解题秘诀：二次函数最值的4种解法(1)

二次函数最值的4种解法，看完不惧压轴题！

从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次

函数相结合。

在这里以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们参考，都掌握了之后一定

会在压轴题上有一个大的提升。

ps.因格式问题，部分上标未能正常显示，望知悉。

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1、如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c 与x 轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点。

(1)求该抛物线的解析式；

(2)设(1)中的抛物线交y 轴于C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的

周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC 的面积最大？若存

在，求出点P 的坐标及△PBC 的面积最大值；若没有，请说明理由。

解答：

(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；

(2)Q(－1，2)；

下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．

解法1：补形、割形法

高途课堂整理几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，此类方法的要点在于把所求图形的面积进行

适当的补或割，变成有利于表示面积的图形。

方法一

如图3，设P 点（x，－x2－2x＋3）(－3

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高途课堂整理方法二如图4，设P 点(x，－x2－2x＋3)(－3

（下略．）

高途课堂整理解法2：“铅垂高，水平宽”面积法

如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离

叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，

我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝1/2ah，即三角形面积等于水平宽

与铅垂高乘积的一半。

根据上述方法，本题解答如下：

解如图6，作PE x 轴于点E，交BC 于点F．

高途课堂整理设P 点（x，－x2－2x＋3）（－3

高途课堂整理∴点P 坐标为（－3/2，15/4）

解法3：切线法

若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l，当直线l 与

抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的

切线法。

解如图7，直线BC 的解析式是y＝x＋3，过点P 作BC 的平行线l，从而可设直线l 的

解析式为：y＝x＋b．

高途课堂整理 =27/8

解法4：三角函数法

本题也可直接利用三角函数法求得．

解如图8，作PE x 轴交于点E，交BC 于点F，作PM BC 于点M．

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设P 点（x，－x2－2x＋3）（－3

F(x，x＋3)．

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从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各

元素之间的关系进行求解。