三角函数的奇偶性和对称性
三角函数奇偶性
三角函数奇偶性三角函数是数学中的重要概念，它们描述了角度与直角三角形之间的关系。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是最常用的三角函数。
在学习和应用三角函数时，理解它们的奇偶性是非常重要的。
本文将详细解析三角函数的奇偶性，并且提供一些建议来帮助读者更好地理解和运用三角函数。
首先，我们来定义奇函数和偶函数。
在数学中，一个函数被称为奇函数，如果对于函数定义域中的任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$。
换句话说，奇函数关于原点对称。
而一个函数被称为偶函数，如果对于函数定义域中的任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$。
换句话说，偶函数关于$y$轴对称。
从定义中可以看出，奇函数和偶函数的性质在图像上有所体现。
对于奇函数，其图像关于原点对称，即如果$(x,y)$在奇函数的图像上，则$(-x,-y)$也在图像上。
而对于偶函数，其图像关于$y$轴对称，即如果$(x,y)$在偶函数的图像上，则$(-x,y)$也在图像上。
我们来分别看一下正弦函数、余弦函数和正切函数的奇偶性质。
正弦函数记作$y=\sin(x)$，其中$x$表示角度。
我们知道正弦函数是周期为$2\pi$的函数，其图像呈现周期性波动。
正弦函数的奇偶性可以通过对称性质很容易地判断。
根据定义，对于正弦函数有$\sin(-x)=-\sin(x)$，即正弦函数是奇函数。
这意味着如果$(x,y)$在正弦函数的图像上，则$(-x,-y)$也在图像上。
例如，如果$(\pi/2,1)$在正弦函数图像上，则$(-\pi/2,-1)$也在图像上。
余弦函数记作$y=\cos(x)$。
余弦函数同样是周期为$2\pi$的函数，其图像也呈现周期性波动。
余弦函数的奇偶性可以通过对称性质来判断。
根据定义，对于余弦函数有$\cos(-x)=\cos(x)$，即余弦函数是偶函数。
这意味着如果$(x,y)$在余弦函数的图像上，则$(-x,y)$也在图像上。
例如，如果$(\pi/2,0)$在余弦函数图像上，则$(-\pi/2,0)$也在图像上。
三角函数的奇偶性与对称性
三角函数的奇偶性与对称性三角函数是数学中重要的概念之一，它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在研究三角函数的性质时，我们会发现它们具有奇偶性与对称性这样的特点，这些特点在解题和理解三角函数中起到了重要的作用。
一、正弦函数的奇偶性与对称性在正弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。
2. 对称性：正弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。
正弦函数以原点为对称中心，关于原点对称。
这意味着，当$x$取正值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。
同时，当$x$取负值时，正弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相同，即$f(-x)=f(x)$。
二、余弦函数的奇偶性与对称性在余弦函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足$f(-x)=f(x)$。
2. 对称性：余弦函数是周期函数，其周期为$2\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+2\pi)=f(x)$。
余弦函数以$y$轴为对称轴，关于$y$轴对称。
这意味着，当$x$取正值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(x)=f(-x)$。
同时，当$x$取负值时，余弦函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等，即$f(-x)=f(x)$。
三、正切函数的奇偶性与对称性在正切函数中，我们可以观察到以下性质：1. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足$f(-x)=-f(x)$。
2. 对称性：正切函数具有周期性，其周期为$\pi$。
具体而言，对于任意实数$x$，有$f(x+\pi)=f(x)$。
正切函数以原点为对称中心，关于原点对称。
这意味着，当$x$取正值时，正切函数图像在相应位置的函数值与在对称位置的函数值相等但符号相反，即$f(x)=-f(-x)$。
三角函数的奇偶性与对称
三角函数的奇偶性与对称三角函数是数学中的重要概念，它们是研究角度和周期性现象的基础工具。
在数学中，我们通常研究三个主要的三角函数：正弦函数（sine）、余弦函数（cosine）和正切函数（tangent）。
其中，正弦函数和余弦函数被称为“基本三角函数”，它们的奇偶性与对称性是它们重要的性质之一。
一、正弦函数与余弦函数的奇偶性正弦函数和余弦函数在数学中具有明显的奇偶性质。
正弦函数的奇偶性质可以用下式表示：sin(-x) = -sin(x)从上式可以看出，当自变量x取负值时，正弦函数的值也为负值，即正弦函数为奇函数。
余弦函数的奇偶性质可以用下式表示：cos(-x) = cos(x)类似地，从上式可以看出，余弦函数的奇偶性与正弦函数相同，也是奇函数。
因此，无论是正弦函数还是余弦函数，它们都是奇函数。
二、正弦函数与余弦函数的对称性正弦函数和余弦函数在数学中还具有对称性质。
正弦函数的对称性质可以用下式表示：sin(x + π) = -sin(x)从上式可以看出，当自变量x增加一个周期2π时，正弦函数的值变为负值，即正弦函数关于原点对称。
余弦函数的对称性质可以用下式表示：cos(x + π) = -cos(x)同理，当自变量x增加一个周期2π时，余弦函数的值也变为负值，即余弦函数关于原点对称。
三、正切函数的奇偶性与对称性正切函数在数学中具有不同的性质。
正切函数的奇偶性质可以用下式表示：tan(-x) = -tan(x)从上式可以看出，当自变量x取负值时，正切函数的值也为负值，即正切函数为奇函数。
而正切函数的对称性质可以用下式表示：tan(x + π) = tan(x)与正弦函数和余弦函数不同，当自变量x增加一个周期π时，正切函数的值保持不变，即正切函数具有周期性但不具有对称性。
综上所述，三角函数的奇偶性与对称性是它们重要的特性之一。
正弦函数和余弦函数都是奇函数，并且关于原点具有对称性。
而正切函数是奇函数，但不具有对称性。
上海高中三角函数的周期性、奇偶性和对称性
该函数是奇函数
【例1 】判断下列函数的奇偶性： (3)y sin x cos x
解： 定义域R关于原点对称
f ( ) sin cos 2 4 4 4
f ( ) sin( ) cos( ) 0 4 4 4
f ( ) f ( )且f ( ) f ( ) 4 4 4 4
该函数既不是奇函数，也不是偶函数
型如y a sin x b cos x(a 0, b 0)的函数 是非奇非偶函数
【例1】判断下列函数的奇偶性： (4)y sin x sin x 4 4 解： 定义域R关于原点对称
x k
4
,k Z
原函数图像的对称中心是点(k
4
, 0), k Z
【例6】函数y cos(2 x ) 的图像 2 的一条对称轴是直线【 】 A. x
2
B.x
4
B
C. x
8
D. x
解： y sin 2 x
当x
一、y sin x 的奇偶性、周期性和对称性:
-2
y
1
-4
-3
-
o
-1
2
3
4
5
6
x
y siin x
T 2
sin( x) sin x
直线x k
奇函数
, k Z
对称轴
对称中心
sin cos 0 tan 1
【例4】求下列函数的最小正周期： (1)y 3 sin 2 x cos 2 x
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1 三角函数的周期性函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( B )A.π2B ．π C.3π2D ．2π解析：f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由T ＝2π2＝π，知函数f (x )的最小正周期为π. 角度2 三角函数的奇偶性(2019·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( A )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|＜π2， ∴k ＝－1时，θ＝－π6.角度3 三角函数的对称性(2019·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( C )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( B )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z ).。
高中数学一轮微专题第⑥季三角函数图像与性质第7节 三角函数对称性奇偶性与周期性
