matlab用矩阵的左除功能求线性方程组的解
matlab矩阵除法曲线拟合
MATLAB矩阵除法用于解决线性方程组、最小二乘问题和曲线拟合等数学问题。
在这篇文章中，我们将重点介绍MATLAB中矩阵除法的原理和用法，并结合曲线拟合问题详细讨论其在实际应用中的作用。
一、MATLAB矩阵除法的原理MATLAB中的矩阵除法包括左除法和右除法。
对于线性方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，x为未知数向量，b为右侧常数向量，左除法的用法是x=A\b，右除法的用法是x=b/A。
在MATLAB中，左除法即使用“\”操作符，右除法即使用“/”操作符。
矩阵除法的原理是利用线性代数中的逆矩阵或广义逆矩阵来求解线性方程组，其实现过程包括矩阵的分解、求逆、矩阵乘法等基本运算。
二、MATLAB矩阵除法的用法1. 解决线性方程组通过MATLAB中的矩阵除法，可以方便快捷地解决线性方程组，无需手动进行矩阵分解、求逆等复杂运算。
对于线性方程组Ax=b，可以直接使用左除法x=A\b求解未知数向量x。
2. 最小二乘拟合在曲线拟合问题中，常常需要求解最小二乘拟合直线、曲线等模型的参数。
MATLAB中的矩阵除法可以直接应用于最小二乘问题的求解，简化了计算过程，提高了求解效率。
三、MATLAB矩阵除法在曲线拟合中的应用以曲线拟合为例，介绍MATLAB矩阵除法在实际应用中的作用。
假设有一组实验数据{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，现在需要通过曲线拟合找到一条曲线y=f(x)来拟合这些数据点。
一般的拟合曲线模型可以是线性模型、多项式模型、指数模型等。
以多项式模型为例，假设拟合模型为y=ax^2+bx+c。
1. 构建系数矩阵和常数向量根据多项式拟合模型，可以构建系数矩阵A和常数向量b。
对于三次多项式拟合模型，系数矩阵A和常数向量b的构造如下所示：A = [x1^2, x1, 1;x2^2, x2, 1;...,xn^2, xn, 1]b = [y1;y2;...;yn]2. 使用矩阵除法进行曲线拟合通过MATLAB中的矩阵除法操作符“\”，可以直接求解出拟合模型的参数。
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法
MATLAB计算方法3解线性方程组计算解法线性方程组是数学中的一个重要问题，解线性方程组是计算数学中的一个基本计算，有着广泛的应用。
MATLAB是一种功能强大的数学软件，提供了多种解线性方程组的计算方法。
本文将介绍MATLAB中的三种解线性方程组的计算方法。
第一种方法是用MATLAB函数“linsolve”解线性方程组。
该函数使用高斯消元法和LU分解法求解线性方程组，可以处理单个方程组以及多个方程组的情况。
使用该函数的语法如下：X = linsolve(A, B)其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该函数会根据A的形式自动选择求解方法，返回解向量X。
下面是一个使用“linsolve”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = linsolve(A, B);上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第二种方法是用MATLAB函数“inv”求解逆矩阵来解线性方程组。
当系数矩阵A非奇异（可逆）时，可以使用逆矩阵求解线性方程组。
使用“inv”函数的语法如下：X = inv(A) * B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
该方法先计算A的逆矩阵，然后将逆矩阵与B相乘得到解向量X。
下面是一个使用“inv”函数解线性方程组的例子：A=[12;34];B=[5;6];X = inv(A) * B;上述代码中，A是一个2×2的系数矩阵，B是一个2×1的常数向量，X是一个2×1的解向量。
运行代码后，X的值为[-4.0000;4.5000]。
第三种方法是用MATLAB函数“mldivide”（或“\”）求解线性方程组。
该函数使用最小二乘法求解非方阵的线性方程组。
使用“mldivide”函数的语法如下：X=A\B其中A是系数矩阵，B是常数向量，X是解向量。
MATLAB程序设计第六讲
MATLAB程序设计杨凯2010 . 11主要内容自学））*MATLAB解方程与函数极值解方程与函数极值（（自学（自学）自学）线性方程组求解（一、线性方程组求解二、非线性方程组求解三、函数极值四、常微分方程初值问题的数值解法*MATLAB符号计算一、符号计算基础二、微积分三、简化方程表达式四、解方程一、线性方程组求解（自学）1.1 直接解法1．利用左除运算符的直接解法对于线性方程组Ax=b，可以利用左除运算符“\”求可以利用左除运算符“解：x=A\b例*：用直接解法求解下列线性方程组用直接解法求解下列线性方程组。
命令如下命令如下：：A=[2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4];b=[13,-9,6,0]';x=A\b2．利用矩阵的分解求解线性方程组矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。
常见的矩阵分解有LU 分解分解、、QR 分解分解、、Cholesky 分解分解，，以及Schur 分解分解、、Hessenberg 分解分解、、奇异分解等奇异分解等。
(1) LU 分解矩阵的LU 分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。
线性代数中已经证明，只要方阵A 是非奇异的是非奇异的，，LU 分解总是可以进行的分解总是可以进行的。
MATLAB 提供的lu 函数用于对矩阵进行LU 分解分解，，其调用格式为式为：：[L,U]=lu(X)：产生一个上三角阵U 和一个变换形式的下三角阵L(行交换)，使之满足X=LU 。
注意注意，，这里的矩阵X 必须是方阵是方阵。
[L,U,P]=lu(X)：产生一个上三角阵U 和一个下三角阵L 以及一个置换矩阵P ，使之满足PX=LU 。
当然矩阵X 同样必须是方阵方阵。
实现LU 分解后分解后，，线性方程组Ax=b 的解x=U\(L\b)或x=U\(L\Pb)，这样可以大大提高运算速度这样可以大大提高运算速度。
MATLAB教程4
4.4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ拟合与插值
说明：interp1仅是 插值指令的一种， 还有interp2 、 interp3等。
ys=interp1(x,y,xs,’method’); 其中:(1) x,y是测量数据对； (2) xs是需要内插的点所构成的向量。 (3) method是指所使用的内插方法。 插值算法： ‘nearest’，‘linear’，‘spline’，‘cubic’
f ( x) g ( x) f ( x) / g ( x)
杨惠--《matlab语言及应用》--第四章
4.3 多项式计算
3.
