课题1焦点三角形性质总结

课题1：焦点三角形的性质12F PF S=12F PF S=2（△ABF 2，AB |AB|=4a得证特别地，当＝时，②当P 为右支上一点时，记（），由双曲线的定义得，在△中，由余弦定理得：代入得求得。

得证性质二：双曲线焦点三角形的内切圆与F 1F 2相切于实轴顶点；且当P 点在双曲线左支时，切点为左顶点，且当P 点在双曲线右支时，切点为右顶点。

证明：设双曲线2222x y 1a b-=的焦点三角形的内切圆且三边F 1F 2，PF 1，PF 2于点A,B,C ，双曲线的两个顶点为A 1,A 2121212|PF ||PF ||CF ||BF ||AF ||AF |-=-=- 12|PF ||PF |2a -=，12|AF ||AF |2a ∴-=, 1212A A FF A x A ,A ∴在双曲线上，又在上，是双曲线与轴的交点即点性质三：双曲线离心率为e ，其焦点三角形PF 1F 2的旁心为A ，线段PA 的延长线交F 1F 2的延长θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121c a c b c c a b F F r S PF F +=⋅+⋅==∆θ︒90a cb S PF F 221=∆2211||,||r PF r PF ==21r r >a r r a r r 2,21221-==-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(cos 44211221a r c r c r -=-+θa c b r -=θcos 21a c c b c a c b F F r S PF F -=⋅-⋅==∆θθθθθcos sin sin 2cos 21sin 212221121线于点B，则|BA |e |AP |=证明：由角平分线性质得12121212|FB||F B ||FB ||F B ||BA |2c e |AP ||FP ||F P ||FP ||F P |2a -=====- 性质四：双曲线的焦点三角形PF 1F 2中，1221PFF ,PF F ,∠=α∠=β当点P 在双曲线右支上时，有e 1tancot ;22e 1αβ-⋅=+ 当点P 在双曲线左支上时，有e 1cot tan 22e 1αβ-⋅=+证明：由正弦定理知2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()==αβα+β由等比定理，上式转化为2112|F P ||FP ||FF |sin sin sin()-=α-βα+β 2a 2csin sin sin()2sin cos sin sin cos cos sin c sin()2222222a sin sin 2cos sin sin sin cos cos sin 2222222⇒=α-βα+βα+βα+βα+βαβαβ⋅+α+β⇒====α+βα-βα-βαβαβα-β⋅-分子分母同除以cossin 22αβ，得【2014•广西理】已知椭圆C 1a x 2222=+b y （a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．123x 22=+yB ．1y 3x 22=+C ．1812x 22=+y D ．1412x 22=+y 【答案】 A 【解析】 ∵△AF 1B 的周长为43，∴4a=43， ∴a=3，∵离心率为33， ∴c=1， ∴b=22a c -=2， ∴椭圆C 的方程为123x 22=+y ． 【2011新课标理14】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为2。