第7节 三角函数的对称性与周期性【基础知识】 对称性：1.对称轴与对称中心：sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；k Z ∈对称中心为.tan y x =,02k π⎛⎫ ⎪⎝⎭k Z ∈2.对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它sin )y A x ωϕ=+（()2x k k Z πωϕπ+=+∈还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得x ()x k k Z ωϕπ+=∈，即其对称中心为． ()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭3.相邻两对称轴间的距离为，相邻两对称中心间的距离也为,函数的对称轴一定经过图象T 2T 2的最高点或最低点． 奇偶性：1．函数的奇偶性的定义； 对定义域内任意，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，x 如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数 2．奇偶函数的性质：（1）定义域关于原点对称；（2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对y 称；3．为偶函数．()f x ()(||)f x f x ⇔=4．若奇函数的定义域包含，则．()f x 0(0)0f =5. 为奇函数，为偶函数，为奇函数. sin y x =cos y x =tan y x =周期性：1. 周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数，使得定义域内的每一个值，都有()f x T x ，那么函数就叫做周期函数，非零常数 叫做这个函数的周期．()()f x T f x +=()f x T 2.最小正周期对于一个周期函数，如果它所有的周期中存在一个最小的正数 ，那么这个最小的正()f x 数 就叫做的最小正周期．()f x 2. ,周期为,周期为. sin y x =cos y x =2πtan y x =π【规律技巧】三角函数对称性先化成的形式再求解．其图象的对称轴是直线sin )y A x B ωϕ=++（)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心, 关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心．三角函数周期性1. 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称，则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求()f x -；最后比较()f x -和()f x 的关系，如果有()f x -=()f x ，则函数是偶函数，如果有()f x -=-()f x ，则函数是奇函数，否则是非奇非偶函数。
三角函数知识点归纳
单调减区间可由2k ＋ ≤x＋≤2k ＋ ，k∈z解得。
在求 的单调区间时，要特别注意A和 的符号，通过诱导公式先将 化正。
如函数 的递减区间是______
（答：
解析：y= ，所以求y的递减区间即是求 的递增区间，由 得
，所以y的递减区间是
四、函数 的图像和三角函数模型的简单应用
终边在 轴上的角的集合为
终边在 轴上的角的集合为
终边在坐标轴上的角的集合为
(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角 相同的角的集合为
(3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为 的圆的圆心角 所对弧的长为 ，则角 的弧度数的绝对值是
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.
公式三：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α， ．
公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α， .
公式五：sin ＝cos_α，cos ＝sinα.
公式六：sin ＝cos_α，cos ＝－sin_α.
（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，寻找条件与结论中角的关系，运用角的变换，使问题获解，对角的变形如：
① 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍； 是 的二倍；
② ；问： ； ；
③ ；④ ；⑤ ；等等.
如[1] . （答案： ）
④若扇形的圆心角为 ，半径为 ，弧长为 ，周长为 ，面积为 ，则 ， ， ．
三角函数的奇偶性
三角函数的奇偶性三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在研究三角函数的性质时，一个重要的特征是它们的奇偶性。
本文将介绍三角函数的奇偶性，并分析其在不同象限内的取值范围。
1. 正弦函数的奇偶性正弦函数sin(x)的定义域是所有实数，其图像关于原点对称。
我们可以观察到，当x取负值时，sin(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明sin(x)是奇函数。
根据正弦函数的性质，sin(x + π) = -sin(x)，可以推导出sin(x + 2π) = sin(x)，以及sin(x + 4π) = sin(x)，以及更一般的sin(x + nπ) = sin(x)。
这意味着正弦函数是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
2. 余弦函数的奇偶性余弦函数cos(x)的定义域也是所有实数，与正弦函数类似，余弦函数关于y轴对称。
当x取负值时，cos(x)的值与当x取正值时的值相同，这说明cos(x)是偶函数。
同样地，根据余弦函数的性质，cos(x + π) = -cos(x)，可以推导出cos(x + 2π) = cos(x)，以及cos(x + 4π) = cos(x)，以及更一般的cos(x +nπ) = cos(x)。
余弦函数也是以2π为周期的周期函数，并且在每个周期内保持奇偶性不变。
3. 正切函数的奇偶性正切函数tan(x)定义于除去一切x + (2n + 1)π/2（其中n为整数）的实数上。
正切函数在定义域内既不是奇函数也不是偶函数。
我们可以发现，tan(x + π) = tan(x)，也就是说，正切函数的周期性为π。
然而，tan(x)并不保持奇偶性不变。
当x取负值时，tan(x)的值与当x取正值时的值相反，这说明正切函数既不是奇函数也不是偶函数。
4. 三角函数的取值范围在研究三角函数时，我们还需要了解它们在不同象限内的取值范围。
- 正弦函数的取值范围是[-1, 1]，在第一象限和第二象限为正，在第三象限和第四象限为负。
三角函数的性质
三角函数的性质三角函数是数学中重要的概念和工具之一，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。
掌握三角函数的性质对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍三角函数的基本性质，包括周期性、界限、奇偶性和函数图像。
1. 周期性三角函数的周期性是指在一定的区间内，函数值呈现重复的规律。
在正弦函数和余弦函数中，其周期均为2π，即在区间[0, 2π]内，函数值会重复出现。
在切线函数和余切函数中，其周期为π，即在区间[0, π]内，函数值重复。
2. 界限三角函数的界限是指函数值的上下限。
在正弦函数和余弦函数中，其函数值的范围在[-1, 1]之间。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1；余弦函数的最大值也为1，最小值也为-1。
切线函数和余切函数的函数值没有界限。
3. 奇偶性三角函数的奇偶性是指函数关于坐标轴的对称性。
正弦函数和正切函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)，而余弦函数和余切函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。
这意味着正弦函数和正切函数关于原点对称，而余弦函数和余切函数关于y轴对称。
4. 函数图像三角函数的函数图像能够反映其性质和变化规律。
正弦函数的图像呈现周期性的波浪形，具有对称轴和最值点；余弦函数的图像也呈现周期性的波浪形，与正弦函数的图像相位差π/2；切线函数的图像是递增的曲线，其值范围不受限制；余切函数的图像类似于切线函数的图像，但在x轴上有无穷多个奇点。
5. 三角函数的基本关系三角函数之间存在一些基本的关系。
例如，正切函数等于正弦函数除以余弦函数，即tan(x) = sin(x)/cos(x)；余切函数等于余弦函数除以正弦函数，即cot(x) = cos(x)/sin(x)。
利用这些关系可以在计算过程中进行简化和转化。
总之，三角函数的性质包括周期性、界限、奇偶性和函数图像，这些性质对于理解三角函数的规律以及解决各类数学问题具有重要的作用。
掌握三角函数的性质和基本关系，有助于提高数学问题的解决能力和分析能力。