功能：按数组运算规则计算多项式的值。 多项式值的计算： 其中x可以是标量和数组。
y=polyval(p,x); y=polyvalm(p,x);
功能：按矩阵运算规 则计算多项式的值。 其中x必须为方阵。
conv(p1,p2)
3、多项式除法运算
[Q,r]=deconv(p1,p2)
p1=conv(p2,Q)+r
例题开讲
f ( x) 3x 5 5 x 4 2 x 3 7 x 2 5 x 6 g ( x) 3x 2 5 x 3
已知
求： (1) f ( x) g ( x) (2) f ( x) g ( x)
4.4 拟合与插值
1）最邻近插值方法（nearest）
插值点的值与其最邻近的点的函数值相等。
*
*
*
*
*
4.4 拟合与插值
2）线性插值方法（ linear ）
插值点的值在前，后两个数据点所构 成的直线上。
*
*
*
*
*
4.4
拟合与插值
matlab实验线性方程组的求解
实验一 线性方程组的求解学号： 姓名： 系别专业：实验目的学会用Matlab 软件求解线性方程组.实验内容线性方程组的求解.实验方法和步骤对于线性方程组：AX = b ，其中A 为此线性方程组的系数矩阵，b 为列向量，矩阵 C 为由 A ，b 构成的此方程组的增广矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m mnm m n n m n mn m m n n b a a a b a a a b a a a C b b b b x x x X a a a a a a a a a A 212222211112112121212222111211,,,则线性方程组AX=b 的解可分为以下三种个情况：①当m=n ，且rank(A) = rank(C) = n 时，线性方程组AX = b 有唯一解，可通过以下语句给出线性方程组的解：x = inv(A) * b %或者x = A \ b 也可求出方程组的解 x = inv(sym(A)) * b %得出线性方程组的精确解 例1 求解下面的线性方程组.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡23452314323112344321X解 可验证rank(A) = rank(C) = 4，从而方程组有唯一解，在命令窗口中输入以下语句即可解出此线性方程组：A = [1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];b = [5;4;3;2];x = inv(A) * b %利用x = A \ b 所产生的效果是一样的 x =-1.8000 1.8667 3.8667 -2.1333②当rank(A) = rank(C) = r < n 时，线性方程组 AX = b 有无穷多解.此时可以构造出线性方程组的(n - r)个化零向量i x (i = 1，2，…，n - r)，则原线性方程组对应的齐次线性方程组的解^x 可以由i x 的线性组合来表示，即r n x x x x -+++=r -n 2211^ααα其中， αi （i = 1，2，…，n - r)为任意常数.在MATLAB 语言中可以由函数null 直接求出，其调用格式为：Z = null(A) Z = null(A,'r')例2 求下面的线性方程组的解⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡62312244864211224321X解 用下面语句输入矩阵A 与列向量b ，并输入其增广矩阵 C ，从而判定此线性方程组的可解性：A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];b = [1;3;2;6];C = [A b]; [rank(A),rank(C)] ans =2 2由于矩阵 A ，C 的秩相同，都等于2，小于未知数的个数4，所以原方程组有无穷多组解，如需求解原线性方程组，可以先求出化零空间Z ，得出满足方程组的一个特解x0：Z = null(A,'r') Z =2.00003.0000 -2.5000 -3.5000 1.0000 0 0 1.0000 x0 = pinv(A) * b x0 =0.9542 0.7328 -0.0763 -0.2977③若 rank(A)≤rank(C)，则方程组 AX = b 无解.这时只能利用Moore-Penrose 广义逆求解出方程的最小二乘解x = pinv(A)*b ，该解不满足原方程组，只是使误差的范数测度||Ax - b||取最小值.例3 讨论下面线性方程组的求解.⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡43212244864211224321X解 输入以下语句，讨论方程组解的情况.A = [1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];b = [1;2;3;4];C = [A b]; [rank(A),rank(C)] ans =2 3由于矩阵A 和C 的秩不相等，故原方程组无解，可以使用pinv 函数求解，从而求出原始方程的最小二乘解为：x=pinv(A)*b x =0.5466 0.4550 0.0443 -0.0473由以上语句可知，该解并不满足原线性方程组： norm(A * x - b)ans =0.4472。
matlab解线性方程组PPT教案学习
令 A = E－C，E为单位矩阵，则 AX = D
C称为直接消耗矩阵，A称为列昂杰夫 （Leontief）矩阵。
