4.1.1圆的标准方程(公开课)

设点M (x,y)为圆A上任一点， 则|MA|= r。
圆上所有点的集合 P = { M | |MA| = r }
y M(x,y)
(xa)2(yb)2r
O A(a,b) x
(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
想一想?
问题：是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合 这个方程的坐标的点都在圆上？
解:设圆C的方程为 (xa)2(yb)2r2,
∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆经过A(1,1),B(2,-2)
待定系数法
a b1 0
a 3
(1a)2 (1b)2 r2
b
2
(2a)2 (2b)2 r2 r 5
圆 心 为 C 的 圆 的 标 准 方 程 为 ( x + 3 ) 2 ( y 2 ) 2 2 5 .
例2 △ ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
解：设所求圆的方程为：
(xa)2(yb)2r2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a)2 (1 b)2 r2 (7 a)2 (3 b)2 r2
(2 a)2 (8 b)2 r2
标准方程
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
练习:(口答) 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1)x 32 y 22 4 (2)x 42 y 22 7 (3) x 2 y 12 16
(4)2x2 2 y2 8
3,2 r=2
(-4,2) r 7 (0,-1) r=4 (0,0) r=2
例1 写出圆心为 A(2,3)，半径长等于5的圆的方
程，并判断点 M1(5,7)，M 2(2,1)M ,3(4,2)是否在这个 圆上。
解：圆心是 A(2,3，) 半径长等于5的圆的标准方程
是： (x2)2(y3)225
把 M1(5,7的)坐标代入方程 (x2)2(y3)225 左右两边相等，点M 1 的坐标适合圆的方程，所以点
y
A(1,1)
弦AB的垂
直平分线
O
x
D
l' C
B(2,-2)
l:xy10
圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点
解：因为A(1, 1)和B(2,－2)，所以线段AB的中点D的
坐标 ( 3 , 1 ) , 22
直线AB的斜率:
kAB
213 21
因此线段AB的垂直平分线l′的方程是 y 1 1(x 3)
2
∴△AOB外接圆的方程为： (x2)2(y3)225
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解题规律:
求圆的标准方程的一般方法：
①待定系数法: 根据题设条件,列出方程组,解方程组得到所要 的值,从而得出圆的标准方程.
②几何法: 根据确定圆的要素,几何性质，以及题设条件, 分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆 的标准方程.
问题 :
|MA|>r 点在圆外
知识点二：点与圆的位置关系
在平面直角坐标系中,已知点 M(x0,y0)与圆
A：x a 2 y b 2r2 如何判断点M与圆A的位
置关系呢？
(x0-a)2+(y0-b)2<r2
点M在圆A内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M在圆A上
(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆A外
练习: 已知△AOB的顶点坐标分别为A（4,0）,B（0,3），
O（0,0），求△AOB外接圆方程。
Y
解：∵ A（4,0），B（0,3），O（0,0）
B3
AB 5, AOB 9 0
3
C( 2 , 3 ) 2
∴ AB为△AOB外接圆的直径
2
ห้องสมุดไป่ตู้
O
2
4
A
∴△AOB外接圆的半径 r 1 AB 5
X
2
2
∴ △AOB外接圆的圆心为AB中点 ( 2 , 3 )
M 1在这个圆上；
把点 M 2(2,1)M ,3(4,2 的)坐标代入此方程，左右两 边不相等，点 M2, M的3 坐标不适合圆的方程，所以 点 M2, M不3在这个圆上．
知识探究二：点与圆的位置关系
探究：在平面几何中，如何确定点与圆的位置关
系？
M M
M
A
A
A
|MA|<r 点在圆内
|MA|=r 点在圆上
(xa)2(yb)2r2
点M(x, y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标 适合方程；
反之，若点M(x, y)的坐标适合方程，这就说明 点 M与圆心的距离是 r ，即点M在圆心为 A (a, b)， 半径为r的圆上．
知识点一：圆的标准方程
圆心A(a,b),半径r
y
M(x,y)
OA
x
(xa)2(yb)2r2
a2
b
3
r 5
所求圆的方程为
(x2)2(y3)225
待定系数法
例2 方法二 y
几何法
A(5,1)
O M
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
例3.己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且圆
心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方程.
如图已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
复习引入
问题1：在平面直角坐标系中,确定直线的基本要素 是什么? 那么,确定圆的基本要素是什么?
圆心和半径
问题2：什么是圆？初中时我们是怎样给圆下定义的？
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
M
r
A
P = { M | |MA| = r } 定点 圆心 定长 半径
探究新知
问题3：圆心是A(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
4.1.1圆的标准方程
尤溪二中 朱兴炬
问题 :
如图已知隧道的截面是半径为4米的半圆， 车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 米，高为3米的货车能不能驶入这个隧道？
1.掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径 写出圆的标准方程;反之，会根据圆的标 方程，求圆心和半径; 2.会判断点和圆的位置关系; 3.学会求圆的标准方程的两种方法; 4.会利用圆的标准方程解决一些简单的实 际问题；
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即x-3y-3=0
y
A(1,1)
l
l:xy10
O
x
D
C
B(2,-2)
解方程组
x 3y 3 0
x
y
1
0
得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3, 2)
几何法
圆心为C的圆的半径长 r |A C |(13)2(12)25
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x3 )2(y2)225
例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.