第4节 第2课时 三角函数的周期性、奇偶性与对称性--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时三角函数的周期性、奇偶性与对称性考点探究——提素养考点一三角函数的周期性例1(1)函数f (x )＝a tan xa的最小正周期是()A ．πaB ．π|a |C ．πa D ．π|a |答案B解析对于函数f (x )＝a tan xa，显然a ≠0，所以函数的最小正周期T ＝π|1a |＝π|a |.故选B.(2)函数f (x )＝cos x ＋2cos 12x 的一个周期为()A ．πB ．2πC ．3πD ．4π答案D解析易知y 1＝cos x ，y 2＝2cos 12x 的最小正周期分别为2π，4π，则2π，4π的公倍数4π是f (x )的一个周期．故选D.【通性通法】求三角函数周期的常用方法【巩固迁移】1．(多选)(2023·山东临沂调研)下列函数中，最小正周期为π的是()A ．y ＝cos|2x |B ．y ＝|cos x |C ．y ＝xD ．y ＝x 答案ABC解析对于A ，y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π；对于B ，由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；对于C ，y ＝cos x T ＝2π2＝π；对于D ，y ＝tan x 期T ＝π2.2．已知函数f (x )＝3sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为2π，则ω＝________．答案1解析因为f (x )＝ωx －12cos f (x )的最小正周期为2π，所以ω＝2π2π＝1.考点二三角函数的奇偶性、对称性(多考向探究)考向1奇偶性例2(1)下列函数中周期是π的偶函数是()A ．y ＝|cos x |B ．y ＝|cos2x |C ．y ＝－sin xD ．y ＝sin x ＋1答案A解析对于A ，y ＝|cos x |为偶函数，且最小正周期为π，所以A 符合题意；对于B ，y ＝|cos2x |为偶函数，最小正周期为π2，所以B 不符合题意；对于C ，y ＝－sin x 为奇函数，所以C 不符合题意；对于D ，y ＝sin x ＋1为非奇非偶函数，所以D 不符合题意．故选A.(2)(2024·广东茂名模拟)已知f (x )＝2sin(x －α)＋cos x 是奇函数，则tan α＝()A ．1B ．±1C ．3D ．±3答案B解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即2sin(－α)＋cos0＝0，解得sin α＝22，所以cos α＝±22，此时f (x )＝2sin x cos α－2cos x sin α＋cos x ＝2sin x cos α＝±sin x ，是奇函数，所以tan α＝±1.故选B.【通性通法】三角函数型函数奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0，则为奇函数，若y 为最大或最小值，则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．【巩固迁移】3．(2024·北京房山模拟)已知函数f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1，则“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析因为f (x )＝2cos 2(x ＋θ)－1＝cos(2x ＋2θ)，若函数f (x )为奇函数，则2θ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得θ＝π4＋k π2(k ∈Z )，|θ＝π4＋k π2，k ∈|θ＝π4＋k π，k ∈因此“θ＝π4＋k π(k ∈Z )”是“f (x )为奇函数”的充分不必要条件．故选A.4．(2023·苏州八校联盟检测)已知f (x )＝sin x ＋cos x ，若y ＝f (x ＋θ)是偶函数，则cos θ＝________．答案±22解析f (x )＝sin x ＋cos x ＝2sin由y ＝f (x ＋θ)是偶函数，得f (－x ＋θ)＝f (x ＋θ)，即2sin ＋π4－＝2sin ＋π4＋所以θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 恒成立或θ＋π4－x ＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z 恒成立．显然θ＋π4－x ＝θ＋π4＋x ＋2k π，k ∈Z 不恒成立，故由θ＋π4－x＋θ＋π4＋x ＝π＋2k π，k ∈Z ，得θ＝π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2n ，n ∈Z 时，cos θ＝2n cos π4＝22；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，cos θ＝cos π4＋(2n ＋1)π＝cos 5π4＝－22.所以cos θ＝±22.考向2对称性例3(2023·武汉模拟)已知函数f (x )＝x f (x )的图象关于()A B C ．直线x ＝π6对称D ．直线x ＝π3对称答案C解析由题意，设2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称中心－π12，k ∈Z )．设2x ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以函数f (x )图象的对称轴为直线x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，通过对比选项可知，f (x )的图象关于直线x ＝π6对称．故选C.【通性通法】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解．(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【巩固迁移】5．函数f (x )＝x x 23cos 2x 的图象的一个对称中心是()A －π3，B ．(0，33)C D 答案C解析f (x )＝x x 23cos 2x ＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＋cos2x cos π6－sin2x sinπ6＋23cos 2x ＝12sin2x ＋32cos2x ＋32cos2x －12sin2x ＋23cos 2x ＝3cos2x ＋3(1＋cos2x )＝23cos2x ＋3.由2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，此时f (x )＝3，所以f (x )图象的对＋π4，k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )故选C.6．(2023·全国乙卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ＝π6和x ＝2π3为函数y ＝f (x )的图象的两条对称轴，则()A ．－32B ．－12C ．12D ．32答案D解析由题意，T 2＝2π3－π6＝π2，不妨设ω>0，则T ＝π，ω＝2πT ＝2，当x ＝π6时，f (x )取得最小值，则2·π6＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，则φ＝2k π－5π6，k ∈Z ，不妨取k ＝0，则f (x )＝x则＝＝32.故选D.考点三三角函数的图象与性质的综合例4(多选)(2024·厦门模拟)已知函数f (x )＝coscos2x ，则()A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x)C ．f (x )图象的对称轴方程为x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )D ．f (x )在[0，2π]上有4个零点答案ACD解析f (x )cos2x ＝12＋x ＋32sin2cos2x ＝34sin2x －34cos2x ＋12＝32sin x ＋12，则f (x )的最小正周期为π，A 正确；易知f (x )图象的对称中心的纵坐标为12，B 错误；令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝5π12＋k π2(k ∈Z )，即为f (x )图象的对称轴方程，C 正确；由f (x )＝32sin x＋12＝0，得x ＝－33，当x ∈[0，2π]时，2x －π3∈－π3，11π3，作出函数y ＝sin x ∈－π3，，如图所示．由图可知方程x ＝－33在[0，2π]上有4个不同的实根，即f (x )在[0，2π]上有4个零点，D 正确．【通性通法】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【巩固迁移】7．(多选)(2024·九省联考)已知函数f (x )＝x x ()A ．函数fB ．曲线y ＝f (x )的对称轴为直线x ＝k π，k ∈ZC ．f (x )D ．f (x )的最小值为－2答案AC解析f (x )＝x x sin2x cos 3π4＋sin 3π4cos2x ＋cos2x cos 3π4－sin2x sin 3π4＝－22sin2x ＋22cos2x －22cos2x －22sin2x ＝－2sin2x ，即f (x )＝－2sin2x .