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x1
B= C
x2
xn
Y = [1,1,…,1] B
B表示各部门间 的投入产出关 系，称为投入 产出矩阵。
Y表示各部门的总投入，称为投入向量。
新创造价值向量 F=X –Y '
x3
(0.25x1
0.05x2
0
x3 )
0
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产出向量X
=
x1 x2
外界需求向量
D
50000
= 25000
x3 0 0.65 0.55 0
直接消耗矩阵C= 0.25 0.05 0.10
0.25 0.05 0
则原方程为 (E-C)X=D
投入产出矩阵为 B=C*diag(X)
结果为:
x1 0 0.7071 x2 19 c0.7071 x3 11 0
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其中c为任意实数
三、国民经济投入产出分析
设有n个经济部门，xi为部门i的总 产出，cij为部门j单位产品对部门i产品 的消耗，di为外部对部门i的需求，fj为 部门j新创造的价值。那么各经济部门
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问三个企业间一周内总产值多少才能满足
自身及外界需求？三个企业间相互支付多
少金额？三个企业各创造多少新价值?
解：这是一个投入产出分析问题。设
x1为本周内煤矿总产值，x2为电厂总 产值, x3为铁路总产值, 则
x1
(0
x1
0.65x2
0.55x3 )
50000
x2 (0.25x1 0.05x2 0.10x3) 25000
matlab求解矩阵方程算法
matlab求解矩阵方程算法
求解矩阵方程是线性代数中的一个重要问题，在Matlab中有多种方法可以用来求解矩阵方程。
其中最常用的方法包括直接法和迭代法。
1. 直接法：
a. 逆矩阵法，如果方程为AX=B，其中A是一个可逆矩阵，那么可以通过求解X=A^(-1)B来得到解。
在Matlab中可以使用inv 函数求逆矩阵，然后进行矩阵乘法得到解。
b. 左除法，Matlab中可以使用左除法运算符“\”来求解矩阵方程，即X=A\B。
2. 迭代法：
a. Jacobi迭代法，Jacobi迭代法是一种基本的迭代法，通过不断迭代更新矩阵X的值，直到满足一定的精度要求为止。
在Matlab中可以编写循环来实现Jacobi迭代法。
b. Gauss-Seidel迭代法，类似于Jacobi迭代法，但是每次更新后立即使用最新的值进行计算，可以加快收敛速度。
c. 共轭梯度法，对于对称正定矩阵方程，可以使用共轭梯度法进行求解。
Matlab中提供了conjugateGradient函数来实现共轭梯度法求解矩阵方程。
除了上述方法外，Matlab还提供了一些特定类型矩阵方程的求解函数，比如求解特征值和特征向量的eig函数，求解奇异值分解的svd函数等。
总之，根据具体的矩阵方程类型和求解精度要求，可以选择合适的方法在Matlab中求解矩阵方程。
希望这些信息能够帮助到你。
线性代数的MATLAB软件实验报告
线性代数的MATLAB 软件实验一、实验目的1.熟悉矩阵代数主要MATLAB 指令。
2.掌握矩阵的转置、加、减、乘、除、乘方、除法等MATLAB 运算。
3.掌握特殊矩阵的MATLAB 生成。
4.掌握MATLAB 的矩阵处理方法。
5.掌握MATLAB 的矩阵分析方法。
6.掌握矩阵的特征值与标准形的MATLAB 验算。
7.掌握线性方程组的MATLAB 求解算法。
二、实验原理1.线性方程组 【基本观点】自然科学和工程实践很多问题的解决都涉及线性代数方程组的求解和矩阵运算.一方面，许多问题的数学模型本身就是一个线性方程组，例如结构应力分析问题、电子传输网分析问题和投入产出分析问题；另一方面，有些数值计算方法导致线性方程组求解，如数据拟合，非线性方程组求解和偏微分方程组数值解等.n 个未知量m 个方程的线性方程组一般形式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212111212111m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a (3.1) 令,,,2121212222111211⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=m n mn m m n n b b b b x x x x a a a a a aa a a A则得矩阵形式Ax=b. (3.2)若右端b=0,即Ax=0, (3.3)则称方程组为齐次的.方程组（3.1）可能有唯一解，可能有无穷多解，也可能无解，主要取决于系数矩阵A 及增广矩阵（A,b ）的秩.若秩（A ）=秩（A,b ）=n,存在唯一解，其解理论上用Cramer 法则求出，但由于这种方法要计算n+1个n 阶行列式，计算量太大通常并不采用；若秩（A ）=秩（A,b ）<n,存在无穷多解，其通解可表示为对应齐次方程组（3.3）的一个基础解系与（3.2）的一个特解的叠加；若秩（A ）≠秩（A,b ），则无解，这时一般寻求最小二乘近似解，即求x 使向量Ax-b 模最小.P50矩阵左除的数学思维:恒等变形Ax=b 方程两边的左边同时除以A ，得：b AAx A11=，即：b A b Ax 11-==MATLAB 的实现（左除）：x=A\b 2.逆矩阵 【基本观点】方阵A 称为可逆的，如果存在方阵B ，使 AB=BA=E,这里E 表示单位阵.并称B 为A 的逆矩阵，记B=1-A .方阵A 可逆的充分必要条件是A 的行列式det A ≠0.求逆矩阵理论上的公式为*1det 1A AA =-， (3.4)这里*A 为A 的伴随矩阵.利用逆矩阵，当A 可逆时，（3.2）的解可表示为b A x 1-=.由于公式（3.4）涉及大量行列式计算，数值计算不采用.求逆矩阵的数值算法一般是基于矩阵分解的方法.3.特征值与特征向量 【基本观点】对于方阵A ，若存在数λ和非零向量x ，使,x Ax λ= (3.5) 则称λ为A 的一个特征值，x 为A 的一个对应于特征值λ的特征向量.特征值计算归结为特征多项式的求根.对于n 阶实数方阵，特征多项式在复数范围内总有n 个根。
