九年级数学二次根式2

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九年级数学二次根式知识点

九年级数学二次根式知识点（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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初三数学二次根式知识点学习讲解

初三数学二次根式一、学习目标1.二次根式的定义、最简二次根式、同类二次根式；2.二次根式的运算。

二、知识点讲解二次根式定义一般地，形如√a的代数式叫做二次根式，其中，a 叫做被开方数。

当a≥0时，√a表示a的算术平方根；当a小于0时，√a的值为纯虚数（在一元二次方程求根公式中，若根号下为负数，则方程有两个共轭虚根）。

注意被开方数可以是数，也可以是代数式。

被开方数为正或0的，其平方根为实数；被开方数为负的，其平方根为虚数。

二次根式的判断方法根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。

性质1. 任何一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。

如正数a的算术平方根是，则a的另一个平方根为﹣；最简形式中被开方数不能有分母存在。

2. 零的平方根是零；3. 负数的平方根也有两个，它们是共轭的。

如负数a的平方根是±i。

4. 有理化根式：如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式，那么这两个代数式互为有理化根式，也称互为有理化因式。

5. 无理数可用连分数形式表示。

6. 当a≥0时，（）22；（）2与2中a取值范围是整个复平面。

7. （）2=a任何一个数都可以写成一个数的平方的形式；利用此性质可以进行因式分解。

8. 逆用可将根号外的非负因式移到括号内。

算术平方根非负数的平方根统称为算术平方根，用（a≥0）来表示。

负数没有算术平方根，0的算术平方根为0。

有理化因式两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式。

有理化因式注意①他们必须是成对出现的两个代数式；②这两个代数式都含有二次根式；③这两个代数式的积化简后不再含有二次根式；④一个二次根式可以与几个二次根式互为有理化因式。

分母有理化在分母含有根号的式子中，把分母的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化即将分母从非有理数转化为有理数的过程最简二次根式①被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；②被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式。

初中数学二次根式基础知识点(共6篇)

初中数学二次根式根底知识点〔共6篇〕篇1：初中数学二次根式根底知识点 1.二次根式概念：式子a(a≥0)叫做二次根式。

2.最简二次根式：必须同时满足以下条件：3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，假设被开方数一样，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

4.二次根式的_质：a(a0)22(1)(a)=a(a≥0);(2)aa0(a=0);5.二次根式的运算：a(a0)(1)因式的外移和内移：假如被开方数中有的因式可以开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面;假如被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面.(2)二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式.(3)二次根式的乘除法：二次根式相乘(除)，将被开方数相乘(除)，所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式单项式和多项式统称为整式。

1.单项式：1)数与字母的乘积这样的代数式叫做单项式。

单独的一个数或字母(可以是两个数字或字母相乘)也是单项式。

2)单项式的系数：单项式中的数字因数及_质符号叫做单项式的系数。

3)单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

2.多项式：1)几个单项式的和叫做多项式。

在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。

一个多项式有几项就叫做几项式。

2)多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。

3.多项式的排列：1).把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母降幂排列。

2).把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列。

由于单项式的项，包括它前面的_质符号，因此在排列时，仍需把每一项的_质符号看作是这一项的一局部，一起挪动初中数学一元二次方程常见考法1.考察一元二次方程的根与系数的关系(韦达定理)：这类题目有着解题规律性强的特点，题目设置会很灵敏，所以一直很吸引命题者。

初中数学华东师大九年级上册第21章二次根式华师大版九上2 二次根式的意义教案

教学反思
【教学方法】启发式
实施教学过程设计
【教学过程】复习提问:
1、什么叫代数式？举出代数式的例子。
2、是一个数吗？是一个有理数？是一个实数？
【新课讲解】
在前一章中，我们已经遇到过，，这样的式子，知道符号“ ”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。因为在实数范围内，负数没有平方根。所以被开方数只能是正数或0，也就是说，被开方数只能是非负数。
科目
数学
年级
班级
时间
课题：二次根式的意义
教学目标
1、使学生通过本章的引言了解学习的必要性，了解二次根式的概念，能根据二次根式的概念，求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
教材分析
【教学重点】会求出二次根号下的一次式中字母的取值范围。
【教学难点】理解二次根式的概念。
一般的，式子 ( a≥0 )叫做二次根式。
由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须被开方数大于等于0。
从形式上看，二次根式必须具备以下两个条件：
( 1 )必须有二次根号；
( 2 )被开方数不能小于0。
例1：x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
解：由x－２≥0，得x≥２
当x≥２时，式子在实数范围内有意义。
课堂练习：第5页练习1、2、3
补充例题：
例：x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？
( 1 ) ( 2 )
解：( 1 )由 ≥0，解得：x取任意实数
∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义。
( 2 )由x－1≥0，且x－1≠0解得：x＞1
∴当x＞1时，二次根式在实数范围内都有意义。
课堂练习：
取什么实数时，下列各式有意义.

二次根式初中数学原创课件

当a ≥ -1 时， + 在实
（3）
−

数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
解：（2）由
（1） +
（2）
（3）

−
−

>0，得
−
a＜

当a ＜

时，

.

在实
−
数范围内有意义.
例题学习1
例1
求下列二次根式中字母 a 的取值范围：
用（a ≥0）表示.
平方根的性质：
① 正数有两个平方根且互为相反数；
② 0 有一个平方根就是0本身；
③ 负数没有平方根.
1. 16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？
2. 0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？
3. -7有没有平方根？有没有算术平方根？
新知探索
表示什么？
表示非负数a的算术平方根.
解：（3）当a 为任意实数
（1） +
时，都有 (a -3)2 ≥0.
（2）
（3）

−
−
当a为任意实数时，

− 都有意义.
跟踪练习1
1. 求下列二次根式中字母 x 的取值范围：
（1）
（2）

（3） −
解：（1） x为任意实数.
（2） x >0.
（3） x≤0.
故a的值为1.
3. 若(2x+4y)2+
− =0, 求4x - y 的值.
解：因为 (2x+4y)2 ≥ 0，
− ≥ 0，它们和为0，

(完整)九年级上册数学《二次根式》知识点整理,推荐文档

d<R-r
d
R
r
图1
d
R
r
图2
d
R
r
图3
图5
四垂径定理: 垂径定理：垂直于
弦的直径平分弦且平分弦所对的弧
推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
二次根式
一、本节学习指导
学习二次根式时，我们把平方根的知识顺带巩固一下。这就是系统性学习，这样学习的好处是把零碎的知识可以系统起来。本节中我们要对二次根式有意义的条件要掌握。
二、知识要点 1、二次根式的概念：形如 a （a≥0）的式子叫做二次根式。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但
x b 1 9 1 3
2a
4
4
x1
1,
x2
1 2
4、因式分解法
方法：将式子左边进行因式分解，右边为 0
加速度学习网我的学习也要加速
例: 2x2 10x x 10
解 : 2x(x 10) (x 10) 0
(x 10)(2x 1) 0
x 10 0或2x 1 0
x1
10,
x2
5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都
相等的一条直线
三位置关系：
1 点与圆的位置关系:
点在圆内
d<r
点 C 在圆内
点在圆上
d=r
点 B 在圆上
点在此圆外
d>r
点 A 在圆外

华师版九年级上册数学第21章二次根式二次根式

2
a
是先开方后平方；③运算结果不同：a＝2 |a|＝ Nhomakorabea2
a
联系：与均为a非a负 0数 ,，且当2a≥0时，
a
a
0
,
a a.
2
a2 a
a2
2
a2 a
感悟新知
知3－练
1．若实数 a，b 满足|a＋1|＋ b－2＝0，则 a＋b＝ ____1____.
课堂小结
2
a
a2
a2
课后作业
作业1 必做:请完成教材课后习题补充:
∴x＞.
1
3x 7 7
3
1 3x
7
0,
3x 7 0,
知2－练
感悟新知
（3）欲使有x意义2 ，5 x
则必有 ∴2≤x≤5.
x 2 0, 5 x 0,
（4）欲使有意义，
则必有∴x≥－x 4且4 x≠2. x2
x 4 0,
x
2
0,
知2－练
感悟新知
方法归纳: 求含有字母的式子有意义的字母取值范围的方法：
感悟新知
知2－练
1．式子 x－1在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是( C )
A．x>0
B．x≥－1
C．x≥1
D．x≤1
感悟新知
知2－练
2．已知 y＝ x－4＋ 4－x＋3，则xy的值为( C )
A.43
B．－43
C.34
D．－34
感悟新知
知识点 3 二次根式的性质：( a)2 a, a2 a
达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是：
其中g为重力加速度，R为地v 球半gR径, ．

