六年级数学奥数分数的速算与巧算

例 5. 计算： 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 4 8 16 32 64 128
分析与解： 此题的解法有两种。
第一种方法： 观察上面的算式发现， 2 个 1 相加得 1 ，2 个 1 相加得 1 ，2 个 1 相加得 1 ，……，
128
64
64
32
32
16
因此，在原算式中可以先“借”来一个
9
9
1
算。（ 2）把题中的 166 分成 41 的倍数与另一个较小的数相加的形式，
20
再利用除法的运算性质使计算简便。
（1） 56 8 ÷ 8＝（ 56+ 8 ）÷ 8＝（ 56+ 8 ）× 1 ＝ 56× 1 + 8 × 1 ＝ 7+ 1 ＝ 7 1
9
9
98
89 8 9 9
1
（2） 166 ÷41 = (164 +
1
2005
2006
=2004
2005
1
2004 2006 2006
Fra Baidu bibliotek
2005 1
2006 2006
1
【举一反三】
2004，把
计算：（ 5） 2000÷ 2000 2000 + 1 2001 2002
（ 6） 238÷ 238 238 + 1 239 240
例 3. 计算： 1993 1994 1 1993 1992 1994
两式相减得： 2S－ S＝（ 1＋ + + + + + ）－（ + + + + + + ）
2 4 8 16 32 64
2 4 8 16 32 64 128
1
S＝1－
128
即
11
+
1
+
+
1
+
11
+
+
1
＝ 127
（即错位相减法）
2 4 8 16 32 64 128 128
例 6.
计算：（1＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ）×（
分析与解： 根据算式中各数的特点，变形后再约分计算。
（ 1） 128128 × 161616 ＝ 128 1001 × 16 10101 ＝ 1 323232 256256 32 10101 256 1001 4
（2） 2007 20072007 200720072007 ＝ 2007 2007 10001 2007 100010001 2005 20052005 200520052005 2005 2005 10001 2005 100010001
分析与解： 仔细观察分子和分母中各数的特点， 可以考虑将分子变形。 1993× 1994-1 =（ 1992+1）× 1994-1
= 1992 × 1994+1994-1 = 1992 × 1994+1993，这样使原式的分子、分母相同，从而简化计算。
1993 1994 1 = (1992 1) 1994 1 = 1992 1994 1993 = 1 1993 1992 1994 1993 1992 1994 1993 1992 1994
【举一反三】 计算：（ 7） 2012 2013 - 1 2012 2011 2013
（ 8） 1988 1989 1987 1988 1989 1
例 4. 计算： （ 1） 128128 × 161616 323232 256256
（ 2） 2007 20072007 2007200720 07 2005 20052005 2005200520 05
1111
1111
＋ ＋ ＋ ）－（ 1＋ ＋ ＋ ＋ ）×（
111
＋＋ ）
234
2345
2345
234
分析与解： 本题就是设数法解题的典型，可设：
1＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝ a， 1 ＋ 1 ＋ 1 ＝b. 则：
（13） 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 3 9 27 81 243 729
（ 14） 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 5 25 125 625 3125
【举一反三】 计算： （9） 484848 ÷ 242424 254254 127127
（10） 25 2525 252525 36 3636 363636
2004 2005 2004 ，
这算式可以运用乘法分配律等于 2004 2006，又可以约分。
聪明的同学们，如果你的数感很强的话，不难看出
2004
2004 2005
的被除数与除数都含有
2005
1
他们同时除于 2004 得到 1 1
也是很好算的，这一方法就留给你们吧！
2005
2004 2006 原式 =2004
1 ，最后再“还”一个 1 ，构造一个 1 + 1 ，使计算简便。
128
128
128 128
（过程略）
第二种方法：设
S＝ 1 + 1 + 1 +
11
++
1
+
1
，则
2S＝1＋
111
+ ++
1
+
1
+
1
2 4 8 16 32 64 128
2 4 8 16 32 64
111 1 1 1
111 1 1 1 1
（2）错位相减法： 根据算式的特点， 将原算式扩大一个整数倍 （ 0 除外）， 用扩大后的算式同原算式相减，可以使复杂的计算变得简便。
【典型例题】
例 1. 计算：（1） 56 8 ÷ 8 9
（ 2）166 1 ÷ 41 20
分析与解：（ 1）直接把 56 8 拆写成（ 56+ 8 ），除以一个数变成乘以这个数的倒数，再利用乘法分配率计
【专题解析】
第三讲 分数的速算与巧算
在分数的简便计算中，掌握一些常用的简算方法，可以提高我们的计算 能力，达到速算、巧算的目的。
（ 1）约分法：在分数乘除法运算中，如果先约分再计算，可以使计算过 程更简便。两个整数相除（后一个不为 0）可以直接写成分数的形式。两个 分数相除，可以根据分数的运算性质，将其写成一个分数乘另一个分数的倒 数的形式。
41 ) ×
1
= 164 ×
1 + 41 ×
1
=4
1
20
20 41
41 20 41 20
【举一反三】
计算：（1） 64 8 ÷ 8 17
5
（2） 145 ÷12
7
2
（ 3） 54 ÷17
5
1
（4） 170 ÷ 13
12
例 2.
计算： 2004
2004 2004
1
2005 2006
分析与解： 数太大了，不妨用常规方法计算一下，先把带分数化成假分数。分母
＝ 2007 ﹙ 1 10001 100010001 ﹚＝ 2007 2005 ﹙ 1 10001 100010001 ﹚ 2005
【举一反三】
计算：
（ 11） 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ 1
1 ＋
2 4 8 16 32 64
11 1 1 1 1 （ 12）1＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋
3 6 12 24 48 96