matlab中解矩阵方程组
matlab中解矩阵方程组Matlab是一种强大的数学软件和编程语言，广泛应用于工程、科学和数学领域。
在Matlab中，解矩阵方程组是一项常见的任务，它可以帮助我们求解复杂的线性方程组，从而得到方程组的解。
解矩阵方程组在许多实际问题中都有重要的应用。
例如，在电力系统中，我们经常需要求解各种电路的电流、电压和功率等参数；在机械工程中，我们需要求解物体的运动方程和力学特性等；在经济学中，我们需要求解供需关系和市场平衡等。
这些问题通常可以表示为线性方程组的形式，而Matlab提供了一种简便的方法来求解这些方程组。
在Matlab中，我们可以使用“\”运算符或者“inv()”函数来求解矩阵方程组。
具体而言，假设我们有一个n阶方阵A和一个n维向量b，我们需要求解方程组Ax=b的解x。
那么我们可以使用以下代码来求解：x = A\b;其中，运算符“\”表示矩阵的左除运算，而“inv()”函数则表示求矩阵的逆。
这两种方法在求解矩阵方程组时都是等效的。
需要注意的是，在使用这些方法求解矩阵方程组时，我们需要确保矩阵A是非奇异的，即矩阵A的行列式不为零。
否则，方程组可能没有解，或者存在无穷解。
在实际应用中，我们可以通过判断矩阵A的行列式是否为零来确定方程组是否有解。
当矩阵A非常大或者方程组的数量很多时，求解矩阵方程组可能会耗费大量的计算资源和时间。
为了提高计算效率，Matlab还提供了一些其他的高效求解方法，如LU分解、Cholesky分解、QR分解等。
这些方法可以在一定程度上加速矩阵方程组的求解过程。
除了求解矩阵方程组，Matlab还可以进行其他与矩阵相关的运算和操作。
例如，我们可以计算矩阵的行列式、特征值、特征向量等；我们还可以对矩阵进行转置、乘法、加法、减法等运算。
这些功能使得Matlab成为了一个强大的矩阵计算工具。
Matlab是一种非常实用的工具，可以帮助我们解决各种复杂的数学和工程问题。
通过使用Matlab提供的函数和运算符，我们可以轻松地求解矩阵方程组，并得到方程组的解。
matlab中反斜杠的用法
matlab中反斜杠的用法
在MATLAB中，反斜杠（ \ ）用于执行矩阵的左除运算。
反斜杠对应于标准数学符号“/”的逆运算，用于解决线性方程组和最小二乘问题。
例如，给定线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个矩阵，b 是一个向量，x 是未知向量，可以使用反斜杠运算符来求解 x。
具体语法如下：
x = A \ b
这将返回矩阵 x ，其中包含方程组的解。
类似地，反斜杠运算符也可以用于最小二乘问题。
如果你有一个线性方程组 Ax = b，但 b 中的数据可能包含噪声或测量误差，你可以使用反斜杠运算符来计算最小二乘解。
x = A \ b
这将返回 x ，其中包含满足最小二乘准则的解。
MATLAB编程与工程应用——第7章 MATLAB解方程与函数极值
MATLAB解方程与函数极值
7.1 线性方程组求解
二、迭代解法
迭代解法非常适合求解大型系数矩阵的方程组。在数值 分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法、GaussSerdel迭代法、超松弛迭代法和两步迭代法。 Jacobi迭代法 1．Jacobi迭代法 对于线性方程组Ax=b，如果A为非奇异方阵，即aii≠0， 则A可分解为A=D-L-U，其中D为对角阵，其元素为A的对 角元素，L与U为A的下三角阵和上三角阵，于是Ax=b化为： x=D-1(L+U)x+D-1b 与之对应的迭代公式为： x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b 利用jacobi jacobi迭代法求方程的解 例7.4 利用jacobi迭代法求方程的解 exp7_4.m jacobi.m
如s=2时
j =1 j =1
i 1
i 1
1 ym +1 = ym + h[ f ( xm , ym ) + f ( xm + h, ym + h)] 2
matlab实验三
3、方阵的行列式 求方阵的行列式的函数为det，其调用格式为det(A)
4、矩阵的特征值分解
MATLAB中，求方阵的特征值和特征向量的函数为eig，调 用格式如下： e=eig(A) 求方阵A的特征值组成的列向量e。
A) 求矩阵A的逆。要求矩阵A是方阵
且是非奇异的，如果A是病态的或接近奇异
1、矩阵的加（+）减（-）运算：
A±B
矩阵A和矩阵B的和与差，即矩阵相应位置
的元素相加、减。
进行加减运算的矩阵，要求维数相同，即行数
和列数分别相等，如果A与B大小不同，MATLAB将自
动给出错误信息。 A和B其中之一可以是标量，表示矩阵中的每个 元素分别与标量相加减，结果为矩阵。
9
矩阵的算术运算
18
线性方程组的求解
线性方程组 AX=b 的求解是用矩阵除来完成的.