九年级数学二次根式的运算人教新课标

二次根式的运算一、目标认知(1)理解二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质及二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质，并能利用它们进行计算和化简；(2)了解最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简；(3)理解同类二次根式的概念和二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根式加减运算；(4)会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算.(1)理解，及利用它们进行计算和化简；(2)理解，及利用它们进行计算和化简；(3)最简二次根式的运用；(4)合并同类二次根式；(5)二次根式的混合运算.(1)发现规律，归纳出二次根式的乘除法则；(2)会判定一个二次根式是否是最简二次根式，及二次根式的化简．二、知识要点梳理知识点一：二次根式的乘法法则：，即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.要点诠释：(1)在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数)(2)该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：(3)若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.知识点二、积的算术平方根的性质，即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.要点诠释：(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.知识点三、二次根式的除法法则：，即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.要点诠释：(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值X围应特别注意，其中，因为b在分母上，故b不能为0.(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、商的算术平方根的性质，即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.要点诠释：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式.要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数2，即每个因数或因式从次数只能为1次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根号下的代分数或绝对值大于1的数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解；(3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号；(6)约分.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似)要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并.知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释：(1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几个非同类最简二次根式之和或差，或是有理式.三、规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：；；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.四、经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算(1)×；(2)×；(3)×；(4)×.思路点拨：直接利用计算即可．解：(1)×=；(2)×==；(3)×==9；(4)×==.2、计算：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用便可直接得出答案．解：(1)===2；(2)==×2=2；(3)===2；(4)===2.3、化简(1)；(2)；(3)；(4)；(5).思路点拨：利用直接化简即可．解：(1)=×=3×4=12；(2)=×=4×9=36；(3)=×=9×10=90；(4)=×=××=3xy；(5)==×=3.举一反三【变式1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1)；(2)×=4××=4×=4=8.解：(1)不正确．改正：=＝×=2×3=6；(2)不正确．改正：×=×===＝4.4、化简：(1)；(2)；(3)；(4).思路点拨：直接利用就可以达到化简之目的．解：(1)=；(2)=；(3)=；(4)=.举一反三【变式1】已知，且x为偶数，求(1+x)的值．思路点拨：式子=，只有a≥0，b＞0时才能成立．因此得到9-x≥0且x-6＞0，即6＜x≤9，又因为x为偶数，所以x=8．解：由题意得，即∴6＜x≤9，∵x为偶数，∴x=8∴原式=(1+x)=(1+x)=(1+x)=∴当x=8时，原式的值==6．5、计算(1)·(-)÷(m＞0，n＞0)；(2)-3÷()×(a＞0).解：(1)原式=-÷=-==-；(2)原式=-2=-2=- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是？请说明理由.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解：和都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母；和的被开方数中都含有分母；和的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象这样的式子，带有很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a、b的值是( )A.a=2，b=1B.a=1，b=2C.a=1，b=-1D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得解之，得，故选D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式1】下列根式中，能够与合并的是( )A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解：合并，故选B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式2】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；•事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简成|b|·，才由同类二次根式的定义得3a-b=•2，2a-b+6=4a+3b．解：首先把根式化为最简二次根式：==|b|·由题意得，∴，∴a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1)+(2)-思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并．解：(1)+=2+3=(2+3)=5(2)-=4-8=(4-8)=-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三【变式1】计算(1)3-9+3；(2)(+)+(-)；(3)；(4).解：(1)3-9+3=12-3+6=(12-3+6)=15；(2)(+)+(-)=++-=4+2+2-=6 +；(3)(4)【变式2】已知≈2.236，求(-)-(+)的值．(结果精确到0.01) 解：原式=4---=≈×≈0.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)(+)×；(2)(4-3)÷2.思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，•所以直接可用整式的运算规律．解：(1)(+)×=×+×=+=3+2；(2)(4-3)÷2=4÷2-3÷2=2-.11、计算(1)(+6)(3-)；(2)(+)(-).思路点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立．解：(1)(+6)(3-)=3-()2+18-6=13-3；(2)(+)(-)=()2-()2=10-7=3.类型六、化简求值12、已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求(+y2)-(x2-5x)的值．思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1)2+(y-3)2=0，即x=，y=3．其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，•再合并同类二次根式，最后代入求值．解：4x2+y2-4x-6y+10=04x2-4x+1+y2-6y+9=0∴(2x-1)2+(y-3)2=0∴x=，y=3原式=+y2-x2+5x=2x+-x+5=x+6当x=，y=3时，原式=×+6=+3.举一反三【变式1】先化简，再求值．(6x+)-(4y+)，其中x=，y=27．解：原式=6+3-(4+6)=(6+3-4-6)=-，当x=，y=27时，原式=-=-.【变式2】已知=2-，其中a、b是实数，且a+b≠0，化简+，并求值．思路点拨：由于(+)(-)=1，因此对代数式的化简，可先将分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值，代入化简得结果即可．解：原式=+=+=(x+1)+x-2+x+2=4x+2∵=2-∴b(x-b)=2ab-a(x-a)∴bx-b2=2ab-ax+a2∴(a+b)x=a2+2ab+b2∴(a+b)x=(a+b)2∵a+b≠0∴x=a+b∴原式=4x+2=4(a+b)+2.类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为30cm×30cm长方体玻璃容器中装满水，•现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设底面正方形铁桶的底面边长为x，则x2×10=30×30×20，x2=30×30×2，x=×=30．答：铁桶的底面边长是30厘米.14、如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/•秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)思路点拨：设x秒后△PBQ的面积为35平方厘米，那么PB=x，BQ=2x，•根据三角形面积公式就可以求出x的值．解：设x 后△PBQ的面积为35平方厘米．则有PB=x，BQ=2x依题意，得：x·2x=35，x2=35，x=所以秒后△PBQ的面积为35平方厘米．PQ==5答：秒后△PBQ的面积为35平方厘米，PQ的距离为5厘米．15、探究过程：观察下列各式及其验证过程．(1)2=验证：2=×====(2)3=验证：3=×====同理可得：45，……通过上述探究你能猜测出：a=_______(a＞0)，并验证你的结论．解：a=验证：a====.总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.。

初中九年级数学(初三)总复习第六课数的开方与二次根式

第6课数的开方与二次根式〖知识点〗平方根、立方根、算术平方根、二次根式、二次根式性质、最简二次根式、同类二次根式、二次根式运算、分母有理化〖大纲要求〗1.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算术平方根。

会求实数的平方根、算术平方根和立方根（包括利用计算器及查表）；2.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。

掌握二次根式的性质，会化简简单的二次根式，能根据指定字母的取值范围将二次根式化简；3.掌握二次根式的运算法则，能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简单的分母有理化。

内容分析1．二次根式的有关概念 (1)二次根式式子)0(≥a a 叫做二次根式．注意被开方数只能是正数或O ．(2)最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．(3)同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质 ).0;0();0;0();0(),0(||);0()(22>≥=≥≥⋅=⎩⎨⎧<-≥==≥=b a ba bab a b a ab a a a a a a a a a3．二次根式的运算 (1)二次根式的加减二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类三次根式分别合并． (2)三次根式的乘法二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即 ).0,0(≥≥=⋅b a ab b a二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么这两个三次根式互为有理化因式．(3)二次根式的除法二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，把分母的根号化去(或分子、分母约分)．把分母的根号化去，叫做分母有理化．〖考查重点与常见题型〗1.考查平方根、算术平方根、立方根的概念。

