工力学课件 08第八章圆轴的扭转

最大扭矩在AB段，且
T = 3280N m
11
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
+ 向 按右手法确定
T图
T /kN·m
C B
1.64
2.18 AD 3.28
简捷画法：
M A = 5460N m M B = MC = 1640N m M D = 2180N m
12
讨论：试作扭矩图
M A 40kN·m 10kN·m10kN·m o
3) 计算扭转角AC
= AC
TAB l AB + T BC lBC
GIPAB
GIPBC
= 0 .183 rad
31
习题：P191-195 思考题: 8.2，8.3 习 题：8.1(b)(c)，8.2
以平行于杆轴线的坐标x表示截面的位置，以垂 直于x轴的坐标表示截面扭矩值，即得到扭矩图。
8
简捷画法：
T 图 10kN m 10kN m
FN图（轴力）
2kN 8kN
5kN
o
x
A
C B 20kN m
5kN 2kN 8kN
5kN
+ 向 按右手法确定
+向
T / kN m
20
5kN
3kN
10
+
FN 图
- 5kN
x
10kN·m 10kN·m 40kN·m 20kN·m A
B
CD
o
x
A BC D
+ 向 按右手法确定
求反力偶： M A = 20kN m + 向 按右手法确定
T / kN m
20 10
T图
T / kN m
20
T图
A
B
C
D
20
A
B
C
D
10
20
13
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8.3 圆轴扭转时的应力与变形
变形体静力学的基本研究思路：
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例 8.2 扭矩、扭矩图 8.3 圆轴扭转时的应力与变形 8.4 圆轴扭转的强度条件和刚度条件 8.5 静不定问题
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8.1 扭转的概念与实例
工程构件分类:
杆
杆的基本变形:
板
块体
y x
z
轴向拉压
扭转
弯曲
2
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问题讨论4：铰接正方形框架，各杆EA均相同，
T/GIρ=const. , 故有： AB = T L / GIρ
GI ρ 称为抗扭刚度，反映轴抵抗变形的能力。
若扭矩、材料，截面尺寸改变，则需分段求解。 29
例2. 空心圆轴如图，已知MA=150N·m，MB=50N·m MC=100N·m，材料G=80GPa， 试求（1）轴内的最大切应力； （2）C截面相对A截面的扭转角。
且 []压=[]拉, AC杆比名义长度短d, 要强迫装配。
试设计杆的截面积A和销钉的尺寸。
解：研究A点平衡，有平衡方程： FAB=FAD (FCD=FCB ) 2FABcos45=-FAC ;
dD
a
A
C
研究B点平衡，有：
FBD=-2FABcos45； FBD=FAC；
变形协调条件：uA+uC+DLAC= d
T
o
o
o
o
T
T
T
25
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
研究两横截面相距dx的任一A处单位厚度微元，左 右两边为横截面，上下两边为过轴线的径向面。
剪应力互等定理：
物体内任一点处 两相互垂直的截面上 ，切应力总是同时存 在的，它们大小相等 ，方向是共同指向或 背离两截面的交线。
T
T
A
dx
′
A dy
C
′
dx
A的平衡？
SMC(F)=dxdy-dydx=0 =
26
8.3.3 扭转圆轴任一点的应力状态
纯切应力状态: 微元各面只有切应力作用。
A
′
A dy
C
′
dx
45斜截面上的应力：
Leabharlann Baidu
45 45 45
C dx
纯切应力
状态等价于转 过45后微元的 二向等值拉压 应力状态。
一dx些+(脆45性dx材/co料s4(5例)c如os4粉5笔+(、45铸dx铁/co等s4)5承)s受in4扭5转=0 作dx用-(时45发dx/生co沿s45轴)s线in4455+方(向45d的x/破cos坏45，)c就os4是5由=0 此解拉得：应力45控=-制；的4。5=0。还有：-45=； -45=0
Fbs/ Abs=FAC/t2d[bs];
d? t1? t2?