当 m=n 且A可逆时, 给出唯一解,此时我们可用
A\b来求解；当XA=b 时，用A/b来求解 我们也可以利用命令rref来求解任意的线性方程组.
矩阵函数
1、矩阵的共轭
MATLAB中求矩阵的共轭矩阵的函数是conj，其调用
格式为：
（3）当A为标量，B为矩阵时，要求B为方阵。
A1 1 A B V * *V A n
其中V为方阵A的特征向量矩阵，
1 D n
为方阵A的特征值对角矩阵。
（4）A和B都是矩阵时，无定义。
16
5、矩阵的点幂运算：.^
实验三 矩阵运算与线性方程组求解
MATLAB的所有数值功能都是以（复）矩阵为基本 单元进行的，向量和标量都作为特殊的矩阵来处
matlab求线性方程组的解
matlab求线性方程组的解求解线性方程分为两种方法–直接法和迭代法常见的方法一共有8种直接法Gauss消去法Cholesky分解法迭代法Jacobi迭代法Gauss-Seidel迭代法超松弛迭代法共轭梯度法Bicg迭代法Bicgstab迭代法这里我从计算代码的角度来解释一下，代码按以下顺序给出。
把方程组直接带入已知条件，就可以得到答案。
适用条件Gauss消去法：求解中小规模线性方程（阶数不过1000），一般用于求系数矩阵稠密而且没有任何特殊结构的线性方程组Cholesky分解法：对称正定方程优先使用，系数矩阵A是n 阶对称正定矩阵Jacobi迭代法非奇异线性方程组，分量的计算顺序没有关系Gauss-Seidel迭代法与Jacobi迭代法相似，但计算的分量不能改变超松弛迭代法Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的加速版，由Gauss-Seidel迭代法改进而来，速度较快共轭梯度法需要确定松弛参数w,只有系数矩阵具有较好的性质时才可以找到最佳松弛因子。
但好处是不用确定任何参数，他是对称正定线性方程组的方法也是求解大型稀疏线性方程组最热门的方法Bicg迭代法本质是用双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Bicgstab迭代法本质是用稳定双共轭梯度求解线性方程组的方法，对求解的方程没有正定性要求Gauss消去法第一、二个函数ltri、utri是一定要掌握的，后面的几乎每个函数都要用到ltri简单来说，当Ly=bb,L(非奇异下三角矩阵）已知求yfunction y =ltri(L,b)n=size(b,1);y=zeros(n,1);for j =1:n-1y(j)=b(j)/L(j,j);b(j+1:n)=b(j+1:n)-y(j)*L(j+1:n,j); endy(n)=b(n)/L(n,n);utri简单来说，当Ux=yy,U(非奇异上三角矩阵）已知求xfunction x =utri(U,y)n=size(y,1);x=zeros(n,1);for j = n:-1:2x(j)=y(j)/U(j,j);y(1:j-1)=y(1:j-1)-x(j)*U(1:j-1,j);endx(1)=y(1)/U(1,1);gauss算法，计算时粘贴过去就好function[L,U]=gauss(A)n=size(A,1);for k =1:n-1A(k+1:n,k)=A(k+1:n,k)/A(k,k);A(k+1:n,k+1:n)=A(k+1:n,k +1:n)-A(k+1:n,k)*A(k,k+1:n);endL=tril(A,-1)+eye(n);U=triu(A);使用例子已经知道一个线性方程组，这里我就不写出数学形式了，A是系数矩阵，直接把上面写好的函数复制过来在运算就可以。
#4matlab矩阵分解与线性方程组求解
4.1 矩阵分解
汪远征
4.1.2 Cholesky分解
如果A为n阶对称正定矩阵，则存在一个实的非奇异上 三角阵R，满足R'*R = A，称为Cholesky分解
Matlab使用函数chol实现Cholesky分解，其格式为：
R = chol(A)
若A非正定，则产生错误信息。
[R,p] = chol(A)
4.3 线性方程的组的求解
汪远征
4.3.1 求线性方程组的唯一解或特解
1．利用矩阵除法求线性方程组AX=b的特解
解法：X=A\b
例4-10
求方程组
5x1 x1
6x2 5x2 6x3 x2 5x3
6
x4
1 0
0 的解。
解：
x3 5x4 6x5 0
4.2 秩与线性相关性
汪远征
4.2.2 求行阶梯矩阵及向量组的基
Matlab将矩阵化成行最简形的命令是rref或rrefmovie。 其格式为：
[R,jb] = rref(A,tol) tol为指定的精度
rrefmovie(A) 给出每一步化简的过程
4.2 秩与线性相关性
汪远征
4.2.2 求行阶梯矩阵及向量组的基
1
4
x1 5x2 9x3 8x4 0
的一个特解
A=[1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8];
B=[1 4 0]';
X=A\B 差
%由于系数矩阵不满秩, 该解法可能存在误
X =[ 0 0 -0.5333 0.6000]' —— 一个特解近似值
4.3 线性方程的组的求解
MATLAB线性方程组求解方法
——GW318 物联网实验室学术活动
MATLAB 线性方程组求解方法