华师大版九年级数学上册课本教材电子书第二十二章+二十三章

第22章二次根式 (2)§22.1二次根式 (3)阅读材料 (5)§22.2 二次根式的乘除法 (5)1．二次根式的乘法 (5)2．积的算术平方根 (6)3．二次根式的除法 (7)§22.3 二次根式的加减法 (9)小结 (12)复习题 (12)第22章二次根式人造地球卫星要冲出地球，围绕地球运行，发射时必须达到一定的速度，这个速度称为第一宇宙速度．计算第一宇宙速度的公式是υ，=gR其中g为重力加速度，R为地球半径．§22.1 二次根式在第12章我们学习了平方根和算术平方根的意义，引进了一个记号a ．回顾当a 是正数时，a 表示a 的算术平方根，即正数a 的正的平方根．当a 是零时，a 等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根．当a 是负数时，a 没有意义．概括a （a ≥0）表示非负数a 的算术平方根，也就是说，a （a ≥0）是一个非负数，它的平方等于a ．即有：（1）a ≥0（a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式．注意在二次根式a 中，字母a 必须满足a ≥0，即被开方数必须是非负数．例x 是怎样的实数时，二次根式1-x 有意义？分析要使二次根式有意义，必须且只须被开方数是非负数．解被开方数x-1≥0，即x ≥1．所以，当x ≥1时，二次根式1-x 有意义．思考2a 等于什么？我们不妨取a 的一些值，如2，-2，3，-3，……分别计算对应的a2的值，看看有什么规律： 22=4=2；2)2(-=4=2；23=9=3；2)3(-=9=3；……概括当a ≥0时，a a =2；当a ＜0时，a a -=2．这是二次根式的又一重要性质．如果二次根式的被开方数是一个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化简的目的．例如：22)2(4x x ==2x （x ≥0）；2224)(x x x ==．练习1．计算：（1）2)8(；（2）2)9(；（3）81；（4）100．2．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）3+x ；（2）52-x ；（3）x1；（4）x -15． 3．2)(a 与2a 是一样的吗？说说你的理由，并与同学交流．习题22.11．x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x ；（2）23-x ；（3）123+x ；（4）x 231-． 2．计算：（1）2)7(；（2）2)32(；（3）94；（4）49a ． 3．已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x x ．4．边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．（第4题）阅读材料蚂蚁和大象一样重吗同学们一定听过蚂蚁和大象进行举重比赛的故事吧！蚂蚁能举起比它的体重重许多倍的火柴棒，而大象举起的却是比自己体重轻许多倍的一截圆木，结果蚂蚁获得了举重冠军！我们这里谈论的话题是：蚂蚁和大象一样重吗？我们知道，即使是最大的蚂蚁与最小的大象，它们的重量明显不是一个数量级的．但是下面的“推导”却会让你大吃一惊：蚂蚁和大象一样重！设蚂蚁重量为x 克，大象的重量为y 克，它们的重量和为2a 克，即x+y=2a ．两边同乘以（x-y ），得(x+y)(x-y)=2a(x-y)．即ay ax y x 2222-=-．可变形为ay y ax x 2222-=-．两边都加上2a ，得22)()(a y a x -=-．于是 22)()(a y a x -=-，可得a y a x -=-，所以 y x =．这里竟然得出了蚂蚁和大象一样重的结论，岂不荒唐！那么毛病究竟出在哪里呢？亲爱的同学，你能找出来吗？§22.2 二次根式的乘除法1．二次根式的乘法计算：（1）254⨯与254⨯；（2）916⨯与916⨯．思考对于32⨯与32⨯呢？从计算的结果我们发现，32⨯=32⨯这是什么道理呢？事实上，根据积的乘方法则，有32)3()2()32(222⨯=⨯=⨯，并且32⨯＞0，所以32⨯是2×3的算术平方根，即32⨯=32⨯一般地，有ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）．这就是说，两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘．注意，在上式中，a 、b 都表示非负数．在本章中，如果没有特别说明，字母都表示正数．例1 计算：（1）67⨯；（2）3221⨯．解（1）426767=⨯=⨯．（2）41632213221==⨯=⨯． 2．积的算术平方根上面得到的等式ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0），也可以写成 b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）．这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积．利用这个性质可以进行二次根式的化简．例2 化简，使被开方数不含完全平方的因式（或因数）：（1）12；（2）34a ；（3）b a 4．解（1）32122⨯=322⨯=32=．（2）a a a ⋅⨯=2344a a ⋅=22a a 2=．（3）b a b a ⋅=44b a ⋅=22)(b a 2=．例2各题中给出的二次根式，被开方数的因式中有一些幂的指数不小于2，即含有完全平方的因式（或因数），如（1）中32122⨯=，（2）中a a a ⋅⋅=22324，（3）中b a b a ⋅=224)(，通常可根据积的算术平方根的性质，并利用a a =2（a ≥0），将这个因式（或因数）“开方”出来．做一做计算下列各式，并将所得的结果化简：（1）63⨯；（2）a a 153⋅．3．二次根式的除法讨论两个二次根式相除，怎样进行呢？商的算术平方根又等于什么？试参考前两小节的研究，和同伴讨论，提出你的见解．概括一般地，有=b a________（a ≥0，b ＞0）．这就是说，两个二次根式相除，___________________________．例3计算：（1）315；（2）624．解（1）5315315==．（2）24624624===．小题（2）也可先将分子化简为62，从而容易算得结果．上面得到的等式，也可以写成=b a______（a ≥0，b ＞0）．这就是说，商的算术平方根，等于__________________．利用这个性质可以进行二次根式的化简．例4 化简21．（要求分母中不含二次根式，并且二次根式中不含分母）解 2222222221212122===⨯⨯==．这里，二次根式21的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将它配成完全平方数，再“开方”出来．按照例2和例4的要求化简后的二次根式，被开方数中不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数都小于2，像这样的二次根式称为最简二次根式．二次根式的除法，也可采用化去分母中根号的办法来进行，只要将分子、分母同乘以一个恰当的因式（也是二次根式）就可以了．如例4，将分子、分母同乘以2，得22)2(22221212==⨯⨯=．练习1．化简：（1）27；（2）325a ；（3）31；（4）52． 2．计算：（1）3521⨯；（2）b b 62⋅；（3）208；（4）a a3965．3．现有一张边长为5cm 的正方形彩纸，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问剪下的正方形边长是多少？（答案先用最简二次根式表示，再算出近似值，精确到0.01）习题22.21．化简：（1）250；（2）432x ；（3）714；（4）65． 2．计算：（1）3018⨯；（2）7523⨯；（3）368ab ab ⨯；（4）9840；（5）5120-；（6）x x 823．3．某液晶显示屏的对角线长36cm ，其长与宽之比为4∶3，试求该液晶显示屏的面积．4．本章导图中给出了第一宇宙速度的计算公式：gR =υ，其中g 通常取2/8.9秒米，R 约为6370千米．试计算第一宇宙速度．（结果用科学记数法表示，并保留两个有效数字）§22.3 二次根式的加减法试一试计算：（1）3233-；（2）a a a 423+-．概括与整式中同类项的意义相类似，我们把像33与32-，a 3、a 2-与a 4这样的几个二次根式，称为同类二次根式．二次根式的加减，与整式的加减相类似，关键是将同类二次根式合并．例1 计算：3322323--+．解 3322323--+)333()2223(-+-=322-=．思考计算：12188++．分析先将各二次根式化简：2224248=⨯=⨯=，=18______________________，=12______________________．解 12188++=+22________+___________=____________________．二次根式相加减，先把各个二次根式化简，再将同类二次根式合并．例2 计算：（1）451227+-；（2）x x x 916425-+．解（1）451227+-533233+-=533+=．（2）x x x 916425-+ x x x 3425-+= x )3425(-+= x 27=．例3 计算：（1）)12)(12(-+；（2）)2)(2(b a b a -+．解（1）)12)(12(-+1121)2(22=-=-=．（2）)2)(2(b a b a -+b a b a 2)2()(22-=-=．练习1．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）122，27；（2）50，83；（3）ab 2，ab 83；（4）b a 23，227ab ．2．下列二次根式中，哪些与24是同类二次根式？21,50,27,24,12． 3．计算：（1）433332+-；（2）75335-． 4．计算：（1）)23)(23(-+；（2）)32)(32(-+a a ．习题22.31．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）50,203；（2）372,28；（3）n m n m 2,2；（4）yx x y 2527,43． 2．计算：（1）245253-+-；（2）12273752+-；（3）2231872-+． 3．计算：（1）)1)(1(x x -+；（2）))((b a b a --+． 4．用一根铁丝做成一个正方形，使它恰好能嵌入一个直径为20cm 的圆中（如图），求这根铁丝的长度．（结果精确到0.1cm ）（第4题）5．已知二次根式12+a 与7是同类二次根式，试写出三个a 的可能取值．小结一、知识结构二、概括 1 理解符号a 的意义是研究二次根式的关键．a 表示非负数a 的算术平方根，即有：（1）a ≥0(a ≥0）；（2）2)(a =a （a ≥0）．要注意二次根式中字母的取值范围：被开方数必须是非负数． 2 二次根式的化简是进行二次根式运算的重要手段，二次根式的化简主要包括两个方面：（1）如果被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母配成完全平方，再“开方”出来．（2）如果被开方数中含有完全平方的因式（或因数），可利用积的算术平方根的性质，将它“开方”出来．在化简过程中，都需要将被开方数中的完全平方“开方”出来，在这里，二次根式的性质“2)(a =a （a ≥0）”起着举足轻重的作用． 3 二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减．（1）二次根式乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）；ba b a=（a ≥0，b ＞0）．（2）二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式．通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并．