过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为 。

【答案】【解析】 由得a=4.c=从而b=8,为所求 【2008•浙江】已知F 1、F 2为椭圆1925x 22=+y 的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|= ． 【答案】8【解析】椭圆1925x 22=+y =1的a=5， 由题意的定义，可得，|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a ，则三角形ABF 2的周长为4a=20， 若|F 2A|+|F 2B|=12，则|AB|=20﹣12=8．【2006•全国2理】已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x ，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 A.32 B.6C.34D.12【答案】C 【2007•湖北】过双曲线13-4x 22=y 左焦点F 的直线交双曲线的左支于M 、N 两点，F 2为其右焦点，则|MF 2|+|NF 2|﹣|MN|的值为 ．【答案】8【解析】根据双曲线定义有|MF 2|﹣|MF|=2a ，|NF 2|﹣|NF|=2a ， 221168x y ∴+=416c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩221168x y ∴+=【2009•上海理】已知F 1、F 2是椭圆C ：1a x 2222=+by （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥．若△PF 1F 2的面积为9，则b= ．【答案】3【解析】∵F 1、F 2是椭圆C ：1a x 2222=+by （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C上一点，且21PF PF ⊥． ∴|PF 1|+|PF 2|=2a ，=4c 2，，∴（|PF 1|+|PF 2|）2=4c 2+2|PF 1||PF 2|=4a 2，∴36=4（a 2﹣c 2）=4b 2， ∴b=3．【2004湖北】已知椭圆191622=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点P 在椭圆上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ）A.59 B. 779 C. 49 D. 49或779 【答案】D 【解析】若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长492=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则945tan 92tan221=︒==∆θb S PF F ，又,7)2(2121h h c S PF F =⋅⋅=∆97=∴h ，.779=h 【例1】若P 是椭圆16410022=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且︒=∠6021PF F ，求△21PF F 的面积.【答案】.3364【解析】解法一：在椭圆16410022=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==点P 在椭圆上，∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ配方，得：.1443)(21221=-+r r r r.144340021=-∴r r 从而.325621=r r .336423325621sin 212121=⨯⨯==∆θr r S PF F 解法二：在椭圆16410022=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ.336430tan 642tan221=︒==∴∆θb S PF F 【例2】已知P 是椭圆192522=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，212121=，则△21PF F 的面积为（ ）A. 33B. 32C. 3D.33【答案】A 【解析】设θ=∠21PF F ，则21cos 2121==θ，.60︒=∴θ .3330tan 92tan221=︒==∴∆θb S PF F【例3】 椭圆1244922=+x y 上一点P 与椭圆两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）A. 20B. 22C. 28D. 24 【答案】D 【解析】24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242tan221=︒==∆θb S PF F .【例4】 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 1C. 3D. 6 【答案】A 【解析】设θ=∠21PF F ， 12tan2tan 221===∆θθb S PF F ，∴︒=︒=90,452θθ，021=⋅PF PF【例5】 椭圆1422=+y x 的左右焦点为1F 、2F ， P 是椭圆上一点，当△21PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 2-【答案】D 【解析】3,1,2===c b a ，设θ=∠21PF F ， 2tan 2tan 221θθ==∆b S PF F ，∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的端点，︒=120θ，∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ. 【例6】 已知椭圆122=+y ax （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上一点，且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ） A ．1B ．31C ．34 D ．32 【答案】C 【解析】︒==∠6021θPF F ，1=b ，3330tan 2tan221=︒==∆θb S PF F ， 又 ||||43sin ||||21212121PF PF PF PF S PF F ⋅=⋅=∆θ， ∴33||||4321=⋅PF PF ，从而34||||21=⋅PF PF . 【例7】 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，直线1PF 与2PF 倾斜角的差为︒90，△21PF F 的面积是20，离心率为35，求椭圆的标准方程. 【解析】设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，又 3522=-==a b a a c e ， ∴95122=-ab ，即952012=-a .解得：452=a .∴所求椭圆的标准方程为1204522=+y x 或1204522=+x y . 【例8】已知椭圆的中心在原点，1F 、2F 为左右焦点，P 为椭圆上一点，且21||||2121-=⋅PF PF ，△21PF F 的面积是3，准线方程为334±=x ，求椭圆的标准方程.【解析】设θ=∠21PF F ，∴︒=-=⋅=120,21||||cos 2121θθPF PF .3360tan 2tan22221==︒==∆b b b S PF F θ，∴1=b .又 3342=c a ，即33333411222+==+=+=+c c c c c b c .∴3=c 或33=c . 当3=c 时，222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为1422=+y x ； 当33=c 时，33222=+=c b a ，这时椭圆的标准方程为13422=+y x ；但是，此时点P 为椭圆短轴的端点时，θ为最大，︒=60θ，不合题意.故所求的椭圆的标准方程为1422=+y x 【例9】如图：1F 、2F 分别为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点，点P 在椭圆上，2POF ∆是面积为1的正三角形，求2b 的值．【分析】2∆PO F 224360sin 21c PO OF =⋅︒，求得.3342=c 所以点P 的坐标分别为2c ，c 23.由于点P 在椭圆上，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22222221434ac b b c a c 解此方程组就可得到2b 的值．