张祖锦点集拓扑作业讲解

2 . k 用数学归纳法证明 “∪k j=1 Aj = ∪j=1 Bj ,
k = 1, 2, · · · , n”: 当 k = 1
时, B1 = A1 ; 当 k = 2 时, B1 ∪ B2 = A1 ∪ (A2 \A1 ) =
c A1 ∪ (A2 ∩ Ac 1 ) = (A1 ∪ A2 ) ∩ (A1 ∪ A1 ) = A1 ∪ A2 ; 假设当 k = m
7 8 9 10 11 12 13
作 作 作 作 作 作 作
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III
14 15 16 17 18 19 20
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作 作 作 作 作 作 作
张祖锦点集拓扑学作业讲解
IV
21 22
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作 作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 1 作
1
1
作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 1 作
张祖锦点集拓扑学作业讲解
张祖锦点集拓扑学作业讲解
作者 张祖锦
赣南师范学院 数学与计算机科学学院
2016 年 5 月 5 日
张祖锦点集拓扑学作业讲解
张祖锦点集拓扑学作业讲解
I
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
作 作 作 作 作 作
张祖锦点集拓扑学作业讲解
II
7 8 9 10 11 12 13
1
x ∈ Ai ,
(Ai ∪ · · · An ∪ A1 ∪ · · · Ai−1 )\(Ai ∩ · · · An ∩ A1 ∩ · · · Ai−1 ) ⊂
(Ai \Ai+1 ) ∪ · · · (An \A1 ) ∪ · · · (Ai−1 \Ai ).
张祖锦点集拓扑学作业讲解 1 作
3. 设有集合 A1 , · · · , An , 作 B1 = A1 , ∪k j=1 Aj
张祖锦点集拓扑学作业讲解 4 作
பைடு நூலகம்
4
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作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 4 作
1. 设 X, Y 是两个集合, f : X → Y. 试证: A ⊂ f−1 (f(A)), ∀ A ⊂ X; B ⊃ f(f−1 (B)), ∀ B ⊂ Y; f 是单射 ⇔ A = f−1 (f(A)), 射 ⇔ B = f( f 证明.
时, 结论成立, 则当 k = m + 1 时,
+1 m+1 m m m ∪m i=1 Bi = ∪i=1 Bi ∪ Bm+1 = ∪i=1 Ai ∪ [Am+1 \ (∪i=1 Ai )] = ∪i=1 Ai .
张祖锦点集拓扑学作业讲解 2 作
2
2
作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 2 作
1. 设 X = {a, b, c}, Y = {d, e, f, g}, R = {(a, d), (a, e), (b, f)}, A = {a, c}, B = {d, e, g}. 试求 R(A), R−1 (B), R 的值域与定义域. 解答.
2 .
3 . 4 .
张祖锦点集拓扑学作业讲解 2 作
2. 设 R ⊂ X × Y. 试证: R(A ∩ B) = R(A) ∩ R(B), ∀ A, B ⊂ X ⇔ R({x}) ∩ R({y}) = ∅, ∀ x, y ∈ X, x ̸= y. 证明.
1 .
“⇒”: 取 A = {x}, B = {y}, 则 R({x}) ∩ R({y}) = R({x} ∩ {y}) = R(∅) = ∅.
2 .
“⇐”: 显然有 R(A ∩ B) ⊂ R(A) ∩ R(B). 往证 R(A ∩ B) = R(A) ∩ R(B) 如下: { y ∈ R(A) ⇒ ∃ x1 ∈ A, s.t. x1 Ry y ∈ R(A) ∩ R(B) ⇒ y ∈ R(B) ⇒ ∃ x2 ∈ B, s.t. x2 Ry ( ) 用反证法. 若x1 ̸= x2 , 则 ⇒ x1 = x2 y ∈ R({x1 }) ∩ R({x2 )} , 这与题设矛盾 ⇒ y ∈ R(A ∩ B).
张祖锦点集拓扑学作业讲解 3 作
3
3
作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 3 作
1. 给定 R 上的如下关系 { } R = (x, y) ∈ R2 ; x − y ∈ Z . 试证: R 是一个等价关系, 并写出 x ∈ R 的等价类. 证明.
1 .
R 是一个等价关系:
1 . 2 . 3 .