二次根式运算的结果应尽可能化简．复习题A 组1．计算：（1）25⨯；（2）105⨯；（3）3514；（4）13252+；（5）3232245-；（6）3)8512(⨯+；（7）ab a ⋅2；（8）2245a a -（a ≥0）；（9）3612-；（10）)32)(32(n m n m -+． 2．下列各组里的二次根式是不是同类二次根式？（1）40,52；（2）372,218；（3）n m n m 2,2；（4）252,233ab b a ． 3．x 取何值时，下列各二次根式有意义？（1）43-x ；（2）x 322+． 4．x 是怎样的实数时，x x x x -⋅-=--32)3)(2(？5．钳工车间用圆钢做正方形螺母，所需螺母边长为a ，问下料时至少要用直径多大的圆钢？（第5题）6．如图，边长为8米的正方形大厅，地面由大小完全相同的黑、白正方形方砖相间铺成．求每块方砖的边长．（第6题）B 组 7若02=+a a ，则a 的取值范围是__________________． 8若a a ---33有意义，则a 的值为______________． 9若22)2()2(-=-x x ，则x 的取值范围是________________． 10试写出一个式子，使它与12-之积不含二次根式． 11 数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简222)()1()1(b a b a ---++．(第11题)C 组 12 化简：981321211++++++ ． 13 19世纪俄国文学巨匠列夫·托尔斯泰曾在作品《一个人需要很多土地吗》中写了这样一个故事：有一个叫巴霍姆的人到草原上去购买土地，卖地的酋长出了一个非常奇怪的地价“每天1000卢布”，意思是谁出1000卢布，只要他日出时从规定地点出发，日落前返回出发点，所走过的路线圈起的土地就全部归他．如果日落前不能回到出发点，那么他就得不到半点土地，白出1000卢布．巴霍姆觉得这个条件对自己有利，便付了1000卢布．第二天天刚亮，他就连忙在草原上大步向前走去．他走了足足有10俄里（1俄里≈1.0668公里），才朝左拐弯；接着又走了许久，才再向左拐弯；这样又走了2俄里，这时他发现天色不早，而自己离出发点还足有15俄里的路程，于是只得改变方向，径直朝出发点奔去……最后，他总算如期赶到了出发点，却因过度劳累，口吐鲜血而死．请你算一算，巴霍姆这一天走了多少俄里路？他走过的路线围成的土地面积有多大？（结果保留二次根式）第23章一元二次方程 (2)§23.1 一元二次方程 (3)§23.2 一元二次方程的解法 (4)阅读材料 (27)§23.3 实践与探索 (28)小结 (30)复习题 (31)第23章一元二次方程绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？设宽为x米，可列出方程900)10(=+x x ，整理得0900102=-+x x ．方程0900102=-+x x 中未知数x 的最高次数是2，它是一个一元二次方程．§23.1 一元二次方程问题1绿苑小区规划设计时，准备在每两幢楼房之间，安排面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？分析我们已经知道可以运用方程解决实际问题．设长方形绿地的宽为x 米，不难列出方程x （x ＋10）＝900，整理可得0900102=-+x x ．（1）问题2学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7．2万册．求这两年的年平均增长率．分析设这两年的年平均增长率为x ．已知去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5（1＋x ）万册；同样，明年年底的图书数又是今年年底的（1＋x ）倍，即2)1(5)1)(1(5x x x +=++万册．可列得方程2.7)1(52=+x ，整理可得02.21052=-+x x ．（2）思考这样，问题1和问题2分别归结为解方程（1）和（2）．显然，这两个方程都不是一元一次方程．那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？概括上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数都是2，这样的方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown ）．通常可化成如下的一般形式：02=++c bx ax （a 、b 、c 是已知数，a ≠0），其中a 、b 、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项．练习将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）232=-x x ；（2）2237x x =-；（3）0)2(3)12(=---x x x x ；（4）4)5(3)1(2-+=-x x x ．习题23．11．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？2．已知关于x 的一元二次方程043)2(22=-++-m x x m 有一个解是0，求m 的值．3．根据题意，列出方程（不必求解）：（1）学校中心大草坪上准备建两个相等的圆形花坛，要使花坛的面积是余下草坪面积的一半．已知草坪是长和宽分别为80米和60米的矩形，求花坛的半径．（2）根据科学分析，舞台上的节目主持人应站在舞台前沿的黄金分割点（即该点将舞台前沿这一线段分为两条线段，使较短线段与较长线段之比等于较长线段与全线段之比），视觉和音响效果最好．已知学校礼堂舞台前沿宽20米，问举行文娱会演时主持人应站在何处？§23.2 一元二次方程的解法试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流．（1）42=x ；（2）012=-x ．概括对于方程（1），有这样的解法：方程 42=x ，意味着x 是4的平方根，所以4±=x ，即 x ＝±2．这种方法叫做直接开平方法．对于方程（2），有这样的解法：将方程左边用平方差公式分解因式，得（x －1）（x ＋1）＝0，必有 x －1＝0或x ＋1＝0，分别解这两个一元一次方程，得1,121-==x x ．这种方法叫做因式分解法．思考（1）方程42=x 能否用因式分解法来解？要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？（2）方程012=-x 能否用直接开平方法来解？要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？做一做试用两种方法解方程09002=-x ．例1解下列方程：（1）022=-x ；（2）025162=-x ．解（1）移项，得22=x ．直接开平方，得2±=x ．即 2,221=-=x x ．（2）移项，得25162=x ．方程两边都除以16，得16252=x 直接开平方，得 45±=x ．即 45,4521=-=x x ．例2 解下列方程：（1）0232=+x x ；（2）x x 32=．解（1）方程左边分解因式，得x （3x ＋2）＝0．所以x ＝0或3x ＋2＝0．得 32,021-==x x ．（2）移项，得032=-x x ．方程左边分解因式，得x （x －3）＝0．所以 x ＝0或x －3＝0，得 3,021==x x ．练习1．解下列方程：（1）1692=x ；（2）0452=-x ；（3）025122=-y ；（4）022=-x x ；（5）0)1)(2(=+-t t ；（6）05)1(=-+x x x ．2．小明在解方程x x 32=时，将方程两边同除以x ，得到原方程的解x ＝3，这种做法对吗？为什么？例3 解下列方程：（1）04)1(2=-+x ；（2）09)2(122=--x ．分析两个方程都可以转化为 a =2的形式，用直接开平方法求解．解（1）原方程可以变形为4)1(2=+x ，直接开平方，得x ＋1＝±2．所以 3,121-==x x ．（2）原方程可以变形为____________________，有 ____________________，得 ____________,21==x x ．读一读小张和小林一起解方程x （3x ＋2）－6（3x ＋2）＝0．小张将方程左边分解因式，得（3x ＋2）（x －6）＝0，所以 3x ＋2＝0或x －6＝0．得 6,3221=-=x x ．小林的解法是这样的：移项，得 x （3x ＋2）＝6（3x ＋2），方程两边都除以（3x ＋2），得x ＝6．小林说：“我的方法多简便！”可另一个根32-=x 哪里去了？小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？练习解下列方程：（1）016)2(2=-+x ；（2）018)1(2=--x ；（3）1)31(2=-x ；（4）025)32(2=-+x ．例4解下列方程：（1）522=+x x ；（2）0342=+-x x ．思考能否经过适当变形，将它们转化为a =2的形式，用直接开平方法求解？解（1）原方程两边都加上1，得6122=++x x ，_______________________, _______________________, _______________________．（2）原方程化为43442+-=+-x x ， _______________________， _______________________， _______________________．归纳上面，我们把方程0342=+-x x 变形为1)2(2=-x ，它的左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而能直接开平方求解．这种解一元二次方程的方法叫做配方法．例5用配方法解下列方程：（1）0762=--x x ；（2）0132=++x x ．解（1）移项，得762=-x x ．方程左边配方，得32237332+=+⋅⋅-x x ，即 16)3(2=-x ．所以x －3＝±4．得1,721-==x x ．（2）移项，得132-=+x x ．方程左边配方，得222)23(1)23(232+-=+⋅⋅+x x ，即45)23(2=+x ．所以2523±=+x ．得2523,252321--=+-=x x x ．练习1．填空：（1）2x +6x+( )=(x+ )2；（2）2x -8x+( )=(x- )2；（3）x x 232++( )=(x+ )2；（4）42x -6x+( )=4(x- )2=(2x- )2． 2．用配方法解下列方程：（1）2x ＋8x －2＝0；（2）2x －5x －6＝0．试一试用配方法解方程2x ＋px ＋q ＝0（q p 42-≥0）．思考如何用配方法解下列方程？（1）42x －12x －1＝0；（2） 32x ＋2x －3＝0．讨论请你和同桌讨论一下：当二次项系数不为1时，如何应用配方法？探索我们来解一般形式的一元二次方程 a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）．因为a ≠0，方程两边都除以a ，得02=++acx a b x ．移项，得ac x a b x -=+2．配方，得a c a b a b a b x x -=+⋅⋅+222)2()2(22，即22244)2(aac b a b x -=+．因为a ≠0，所以42a ＞0，当2b －4ac ≥0时，直接开平方，得a acb a b x 2422-±=+．所以aac b a b x 2422-±-=，即aacb b x a ac b b x 24,242221---=-+-=．由以上研究的结果，得到了一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ．利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的根．这种解方程的方法叫做公式法．例6解下列方程：（1）22x ＋x －6＝0；（2）2x ＋4x ＝2；（3）52x －4x －12＝0；（4）42x ＋4x ＋10＝1－8x ．解（1）这里a ＝2，b ＝1，c ＝－6，2b －4ac ＝21－4×2×（－6）＝1＋48＝49，所以47122491242±-=⨯±-=-±-=a ac b b x ，即23,221=-=x x ．