1．线性方程组的问题 在工程计算中，一个重要的问题是线性方程组的求解。在矩阵表示法中，上述问题可以 表述为给定两个矩阵 A 和 B，是否存在惟一的解 X 使得 AX=B 或 XA=B。 例如，求解方程 3x=6 就可以将矩阵 A 和 B 看成是标量的一种情况，最后得出该方 程的 解为 x=6/3=2。 尽管在标准的数学中并没有矩阵除法的概念，但 MATLAB 7.0 采用了与解标量方程中 类 似的约定，用除号来表示求解线性方程的解。MATLAB 7.0 采用第 2 章介绍过的运算 符斜杠 ’/’和运算符反斜杠’\ ’来表示求线性方程的解，其具体含义如下： • X=A\B 表示求矩阵方程 AX=B 的解； • X=B/A 表示求矩阵方程 XA=B 的解。 对于 X=A\B，要求矩阵 A 和矩阵 B 有相同的行数，X 和 B 有相同的列数，X 的行 数等于 矩阵 A 的列数。X=B\A 行和列的性质则与之相反。 在实际情况中，形式 AX=B 的线性方程组比形式 XA=B 的线性方程组要常见得多。 因此 反斜杠’\’用得更多。本小节的内容也主要针对反斜杠’\’除法进行介绍。斜杠’/’ 除法的性质可以 由恒等变换式得到(B/A)’=(A’\B’)。 系数矩阵 A 不一定要求是方阵，矩阵 A 可以是 m×n 的矩阵，有如下 3 种情况： • m=n 恰定方程组，MATLAB7.0 会寻求精确解； • m>n 超定方程组，MATLAB7.0 会寻求最小二乘解； • m<n 欠定方程组，MATLAB7.0 会寻求基本解，该解最多有 m 个非零元素。 值得注意的是用 MATLAB 7.0 求解这种问题时，并不采用计算矩阵的逆的方法。针对 不 同的情况，MATLAB7.0 会采用不同的算法来解线性方程组。 2．线性方程组的一般解 线性方程组 AX=B 的一般解给出了满足 AX=B 的所有解。线性方程组的一般解可以通 过 下面的步骤得到。 • 解相应的齐次方程组 AX=0， 求得基础解。 可以使用函数 null()来得到基础解。 语 句 null(A) 返回齐次方程组 AX=0 的一个基础解，其他基础解与 null(A)是线性关系。 • 求非齐次线性方程组 AX=B，得到一个特殊解。 • 非齐次线性方程组 AX=B 的一般解等于基础解的线性组合加上特殊解。 在后面的章节将介绍求非齐次线性方程组 AX=B 特殊解的方法。 3．恰定方程组的求解
线性方程组的类型和解法
线性方程组的常见类型及对应Matlab 解法张海伟 精仪学院 2011202048摘要：本作业首先介绍了线性方程组的分类方法，然后在分类的基础上，分析了求解不同线性方程组的方法。
介绍了与方程组类型相对应的Matlab 解法，着重介绍了初等变换法、向量空间概念求解法及两者的结合求解线性方程组的方法。
线性方程组按照方程个数和未知数的数量关系，可以分为适定、欠定和超定方程组。
方程个数等于未知数个数者为适定方程组；方程个数少于未知数个数者为欠定方程组，方程个数多于未知数个数者为超定方程组。
按照等式右边的常数是否全部为零，可分为齐次和非齐次方程组。
常用的方法有消元法、克拉默法则方法、逆矩阵乘积法、初等变换法和向量空间概念法。
一、消元法消元法是求解低阶多元线性方程组的方法，此时线性方程组必须是适定方程组，一般用于二元一次或者三元一次方程组，当未知数的个数增多时，计算效率低甚至无法求解。
二、克拉默法则当系数行列式不为零时，适定方程组有唯一解，其解如下所示：/1,2,,i i x D Di n ==⋅⋅⋅其中D 是系数行列式，D i 是在系数行列式基础上结合方程组右边常数形式形成的新行列式。
在此法则中，行列式的计算显得非常重要。
克拉默法则克服了消元法计算效率低甚至无法计算多元一次方程组的缺点，但不能用于系数行列式为零，以及欠定或者超定方程组的情况的求解。
Matlab 举例：解线性方程组12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩程序：clcclearA=[1 1 1 1;...1 2 -1 4;...2 -3 -1 -5;...3 1 2 11];b=[5 -2 -2 0]'; D=det(A);A1=[5 1 1 1;... -2 2 -1 4;...-2 -3 -1 -5;...0 1 2 11];A2=[1 5 1 1;...1 -2 -1 4;...2 -2 -1 -5;...3 0 2 11];A3=[1 1 5 1;...1 2 -2 4;...2 -3 -2 -5;...3 1 0 11];A4=[1 1 1 5;...1 2 -1 -2;...2 -3 -1 -2;...3 1 2 0];x1=det(A1)/D;x2=det(A2)/D;x3=det(A3)/D;x4=det(A4)/D;X=[x1,x2,x3,x4]'结果：X =123-1结果分析：由求解过程可以看出，克拉默法则需要求矩阵的行列式，所以只适应于方阵方程的求解。
Matlab求解线性方程组、非线性方程组
求解线性方程组solve,linsolve例：A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];%矩阵的行之间用分号隔开,元素之间用逗号或空格B=[3;1;1;0]X=zeros<4,1>;%建立一个4元列向量X=linsolve<A,B>diff〔fun,var,n〕：对表达式fun中的变量var求n阶导数.