2.4 平板应力分析——【过程设备设计】
08_压力容器应力分析_典型圆平板分析
3 ( 3 + μ ) pR 2 pR 2 σ r r =0 = σ θ r =0 = ≈ 1.238 2 2 t t 8 2 2 pR pR 3 σ θ r = R = (1 μ ) 2 ≈ 0.525 2 , σ r r = R = 0 t t 4
周边固支和周边简支对圆平板刚度和强度的影响 ① 对挠度的影响 两种支承条件下,板内最大挠度的比值为
2.4 平板应力分析
求解思路:
2.4.3 圆平板中的应力
2.4.3 圆平板中的应力
d 1 d dw Qr r dr r dr = D′ dr Solution of Qr = Qr (r) Boundary Conditions for Circular Plate
dw w = w(r ) → = → ( M θ , M r ) → (σ θ , σ r ) dr → (σ θ max , σ r max )
2.4.3 圆平板中的应力
弯矩在板内的分布如图所示
r = R, pR 2 M θ = -μ 8 pR 2 M r = 8
最大周向弯矩出现在板的中央处,而最大径向弯 矩出现在板的边缘处.此外,弯矩为负的含义表明其 方向与当初规定的方向相反(见图2-29).
2.4 平板应力分析
应力分布公式为
② 周边简支时,挠度方程为 P 3+ μ 2 2 r 2 w= R r + 2r ln R 16π D′ 1 + μ
(
)
wmax
3 + μ PR 2 r =0 = 1 + μ 16π D′
2.4 平板应力分析
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力
2.4.4 承受轴对称载荷时环板中的应力 中心开有圆形孔的圆平板称为"环板".以周边 简支,内周边承受均布力矩的环板分析为例.
《过程设备设计》第二版(郑津洋,董其伍,桑芝富) 课后习题答案 化学工业出版社
思考题参考答案第1章压力容器导言思考题1.1我国《压力容器安全技术监察规程》根据整体危害水平对压力容器进行分类。
压力容器破裂爆炸时产生的危害愈大，对压力容器的设计、制造、检验、使用和管理的要求也愈高。
设计压力容器时，依据化学介质的最高容许浓度，我国将化学介质分为极度危害（Ⅰ级）、高度危害（Ⅱ级）、中度危害（Ⅲ级）、轻度危害（Ⅳ级）等四个级别。
介质毒性程度愈高，压力容器爆炸或泄漏所造成的危害愈严重。
压力容器盛装的易燃介质主要指易燃气体或液化气体，盛装易燃介质的压力容器发生泄漏或爆炸时，往往会引起火灾或二次爆炸，造成更为严重的财产损失和人员伤亡。
因此，品种相同、压力与乘积大小相等的压力容器，其盛装介质的易燃特性和毒性程度愈高，则其潜在的危害也愈大，相应地，对其设计、制造、使用和管理也提出了更加严格的要求。
例如，Q235-B钢板不得用于制造毒性程度为极度或高度危害介质的压力容器；盛装毒性程度为极度或高度危害介质的压力容器制造时，碳素钢和低合金板应逐张进行超声检测，整体必须进行焊后热处理，容器上的A、B类焊接接头还应进行100％射线或超声检测，且液压试验合格后还应进行气密性试验。
而制造毒性程度为中度或轻度的容器，其要求要低得多。
又如，易燃介质压力容器的所有焊缝均应采用全熔透结构思考题1.2筒体：压力容器用以储存物料或完成化学反应所需要的主要压力空间，是压力容器的最主要的受压元件之一；封头：有效保证密封，节省材料和减少加工制造的工作量；密封装置：密封装置的可靠性很大程度上决定了压力容器能否正常、安全地运行；开孔与接管：在压力容器的筒体或者封头上开设各种大小的孔或者安装接管，以及安装压力表、液面计、安全阀、测温仪等接管开孔，是为了工艺要求和检修的需要。
支座：压力容器靠支座支承并固定在基础上。
安全附件：保证压力容器的安全使用和工艺过程的正常进行。
思考题1.3《压力容器安全技术监察规程》依据整体危害水平对压力容器进行分类，若压力容器发生事故时的危害性越高，则需要进行安全技术监督和管理的力度越大，对容器的设计、制造、检验、使用和管理的要求也越高。
《过程设备设计基础》
《过程设备设计基础》习题集樊玉光西安石油大学2007.1前言本习题集为配合过程装备与控制工程专业《过程设备设计基础》课程的教学参考用书。