但这涉及到解二元二次方程组，计算量很大，非常麻烦.若用性质1求解可使运算得以简化．【解析】连接,1PF 则︒=∠9021PF F ， 有 21221PF F POF S S ∆∆=︒⋅⋅⋅=∴90sin 2121121PF PF .290sin 90cos 1241122=∴⋅+⋅=∴︒︒b b【2010全国1理9】已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F P 2F =060，则P 到x 轴的距离为（ ）【答案】B 【解析】不妨设点P 00(,)x y 在双曲线的右支,由双曲线的第二定义得21000||[()]1a PF e x a exc =--=+=，22000||[)]1a PF e x ex a c=-=-=-.由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-,即cos 060=,解得2052x =,所以2200312y x =-=，故P 到x 轴的距离为0||y = 【2010全国1文8】已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，∠1F P 2F =060，则12||||PF PF =（ ）A.2B.4C. 6D. 8【答案】B 【解析】.解法一：由余弦定理得cos ∠1F P 2F =222121212||||||2||||PF PF F F PF PF +-()(22221212121212122221cos60222PF PF PF PF PF PF F F PF PF PF PF +--+-⇒=⇒=所以12||||PF PF =4解法二：由焦点三角形面积公式得：1202201216011cot 1cot sin 602222F PF S b PF PF PF PF θ∆===== 12||||PF PF =4【2007辽宁理11】设P 为双曲线22112y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）A． B ．12C．D ．24【答案】B12F ，，点M 在双曲线上且21MF MF ∙=0，则点M 到x 轴的距离为（ ）【答案】C【例】（1） 若P 是双曲线左支上的一点，12F F ，是其焦点，且，求12PF F △的面积.（2）若P 是双曲线右支上的一点，12F F ，是其焦点，且，求12PF F △的面积.【解析】（1）解法一：在双曲线中，而记点P 在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得： 解得：解法二：在双曲线中，，而1366422=-y x ︒=∠6021F PF 1422=-y x ︒=∠6021F PF 1366422=-y x ,10,6,8===c b a .60︒=θ.||,||2211r PF r PF == ∴121216.162r r a r r +===-21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)16(60cos 4040021121r r r +=︒-+13361=r .3131802320133621sin 2121121=⨯⨯⨯==∆θF F r S PF F 1366422=-y x ,10,6,8===c b a 362=b .60︒=θ31318060cos 10860sin 1036cos sin 221=︒+︒⨯⨯=+=∆θθc a c b S PF F（2）解法一：在双曲线中，而记点P 在双曲线上，由双曲线定义得：在△中，由余弦定理得：解得：解法二：在双曲线中，，而【2004年福建高考题】已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ∆是正三角形，求这个椭圆的离心率.【分析】由2ABF ∆是正三角形可知122AF AF =，根据椭圆的第一定义可求得a AF 2322⋅=.再由22130cos AF F F =︒可求得离心率e.若用性质九解题，求解更简便． 【解析】根据已知条件有.30,902121︒︒=∠=∠A F F F AF （如图3）.3330cos 60cos 23090cos23090cos2cos 2cos ==-+=-+=∴︒︒︒︒︒︒βαβαe 1422=-y x ,5,2,1===c b a .60︒=θ.||,||2211r PF r PF == ∴2.221221-===-r r a r r 21PF F .cos 44221221r c r c r =-+θ.)2(60cos 542021121-=︒-+r r r )25(81+=r 1583202352)25(821sin 2121121+=⨯⨯+⨯==∆θF F r S PF F 1366422=-y x ,10,6,8===c b a 362=b .60︒=θ=-︒︒⨯⨯=-=∆160cos 560sin 54cos sin 221a c c b S PF F θθ158320+【例1】已知椭圆的焦点是F 1(－1，0)、F 2(1，0)，P 为椭圆上一点，且｜F 1F 2｜是｜PF 1｜和｜PF 2｜的等差中项．(1)求椭圆的方程；(2)若点P 在第三象限，且∠PF 1F 2＝120°，求tan F 1PF 2．【解析】(1)由题设2｜F 1F 2｜＝｜PF 1｜＋｜PF 2｜∴2a ＝４，又2c ＝2，∴b ＝3∴椭圆的方程为3422y x +＝1． (2)设∠F 1PF 2＝θ，则∠PF 2F 1＝60°－θ椭圆的离心率21=e 则)60sin(23sin )60sin(120sin )180sin(21θθθθ-+=-+-=o o o o ，整理得：5sin θ＝3(1＋cos θ)∴53cos 1sin =+θθ故532tan =θ，tan F 1PF 2＝tan θ＝11352531532=-⋅． 【例2】点P 是椭圆14522=+y x 上一点，以点P 以及焦点1F 、2F 为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标．【解析】设P 点坐标为),(00y x ,则 cc S c b y PF F 12tan 2120==⋅=∆θ 122=-=b a c.1100±=∴=∴y y把10±=y 代入14522=+y x 得.2150±=x .1215121512151215），），（，），（，），（，坐标为（点----∴P 【例3】如图4，P 是椭圆12222=+by a x 上一点，1F 、2F 是焦点，已知,2,1221αα=∠=∠F PF F PF 求椭圆的离心率．图4【解析】由性质5有e e ee +-=⋅=⋅∴+-=⋅11cos 2cos 2sin cos sin 2cos 2sin1122tan 2tan 22αααααααee +-=+-∴11cos cos cos 122ααα化简，得 .1cos 2-=αe【2005年福建】已知1F 、2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段21F F 为边作正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，求双曲线的离心率.21221 .13113)32(3230tan 45tan 130tan 45tan )3045tan(15tan 1130cot 15tan .11260cot 230tan +=∴+-=⋅-∴-=+-=-=+-=⋅∴+-=⋅︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒e e e e e e e 【2002年上海】如图6，已知1F 、2F 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于点P ，且︒=∠3021F PF .求双曲线的渐近线方程． 【分析】由于双曲线的渐近线方程为x ab y ±=，若能求出a ,b 的值，渐近线方程就可确定.在此题中，我们不易求出a ,b 的值，我们将x a b y ±=作一下变形，2222222222)1(x e x a a c x a b y ⋅-=⋅-=⋅=，若能求出e 的值，则渐近线方程就求出．知道︒=∠3021F PF ，=∠12F PF【解析】330sin 60sin 2sin 2sin ==-+=︒︒αβαβe .2222x y x y ±=∴=∴【例】已知点1F （0,2-）、2F （0,2），动点P 满足212=-PF PF .当点P 的纵坐标是21时，若令θ=∠21PF F ，求2cot θ的值． 【解析】由双曲线的第一定义可知点P 的轨迹方程为).0(122<=-x y x 则2,122==c b .所以 222122121=⋅⋅=∆c S PF F .222cot 222cot2=∴=⋅∴θθb。