正确的有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．4个
10．下列语句中正确的是（ ）
A 、任意算术平方根是正数
B 、只有正数才有算术平方根
C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3
D 、1-是1的平方根
三、利用平方根解下列方程．
（1）（2x-1）2
-169=0；
（2）4（3x+1）2-1=0；
四、解答题 1、求97
2
的平方根和算术平方根。
2、计算
33
841627-+-+的值
3、若0)13(12=-++-y x x ，求25y x +的值。
4、若a 、b 、c 满足01)5(32
=-+++-c b a ，求代数式a c b -的值。
5、已知0
525
22=-++-x x x y ，求7（x ＋y ）－20的立方根。
6、阅读下列材料，然后回答问题。
在进行二次根式去处时，我们有时会碰上如35，32，132+一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
35＝3533333＝⨯⨯；（一）
32＝363332＝⨯⨯（二）
132+＝））（（）－（1313132-+⨯＝131313222---＝）（）（（三）
以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
132
+还可以用以下方法化简：
132+＝131313131313131322-+-++-+-＝））（（＝）（＝（四）
（1）请用不同的方法化简352
+：
①参照（三）式得352
+＝__________________；
②参照（四）式得352
+＝___________________。
（2）化简：12121 (5713)
51131-+++++++++n n。