本书是编者在过去多年教学经验的基础上整理编写而成，旨在帮助加深对课程中一些基本概念的理解，巩固所学的知识，提高分析和解决工程设计问题的能力，因此编写过程中力求选题广泛，突出重点，注重解题方法和工程概念的训练。
本书与《过程设备设计基础》教材中各章教学要求基本对应。
各章中包含思考题和习题。
目录第一章压力容器导言 (2)第一章思考题 (2)第二章压力容器应力分析 (3)第二章思考题 (3)第二章习题 (7)第三章压力容器材料及环境和时间对其性能的影响 (13)第三章思考题 (13)第四章压力容器设计 (14)第四章思考题 (14)第四章习题 (16)第五章储存设备 (19)第五章思考题 (19)第五章习题 (19)第一章压力容器导言1.1压力容器总体结构，1.2压力容器分类，1.3压力容器规范标准。
第一章思考题思考题1.1.压力容器主要有哪几部分组成？分别起什么作用？思考题1.2.介质的毒性程度和易燃特性对压力容器的设计、制造、使用和管理有何影响？思考题1.3.《压力容器安全技术监察规程》在确定压力容器类别时，为什么不仅要根据压力高低，还要视压力与容积的乘积pV大小进行分类？思考题1.4.《压力容器安全技术监察规程》与GB150的适用范围是否相同？为什么？思考题1.5.GB150、JB4732和JB/T4735三个标准有何不同？他们的适用范围是什么？思考题 1.6.化工容器和一般压力容器相比较有哪些异同点？为什么压力容器的安全问题特别重要？思考题1.7.从容器的安全、制造、使用等方面说明对压力容器机械设计有哪些基本要求？思考题 1.8.为什么对压力容器分类时不仅要根据压力高低，还要考虑压力乘容积PV的大小?思考题1.9.毒性为高度或极度危害介质PV＞0.2MP a·m3的低压容器应定为几类容器？思考题1.10.所谓高温容器是指哪一种情况?第二章压力容器应力分析2.1 载荷分析，2.2回转薄壳应力分析，2.3 厚壁圆筒应力分析，2.4 平板应力分析，2.5 壳体的稳定性分析，2.6 典型局部应力。
《平板应力分析》课件
电子工程
用于封装和电路板等电 子产品的强度和稳定性
分析。
平板应力分析的基
02
本原理
弹性力学基础
01
弹性力学是研究物体在外力作用下的变形和内力的学科。
02
弹性力学的基本假设是物体是线弹性的、变形是微小的，且满
足胡克定律。
弹性力学的基本方程包括平衡方程、几何方程和物理方程，用
03
于描述物体的位移、应变和应力。
人工智能和机器学习等先进技术的应用将有助于提高平板应力分析的自动化程度和 智能化水平。
对实际工程应用的指导意义
平板应力分析的应用范围不断扩大，不仅局限于传统 的机械、建筑等领域，还涉及到新能源、生物医学等
新兴领域。
通过平板应力分析的应用，可以优化平板结构的性能 ，提高产品的质量和可靠性，降低制造成本和风险。
VS
实例演示
以一个简单的平板为例，演示如何使用有 限元分析软件进行建模、加载和求解，并 展示结果的可视化效果。
结论与展望
06
平板应力分析的结论总结
平板应力分析是一种有效的数值分析方法，能 够模拟平板在不同工况下的应力分布和变形情 况。
通过平板应力分析，可以得出平板在不同方向 和不同位置的应力大小和分布规律，为优化平 板设计和改进制造工艺提供依据。
假设平板的材料是均匀、连续和 各向同性的，满足线弹性假设。
平板应力分析的步
03
骤和方法
建立数学模型
确定问题类型
根据实际需求，确定是平面应力问题还是平 面应变问题。
确定材料属性
获取平板材料的弹性模量、泊松比等物理参 数。
建立坐标系
选择合适的笛卡尔坐标系，以便于描述和计 算。
建立控制方程
过程设备设计第二章(2.4)参评
称载荷pz →圆柱坐标系r、θ 、z;
几何对称，载荷对称，约束对称 内力 → 变形 挠度 =f(r)，与θ 无关
11
过程设备设计
求解思路 取微元体 →受力分析 →建立平衡、几何、物理方程
→弯曲挠度微分方程(pz~w)→求w →求内力Mr、Mθ
→求应力σr、σθ
周向弯矩:同理可得, 单位长度上的周向弯矩为：
M
2 1 dw d w D 2 r dr dr
23
过程设备设计
式中:
D
为板的“抗弯刚度”，与圆板的几何尺寸 2 12 1 及材料性能有关。
Et
3
比较用w表示的Mr、Mθ表达式和用w表示σr、σ 得弯矩和应力的关系式为：
29
过程设备设计
1、周边固支圆平板
在支承处不允许有挠度和转角
R
p r R z a.