例如：F=sym〔'u<x,y>*v<x,y>'〕; %sym〔〕用来定义一个符号表达式diff<F>; %matlab区分大小写pretty<ans> %pretty〔〕：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式非线性方程求解fsolve<fun,x0,options>其中fun为待解方程或方程组的文件名；x0位求解方程的初始向量或矩阵；option为设置命令参数建立文件fun.m：function y=fun<x>y=[x<1>-0.5*sin<x<1>>-0.3*cos<x<2>>, ...x<2> - 0.5*cos<x<1>>+0.3*sin<x<2>>];>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve<fun,x0,optimset<'fsolve'>>注：...为续行符m文件必须以function为文件头,调用符为；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve〔〕主要求解复杂非线性方程和方程组,求解过程是一个逼近过程.Matlab求解线性方程组AX=B或XA=B在MATLAB中,求解线性方程组时,主要采用前面章节介绍的除法运算符"/"和"\".如：X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解.对方程组X＝A\B,要求A和B用相同的行数,X和B有相同的列数,它的行数等于矩阵A的列数,方程X＝B/A同理.如果矩阵A不是方阵,其维数是m×n,则有：m＝n 恰定方程,求解精确解；m>n 超定方程,寻求最小二乘解；m<n 不定方程,寻求基本解,其中至多有m个非零元素.针对不同的情况,MATLAB将采用不同的算法来求解.一．恰定方程组恰定方程组由n个未知数的n个方程构成,方程有唯一的一组解,其一般形式可用矩阵,向量写成如下形式：Ax=b 其中A是方阵,b是一个列向量；在线性代数教科书中,最常用的方程组解法有：〔1〕利用cramer公式来求解法；〔2〕利用矩阵求逆解法,即x=A-1b；〔3〕利用gaussian消去法；〔4〕利用lu法求解.一般来说,对维数不高,条件数不大的矩阵,上面四种解法所得的结果差别不大.前三种解法的真正意义是在其理论上,而不是实际的数值计算.MATLAB中,出于对算法稳定性的考虑,行列式与逆的计算大都在lu分解的基础上进行.在MATLAB中,求解这类方程组的命令十分简单,直接采用表达式：x=A\b.在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后,就对它进行lu分解,并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大,MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性.如果矩阵A是奇异的,则Ax=b的解不存在,或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时,MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的,则计算结果为inf,并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵,也会给出警告信息.注意：在求解方程时,尽量不要用inv<A>*b命令,而应采用A\b的解法.因为后者的计算速度比前者快、精度高,尤其当矩阵A的维数比较大时.另外,除法命令的适用行较强,对于非方阵A,也能给出最小二乘解.二．超定方程组对于方程组Ax=b,A为n×m矩阵,如果A列满秩,且n>m.则方程组没有精确解,此时称方程组为超定方程组.线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合.对于超定方程,在MATLAB中,利用左除命令〔x=A\b〕来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求,即x=pinv<A>,所得的解不一定满足Ax=b,x只是最小二乘意义上的解.左除的方法是建立在奇异值分解基础之上,由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上,其算法可靠性稍逊与奇异值求解,但速度较快；[例7]求解超定方程组A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]A=2 -1 33 1 -54 -1 11 3 -13b＝[3 0 3 -6]’;rank<A>ans=3x1=A\bx1=1.00002.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=1.00002.00001.0000A*x1-bans=1.0e-014-0.0888-0.0888-0.1332可见x1并不是方程Ax=b的精确解,用x2=pinv<A>*b所得的解与x1相同.三．欠定方程组欠定方程组未知量个数多于方程个数,但理论上有无穷个解.MATLAB将寻求一个基本解,其中最多只能有m个非零元素.特解由列主元qr分解求得.[例8]解欠定方程组A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]A=1 -2 1 11 -2 1 -11 -2 1 -11 -2 1 5b=[1 -1 5]’x1=A\bWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015x1=-0.00001.0000x2=pinv<A>*bx2=-0.00000.00001.0000四．方程组的非负最小二乘解在某些条件下,所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的.