B
t1 d t2
FCD
FCB FCB
CF
FS
C
4
第八章 圆轴的扭转
8.1 扭转的概念与实例
研究对象： 圆截面直杆
y
Mo
受力特点：
作用在垂直于轴线的不 同平面内的外力偶，且 满足平衡方程:
SMx=0
z
变形前
fAB x
传动轴
Mo 汽车转变向形后轴
8.3.2 圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
极惯性矩: Iρ = r 2dA
dA
dr
A
抗扭截面模量 WT =Iρ /r
r
o
讨论内径d，外径D的空心圆
截面，取微面积
dA=2rdr, 则有：
d D
极惯 性矩
a=d/D
I ρ
=
2
D/2
r 3dr
d/2
=
(D4 32
d
4)
=
D 4 32
(1 - a
4)
抗扭截面模量： WT =Iρ /( D / 2) = D 3(1-a 4 ) / 16
T
r
A
C
g
d
C O
Bg
D d r
D
dx
g是微元的直角改变量，即 半径r各处的剪应变。因为
CC= gdx=rd , 故有：
g = rd / dx
d /dx ,称为单位扭转角。
对半径为r的其它各处，可
作类似的分析。
15
1. 变形几何条件
T
A gr B gr
rr
C
d
C O D
D
dx
对半径为r的其它各处，
变形特征：相对扭转角 fAB
圆轴各横截面将绕其轴线发生相对转动。
5
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8.2 扭矩与扭矩图
Mo
Mo
T
取左边部分
Mo 假想切面
外力偶
扭矩
横截面上的内力：扭矩T。
平衡 Mo
由平衡方程：
T = Mo =T
取右边部分 T
T 和T 是同一截面上的内力， 扭矩
外力偶
应当有相同的大小和正负。
6
平衡
扭矩的符号规定：
GA
d
dx
B
r 2CdA = T r
gA
df
g
d
/dDxC=d fT
O
r/ GIP
ys
---(2) O 11GG g
ma
---(3) x r r
or T
---(5)
圆轴扭转切应力公式：
r
=
T•Dr
Iρ
---(4)
I矩ρW称，T =为只Iρ截与/求r面截，对I面称ρ，圆几为心何抗W的相扭T 极关截? 惯。面性模量。dxmamx在ax =圆T轴r /表Ir面= 处T /，W21且T
ys
G是-g曲线的斜率，如图，
称为切变模量。
半径为r处的切应力则为：
r
= Ggr
= Gr
d
dx
GG
11
O
g
圆轴扭转时 无正应力
17
讨论：圆轴扭转时横截面上的切应力分布
max
r
T
r
rr
A
gr
o
r
C
d
C
O
B gr
DTD
最大切应力在圆轴 表面处。dx
r
= Ggr
= Gr d
dx
--(3)
圆轴几何及MT给定，d/dx为
解: 1) 画扭矩图。
MA f18 MB
MC
f24 f22
2) 计算各段应力:
AB段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B 1000 C
max1
=
T1 WT1
=
T1 D13 [1 -
d
]
16
D1
T /N·m
150
150103 16
A
=
243 [1-
(18
/
24)4
=
]
80.8MPa
100
B
C
30
2） 截面任一处
r=T•r/Iρ
截面外圆周处（表面）
max=T/WT
实 心
max r
圆
oT
轴
D
max
空
T
r
心
圆
o
轴
d
D
24
讨论：
1）已知二轴长度及所受外力矩完全相同。若二轴截 面尺寸不同，其扭矩图相同否? 相同 若二轴材料不同、截面尺寸相同， 各段应力是否相同？相同 变形是否相同？ 不同
2）下列圆轴扭转的切应力分布图是否正确?
静力平衡条件 + 变形几何条件 + 材料物理关系
8.3.1
1. 变形几何条件
变形前 变形后
刚性平面假设： 变形前后，扭转圆轴各 个横截面仍然保持为平 面，二平面间距离不变 ，其半径仍然保持为直 线且半径大小不变。
14
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1. 变形几何条件
取长为dx的微段研究，在扭矩作用下，右端面刚性
转动角d，原来的方形ABCD变成为菱形ABCD。
常数；G是材料常数。
截面上任一点的切应力与该点
到轴心的距离r成正比；
切应变在ABCD面内，故切应 力与半径垂直，指向由截面扭 矩方向确定。
18
3. 力的平衡关系
r
= Ggr
= Gr
d
dx
--(3)
应力是内力(扭矩)在微截面上的分布集度。各微截 面上内力对轴心之矩的和应与截面扭矩相等。
max
r
dA
r
A
B
C
在左端取参考正向，按载荷大小画水平线；遇集 中载荷作用则内力相应增减；至右端回到零。
9
例 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮的输入功 率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。
解：由功率－转速关 系计算外力偶矩
max r r
or T
max在圆轴表面处，且
max = Tr / Ir = T / WT
W
T
=Iρ
/r，称为抗
扭截面模量。
20
回顾： 研究思路：
T r
A
g
C df
变形几何条件
g = rd /dx
---(1)
B
g
D C d
O r
fD
dx
+
材料物理关系
r
=
Ggr
= Gr
d
dTx
+ 静力平衡关系
且由(3) 可得单位 扭转角为：
o
r
T
取微面积如图，有：
r rdA = T
A
利用(3)式，得到：
G d r 2dA = T
dx A
19
3. 力的平衡关系
令：
Ir = r 2dA
A
最后得到：
r
=
Gr
d
dx
=
Tr
Ir
--(4)
Iρ 称为截面对圆心的极惯性 矩，只与截面几何相关。
求Iρ，WT ?