r R,
dw dr
0
r R,
w0
周边固支圆平板
将上述边界条件代入w表达式中，解得积分常数：
C1 C3 pR
4 2
8D
回代到w式中
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw dr w
p
12 M t t
3 r
θ
表达式,
r
z z
12 M
3
24
过程设备设计
将用w表示的Mr、Mθ表达式→代入平衡方程中，得
d w dr
3 3
1 d w r dr
2
2
1 dw r
2
Qr D
dr
《过程设备设计》课程教学方法探讨
三步法 ， 学生对这 三个应力值 之间的关 系便有 了非 常好 的理解 。 三步法的具体步骤如下 ： 第 一步 ， 确定 。简体在 内压或者外压作 用下 ， 很容 易知道 内压或外压作用于端面所 产生 的轴 向应 力 盯 ， 它是 一条均 布 于 壁厚 与 ｚ 向一致的拉应力或压应力 （ 方 此处确定 ｏ 的正负号） ｒ 。
《 过程设备设计》 过程装 备与控 制工 程专业 的核 心课 程 ， 是 涵盖 了化工容器设计 和化 工设备 设计 的主要 内容 ， 包括 压 力容 器的常规设计 、 分析设计等不 同设计 理论 ， 以及典 型的过程设 备 如塔设备 、 换热器和反应釜 的结构 、 工作原 理及设计 方法 。Ｊ 。 本课程 的特点是理论性较强 ， 内容抽 象枯燥 ， 以引起学 生 难 的 学 习兴 趣 。 。尤 其 是 压 力 容 器 应 力 分 析 部 分 ， 及 到 很 多 涉 的弹性力学 、 弹塑性 力学 的知识 ， 于工科 学生 ， 对 由于缺 乏扎 实 的力学基础 ， 再加上学时数的限制 ， 可能在课 堂上大 量补充 弹 不
（ ｏ ｅｅｏ ｅｈ ｎｃｌ ｎ ｉｅｒ ｇａｄＡ ｔｍ ｔ ｎ Ｚ ｅ ａ ｇＳ ｉ ｃ ｅｈ ｏｏｙＵ ｉｅｓｙ Ｃ ｌ ｇ ｆＭ ｃ ａｉａ Ｅ ｇｎｅ ｎ ｎ ｕｏ ａ ｏ ， ｈｊ ｎ ｃｅ ｅＴ ｃ ｎ ｌ ｎｖｒｉ ， ｌ ｉ ｉ ｉ ｎ ｇ ｔ Ｚ ｅ ａ ｇＨａｇｈ ｕ３ ０ １ ， ｈ ａ ｈｊ ｎ ｎ ｚｏ １０ ８ Ｃ ｉ ） ｉ ｎ
２ 课 堂 教 学 实例
以厚壁 圆筒应力分 析这 一节 内容 的讲授 为 例 ， 笔者 在课 堂 教学 中， 强调 三个 方程 的建立 ， 即平衡 方程 、 何方 程和 物理方 几 程的建立 ， 本省 略其中的数学推导 ， 基 直接就 力学解 总结 其 中规
压力容器应力分析平板应力分析
C1
pR2 8D
,
C3
pR 4 64 D
代入式（2-63）
得周边固支平板的 斜率和挠度方程
dw pr R 2 r 2
dr 16D
w p R 2 r 2 2 64 D
（2-64）
压力容器应力分析平板应力分析
25
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
将挠度ω对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58）， 便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：
（2-66）
26
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
周边固支圆平板下表面的应力分布，如图2-34(a)所示。
最大应力在板边缘上下表面，即 rmax34ptR22
图2-34a周边固支圆平压板力容的器弯应力曲分析应平力板应分力分布析 （板下表面） 27
2.4 .3 圆平板中的应力
2. 周边简p支圆平板
28
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
弯矩表达式：
Mr
p 3 R2
16
r2
M
p R23r213
16
（2-68）
应力表达式：
r
3 p3R2
8t2
r2
（2-69）
3 p 8t2
R23r213
压力容器应力分析平板应力分析
29
2.4 .3 圆平板中的应力
过程设备设计
不难发现，最大弯矩和相应的最大应力均在板中心 r 0 处，
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z 圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
第二章压力容器应力分析24
dw ?
dr
?
dd2rw2 ????