虽然方程组可以得到精确解,但却不能取负值解.在这种情况下,其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义.在MATLAB中,求非负最小二乘解常用函数nnls,其调用格式为：〔1〕X=nnls<A,b>返回方程Ax=b的最小二乘解,方程的求解过程被限制在x 的条件下；〔2〕X=nnls<A,b,TOL>指定误差TOL来求解,TOL的默认值为TOL=max<size<A>>*norm<A,1>*eps,矩阵的－1范数越大,求解的误差越大；〔3〕[X,W]=nnls<A,b> 当x<i>=0时,w<i><0；当下x<i>>0时,w<i>0,同时返回一个双向量w.[例9]求方程组的非负最小二乘解A=[3.4336 -0.5238 0.6710-0.5238 3.2833 -0.73020.6710 -0.7302 4.0261];b=[-1.000 1.5000 2.5000];[X,W]=nnls<A,b>X=0.6563 0.6998 W=-3.6820 -0.0000 -0.0000 x1=A\bx1=-0.3569 0.5744 0.7846A*X-b ans=1.1258 0.1437 -0.1616 A*x1-b ans=1.0e-0.15 -0.2220 0.4441。
MatLab求解线性方程组
MatLab解线性方程组一文通当齐次线性方程AX=0,rank(A)=r<n时,该方程有无穷多个解,怎样用MATLAB求它的一个基本解呢?用matlab 中的命令x=null(A, r )即可.其中:r=rank(A)A=[ 1 1 1 1 -3 -1 11 0 0 0 1 1 0-2 0 0 -1 0 -1 -2]用matlab 求解程序为:A=[1 1 1 1 -3 -1 1;1 0 0 0 1 1 0;-2 0 0 -1 0 -1 -2];r=rank(A);y=null(A, r )得到解为:y=[ 0 -1 -1 0-1 2 1 11 0 0 00 2 1 -20 1 0 00 0 1 00 0 0 1]其列向量为Ay=0的一个基本解MatLab解线性方程组一文通！-------------------作者：liguoy（2005-2-3）写在阅读本文前的引子。
一：读者对线性代数与Matlab 要有基本的了解；二：文中的通用exp.m文件，你须把具体的A和b代进去。
一：基本概念1．N级行列式A：|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。
2．矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。
3．线性无关：一向量组(a ,a ,…. a )不线性相关，即没有不全为零的数k ,k ,……kn使得：k1* a +k2* a +…..+kn*an=04. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。
5．矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。
记：R(B)6．一般线性方程组是指形式： (1)其中x1,x2,…….xn为n个未知数，s为方程个数。
记：A*X=b7．性方程组的增广矩阵：=8. A*X=0 (2)二：基本理论三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程；3互换两个方程的位置。
以上称初等变换。
消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。
matlab中反斜杠的用法
matlab中反斜杠的用法在MATLAB中，反斜杠字符"\"在各种上下文中具有多种用途和功能。
以下是一些常见的用法：1.矩阵除法：在MATLAB中，反斜杠可用于解线性方程组，即求解形如A*x=b的方程，其中A是一个矩阵，b是一个向量，x是未知的向量。
通过在矩阵A 前使用"\"符号，可以快速求解该方程。
例如：A=[2,3,-1;4,2,1;1,-1,2];b=[6;3;4];x=A\b;上述代码将矩阵A除以向量b，得到方程的解x。
注意，MATLAB中的矩阵除法实际上是通过左除完成的，因此返回的结果是x的转置。
可以通过使用正斜杠"/"符号来进行右除，返回x的非转置版本。
2.路径分隔符和转义字符：反斜杠在MATLAB中还用作路径分隔符，用于分隔文件路径中的不同部分。
例如，可以使用反斜杠分隔文件夹和文件的名称：path = 'C:\Documents\file.txt';在上述示例中，反斜杠用于将文件夹路径 "C:\Documents" 与文件名"file.txt" 分隔开来。
请注意，在字符串中使用反斜杠时，需要使用两个反斜杠来表示一个反斜杠，因为反斜杠是一个特殊字符，用于识别转义序列。
例如，要在字符串中插入一个反斜杠字符，可以使用两个反斜杠进行转义：str = 'This is a backslash: \\';上述代码将字符串 "This is a backslash: \" 存储在变量 str 中。
3.向量化除法：在MATLAB中，反斜杠符号还用于元素级除法操作。
这意味着当执行两个向量的除法运算时，正斜杠将执行元素间的除法，而反斜杠将执行元素的逆除法。
例如：a=[1,2,3];b=[4,5,6];result = a .\ b;上述代码将向量 a 的每个元素除以向量 b 的对应元素，得到一个新的向量 result。