G d r 2dA = T
dx A
且 []压=[]拉, AC杆比名义长度短d, 要强迫装配。
试设计杆的截面积A和销钉的尺寸。
求出内力且知：
dD
a
FAB=FAD ； FCD=FCB； FBD= FAC； A
C
设计销钉的尺寸?（以销C为例）
剪切： FS/A=FCB/(d2 /4 )[]; 挤压： Fbs/ Abs=FCB/t1d[bs];
Mo
T
正
Mo
T
负
按右手螺旋 法则确定扭 矩的矢量方 向，扭矩矢 量的指向与 截面的外法 线方向一致 者为正，反 之为负。
7
扭矩图：
10kN m 10kN m
AB段：10kN m
o
x
A
C B 20kN m
TAB
T / kN m
20
BC段：TBC TAB = 10kN m
10
A
B
C
MBC = 20kN m 20kN m
27
低碳钢
铸铁
为什么脆性材料扭转时沿45º螺 旋面断开？
28
8.3.4 圆轴的扭转变形 单位扭转角为：
d / dx = T / GIr
相对扭转角 ：B截面相对于 AB
A截面的扭转角。若AB=L，则
T
g
AA
C
ABrB
g
d
T
Bg
DLCd O
AB =
d
DL
=
T
dx
dx 0 GIρ
若AB间扭矩不变，材料不变，截面尺寸不变，则
FAD
d/2
B
D
FAB
FBD
水平位移 uA=DLAD/cos45=uC;
A
FAC
A FAB
B FBCC
-e关系： =Ee
uA
DLAC /2
uC
DLAC=FACLAC/EA; DLAD=FADLAD/EA
强度条件：AFAC/[]拉； (FACFAB=FAD)
3
问题讨论4：铰接正方形框架，各杆EA均相同，
22
圆截面的极惯性矩和抗扭截面模量
空 心 圆 轴
极惯 性矩
抗扭截 面模量
实
心
o
圆
o
d
轴
D
D
II
ρ r
==
DD44
3322
(1(1--aa4
)4
)
a=d/D=0
Iρ
= D4
32
WT
= D3 ( 1- a 4)
16
WT
= D3 16
23
结论：
1）圆轴扭转时，横截面上只有切应力，切应力在横 截面上线性分布，垂直于半径，指向由扭矩的转 向确定。
作类似的分析。 同样有：
CC= gdx=rd
即得变形几何条件为：
g = rd / dx --(1)
切应变g的大小与半径r
成正比。与单位扭转角
d /dx成正比。
16
2. 物理关系— 材料的应力-应变关系
材料的切应力与切应变之间有与拉压类似的关系。
在线性弹性范围内，剪切胡克定律为：
= Gg --(2)
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
M
A
=
9.55
PA n
= 9.55 400 = 5.46kN m 700
MB
=
MC
= 9.55
PB n
= 9.55 120 700
= 1.64kN m
MD
= 9.55 PD n
= 9.55 160 700
= 2.18kN m
10
MB MC
MA
MD
B
C
A
D
MB T1
B
T3 MD
MB MC T2
D
B
C
T /kN·m
C B
1.64
T图
2.18 AD 3.28
M A = 5.46kN m M B = MC = 1.64kN m M D = 2.18kN m
求各截面内力：
BC段 T1 = -1.64kN m
CA段 T2 = -3.28kN m
AD段 T3 = 2.18kN m
2) 计算各段应力:
MA f18 MB
MC
f24 f22
BC段： N-mm-MPa单位制
A
1000 B
max 2
=
T2 WT 2
=
T2 D23 [1 -
d
]
16
D2
T /N·m
150
C
1000 100
=
100103 16 223 [1- (18 / 22)4 ]
=
86.7MPa
A
B
C
故 max=86.7MPa