过程设备设计
（2-57）
17
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩Mr 和 M? 表
示成 ? 的形式。由式（2-57）可见，? r 和? ? 沿着厚度（即
?
dw ??
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
?r
?
?
z
d2 dr
w
2
??
?
?
z dw r dr
（2-55）
15
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
（3）物理方程
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力 状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
?r
?
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
8
过程设备设计
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
d?
r
r+dr
r
d?
o y
z
d?
Qr+
dQr dr
dr
P M?
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr M?
t
Qr dr
c.
P M?
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
(完整版)过程设备设计考试题2
2.1 在厚壁圆筒中，假如由内压惹起的应力与温差所惹起的热应力同时存在，下列说法正确的选项是：（D）A.内加热状况下内壁应力和外壁应力都有所恶化B.内加热状况下内壁应力和外壁应力都获得改良C.内加热状况下内壁应力有所恶化，而外壁应力获得改良D.内加热状况下内壁应力获得改良，而外壁应力有所恶化2.2 经过对最大挠度和最大应力的比较，以下对于周边固支和周边简支的圆平板说法正确的选项是：（ A ）A.周边固支的圆平板在刚度和强度双方面均优于周边简支的圆平板B.周边固支的圆平板仅在刚度方面均优于周边简支的圆平板C.周边固支的圆平板仅在强度方面均优于周边简支的圆平板D.周边简支的圆平板在刚度和强度双方面均优于周边固支的圆平板2.3 以下相关受均布外压作用圆筒的失稳状况的表达，错误的选项是：（A）A.失稳临界压力与资料折服点没关B.受均布周向外压的长圆筒的临界压力与L 没关C.很短的圆筒在受均布轴向压缩载荷时将出现对称失稳D.圆筒的形状缺点对圆筒的稳固性产生很大影响2.4 以下不属于提升厚壁圆筒折服承载能力的举措为：（D）A.增添壁厚B.采纳多层圆筒构造，对内筒施加外压C.自增强办理D.采纳剖析设计的方法2.5 以下相关不连续应力的表达，错误的为：（C）A.不连续应力是因为构造不连续惹起变形不协调造成的B.拥有局部性与自限性的特色C.其危害程度比整体薄膜应力大D.脆性资料制造的壳体对不连续应力十分敏感2.6 以下对于局部载荷说法正确的选项是：（ B ）A.对管道设施附件设置支架，会增添附件对壳体的影响B.对接收附件加设热赔偿元件，无显然意义C.压力容器制造中出现的缺点，会造成较高的局部应力D.两连结件的刚度差大小与边沿应力无显然关系2.7 外压的短圆筒，失稳时，出现的波形个数为：（C）A.两个B.四个C.大于两个D.大于四个2.8 以下对于薄壳应力剖析中应用的假定，错误的选项是：（D）A.假定壳体资料连续，平均，各向同性B.受载后的形变是弹性小变形C.壳壁各层纤维在变形后互不挤压D.壳壁各层纤维在变形后相互挤压2.9 对于薄圆平板的应力特色，以下表述错误的选项是：（B）A.板内为二向应力，切应力可予以忽视B.正应力沿板厚散布平均C.应力沿半径散布与周边支承方式相关D.最大曲折应力与（ R/t）的平方成正比2．压力容器应力剖析2.1 为降低局部应力，以下构造设计合理的是：（ABCD）A.减少两联接件的刚度差B.尽量采纳圆弧过分C.局部地区补强D.选择合理的开孔方向2.2 蒙受内压的薄椭球壳应力的大小与哪些要素相关：（ABC）A.内压的大小B.球壳的壁厚C.长短轴之比D.球壳的资料2.3 以下哪些是较常用的实验应力剖析方法：（AC）A.电测法B.差分法C.光弹性法D.损坏实验2.4 深水容器因为长久工作于水底并蒙受较大的外压，常会出现以下几种无效方式：（ ABC）A.腐化B.泄漏C.失稳D.脆性断裂2.5 不同构造组合壳的连结边沿处存在有边沿应力，边沿应力的特征有：（AC）A.局部性B.平均性C.自限性D.连续性2.6 内压作用下，以下对于单层厚壁圆筒中应力分部规律的表述正确的有：（ACD ）A.周向应力及轴向应力均为拉应力，径向应力为压应力。
07_压力容器应力分析_平板应力分析
2.4.1 概述
2.4.1 概述
（1）板与壳
[qiào]