对于A ，－2sinx ＝2cos2x ，易知为偶函数，故A 正确；对于B ，令2x ＝π2＋k π，k ∈Z ，则x＝π4＋k π2，k ∈Z ，故B 错误；对于C ，当x ，2x y ＝sin2x 单调递减，则f (x )＝－2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，因为sin2x ∈[－1，1]，所以f (x )∈[－2，2]，故D 错误．故选AC.课时作业一、单项选择题1．下列函数中，是周期函数的为()A ．y ＝sin|x |B ．y ＝cos|x |C ．y ＝tan|x |D ．y ＝(x －1)0答案B解析∵cos|x |＝cos x ，∴y ＝cos|x |是周期函数．其余函数均不是周期函数．故选B.2．(2024·广东汕头模拟)函数y ＝tan ()A ．(0，0)BC D ．以上选项都不对答案B解析令x ＋π6＝k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，y ＝tan 中心．故选B.3．函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为()答案D解析由f (－x )＝sin(－x )＋(－x )cos(－x )＋(－x )2＝－sin x －xcos x ＋x 2＝－f (x )，得f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ；又＝1＋π2＝4＋2ππ2>1，f (π)＝π－1＋π2>0，排除B ，C.故选D.4．给出下列函数：①y ＝sin|x |；②y ＝|sin x |；③y ＝|tan x |；④y ＝|1＋2cos x |，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4答案B解析①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝sin|x |是偶函数，但不是周期函数，所以排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|sin x |是偶函数，最小正周期为π，所以②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|tan x |是偶函数，最小正周期为π，所以③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，y ＝|1＋2cos x |是偶函数，最小正周期为2π，所以排除④.故选B.5．函数f (x )＝ω＞0)图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，若该函数图象关于点(m ，0)中心对称，则当m ∈0，π2时，m 的值为()A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12答案D解析因为函数f (x )图象的相邻两对称轴之间的距离为π2，所以T ＝2×π2＝π(T 为f (x )的最小正周期)，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝x 令f (x )＝0，则2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝5π12，故m ＝5π12.故选D.6．(2023·安徽校考三模)已知函数f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12，则下列结论正确的是()A ．|f (x )|的最小正周期为2πB ．直线x ＝－π3是f (x )图象的一条对称轴C ．f (x )D ．若f (x )在－π2，m 上的最大值为1，则m ≥π3答案D解析f (x )＝3sin x 2cos x 2－sin 2x 2＋12＝32sin x －1－cos x 2＋12＝所以|f (x )|的最小正周期为π，A 错误；因为＝－12≠±1，所以直线x ＝－π3不是f (x )图象的一条对称轴，B 错误；当0<x <π2时，π6<x ＋π6<2π3，而函数y ＝sin x ，C 错误；当－π2≤x ≤m时，－π3≤x ＋π6≤π6＋m ，因为f (x )在－π2，m 上的最大值为1，所以π6＋m ≥π2，解得m ≥π3，D正确．7．(2023·山东济南三模)已知函数f (x )＝sin x ＋sin2x 在(0，a )上有4个零点，则实数a 的最大值为()A ．4π3B ．2πC ．8π3D ．3π答案C解析f (x )＝sin x ＋sin2x ＝sin x ＋2sin x cos x ＝sin x (1＋2cos x )，令f (x )＝0，得sin x ＝0或cos x ＝－12，作出y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图．函数f (x )在(0，a )上有4个零点，则2π<a ≤2π＋2π3＝8π3，故实数a 的最大值为8π3.8．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ>0，|φ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2，且函数f()A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )C ．函数f (x )在3π4，π上单调递增D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝－7π12对称答案C解析因为函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期T＝π，ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)，因为f ，所以x 即直线x ＝π12是函数f (x )图象的对称轴，所以2×π12＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝k π＋π3(k ∈Z )，又|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 函数f (x )的最小正周期为π，A 错误；因为＝sin 3π2＝－1，f (x )图象的对称中心，B 错误；因为当3π4≤x ≤π时，11π6≤2x ＋π3≤7π3，所以f (x )＝sin x 3π4，π上单调递增，C 正确；因为＝－12，所以直线x ＝－7π12不是函数f (x )图象的对称轴，D 错误．故选C.二、多项选择题9．(2024·苏州模拟)已知函数f (x )＝3sin x ()A ．f (x )的最大值为3B ．f (x )的最小正周期为πC ．fD ．f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称答案ABD解析因为函数f (x )＝3sin x 所以f (x )的最大值为3，A 正确；f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，B 正确；＝3sin 2－π3＝3sin x ＝－3cos2x ，为偶函数，C 错误；令2x －π3＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝5π12＋k π2，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝11π12，所以f (x )的图象关于直线x ＝11π12对称，故D 正确．故选ABD.10．(2023·广东江门统考一模)已知函数f (x )＝|x ，则下列说法正确的是()A ．f (x )的值域为[0，1]B ．f (x )C ．f (x )的最小正周期为πD ．f (x )的单调递增区间为k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )答案AD解析因为－1≤x 1，所以0≤f (x )≤1，A 正确；|2×π6－＝0，但f (x )≥0，因此f (x )，B 错误；y ＝sin x是2π2＝π，所以f (x )＝|x 的最小正周期是π2，C 错误；由f (x )＝|x ＝0，得2x －π3＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π6，k ∈Z ，当x ∈π6，2π3时，x 0，易得x ∈π6，5π12时，f (x )单调递增，x ∈5π12，2π3时，f (x )单调递减，又f (x )的最小正周期是π2，所以f (x )的单调递增区间是k π2＋π6，k π2＋5π12(k ∈Z )，D 正确．故选AD.三、填空题11．若函数f (x )＝|(ω＞0)的最小正周期为π，则________．答案32解析由题设及周期公式得T ＝πω＝π，所以ω＝1，即f (x )＝|，所以|sin2π3|＝32.12．(2024·山东威海模拟)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])是偶函数，则φ＝________．答案π2解析∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴－cos(－π＋φ)＝cos(π＋φ)，∴cos φ＝－cos φ，∴cos φ＝0，又φ∈[0，π]，∴φ＝π2.13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)cos φ＋cos(ωx ＋φ)sin ω>0，0<φ轴之间的距离为π2，且满足φ＝________．