“自反性”: x − x = 0 ∈ Z. “对称性”: xRy ⇒ x − y ∈ Z ⇒ y − x ∈ Z ⇒ yRx. “传递性”: xRy, yRz ⇒ x − y, y − z ∈ Z ⇒ x − z = (x − y) + (y − z) ∈ Z ⇒ xRz.
1. 证明: (A\B) ∩ (C\D) = (A ∩ C)\(B ∪ D). 证明.
1 .
A\B = A ∩ Bc : { x ∈ A\B ⇔ x∈A x ̸∈ B { ⇔ x∈A x ∈ Bc ⇔ x ∈ A ∩ Bc .
2 .
(A\B) ∩ (C\D) = (A ∩ Bc ) ∩ (C ∩ Dc ) = A ∩ [Bc ∩ (C ∩ Dc )] = A ∩ [(Bc ∩ C) ∩ Dc ] = A ∩ [(C ∩ Bc ) ∩ Dc ] = A ∩ [C ∩ (Bc ∩ Dc )] = (A ∩ C) ∩ (Bc ∩ Dc ) = (A ∩ C) ∩ (B ∪ D)c = (A ∩ C ∩ (B ∪ D)c .
5 .
“f 是满射 ⇔ B = f(f−1 (B)), “⇒”: 已有 B ⊃ f(f
−1
∀ B ⊂ Y”:
(B)). 往证 B ⊂ f(f−1 (B)) 如下:
y ∈ B ⇒ ∃ x ∈ X, s.t. B ∋ y = f(x) ⇒ x ∈ f−1 (B), y = f(x) ∈ f(f−1 (B)). “⇐”: y ∈ Y ⇒ {y} = f(f−1 ({y})) ⇒ f−1 ({y}) ̸= ∅ ⇒ ∃ x ∈ f−1 ({y}) ⊂ X ⇒ y = f(x).
2 .
“f 是满射”: y ∈ Y ⇒ y = iY (y) = f ◦ g(y) = f(g(y)).
张祖锦点集拓扑学作业讲解 5 作
5
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作
张祖锦点集拓扑学作业讲解 5 作
1. 试证: card Q = ℵ0 , card R2 = ℵ. 证明.
1 .
回忆: A, B 之间存在一个一一映射 ⇔ A, B 对等(A ∼ B) ⇔ A, B 基数相同(card A = card B); card N = ℵ0 , card R = ℵ.
张祖锦点集拓扑学作业讲解 1 作
2. 证明: (A1 ∪ · · · ∪ An )\(A1 ∩ · · · ∩ An ) = (A1 \A2 ) ∪ (A2 \A3 ) ∪ · · · (An−1 \An ) ∪ (An \A1 ). 证明.
1 . 2 .
A ⊂ B ⇔ Ac ⊃ Bc (逆否命题等价). “⊃”: 记 An+1 = A1 , 则
1 .
R(A) = {y ∈ Y; ∃ x ∈ A, s.t. xRy}, 这就是说: R(A) 就是 R 中第 一个坐标在 A 中的元素的第二个坐标, R(A) = {d, e}. R−1 (B) = {x ∈ X; ∃ y ∈ B, s.t. xRy}, 这就是说: R−1 (B) 就是 R 中第二个坐标在 B 中的元素的第一个坐标, R−1 (B) = {a}. R 的值域 R(X) = {d, e, f}. R 的定义域 R−1 (Y) = {a, b}.
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2. 设 X 和 Y 是两个集合, f : X → Y, g : Y → X. 试证: 如果 f ◦ g = iY , 则 g 是单射, f 是满射. 证明.
1 .
“g 是单射”: g(y1 ) = g(y2 ) ⇒ y1 = iY (y1 ) = f(g(y1 )) = f(g(y2 )) = iY (y2 ) = y2 .
(R1 ◦ R2 ) ◦ (R1 ◦ R2 ) = R1 ◦ [R2 ◦ (R1 ◦ R2 )] = R1 ◦ [(R2 ◦ R1 ) ◦ R2 ] = R1 ◦ [(R1 ◦ R2 ) ◦ R2 ] = R1 ◦ [R1 ◦ (R2 ◦ R2 )] = (R1 ◦ R1 ) ◦ (R2 ◦ R2 ) ⊂ R1 ◦ R2 .