板与壳具有相同的特征：某一方向的尺寸(厚度)较 其它两个方向的尺寸小的多。但是，板和壳的不同点在 于，其初始形状分别为平板和曲面。板壳结构是工程中 最常用的结构之一，圆平板是容器封头的形式之一。
（2）板的分类 ① 按形状分
石油化工设 备中，圆平板使 用场合较多。
互不挤压假设 － 薄板的各层纵向纤维变形前后均互 不挤压。（这样，在分析过程中可忽却薄板内的法向应力，
ϭz =0）
上述假设，又称为 Kirchoff 假设,是下面对圆薄板 进行力学分析的基础。
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 在弹性力学里，对于静不定问题，通过位移法，由 平衡方程、几何方程和物理方程，推导出以挠度位移w 为自变量的园平板弯曲变形微分方程 w f (r ) 。 （1）平衡方程 微元体的取出：一对相距 dr 的圆柱面；一对相差 dθ 的经向截面；一对圆板的上下表面（厚度为 t ）。 微元体的受力分析：微元体所受内力中，只有弯矩和 剪力；根据轴对称性，只有剪力Qr存在， Qr 对应的剪 应力为 rz ；此外，微元表面有外力 pz。 上述内力(弯矩及剪力)均为单位长度上的内力， 其单位可表示为 N· M / M和N / M， pz单位为MPa。
12M r z r 3 t 12M z 3 t
显然上式中， z
(2 59)
t 时，弯曲应力最大。 2
(2-58)式是由几何方程和物理方程得到的，将 (2-58)式代入平衡方程(2-54)式，整理得
2.4 平板应力分析
平板应力分析
t p cr D0 1.1E D 2t 0
3
适用条件： cr < tp（ ty ）
注意
（1）长圆筒临界压力与圆筒的计算长度无关 （2）长圆筒抗失稳能力与E有关，而强度上的承压能力 与σS有关 t t 3 PS 2 S ( ) Pcr 2.2 E ( ) D0 D0 用高强度钢代替低强度钢，只能提高圆筒的强度，而不 能提高其抗失稳能力 （3）对于薄壁圆筒，使长圆筒失稳的压力（Pcr）远远 小于使长圆筒屈服的压力（PS），即失稳破坏限于强度破 坏。
圆环板
思考题
试写出下图所示平板的边界条件
§2-5
壳体的稳定性分析
壳体稳定性的概念 壳体的失稳 壳体失稳的原因 壳体失稳的类型 临界压力的概念
图2-48 圆筒失稳 时出现的波纹
一、壳体的失稳
压缩屈服破坏 外压圆筒的失效形式 弹性失稳 失稳破坏 非弹性失稳
t 1.5 ) D （2） cr 1.3E 0 12 .6 MPa P L （ ） D0 ( 故属弹性失稳
1006 17800 mm 4 .4 L 6000 mm Lcr
（3）n
4
7.06 t L ( )2 ( e ) D0 D0
2.59 3
故该圆筒属短圆筒
3EJ t pcr 3 2 E R D
3
长圆筒的临界压力计算公式：
2E p cr 1 2 t D
3
对于钢质圆筒（μ=0.3）：
t p cr 2.2 E D 0
3
临界应力（临界压力在圆筒壁中引起的周向压缩应力）：
§2-4
平板应力分析
平板平面应力分析报告
平板平面应力分析报告1 问题简述Solve the plate with a hole under plane stress in figure 1 using a finite element programme.Plot the stress distribution of the line A-B and compare the results with the results from theory for the infinite plate with a hole.Figure 1 A plate with a hole subjected to stress σ2 选择程序并设定相关参数现有的有限元分析软件种类较多，而且各有侧重点，因此应当根据分析问题的需要选择合适的分析软件。
有限元软件只能对给定材料特性和几何参数的工程结构进行应力、变形等的分析，因此对上述的平板问题我们必须设定一种材料并给定a等参数的值。
2.1 选择有限元程序自从有限元这种思想诞生以来，各种各样的有限元商业软件包也应运而生。
现在比较常用的有限元分析软件包及其优缺点列于表1。
在大力推广CAD技术的今天，从自行车到航天飞机，所有的设计制造都离不开有限元分析计算，有限元技术的应用大大节省了制作原型机的费用。
综合考虑软件所分析问题的优势和缺点、软件的可得到性以及对软件的熟悉程度等因素，选择ANSYS软件分析平板的平面应力问题。
2.2 选择平板材料表1 常用的商业有限元分析软件包及其优缺点是影响比较小。
选择最常用的材料——钢材，弹性模量定为2.1×105MPa，泊松比定为0.3。
2.3 几何参数设定取a=50mm，均布压力σ=100kPa。
3 有限元建模由图1可看出结构沿x轴和y轴均对称，因此根据对称性只需根据结构的1/4进行建模。
3.1 有限元几何模型平板的有限元计算采用有限元分析软件ANSYS10.0完成。