答案π6解析由两角和的正弦公式得f (x )＝sin(ωx ＋2φ)，又相邻的两条对称轴之间的距离为π2，所以最小正周期为π，所以π＝2πω，解得ω＝2.又所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π12对称，所以2×π12＋2φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝k π2＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2，所以取k ＝0，得φ＝π6.14．已知函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，且在则f (x )在区间－π2，π3上的最小值为________．答案－2解析因为函数f (x )＝ω＞0)的图象关于直线x ＝π2对称，所以π2ω＋π4＝k π(k ∈N *)，解得ω＝2k －12(k ∈N *)．又f (x )，所以πω≥π2，故0＜ω≤2，所以ω＝32，即f (x )＝当－π2≤x ≤π3时，－π2≤32x ＋π4≤3π4，故f (x )在区间－π2，π3上的最小值为－2.四、解答题15．已知函数f (x )＝sin x －cos x (x ∈R )．(1)求函数y ＝f (x )f (π－x )的单调递增区间；(2)求函数y ＝[f (x )]2＋f x 解(1)∵y ＝(sin x －cos x )[sin(π－x )－cos(π－x )]＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )＝sin 2x －cos 2x ＝－cos2x ，令2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，∴函数的单调递增区间为k π，k π＋π2(k ∈Z )．(2)y ＝(sin x －cos x )2＋sinx x 1－sin2x ＋2sin x 1－sin2x －2cos2x ＝1－3sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝2，∴函数的值域为[1－3，1＋3]．16．(多选)(2023·江苏南通如皋调研)已知函数f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ，则下列结论正确的是()A ．π为函数f (x )的一个周期B ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称C ．函数f (x )在0，π2上为减函数D ．函数f (x )的值域为[2，2]答案ABD解析因为f (x ＋π)＝1＋cos(x ＋π)＋1－cos(x ＋π)＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以π为函数f (x )的一个周期，故A 正确；因为f (π－x )＝1＋cos(π－x )＋1－cos(π－x )＝1－cos x ＋1＋cos x ＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故B 正确；因为f (x )＝1＋cos x ＋1－cos x ＝2cos 2x 2＋2sin 2x2，又x∈0，π2，则x 2∈0，π4，故f (x )＝2cos x 2＋2sin x 2＝由于x 2＋π4∈π4，π2，故f (x )＝2sin 0，π2上为增函数，故C 不正确；因为[f (x )]2＝1＋cos x ＋1－cos x ＋21－cos 2x ＝2＋2|sin x |，又2≤2＋2|sin x |≤4，f (x )>0，所以f (x )∈[2，2]，故D 正确．故选ABD.17．(多选)(2024·湖北宜昌模拟)已知定义域为R 的函数f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，且f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，则()A ．f (0)＝g (0)B ．C ．函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数D ．函数y ＝f (x )g (x )的最大值是24答案BC解析因为f (x )，g (x )的最小正周期均为2π，f (x )＋g (x ＋π)＝cos x ，则f (x ＋π)＋g (x ＋2π)＝cos(x＋π)，即f (x ＋π)＋g (x )＝－cos x ，又g (x )－f (x ＋π)＝sin x ，故可得g (x )＝sin x －cos x2，g (x ＋π)＝sin(x ＋π)－cos(x ＋π)2＝－sin x ＋cos x 2，则f (x )＝cos x －g (x ＋π)＝cos x －－sin x ＋cos x2＝sin x ＋cos x 2，综上所述，f (x )＝sin x ＋cos x 2，g (x )＝sin x －cos x 2.对于A ，f (0)＝12，g (0)＝－12，故A错误；对于B ＝－sin x ＋cos x 2，＝cos x －sin x 2，显然故B 正确；对于C ，f (x )－g (x )＝sin x ＋cos x 2－sin x －cos x2＝cos x ，又y ＝cos x 为偶函数，故函数y ＝f (x )－g (x )是偶函数，C 正确；对于D ，y ＝f (x )g (x )＝(sin x －cos x )(sin x ＋cos x )4＝－cos2x 4＝－14cos2x ，又y ＝－14cos2x 的最大值为14，故D 错误．故选BC.18．(2023·江苏南京二模)已知f (x )＝sin ωx －3cos ωx ，ω>0.(1)若函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，求f(2)若函数f (x )f (x )在0，π4上单调，求ω的值．解(1)f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＝ωx －32cos 因为函数f (x )图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以12T ＝π2，则T ＝π，所以T ＝2πω＝π，解得ω＝2，所以f (x )＝x所以2×3π2－2sin π3＝2×32＝ 3.(2)由f (x )＝函数f (x )，所以πω3－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝3k ＋1，k ∈Z ，由x ∈0，π4，ω>0，则ωx －π3∈－π3，πω4－π3，又函数f (x )在0，π4上单调，－π3≤π2，，解得0<ω≤103，所以当k ＝0时，ω＝1.。
三角函数的对称性和奇偶性
三角函数的对称性和奇偶性三角函数是数学中非常重要的概念。
在三角函数中，有一些重要的性质，即对称性和奇偶性。
理解和掌握这些性质对于解决三角函数相关问题非常有帮助。
本文将详细介绍三角函数的对称性和奇偶性，并分别给出其数学定义和性质分析。
一、正弦函数的对称性和奇偶性正弦函数是三角函数中最基本的一种。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值。
正弦函数的简写形式为sin(x)。
1. 对称性：正弦函数关于原点对称。
即如果点(x,y)在正弦曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正弦曲线上。
这种对称性可以用数学公式表示为：sin(-x) = -sin(x)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数。
奇函数的定义是f(-x) = -f(x)。
因此，对于正弦函数，sin(-x) = -sin(x)。
这意味着当x取任意实数时，sin(x)的函数值和sin(-x)的函数值互为相反数。
二、余弦函数的对称性和奇偶性余弦函数是与正弦函数密切相关的三角函数。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的横坐标值。
余弦函数的简写形式为cos(x)。
1. 对称性：余弦函数关于y轴对称。
即如果点(x,y)在余弦曲线上，那么点(-x,y)也一定在余弦曲线上。
这种对称性可以用数学公式表示为：cos(-x) = cos(x)。
2. 奇偶性：余弦函数是偶函数。
偶函数的定义是f(-x) = f(x)。
因此，对于余弦函数，cos(-x) = cos(x)。
这意味着当x取任意实数时，cos(x)的函数值和cos(-x)的函数值相等。
三、正切函数的对称性和奇偶性正切函数是三角函数中另一种重要的函数。
它的定义是：在单位圆上，从原点出发沿逆时针方向，与终边相交的点的纵坐标值与横坐标值之比。
正切函数的简写形式为tan(x)。
1. 对称性：正切函数关于原点对称。
即如果点(x,y)在正切曲线上，那么点(-x,-y)也一定在正切曲线上。
三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)
三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时 学习目标：1. 掌握常用公式的变换。
2. 明确一般三角函数化简求值的思路。