1 −1 −1 “⇒”: R1 ◦ R2 = R− = R2 ◦ R1 . 1 ◦ R2 = (R2 ◦ R1 )
“⇐”:
1 . 2 . 3 .
△(X) ⊂ △(X) ◦ △(X) ⊂ R1 ◦ R2 .
1 −1 (R1 ◦ R2 )−1 = R− 2 ◦ R1 = R2 ◦ R1 = R1 ◦ R2 .
c Ai \Ai+1 = Ai ∩ Ac i+1 ⊂ A1 ∪ · · · ∪ An ) ∩ (A1 ∩ · · · ∩ An ) = 左端.
3 .
“⊂”: 设 x ∈ 左端, 则 x ∈ A1 ∪ · · · ∪ An , x ̸∈ A1 ∩ · · · ∩ An .
于是 ∃ 1 ≤ i ≤ n, s.t. x ∈ Ai . 不妨设 x ∈ A1 1 . 令 k = max {j; 1 ≤ j ≤ n, x ∈ A1 , · · · , x ∈ Aj } , 则 1 ≤ k < n, 且 x ∈ Ak , x ∈ Ak+1 ; x ∈ Ak \Ak+1 .
2 .
“card Q = ℵ0 ”: {m } Q= ; m ∈ Z; n ∈ Z+ = ∪∞ n=1 An , n
An =
{m n
} ;m ∈ Z .
由 Z = {0, 1, −1, 2, −2, · · · } 知 Z ∼ N ⇒ An ∼ N. 又可数个可数集 的并是可数集, 我们知 Q 可数, card Q = card N = ℵ0 .
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3 .
“card R2 = ℵ”: 由 R ∼ (0, 1) 知 R2 ∼ (0, 1)2 . 我们仅需验证 (0, 1)2 ∼ (0, 1). 为此, 构造一一映射如下: (0, 1)2 ∋ (x, y) = (0.x1 x2 · · · , 0.y1 y2 · · · ) → 0.x1 y1 x2 y2 · · · ∈ (0, 1).
1 . −1 Bk = Ak \ ∪k j=1 Aj
(k > 1). 证明: B1 , · · · , Bn 互不相交, 且
=
∪k j=1 Bj ,
k = 1, 2, · · · , n.
证明. “B1 , · · · , Bn 互不相交”: 对 k < l, [ [ ( 1 )] ( l−1 )c ] A = A ∩ A ∩ ∪i=1 Ai Bk ∩ Bl ⊂ Ak ∩ Al \ ∪li− i k l =1 ( l−1 )c ⊂ Ak ∩ ∪i=1 Ai ⊂ Ak ∩ Ac k = ∅.
1 . 2 . 3 . −1
∀ A ⊂ X; f 是满
(B)),
∀ B ⊂ Y.
由 f−1 (B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B} 知 x ∈ f−1 (B) ⇔ f(x) ∈ B . “A ⊂ f−1 (f(A)), ∀ A ⊂ X”: x ∈ A ⇒ f(x) ∈ f(A) ⇔ x ∈ f−1 (f(A)). “B ⊃ f(f−1 (B)), ∀ B ⊂ Y”: y ∈ f(f−1 (B)) ⇒ ∃ x ∈ f−1 (B), s.t. y = f(x) ⇒ y = f(x) ∈ B. “f 是单射 ⇔ A = f−1 (f(A)), ∀ A ⊂ X”:
4 .
“⇒”: 已有 A ⊂ f−1 (f(A)). 往证 A ⊃ f−1 (f(A)) 如下: x ∈ f−1 (f(A)) ⇔ f(x) ∈ f(A) ⇒∃˜ x ∈ A, s.t. f(x) = f(˜ x) ⇒x=˜ x ∈ A.
张祖锦点集拓扑学作业讲解 4 作
“⇐”:
f(x1 ) = f(x2 ) ⇒ {x1 } = f−1 (f({x1 })) = f−1 ({f(x1 )}) = f−1 ({f(x2 )}) = {x2 }
2 .
[x] = {x + n; n ∈ Z}.
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2. 设 R1 , R2 是 X 的两个等价关系. 试证: R1 ◦ R2 是 X 的等价关 系 ⇔ R1 ◦ R2 = R2 ◦ R1 . 证明.
1 . 2 . 3 .
回忆 R 是等价关系, 如果 △(X) ⊂ R, R−1 = R, R ◦ R ⊂ R.