建立平板的有限元模型的步骤为：建立几何模型、定义单元类型、实常数及材料属性、划分单元网格。
过程设备设计 第二版 (郑津洋 著) 化学工业出版社 课后答案2
V 2 rm prdr 0
代入 r xsin 和 dr sindx ，得
V
2 sin2
x
0 [ pc g(H R cot x cos)]xdx
2 sin2 [ pc g(H R cot )]x2 / 2 g cos x3 / 3
代入区域平衡方程
V V ' 2 xt sin cos
D D
……②
将②代入①，仍取 n2 1 n2 ，得到包含μ 的短圆筒最小临界压力近似计算式
2.42Et 2
pcr 4
1 2
3
LD
D/t
在几何尺寸相同的情况下，三个承受周向外压短圆筒的临界压力分别为
pcr钢
2.42 2105 4 1 0.32 3
t2 LD D / t
5.19 105 t 2 LD D / t
性能无关。
计算题 2.3
解：据 R.V.Southwell 提出的短圆筒临界压力简化计算公式：
pcr
Et R
R / nL4
n2 1
12
t2 1 2
n2 1
……①
令 dpcr 0 ，并取 n2 1 n2 ，可得与最小临界压力相应的波数 dn
7.40 1 2
n 4
L 2 t
ws max
5 pR4 1 64D
5 0.3 0.8 9.81.5103 106 1 0.3 64 3956000
7504
＝59.92 mm
由于板中心的最大挠度与板厚的三次方成反比，即，wms ax
1 t3
。若要将最大挠度控制
在 3mm 以下，则有：
t 6
3
5
9. 3
9
2、压力容器应力分析
矩理论，必须采用有力矩理论。
26
无力矩理论应用条件
压力容器应力分析
（1）壳体的厚度、中面曲率和载荷均应连续、没有突变， 材料物理性能相同
（2）壳体的边界处不受横向剪力、弯矩和扭矩作用
（3）壳体的边界处的约束沿经线的切向方向，不得限制边 界处的转角与挠度。
实际中同时满足这三个条件非常困难，即理想的无矩 状态并不存在。应对的方法是按无力矩理论计算壳体应力， 同时对弯矩较大的区域再用有力矩理论修正。
（圆柱壳的边缘应力σx、σθ） 一般回转壳受边缘功和边缘功矩作用的弯曲解 （一般回转壳的边缘应力） 组合壳不连续应力的计算举例
一般了解
（组合壳边缘应力的计算举例）
30
边缘应力的特性
压力容器应力分析
1、局部性——边缘应力只存在于不同几何形状壳体的连 接处附近，影响范围很小。
当x 2.5 R（R、δ为壳
一次应力——按无矩理论计算的径向应力σφ与环向应 力σθ，又称为薄膜应力。
二次应力——不连续应力，又称为边缘应力、
如果将薄膜应力和边缘应力一并考虑，会使计算过程很 复杂，可将其分开计算，用无矩理论计算薄膜应力，用有矩 理论计算边缘应力，然后将它们叠加。
29
压力容器应力分析
圆柱壳受边缘和边缘力矩作用的弯曲解
22 22
则： Nφ dφ+Nθdθ=pdA，将前式代入：
σφtR2dφdθ+σθtR1dφdθ=pR1R2dφdθ，
σφtR2+σθrR1=pR1R2，各项除以R1R2t：
p ——微元平衡方程，即拉普拉斯方程
R1 R2 t
12
压力容器应力分析
13
区域平衡方程
压力容器应力分析
《平板应力分析》课件
概述
有限差分法是一种将偏 微分方程离散化为差分
方程的方法。
应用领域
主要应用于解决偏微分 方程的问题，如热传导
方程、波动方程等。
优点
简单直观，易于编程实 现。
缺点
对不规则区域的处理较 为困难。
边界元法
01
02
03
04
概述
边界元法是一种只需求解边界 积分方程的方法。
应用领域
常用于解决二维和三维的弹性 力学、流体力学等问题。
案例二：复杂平板的应力分析
总结词
针对复杂受力情况下 的平板进行应力分析 ，考虑多种因素。
受力分析
对复杂受力情况下的 平板进行受力分析， 考虑多种力的作用， 如弯曲力、剪切力等 。
建立复杂模型
根据受力分析结果， 建立更为复杂的力学 模型，如多梁模型或 有限元模型。
计算应力
根据平板的复杂结构 和材料的特性，进行 详细的应力计算。
02
平板应力计算方法
有限元法
概述
有限元法是一种将连续的求解 域离散为有限个小的、互相关 联的子域（即“有限元”）的
方法。
应用领域
广泛应用于结构力学、流体力 学、电磁场等领域。
优点
可以处理复杂的几何形状和边 界条件，能适应各种不同的材 料属性和载荷条件。
缺点
计算量大，对计算机资源要求 较高。
有限差分法
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
平板应力分析的步骤
建立模型
确定模型尺寸和形状
根据实际问题的需求，选择合适的模型尺寸和形状，以便更好地 模拟实际情况。
确定材料属性
2.1-2应力的概念(应力分析的目的)
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.4 无力矩理论的应用（续）
过程设备设计
d. 椭球形壳体