第一部分 三角函数公式 1、两角和与差的三角函数：cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β)tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β2、倍角公式：sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α)cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α)3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβαβαβαβααα=±=±−−−→=()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 21cos2sin 22tan tan 21tan 令 ＝ ＝ αβαβαβαβααααααβααβααβααααα=±=−−−→=-↓=-=-±±=⇒-↓=-4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：222222sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αααααα==第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
三角函数中的思想方法
三角函数中的思想方法
三角函数是数学中一门重要的分支，是描述角度和周期性现象的函数。
它是高中数学的重要内容，并且在应用数学、物理学和工程学等领域中都
有广泛的应用。
三角函数的研究方法和思想可以概括为以下几个方面：
2.周期性思想：三角函数具有周期性特点，这一特点在研究和利用三
角函数时非常重要。
通过观察和推导，我们可以得出三角函数的周期为
2π（或360°），即函数值在每个周期内重复出现。
这个周期性特点可
以帮助我们对函数进行简化和推理，从而更好地理解和应用三角函数。
3.对称性思想：三角函数具有奇偶性和对称性，这是研究和利用三角
函数的另一个重要思想。
例如，正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)，而余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。
这种奇偶性和对称性可以帮
助我们简化计算和推导过程，同时也有助于理解和解释三角函数的性质。
5.数学模型思想：三角函数不仅仅是一种数学工具，还可以应用于实
际问题的建模和解决。
通过建立三角函数和实际问题之间的关系，我们可
以把实际问题转化为数学问题，并利用三角函数的性质和定理进行求解。
这种思想可以帮助我们将抽象的数学知识与实际问题相结合，更好地应用
和理解三角函数。
三角函数与指数函数的性质与计算
三角函数与指数函数的性质与计算三角函数和指数函数是数学中常见的两类函数，它们在各个领域中具有重要的应用和特性。
本文将介绍三角函数和指数函数的性质以及如何进行计算。
一、三角函数的性质与计算1. 正弦函数（sine function）正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，用sin表示。
它的定义域是实数集，值域在[-1, 1]之间。
正弦函数的性质：- 周期性：sin(x + 2π) = sin(x)，其中π表示圆周率。
- 奇偶性：sin(-x) = -sin(x)，即正弦函数是奇函数。
- 对称性：sin(π - x) = sin(x)，即正弦函数在π点处对称。
正弦函数的计算：- 正弦函数的计算可以通过查找正弦函数表格或利用计算器完成。
2. 余弦函数（cosine function）余弦函数是三角函数中另一个基本函数，用cos表示。
它的定义域是实数集，值域也在[-1, 1]之间。
余弦函数的性质：- 周期性：cos(x + 2π) = cos(x)，其中π表示圆周率。
- 奇偶性：cos(-x) = cos(x)，即余弦函数是偶函数。
- 对称性：cos(π - x) = -cos(x)，即余弦函数在π点处对称。
余弦函数的计算：- 余弦函数的计算可以通过查找余弦函数表格或利用计算器完成。
3. 正切函数（tangent function）正切函数是三角函数中常见的函数之一，用tan表示。
它的定义域是实数集，但在某些点上是无界的。
正切函数的性质：- 周期性：tan(x + π) = tan(x)，其中π表示圆周率。
- 奇偶性：tan(-x) = -tan(x)，即正切函数是奇函数。
正切函数的计算：- 正切函数的计算可以通过求正弦函数和余弦函数的比值得到。
例如，tan(x) = sin(x) / cos(x)。
二、指数函数的性质与计算1. 指数函数（exponential function）指数函数是一类以底数为常数、指数为自变量的函数，用exp表示。
三角函数的奇偶性及像对称
三角函数的奇偶性及像对称三角函数是数学中常见的函数类型，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
它们具有奇偶性质和像对称性质，这些特性对于研究和解决各种数学问题非常重要。
一、正弦函数的奇偶性及像对称正弦函数常用符号sin(x)表示，其定义域为实数集，值域为[-1, 1]。
正弦函数是奇函数，即满足sin(-x)=-sin(x)的性质。
这意味着正弦函数关于原点对称，图像在原点处为对称中心。
正弦函数的图像呈现周期性变化，即对于任意实数x，有sin(x+2π)=sin(x)成立。
这一周期性使得正弦函数的图像在每个周期内重复出现相同的形状。
二、余弦函数的奇偶性及像对称余弦函数通常用符号cos(x)表示，其定义域为实数集，值域也是[-1, 1]。
余弦函数是偶函数，即满足cos(-x)=cos(x)的性质。
这意味着余弦函数关于y轴对称，图像在y轴上为对称中心。
与正弦函数相似，余弦函数也具有周期性变化的特点。
对于任意实数x，有cos(x+2π)=cos(x)成立。
这使得余弦函数的图像在每个周期内呈现相同的形状。
三、正切函数的奇偶性及像对称正切函数常用符号tan(x)表示，其定义域是不包括π/2和3π/2的实数集，值域为(-∞, +∞)。
正切函数不是奇函数也不是偶函数，也不呈现周期性变化。
正切函数没有像对称的性质。
其曲线穿过原点，形成一系列的“无限支”结构，可以延展至正无穷和负无穷。
总结：三角函数的奇偶性和像对称性是它们最基本的性质之一。
正弦函数是奇函数，关于原点对称；余弦函数是偶函数，关于y轴对称；而正切函数既不是奇函数也不是偶函数，也没有像对称性。
了解和掌握这些性质可以帮助我们更好地理解和应用三角函数。
无论是在数学问题的解决中，还是在物理、工程等实际应用中，都需要运用到三角函数的奇偶性和像对称性。
通过熟练掌握这些特性，我们能够更好地分析问题、解决问题，并得到准确的结果。
三角函数是数学中的基础知识，它们的性质和特性不仅在高中数学中有重要意义，在大学的微积分、线性代数等课程中也会涉及到。
三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习
π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π
令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π
即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π
高考数学总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质考点3三角函数的周期性奇偶性对称性
三角函数的周期性、奇偶性、对称性角度1 周期性求下列函数的最小正周期：(1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3；(2)y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12； (3)y ＝|tan x |；(4)y ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋6sin x cos x －2cos 2x ＋1.[解析] (1)∵y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3，∴T ＝2π23＝3π，即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π3的最小正周期为3π.(2)画图知y ＝|cos x |的最小正周期是y ＝cos x 的周期的一半，∴y ＝3⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期是y ＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π12的最小正周期的一半，即T ＝12×2π2＝π2.(3)画出y ＝|tan x |的图象． 如图所示．由图象易知T ＝π.∴y ＝|tan x |的最小正周期与y ＝tan x 的最小正周期相同.(4)y ＝－2sin 2x ·cos π4－2cos 2x ·sin π4＋3sin 2x －cos 2x ＝2sin 2x －2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以y 的最小正周期T ＝2π2＝π.角度2 奇偶性1．