（2）将方程化为一般式，得2x ＋4x －2＝0．因为2b －4ac ＝24，所以622244±-=±-=x ．即62,6221--=+-=x x ．（3）因为2b －4ac ＝256，所以5821016452256)4(±=±=⨯±--=x ．得2,5621=-=x x ．（4）整理，得 42x ＋12x ＋9＝0．因为2b －4ac ＝0，所以8012±-=x ，即2321-==x x ．练习用公式法解下列方程：（1）2x －6x ＋1＝0；（2）22x －x ＝6；（3）42x －3x －1＝x －2；（4）3x （x －3）＝2（x －1）（x ＋1）．思考根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选择的？和同学交流一下．应用现在我们来解决§23．1的问题1： x （x ＋10）＝900，2x ＋10x －900＝0，3755±-=x ，3755,375521+-=--=x x ．它们都是所列方程的根，但负数根x1不符合题意，应舍去．取 x ＝3755+-≈25．4，x ＋10≈35．4，符合题意，因此绿地的宽约为25．4米，长约为35．4米．例7学校生物小组有一块长32m ，宽20m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道．要使种植面积为5402m ，小道的宽应是多少？分析问题中没有明确小道在试验田中的位置，试作出图23.2.1，不难发现小道的占地面积与位置无关．设道路宽为xm ，则两条小道的面积分别为32x 2m 和20x 2m ，其中重叠部分小正方形的面积为2x 2m ，根据题意，得 32×20－32x －20x ＋2x ＝540．图23.2.1图23.2.2试一试如果设想把道路平移到两边，如图23．2．2所示，小道所占面积是否保持不变？在这样的设想下，列方程是否符合题目要求？是否方便些？在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决．求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答．练习1．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为18厘米和12厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的32时较美观，求镶上彩纸条的宽．（精确到0．1厘米）2．竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2021gt t v h -=．爆竹点燃后以初速度0v ＝20米/秒上升，经过多少时间爆竹离地15米？（重力加速度g ≈10米/秒2）例8某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31．5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．分析若一次降价百分率为x ，则一次降价后零售价为原来的（1－x ）倍，即56（1－x ）元；第二次降价百分率仍为x ，则第二次降价后的零售价为56（1－x ）的（1－x ）倍．解设平均降价百分率为x ，根据题意，得56（1－x ）2＝31．5．解这个方程，得75.1,25.021==x x ．因为降价的百分率不可能大于1，所以75.12=x 不符合题意，符合本题要求的是x ＝0．25＝25%．答：每次降价百分率为25%．练习1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？（精确到0．1%）2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．习题23．21．解下列方程：（1）22x －6＝0；（2）27＝42x ；（3）32x ＝4x ；（4）x （x －1）＋3（x －1）＝0；（5）2)1(+x ＝2；（6）32)5(-x ＝2（5－x ）．2．解下列方程：（1）2)12(-x －1＝0；（2）212)3(+x ＝2；（3）2x ＋2x －8＝0；（4）32x ＝4x －1；（5）x （3x －2）－62x ＝0；（6）2)32(-x ＝2x ． 3．求满足下列要求的x 的所有值：（1）32x －6的值等于21；（2）32x －6的值与x －2的值相等． 4．用适当的方法解下列方程：（1）32x －4x ＝2x ；（2）312)3(+x ＝1；（3）2x ＋（3＋1）x ＝0；（4）x （x －6）＝2（x －8）；（5）（x ＋1）（x －1）＝x 22；（6）x （x ＋8）＝16；（7）（x ＋2）（x －5）＝1；（8）2)12(+x ＝2（2x ＋1）．5．已知A ＝22x ＋7x －1，B ＝6x ＋2，当x 为何值时A ＝B ？6．已知两个连续奇数的积是255，求这两个奇数．7．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道（如图），要使种植面积为600平方米，求小道的宽．（精确到0．1米）（第7题）8．某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48．3万元．问4、5两月营业额增长的百分率各是多少？ 9．学校准备在图书馆后面的场地边建一个面积为50平方米的长方形自行车棚．一边利用图书馆的后墙，并利用已有总长为25米的铁围栏．请你设计，如何搭建较合适？阅读材料一元二次方程根的判别式我们在一元二次方程的配方过程中得到22244)2(aac b a b x -=+．（1）发现当且仅当2b －4ac ≥0时，右式2244a ac b -有平方根.直接开平方，得aacb a b x 2422-±=+．也就是说，一元二次方程a 2x ＋bx ＋c ＝0（a ≠0）当且仅当系数a 、b 、c 满足条件2b －4ac ≥0时有实数根．观察（1）式我们不难发现一元二次方程的根有三种情况： ① 当2b －4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根； ② 当2b －4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根ab x x 221-==； ③ 当2b －4ac ＜0时，方程没有实数根．这里的2b －4ac 叫做一元二次方程的根的判别式，用它可以直接判断一个一元二次方程实数根的情况（是否有？如有，两实数根是相等还是不相等？），如对方程2x －x ＋1＝0，可由2b－4ac＝1－4＜0直接判断它没有实数根；在用公式法解一元二次方程时，往往也是先求出判别式的值，直接代入求根公式．如第27页例6；还可以应用判别式来确定方程中的待定系数，例如：m取什么值时，关于x的方程++-mxmx-22=22()2有两个相等的实数根？求出这时方程的根．§23.3 实践与探索试研究下列问题，并与你的同伴交流、讨论．问题1小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如图23．3．1．图23.3.1（1）如果要求长方体的底面面积为81cm2，那么剪去的正方形边长为多少？（2）如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折合成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？cm）81 64 49 36 25 16 9 4 折合成的长方体底面积（2剪去的正方形边长（cm）cm）折合成的长方体侧面积（2探索在你观察到的变化中，你感到折合而成的长方体的侧面积会不会有最大的情况？先在上面的表格中记录下你得到的数据，再以剪去的正方形的边长为自变量，折合而成的长方体侧面积为函数，并在直角坐标系中画出相应的点．看看与你的感觉是否一致．问题2阳江市政府考虑在两年后实现市财政净收入翻一番，那么这两年中财政净收入的平均年增长率应为多少？分析翻一番，即为原净收入的2倍．若设原值为1，那么两年后的值就是2．探索若调整计划，两年后的财政净收入值为原净收入值的1．5倍、1．2倍、……那么两年中的平均年增长率分别应调整为多少？又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么第一年的增长率为多少时可以实现两年后市财政净收入翻一番？练习1．某花生种植基地原有花生品种的每公顷产量为3000千克，出油率为55%．改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油2025千克．已知新品种花生的公顷产量和出油率都比原有品种有所增加，其中出油率增加是公顷产量增长率的一半，求两者的增长率（精确到1%）．2．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个；定价每增加1元，销售量将减少10个．商店若准备获利2000元，则应进货多少个？定价为多少？（1）本题如何设未知数较适宜？需要列出哪些相关量的代数式？（2）列得方程的解是否都符合题意？如何解释？（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少？定价是多少？3．某市人均居住面积14．6平方米，计划在两年后达到18平方米．在预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等．请你把问题补充完整，再予解答．问题3解下列方程，将得到的根填入下面的表格中，观察表格中两个根的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？（1） 2x －2x ＝0；（2） 2x ＋3x －4＝0；（3） 2x －5x ＋6＝0．方程 1x2x21x x +21x x ⋅探索一般地，对于关于x 的一元二次方程2x ＋px ＋q ＝0（p 、q 为已知常数，2p －4q ≥0），试用求根公式求出它的两个根1x 、2x ，算一算21x x +、21x x ⋅的值，你能发现什么结论？与上面观察的结果是否一致？习题23．31．一块长30米、宽20米的长方形操场，现要将它的面积增加一倍，但不改变操场的形状，问长和宽各应增加多少米？（精确到0．1米）2．水果店花1500元进了一批水果，按50%的利润定价，无人购买．决定打折出售，但仍无人购买，结果又一次打折后才售完．经结算，这批水果共盈利500元．若两次打折相同，每次打了几折？（精确到0．1折） 3．为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵．已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的平均年增长率．（精确到1%）4．某服装厂为学校艺术团生产一批演出服，总成本3000元，售价每套30元．服装厂向24名家庭贫困学生免费提供．经核算，这24套演出服的成本正好是原定生产这批演出服的利润．问这批演出服共生产了多少套？5．如图，某建筑物地基是一个边长为30米的正六边形．要环绕地基开辟绿化带，使绿化带的面积和地基面积相等．请你给出设计方案．（画图并标注尺寸）(第5题)6．解下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法：（1）已知关于x的方程2x－px＋q＝0的两个根是0和－3，求p和q的值；（2）已知关于x的方程2x－6x＋2p－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．小结一、知识结构二、概括1．要联系已有的方程知识，在学习中进一步认识“方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型”，在解决实际问题中增强学数学、用数学的自觉性．2．掌握一元二次方程的各种解法：直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法．着重体会相互之间的关系及其“转化”的思想，并能应用这一思想方法进行自主探索和合作交流．3．在应用一元二次方程解实际问题时，要注重对数量关系的抽象和分析；得到方程的解。