图2-8 椭球壳体的尺寸
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.4 无力矩理论的应用（续） 式（2-5）（2-6） R1和R2
过程设备设计
推导思路： 椭圆曲线方程
sq , sj
2 2 2
pR2 p a x (a b ) sj 2t 2t b
●2.1 载荷分析 2.1.1 载荷 2.1.2 载荷工况 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5 薄壳圆筒的应力 回转薄壳的无力矩理论 无力矩理论的基本方程 无力矩理论的应用 回转薄壳的不连续分析
●2.2 回转薄壳应力分析
●2.3 厚壁圆筒应力分析 ●2.4 平板应力分析
●2.5 壳体的稳定性分析 ●2.6 典型局部应力
dl1 R1dj
dl2 rdq
微元体abdc的面积：
压力载荷：
dA R1rdjdq
） N j（ = s j t ）
p p(j )
（=s q t ）
微元截面上内力：
Nq
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.3 无力矩理论的基本方程（续）
过程设备设计
二、微元平衡方程（图2-5） 目标 经向方向上的力在法线上的投影
4
1
2
p a 4 x 2 (a 2 b 2 ) sq 2t b
1
（2-10）
2
a4 2 4 a x 2 (a 2 b 2 )
又称胡金伯格方程
2.2 回转薄壳应力分析
2.2.4 无力矩理论的应用（续）
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2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
过程设备设计
分析模型
半径R，厚度t的圆平板 受轴对称载荷Pz
在r、θ、z圆柱坐标系中 内力：Mr、Mθ、Qr 三个内力分量
轴对称性
几何对称，载荷对称，约束对称，
在r、θ、z圆柱坐标系中
挠度 w 只是 r 的函数，而与θ无关。
10
2.4 平板应力分析
内力分量及微元体受力
P
dQ
2.4 s平in 板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯z 曲微分方程（续）
P
（1）平衡方程
Mθ
过程设备设计
Qr+
dQr dr
dr
r
微体内力与外力对圆柱面
dθ
Mr
Mr+
dMr dr
dr
切线T的力矩代数和为零，
o
即ΣMT=0
Qr
Mθ
(d)
T
图2-29 圆平板d对.称弯曲时的
内力分量及微元体受力
反应器触媒床支承板等。
4
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
（1）平板的几何特征及平板分类 中面是一平面
几何特征 厚度小于其它
分类
方向的尺寸
过程设备设计
厚板与薄板 大挠度板和小挠度板
图2-27 平板载荷和扰度关系曲线
t/b≤1/5时， w/t≤1/5时， 按小挠度薄板计算
o
x
yz
图2-28 薄板
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何、物理方程
过程设备设计
微元体：
用半径为r和r+dr的 两个圆柱面和夹角为 dθ的两个径向截面截 出板上一微元体如图2 －29（a）、（b）
R
dθ
r
r+dr
(b) 图2-29 圆平板对称弯曲时的
内力分量及微元体11受力
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
M
r
+
dM r dr
dr (r
+ dr)dθ − M r rdθ − 2Mθ dr sin
又 sin dθ = dθ
dθ
2
+ Qr rdθdr
+
pz rdθdr
dr 2
=
Hale Waihona Puke 022Mr
+
dMr dr
r
− Mθ
+Qrr
=
0
（2-54）
圆平板在轴对称载荷下的平衡方程 13
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
2.4 平板应力分析
2.4 平板应力分析
过程设备设计
教学重点： （1）圆平板对称弯曲微分方程； （2）承受均布载荷时圆平板中的应力。
教学难点： 圆平板对称弯曲微分方程的推导。
3
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述
过程设备设计
应用
平封头：常压容器、高压容器； 储槽底板：可以是各种形状； 换热器管板：薄管板、厚管板； 板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；
变形，只有沿中面法线ωw的挠度 。
只有横向力载荷
②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同 一法线上，且法线上各点间的距离不变。