若函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，则φ的值可以是( A )A ．5π6B ．π2C ．π3D ．－π2[解析] 因为当－π3＋φ＝k π＋π2时，f (x )为偶函数，即φ＝k π＋56π，当k ＝0时，φ＝56π，故选A ．2．(多选题)已知f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)为奇函数，则φ的一个取值可以是( CD )A ．π2B ．－π2C ．3π4D ．－π4[解析] 由题意，f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos(x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4为奇函数，所以φ＋π4＝k π，k ∈Z ，即φ＝k π－π4，k ∈Z .因此，选项CD 正确．角度3 对称性已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为π，则该函数图象( A )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于直线x ＝π6对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 D ．关于直线x ＝π3对称[解析] 由已知可得ω＝2πT ＝2ππ＝2，所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是该函数图象的对称中心，所以A 正确，B 错误；因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠0，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不是该函数图象的对称中心，所以C 错误； 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－32≠±1，所以直线x ＝π3不是该函数图象的对称轴，所以D 错误．名师点拨：1．求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解． 2．三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数．若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z )．3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题． (1)∵y ＝sin x 的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )，∴y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称中心，由方程ωx ＋φ＝k π解出x ＝k π－φω，故对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )．(2)∵y ＝sin x 的对称轴是x ＝k π＋π2(k ∈Z )，∴ωx ＋φ＝k π＋π2解出x ＝k π＋π2－φω，即x ＝k π＋π2－φω为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴方程．(3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)图象的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数图象的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．4．注意y ＝tan x 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )．【变式训练】1．(角度1)①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，③y ＝|sin x |，④y ＝cos|2x |中，最小正周期为π的函数为( B )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③[解析] ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期，T ＝2π2＝π；②y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2；③由函数图象知y ＝|sin x |的最小正周期为π； ④y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π.故选B ．2．(角度2)(2022·威海三模)已知函数f (x )＝sin x cos(2x ＋φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ＝( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π[解析] ∵f (x )的定义域为R ，且为偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2⇒cos(π＋φ)＝－cos(－π＋φ)⇒－cos φ＝cos φ⇒cos φ＝0，∵φ∈[0，π]，∴φ＝π2.当φ＝π2时，f (x )＝－sin x sin 2x 为偶函数，满足题意，故选C ．3．(角度3)下列关于函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的说法错误的是( C )A ．最小正周期为πB ．最大值为1，最小值为－1C ．函数图象关于直线x ＝0对称D ．函数图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称[解析] 将三角函数化简变形为标准形式，即可求出对应的周期，最值，对称轴，对称中心等，函数f (x )＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，函数的最小正周期T ＝π，A正确；最大值为1，最小值为－1，B 正确；由2x ＝k π＋π2⇒x ＝k π2＋π4，k ∈Z ，得函数图象关于直线x ＝k π2＋π4，k ∈Z 对称，C 不正确；由2x ＝k π⇒x ＝k π2，k ∈Z ，得函数图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 对称，D 正确．故选C ．。
三角函数的奇偶性
三角函数的奇偶性三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
在研究三角函数的性质时，了解其奇偶性是非常重要的一个方面。
奇函数和偶函数是函数的一种分类，它们具有不同的对称性质，在讨论三角函数的奇偶性时也体现了这种特点。
什么是奇函数和偶函数？在数学中，我们把一个函数f(x)定义在定义域上的定义为奇函数当且仅当对任意x都有f(−x)=−f(x)成立；定义为偶函数当且仅当对任意x都有f(−x)=f(x)成立。
简单来说，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
对于三角函数而言，正弦函数是一个奇函数，而余弦函数是一个偶函数。
这一点可以从它们的定义和图像上进行简单的推导和观察。
正弦函数的定义为$\\sin(x)=\\frac{{\\sin(x)}}{{\\sin(x)}}$，而余弦函数的定义为$\\cos(x)=\\frac{{\\cos(x)}}{{\\sin(x)}}$，其中正弦和余弦函数的周期性和特定点性质也可以帮助我们更好地理解它们的奇偶性。
三角函数的奇偶性质正弦函数的奇性质考虑正弦函数 $\\sin(x)$，它满足 $\\sin(-x)=-\\sin(x)$，即在正负x轴上关于原点对称。
这是因为正弦函数的图像以原点为中心关于原点对称。
当x为奇数倍的 $\\pi$ 时，即 $x=\\pi, -\\pi, 3\\pi, -3\\pi, \\ldots$，正弦函数的值为0。
这一性质也可以从三角函数的周期性和对称性角度来解释。
余弦函数的偶性质余弦函数 $\\cos(x)$ 满足 $\\cos(-x)=\\cos(x)$，即在y轴上关于y轴对称。
余弦函数的图像以y轴为中心关于y轴对称。
当x为偶数倍的 $\\pi$ 时，即$x=2\\pi, -2\\pi, 4\\pi, -4\\pi, \\ldots$，余弦函数的值为1。
这也是根据余弦函数的周期性和对称性进行考量的结果。
三角函数奇偶性在应用中的重要性对于数学和物理领域的问题来说，了解三角函数的奇偶性对于简化问题、推导相关公式、求解方程等都有很大的帮助。
三角函数对称性知识点总结
三角函数对称性知识点总结一、基本概念的介绍三角函数是数学中的一类重要函数，在数学中有着广泛的应用。
三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等等，它们之间存在着一定的对称性。
掌握三角函数对称性对于理解和运用三角函数来说是非常重要的。
在学习和应用三角函数的时候，我们需要了解三角函数的对称性知识点，这对于解题和推导都有很大的帮助。
二、正弦函数的对称性1.正弦函数的定义：正弦函数是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。