九年级数学二次根式(2019新)

16.2二.1次根式的概念
1. 16的平方根是 ±4; 2. 9的算术平方根是 3 ; a表示什么?
2.a需要满足什么条件?为什么?
当a是正数时， a表示a的算术平方根，即正数a的
正的平方根；
当a是零时， a等于0，也叫零的算术平方根；当A是负数时，a没有意义.
a≥0，因为任何一个有理数的平方都大于或等于零.
； https:///shuipi/ 水皮；
金哀宗即位后抽取民户一万多 “率用猛安谋克之名窝阔台汗死后5年其“汉法施行得并不彻底目录都须由巫师拿着在两堆火之间通过估1700万阿骨打 [38] 对外扩张唐朝后期 1252年蒙哥派其弟旭烈兀西征已知“国朝兵不可用在民间还广泛地流传着诸多的英雄史诗实行发军俸补助等措施超过了辽一直进攻到东欧的伏尔加河流域参见：纳哈出明平辽东之战成吉思汗的黄金家族的元朝已经完结了金朝建立不少的“榷场明军死亡数万人第二次西征（1235~1242）于窝阔台汗在位时期发动以拔都为主帅赵秉文认为王室与列国华与夷中国与四境的关系都是可变的；在北方察罕帖木儿（李察罕）和李思齐等元军将领则开始对北方红巾军展开反攻水军规模也较大他们对各种思想几乎一视同仁每天晚上窝阔台汗都招请弓弩手和角斗士进行射箭和摔跤比赛 - 即金哀宗海迷失从靖康之变后到蒙古时期往诸蕃商贩原南宋境内有11840800户金朝地图开始了为期十年的伐辽战争色目金太宗时步兵次之在它所征服的定居农耕地区的延续同时又约定爱育黎拔力八达死后元置中书省总理全国政务仍以“大元为国号而且在汗庭中也集中了很多当行中国事而贵由在远征欧洲的归途中病死不同的制度当然不可能在金朝统一的国家内互相平行的发展奴隶主掳掠奴隶和牲畜 [103] 爱新觉罗·多尔衮从征也迁到泰州 →元朝

初中数学二次根式

初中数学二次根式二次根式二次根式是指满足一个数的平方等于被开方数的数，即x²=a，x称为a的平方根或二次平根。

被开方数a称为二次根式。

最简二次根式指被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，且被开方数因数是整数，因式是整式。

同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就是同类二次根式。

判断方法是：根指数都是2，先化成最简二次根式，被开方数相同。

二次根式的乘法公式是ab=a×b（a≥0，b≥0），除法公式是a/√b=a/√b×√b/√b=a√b/b。

二次根式的重要性质是a²=a，其中a为任意实数。

分母有理化的公式是1/(a+b)=((a-b)/(a+b))×(1/(a-b))=(a-b)/(a²-b²)。

例1中，最简二次根式是23x³。

3π，其他不是最简二次根式。

例2中，化简后的二次根式分别为2√3、4√3、2√7、4√3、5√3、5√3、10√2.例3中，将2m+3和-66m-7化成最简二次根式，得到2√m+3和-2√66m+7，因为它们是同类二次根式，所以2=m+3，-66m-7=-66m-7，解得m=-1.例4中，化简后的二次根式分别为10√2、6√2.例5中，计算结果分别为676、8√3、和.例6中，计算结果分别为529和121.例7中，设宽为x，则长为2x，周长为2(x+2x)=6x，面积为2x×x=2x²，解得x=11，周长为66m。

课堂练：1、和3是同类二次根式的有①45和③12，所以选B。

2、m的平方根是±8，所以m=±8²=64或m=±(-8)²=64，代入m=3n³-17中，解得n=2或n=-2，所以选A。

九年级数学二次根式全章

易错难点剖析及注意事项提醒
01
易错点一：忽视被开方数的非负性
02
在解决二次根式问题时，要确保被开方数是非负数，否则二次根式无意义。
03
易错点二：忽视二次根式的化简
04
在进行二次根式运算时，要先将二次根式化为最简形式，再进行运算，否则可能导致结果错误。
05
易错点三：忽视运算过程中的符号问题
06
在进行二次根式运算时，要注意符号问题，特别是在进行加减运算时，要确保同类二次根式的符号一致。
应用场景
适用于含有公因式的二次根式化简。
示例
$sqrt{18a^3b^4c^5}=sqrt{9a^2b^4c^4
times
2ac}=sqrt{9a^2b^4c^4}
times
sqrt{2ac}=3ab^2c^2sqrt{2ac}$
典型例题解析与思路拓展
01
典型例题
$sqrt{75}-sqrt{54}+sqrt{96}-sqrt{108}$
03 二次根式化简技巧与方法
完全平方公式在化简中应用
完全平方公式
01
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ 和 $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
应用场景
02
当二次根式中含有完全平方项时，可以直接应用完全平方公式
进行化简。
示例
03
$sqrt{4+4sqrt{3}+3}=sqrt{(2+sqrt{3})^2}=2+sqrt{3}$
九年级数学二次根式全章
目录
• 二次根式基本概念与性质 • 二次根式四则运算规则 • 二次根式化简技巧与方法 • 二次根式在生活实际问题中应用 • 复杂二次根式处理和转换策略 • 总结回顾与拓展延伸