类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的横截面变形后仍 保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。
③平行于中面的各层材料互不挤压，即板内垂直于板面的正应 力较小，可忽略不计。
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （3）物理方程
过程设备设计
根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点均处于两向应力
状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为
σr
=
1
E
−µ
2
(ε r
+ µεθ
)
σθ
=
1
E
−µ
2
(εθ
+ µε r )
（2-56）
16
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续） （4）圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程 2-55代入2-56式：
（2）几何方程
W~ε
r dr
m
m1
取 AB = dr
径向截面上与
中面相距为z，
zA
B
z
n n1
a.
ϕ
半径为 r 与 r + dr
dϕ
两点A与B构成的微段
过程设备设计
r
图2－30 圆平板对称弯曲的变形b关. 系
wm zA
m1 B
n n1
r dw
z
ϕ ϕ +dϕ
14
2.4 平板应力分析 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程（续）
过程设备设计
挠度微分方程的建立：基于平衡、几何和物理方程
微元体内力
径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr 周向：Mθ、 Mθ
横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr
微元体外力
Qr+
dQr dr
dr
上表面
P Mθ
Mr+
dMr dr
dr
r
P=prdθdr
Mr Mθ
t
dθ o
z
Qr dr
y
图2-29
圆平c板(.c)对称弯曲时的 12
过程设备设计
σr
=
−1−Eµz 2
d2w dr2
+
第二章 压力容器应力分析 CHAPTER Ⅱ
STRESS ANALYSIS OF PRESSURE VESSELS
第四节 平板应力分析
1
2.4 平板应力分析
主要内容
过程设备设计
2.4.1 概述 2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程 2.4.3 圆平板中的应力 2.4.4 承受对称载荷时环板中的应力
2
5
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
（2）载荷与内力 平面载荷 （作用于板中面内的载荷）
载荷 横向载荷 （垂直于板中面的载荷） 复合载荷
过程设备设计
内力
薄 膜 力—— 中面内的拉、压力和面内剪力， 并产生面内变形
弯曲内力—— 弯矩、扭矩和横向剪力， 且产生弯扭变形
6
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
8
2.4 平板应力分析
2.4.2 圆平板对称弯曲微分方程
过程设备设计
分析模型
pz
t/2 t/2
z
a.
R
dθ
r
r dθ
o y
z
dθ
Qr+
dQr dr
dr
P Mθ
Mr+
dMr dr
dr
r
Mr Mθ
t
Qr dr
c.
P Mθ
Qr+
dQr dr
dr
r
Mr
Mr+
dMr dr
dr
r+dr
o
Qr
Mθ
T
b.
d.
图2-29 圆平板对称弯曲时的内力分量及微元体受力 9
过程设备设计
◆当变形很大时，面内载荷也会产生弯曲内力，而弯曲 载荷也会产生面内力，所以，大挠度分析要比小挠度 分析复杂的多
◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论
7
2.4 平板应力分析
2.4.1 概述（续）
过程设备设计
弹性薄板的小挠度理论建立基本假设---克希霍夫Kirchhoff
① 板弯曲时其中面保持中性，即板中面内各点无伸缩和剪切
板变形后： 微段的径向应变为
εr
=
z(ϕ
+
dϕ ) −
dr
zϕ
=
z
dϕ
dr
过A点的周向应变为
εθ
=
2π (r + zϕ ) − 2πr
2πr
=
zϕ
r
作为小挠度 ϕ = − dw
dr
，带入以上两式，
过程设备设计
应变与挠度关系 的几何方程
εr
=
−z
d 2w dr 2
εθ
=−z r
dw dr
（2-55）
15