正弦函数的函数图象呈现出一种对称性。
当自变量x在第一象限和第二象限时，正弦函数的值是相等的，当自变量x在第三象限和第四象限时，正弦函数的值是相等的。
这表明，正弦函数在x轴的对称。
2.正弦函数的奇偶性：正弦函数是一个奇函数，即sin(-x)=-sin(x)。
这就表明，当自变量x取相反数的时候，正弦函数的值也取相反数。
这也表明了正弦函数在y轴的对称性。
3.正弦函数的轴对称性：在正弦函数的函数图象中，x轴是正弦函数的对称轴。
也就是说，当自变量x取相反数时，正弦函数的值也取相反数。
这些对称性的存在使得我们在求解正弦函数的值的时候，可以利用这些对称性，简化解题的过程。
另外，在绘制正弦函数的函数图象的时候，这些对称性也能够帮助我们更好地理解和描述函数的性质。
三、余弦函数的对称性1.余弦函数的定义：余弦函数也是以360°/2π为一个周期的周期函数，且其定义域为所有实数集合，值域为[-1,1]。
余弦函数的函数图象呈现出一种对称性。
当自变量x在第一象限和第四象限时，余弦函数的值是相等的，当自变量x在第二象限和第三象限时，余弦函数的值是相等的。
这表明，余弦函数在x轴的对称。
2.余弦函数的奇偶性：余弦函数是一个偶函数，即cos(-x)=cos(x)。
这表明当自变量x取相反数的时候，余弦函数的值不变。
这也表明了余弦函数在y轴的对称性。
3.余弦函数的轴对称性：在余弦函数的函数图象中，x轴是余弦函数的对称轴。
三角函数的对称性与周期性
三角函数的对称性与周期性在高中数学中，三角函数是一个非常重要的概念。
三角函数可以描述任意角的余弦、正弦、正切等值，是数学、物理、工程等领域中不可或缺的一部分。
在学习三角函数时，我们需要了解三角函数的对称性和周期性，这对于理解和运用三角函数都非常有帮助。
一、三角函数的对称性1. 奇偶性正弦函数和正切函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
一个函数是奇函数，当且仅当f(-x)=-f(x)；一个函数是偶函数，当且仅当f(-x)=f(x)。
以正弦函数为例：当x取反时，sin(-x)=-sin(x)，因此正弦函数是奇函数。
同理，可以证明正切函数也是奇函数，余弦函数是偶函数。
2. 对称轴正弦函数和余弦函数分别具有y轴和x轴的对称轴。
当x取反时，正弦函数和余弦函数的图像对称于对称轴。
以正弦函数为例：sin(-x)=-sin(x)，当x取反时，图像关于y轴对称。
3. 周期性三角函数都具有周期性，即满足f(x+T)=f(x)，其中T为函数的最小正周期。
以正弦函数为例：sin(x+2π)=sin(x)，因此正弦函数的最小正周期为2π。
同样，余弦函数和正切函数的最小正周期也可以通过类似的方式证明。
二、三角函数的周期性1. 周期为π正切函数具有周期为π的性质。
即tan(x+π)=tan(x)。
以正切函数为例：tan(x+π)=[sin(x+π)/cos(x+π)]=-tan(x)，因此正切函数的最小正周期为π。
2. 周期为2π正弦函数和余弦函数具有周期为2π的性质。
即sin(x+2π)=sin(x)，cos(x+2π)=cos(x)。
以正弦函数为例：sin(x+2π)=[e^ix+2π-e^-ix-2π]/(2i)=[e^ix-e^-ix]/(2i)=sin(x)，因此正弦函数的最小正周期为2π。
三、结论三角函数的对称性与周期性是三角函数的基本性质，熟练掌握这些性质对于理解和运用三角函数都非常有帮助。
在实际应用中，需要根据题目要求采用相应的方法来求解，比如利用对称性降低计算量、利用周期性规律化简式子等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数的奇偶性和对称性
奇偶性
判断一个三角函数既不是奇函数又不是偶函数和判断函数奇偶性是一样的，
都是有两个条件（1）函数的定义域要关于原点对称（这是一个奇函数或偶函数的前提条件）
（2）在（1）成立的基础上判断f(-x)=-f(x)成立，那函数一定是奇函数，若f(-x)=f(x),那函数一定是偶函数
你所问的三角函数既不是奇函数又不是偶函数方法：上边（1）不满足的情况下，三角函数既不是奇函数又不是偶函数；（1）条件满足就要看（2）条件当f(-x)=-f(x)f(-x)=f(x)这两个等式都不成立时，三角函数既不是奇函数又不是偶函数。
1 设函数f(x)=sin2x,若f(x+t)是偶函数，则t的一个可能值是_________
f(x+t)=sin(x+t)=sin(2x+2t)
若要使f(x+t)为偶函数则：
2t=kπ+π/2
所以：
t=(1/2)*kπ+π/4
2 （1）若f(x)=sin(x+a)为偶函数，求a的值；
(2)已知函数sin(x+a)+更3cos(x+a)为偶函数，求a的值
1.f(x)是偶函数，则有f(x)=f(-x),即sin（x+a)=sin(-x+a),
所以sinxcosa+cosxsina=- sinxcosa+cosxsina,
∴sinxcosa=0对x∈R恒成立.∴cosa=0
∴a=π÷2+kπ,其中k∈Z.
2.同上,f(x)=f(-x)，且f(x)=sin(x+a)+√3cos(x+a)=2sin(x+a+π÷3），
则同1，有a+π÷3=π÷2+kπ，k∈Z，
即a=π÷6+kπ，k∈Z。
3 已知f(x)是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，若f（a-2)-f(4-a²)＜0，求实数a的取值范围。
我光列了一个，
a-2|＜|4-a²| 应该能用两边平方来解但我不会
应该还有别的不等式我认为是
|a-2|＞-1 |4-a²|＜1 对不？说说你们的做法
a-2|＜|4-a²| a-2|＜|（a-2）（a+2）|
当a不等于2时候可以消去（a-2）
1＜|a+2| 下面的|a-2|＞-1 |4-a²|＜1 就不对了
应该是a-2 4-a²都在定义域范围内即a-2 4-a^2都属于（-1，1）
5.y=sin(x+α)+√cos(x-α)为偶函数的充要条件是
偶函数充要条件是f(x)=f(-x)即sin(x+a)+cos(x-a)=sin(a-x)+cos(x+a)化简得sinx[cos(a)+sin(a)]=0则a=45°+k*180°（k属于Z）
6
7 f(x)的定义域是R
f(x+1)和f(x-1)都是奇函数
则（）
Af(x)是偶函数
Bf(x)是奇函数
Cf(x)=(x+2)
Df(x+3)是奇函数有题干中两个函数为奇函数，可得f(x)是周期为4的函数
一个函数如果有两个对称中心或两条对称轴，那这个函数就是周期函数，周期等于两对称中心或对称轴距离的两倍
对称性
1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2
如f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例.
对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴Ｘ＝ｂ／２ａ
原函数与反函数的对称轴是ｙ＝ｘ．
而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是Ｘ＝９０还有．．．（２ｎ＋！）９０度等等．因为他的定义为Ｒ．
ｆ（ｘ）＝｜Ｘ｜他的对称轴则是Ｘ＝０，
还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了．
如ｆ（ｘ－３）＝ｘ－３令ｔ＝ｘ－３则ｆ（ｔ）＝ｔ可见原方程是由初等函数向右移动了３个单位．同样对称轴也向右移３个单位Ｘ＝３（记住平移是左加右减的形式，如本题的Ｘ－３说明向由移）
２，至于周期性首先也的从一般形式说起ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）
注意此公式里面的Ｘ都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键．
同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．２π，２π，π，当然
他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如ｆ（ｘ）＝ｓｉｎＸＴ＝２π（Ｔ＝２π／Ｗ）
但是如果是ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎｘ｜的话它的周期就是Ｔ＝π因为加了绝对值之后Ｙ轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周Ｔ＝π．
y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2
y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2
上面的２个方程Ｔ＝π（Ｔ＝２π／Ｗ）
而对于≥２个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos２x因为他们有一个公共周期Ｔ＝π所以它的周期为Ｔ＝π 而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如
y=sin３πx+cos２πxＴ１＝２／３Ｔ２＝１则Ｔ＝２／３
三角函数除了具有一般函数的各种性质外，它独特的对称性，
学生掌握情况不是很理想，我想谈一下自己的认识.
知识梳理：
函数对称中心坐标对称轴方程
y = sin x ( kπ, 0 )x = kπ+π/2
y = cos x ( kπ+π/2 ,0 )x = kπ
y = tan x (kπ/2 ,0 )无。