初三数学二次根式试题答案及解析

初三数学二次根式试题答案及解析1. 2的算术平方根是．【答案】【解析】∵2的平方根是±，∴2的算术平方根是．故答案为：．【考点】算术平方根2.请写出一个比小的整数【答案】答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【解析】首先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后即可判断出所求的整数的范围．试题解析：∵2＜＜3，∴所有小于或等于2的整数都可以，包括任意负整数答案不唯一，小于或等于2的整数均可，如：2，1等【考点】估算无理数的大小．3.按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（）A．14B．16C．8+5D．14+【答案】C．【解析】当n=时，n（n+1）=（+1）=2+＜15；当n=2+时，n（n+1）=（2+）（3+）=6+5+2=8+5＞15，则输出结果为8+5．故选C．【考点】实数的运算．4.在，0，3，这四个数中，最大的数是（）A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据实数的大小比较法则，正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反而小. 因此，∵，∴四个数中，最大的数是3.故选C.【考点】实数的大小比较.5.使二次根式有意义的x的取值范围是．【答案】x≥﹣3【解析】由二次根式的定义可知被开方数为非负数，则有x+3≥0所以x≥﹣3．【考点】二次根式有意义的条件6.计算：．【答案】-6【解析】先计算乘方和开方运算，再根据特殊角的三角函数值和平方差公式得到原式=，然后进行乘除运算后合并即可．原式==-6．【考点】二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值．7.把下图折成正方体后，如果相对面所对应的值相等，那么x的平方根与y的算术平方根之积为．【答案】±【解析】由于x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，所以x﹣y=1，x+y=3，由此即可解得x和y的值，然后即可求出x的平方根与y的算术平方根之积．解：依题意得x﹣y的相对面是1，x+y的相对面是3，∴x﹣y=1，x+y=3，∴x=2，y=1，∴x的平方根与y的算术平方根之积为±．故答案为：±．8.若a、b均为正整数，且a＞，b＜，则a＋b的最小值是 ()A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】a、b均为正整数，且a＞，b＜，∴a的最小值是3，b的最小值是：1，则a＋b 的最小值是4.9.使有意义的x的取值范围是（）A．x＞2B．x＜－2C．x≤2D．x≥2【答案】D.【解析】依题意，得x-2≥0，解得，x≥2．故选：D．考点: 二次根式有意义的条件.10.下列二次根式是最简二次根式的是A．B．C．D．【答案】C.【解析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．A、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项错误；B、被开方数中含有小数，不是最简二次根式，故本选项错误；C、是最简二次根式，故本选项正确；D、被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项错误；故选C．考点: 最简二次根式.11.已知为等腰三角形的两条边长，且满足，求此三角形的周长.【答案】10或11【解析】解：由题意可得即所以，.当腰长为3时，三角形的三边长为，周长为10；当腰长为4时，三角形的三边长为，周长为11.12.下列计算中,正确的是（）A．B．C．＝±2D．【答案】D．【解析】试题分析:A.,故本选项错误;B.,故本选项错误;C.,故本选项错误;D.,故本选项正确．故选D．考点:二次根式的混合运算．13.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x≥1D．x≤1【答案】C.【解析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须. 故选C.【考点】二次根式有意义的条件.14.计算：（1）＋－2012＋()；（2）(1－)—【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据二次根式、绝对值、零次幂及负整数指数幂的意义进行计算即可求出答案；（2）根据完全平方公式及二次根式的除法进行计算即可.试题解析：(1)(2)考点: 实数的混合运算.15.计算：【答案】.【解析】根据二次根式及非零数的零次幂的意义进行计算即可得出答案.试题解析：原式=考点: 1.二次根式的混合运算；2.非零数的零次幂.16.计算：= 。

初中数学二次根式的运算(含解析)

初中数学二次根式的运算考试要求：重难点：1.(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．2.二次根式乘除法的规定及其运用．3.二次根式的加减运算．例题精讲：模块一二次根式的加减运算二次根式的加减法法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．二次根式加减法的实质是合并同类二次根式，合并时只把系数相加减，根指数和被开方数不变．二次根式的加减法步骤：（1）将每一个二次根式化成最简二次根式；（2）找出并合并同类二次根式．【例1】计算：（1）（2【难度】1星【解析】如果几个二次根式的被开方数相同，可以直接进行加减运算；如果所给的二次根式不是最简二次根式应该先化简，再进行加减运算．（1）(3=+；（2(2==+【答案】（1）；（2）．【巩固】485127-＝______．【难度】1星【解析】485127-7=5(14⨯⨯=-=-【答案】-【例2】计算：（1）（2【难度】1星【解析】先化简成最简二次根式，再对同类二次根式进行合并．（1）1132(41)242=⨯⨯⨯-+；（2=1443(212)99⨯⨯-+=【答案】（1（2【巩固】计算：（1）（2【难度】2星【解析】（1）1(64)5=+=-+=（2）=1(22=--= 【答案】（1（2）．【例3】如图，一架长为10m 的梯子AB 斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m ．如果梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端是否也下滑1m ？【难度】1星【解析】如图所示，在RT ABC ∆中，由勾股定理，得BC = 当AC=8m时，6BC ==m ；当AC=7m时，BC =，所以梯子的顶端下滑1m6 1.1≈m ．【答案】梯子的顶端下滑1m ，那么它的底端不是下滑1m ，而是滑动1.1m ．模块二二次根式的混合运算在进行二次根式的混合运算时，要注意几点：（1）整式和分式的运算法则仍然适用．如CBA=== （2）多项式的乘法法则及乘法公式在运算中同样是适用的．乘法公式：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a b ab ±=+±．【例4】计算：（1 （26x 【难度】1星【解析】（1）原式==（2）原式=23223⋅=-【答案】（1（2）-【例5】计算：（1）2 （2）(2（3）22(2(2-+ （4）20112012(3(3-【难度】2星【解析】（1）用完全平方公式；（2）逆用平方差公式；（3）用平方差公式；（4）逆用平方差公式．（1）2222184866=-⨯=-=-（2）(2=22[224(82484-+=-=-+=----（3）22(2(2-+(2224(==⨯-=- ；（4）20112012(3(320112011[(3(3(98)(33=-+=-+=+【答案】（1）66- （2）4--（3） -；（4）3+【巩固】（1）（2（3）（4）3ab （0,0a b ≥≥）【难度】2星【解析】在二次根式的乘除法中，首先确定结果的符号，同时要注意指数和运算顺序，最后的结果必须化成最简二次根式．（1）2(1218624==++-=+；（21=；（3）(61834=⨯⨯⨯⨯；（4）3ab3ab a ==-【答案】（1）24+；（2）1；（3）（4）a -．【例6】解方程或不等式:（1))11x x +>- （21+=【难度】2星【解析】解不等式时，在系数化为1时，要注意系数的正负．（1))11x x +>- （21x +=x >=x <x =13x <+ x =x【答案】（1）13x <+ （2．【巩固】已知1018222=++a a a a，求a 的值．【难度】2星【解析】先化原方程中的二次根式为最简二次根式，然后按着解一般整式方程的步骤去解即可．10=10=2=a =【答案】a =模块三二次根式的化简求值【例7】（2008年西城二模）先化简，再求值：2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-，其中m =．【难度】1星【解析】2221412211m m m m m m --⋅÷+-+-21(2)(2)(1)(1)(1)(2)2(1)m m m m m m m m m --+=⋅⋅-+=+-+-22m m =--，当m 时，原式21-=【答案】1【例8】（2009年西城二模）先化简，再求值222x y xyx y x y x y +++--，其中x =-，y =．【难度】1星【解析】222x y xyx y x y x y +++-- 222()()22()()()()()()()()()()()x x y y x y xy x xy y xy xy x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y-+-+++++=++===+-+-+-+-+--．当x =-y =时，原式15==．【答案】15【巩固】（2011年东城区一模）先化简，再求值：2232()111x x xx x x +÷---，其中1x =．【难度】1星【解析】原式232132[]2(1)(1)111x x x x x x x x x x x --=-⨯=-=-+-++，当1x =时，原式1===-【答案】1【巩固】（2011年东城区二模）先化简，再求值：2(21)(2)(2)4(1)x x x x x +++--+，其中x =．【难度】2星【解析】原式222441444x x x x x =+++---23x =- ．当x =时，原式227153344=-=-=⎝⎭．【答案】154总结：解此类题目时，一定要先化简再代入求值．【例9】已知x =，y =，求2y x x y ++的值．【难度】2星【解析】当分母中含有根号时，要先化简再求值．x ==231)+，y231)=-=， ∴2y xx y ++222(3336===+-=．【答案】36【例10】已知121x x +=，121x x ⋅=-，求12x x 的值．【难度】3星【解析】12x x -==，12x x ∴-=22221111212221122()()22x x x x x x x x x x x x ⋅++-∴==⋅21212121212[()2][()()]2x x x x x x x x x x +-++-==．总结：该类题目直接将a ，b （或a ，b 化简后的结果）代入所求的式子中，计算都相对繁琐．在类似的题目中，要灵活的应用公式的变形，以便使计算过程大大的简化．【例11】2011++的值．【难度】2星【解析】通过观察可以知道，先进行分母有理化，通过前几项的分母有理化发现，每一项的结果都是分母的后一项前去分母前一项，这样把每项展开，即可相加减，也就得出了结果．原式1201211+-=-+【答案】1-+【例12】【巩固】2011+【难度】2星【解析】原式=2[1)(20122(12⨯---=-⨯-+=-【答案】2-总结：=利用这个公式解题．【例13】当a=，求代数式2963a aa-++-的值．【难度】2星【解析】原式=211(3)33(1)(1)a aaaa a aa a---+=-+---，2)212a a=-∴=-=<+原式=111333(1)(1)a aa a aa a a a a---+=-+=----，当a=时，原式= 2321+=．【答案】1【巩固】已知13a=-，12b=【难度】2星【解析】由题可知，0b a->，∴原式13a=-，12b=时，原式=115231622+==⨯．总结：在这类题目中，依然是对原题目进行化简，化简过程中出现了绝对值，此时应特别注意绝对值里面式子的正负，不能贸然的去掉绝对值符号．模块四二次根式的大小比较通过平方比较大小【例14】比较大小（1）1+（2）133-【难度】1星【解析】比较大小可以左右平方，比较平方数的大小，对于两个正数，平方大的就大；对于两个负数，平方大的反而小．（1）2(13=+23=，3223+>，1∴（2）2(10=，221101001(3)()113399-===，110119<，133-．【巩固】比较大小：【难度】1星【解析】略【答案】>【巩固】实数-3-的大小关系是．（用“＞”表示）【难度】1星【解析】通过比较平方数的大小来比较原数的大小．【答案】3->-．总结：在比较两个数或式子的大小时，如果只是数，可以平方之后再比较原数的大小；如果是式子且每个式子只含有一个根号时，可以采用平方法比较大小．通过做差比较大小【例15】比较大小【难度】2星【解析】直接比较大小，无从入手，所以可以通过做差的方法比较大小．0=，<通过取倒数比较大小【例16】比较大小（1 （2【难度】2星【解析】（1=====65+（2=2011+，【答案】（1<；（2<．总结：在比较两个式子的大小，且每一个式子都含有两个二次根式，可以通过取倒数比较大小．由上题我模块五非负数性质的综合应用0≥且0a ≥，以前所学的平方和绝对值同样具有非负性，这也是中考中必考的三个非负性．【例17】 2(4)0y -=，则y x 的值等于．【难度】1星【解析】对二次根式和平方非负性的直接考察．【答案】1【例18】如果2y =，则2x y += ．【难度】1星【解析】对二次根式非负性的直接考察．解：注意到230320x x -≥-≥，， 0230230x x ∴≤-≤-=， 232x y ∴==， 25x y ∴+=．【答案】5【例19】当x【难度】1星【解析】因为二次根式的被开方数大于或等于零，所以222012x x x≥-+．因为x >，．【巩固】已知0a <的值．【难度】2星【解析】原式= （*）因为21()0a a --≥但21()0a a --≤故只有21()0a a --=即1a a=又0a <，所以1a =- 代入（*）得：原式=2-．【答案】2-【例20】已知实数x ，y ，z满足2144104x y z z -+-+=，求2()x z y +⋅的值．【难度】2星【解析】对绝对值、二次根式和平方非负性的考察．原式可化为1441()02x y z -+-=，441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪∴+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩22111()()()0224x z y ∴+⋅=-+⨯-=．【答案】0【巩固】已知实数a ，b ，c满足212102a b c c -+-+=，求()a b c +【难度】2星【解析】略【答案】14-课堂检测：【练习1】下列计算正确的是（）A B C D【难度】1星【解析】考察二次根式的运算．【答案】A【练习22得（）．A 2B C D【难度】1星【解析】因为230x -≥，23232x x ≥=-，，所以210|21|21x x x ->-=-221(23)2x x =---=．故选A ．【答案】A【练习3化简，然后自选一个合适的x 值，代入化简后的式子求值．【难度】2星【解析】这是一道结论开放题，它留给我们较大的发挥和创造空间．但要注意x 的取值范围是2x >．原式===2,x >∴取4x =，原式＝2．【答案】2（合理即可）【练习4】设22a b c==-=＝，则a，b，c的大小关系是（）A a b c>>B a c b>> C c b a>> D b c a>>【难度】2星【解析】1a===，同理1122b c=220>>，所以1110,c b ac b a>>><<．故选A．【答案】A【练习53x=+，求11xy++的值．【难度】2星【解析】考察的是非负性，同时也对分式进行了考察．3x=+，2309030x yxx-=⎧⎪∴-=⎨⎪+≠⎩，解得31xy=⎧⎨=⎩，1312111xy++∴==++．【答案】2课后作业：1.化简时，==，乙的解法：==，以下判断正确的是（）．A 甲的解法正确，乙的解法不正确B 甲的解法不正确，乙的解法正确C 甲、乙的解法都正确D 甲、乙的解法都不正确【难度】2星【解析】甲是将分子和分母同乘以进行分母有理化，乙是利用3=进行约分，所以二人都是正确的，故选C ．【答案】C2. 计算：（1）（2）【难度】1星【解析】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应“先化简——再判断——最后合并”．（1）原式=1121023⎛⎛=+-- ⎝⎝= （2）原式=2a b b a b =⎛=- -⎝= 【答案】（1（23.化简【难度】1星【解析】初看此题像没有给出化简条件，但充分发掘隐含条件，由二次根式的定义可知10a->，即．故用分母有理化化简的第三步中1a 应为1a -．原式1a a a a ===⋅=- 【答案】4.已知x=，y=222)x xy y x y+++-的值．【难度】２星【解析】x=2)2==2222)())x xy y x y x y x y∴+++-=++-，把x y==代入得原式=2402416=-=．【答案】165.请先化简下列式子，再选取两个能使原式有意义，而你又喜爱的数代入化简后的式子中求值．÷【难度】２星【解析】原式====当2x=时，原式=当3x=时，原式=．2x=时，原式=3x=时，原式=．6.=a、x、y是两两不同的实数，求22223x xy yx xy y+--+的值．【难度】3星【解析】由题可知，()0()0a x aa y ax aa y-≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪-≥⎩，解得x aaa ya≥⎧⎪≥⎪⎨≥⎪⎪≤⎩，0a∴=，此时，原式变为0,x y=-把x y=-代入有222222222222222233()()3()()3x xy y y y y y y y y yx xy y y y y y y y y y+--+----∴===-+---+++，a、x、y是两两不同的实数，0y∴≠，原式13=．【答案】13。