2018初中数学竞赛勾股定理

初中数学竞赛专题选讲
勾股定理
一、内容提要
1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 2
2. 勾股定理及逆定理的应用
① 作已知线段a 的2，3， 5……倍
② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题
③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.
4. 勾股数的推算公式
① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）
任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2
12+k 是一组勾股数。

③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭
⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。

④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。

简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

二、例题
例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5
a 求作线段5a a
分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：5a ＝2492a a -
∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）
例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2
求对角线AC 的长 解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30
∴CE ＝2CD ＝4，
在Rt △ABE 中
设AB 为x,则AE ＝2x
根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=3
25 在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝13
25+＝2132 例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A
求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC
证明：作∠B 的平分线交AC 于D ，
则∠A ＝∠ABD ，
∠BDC ＝2∠A ＝∠C
∴AD ＝BD ＝BC
作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）
＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）
＝AC ×AD ＝AB ×BC
例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD
求证：AB ＝AC
证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n
则c+n=b+m, c-b=m-n
∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得 AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2
∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)
(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0
(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0
∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b
∴AB ＝AC
例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC
求证：AC ＞BD
证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、F
ACDE 和BCDF 都是平行四边形
∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF
作DH ⊥AB 于H AH ＝22-DH AD ，FH
∵AD ＞BC ，AD ＞DF
∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +
∴DE ＞BD
即AC ＞BD
C
H
例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝3
2
求：a b -的值
（2001年希望杯数学邀请赛，初二）
解：根据勾股定理
a 2+
b 2=EF 2＝S EFGH ＝3
2 ;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31 ② ① －②得 （a-b ）2=31 ∴a b -＝3
3
三、练习
1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：
① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿
④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿
2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：
① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，
③22158+＝＿＿＿，④2
215-25＝＿＿＿ 3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。

那么S △ABC ＝＿
＿，CH ＝＿＿，MH ＝＿＿＿
4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿
5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD
求证：AE ＝AF
6.已知：M 是△ABC 内的一点，MD ⊥BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥AB ，
且BD ＝BF ，CD ＝CE
求证：AE ＝AF
7.在△ABC 中，∠C 是钝角，a 2-b 2=bc 求证∠A ＝2∠B
8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。

（用反证法）
9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长
10等腰直角三角形ABC 斜边上一点P ，求证：AP 2＋BP 2＝2CP 2
11.已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC
ME ⊥MF
求证：EF 2＝BE 2＋CF 2
G B F D
12.Rt △ABC 中，∠ABC ＝90 ，∠C ＝600
，BC ＝2，D 是AC 的中点，从D 作DE ⊥AC 与CB 的延长线交于点E ，以AB 、BE 为邻边作矩形ABEF ，连结DF ，则DF 的长是＿＿＿＿。

（2002年希望杯数学邀请赛，初二试题）
13.△ABC 中，AB
＝AC ＝2，BC 边上有100个不同的点p 1，p 2，p 3，…p 100
, 记m i =AP i 2+BP i ×P i C (I=1,2……，100)，则m 1+m 2+…＋m 100=____
(1990年全国初中数学联赛题)
练习题参考答案
3. 150，12，35
4. 24（作CE ∥BD 交AB 延长线E ）
5. 利用勾股定理证明AE ，AF
6.利用勾股定理: AE 2＝……，AF 2
7.作CD ⊥AB 于D ， ∵bc=a 2-b 2=BD 2-AD 2=(BD+AD)(BD-AD) ∴b=BD-AD ……
8.（用反证法）设a,b,c 都是奇数， 那么a 2,b 2,c 2也都是奇数，
∴a 2＋b 2是偶数,而c 2是奇数， 这与a 2＋b 2＝c 2相矛盾，
故这种假设不能成立，
∴a,b,c 中至少有一个数是偶数 9. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=++22221c b a ab c b a 正整数解有⎪⎩
⎪⎨⎧===13,10,10,1312,.8,.6,.5.5,.6,.8,12c b a
答：各边长是5，12，13或6，8，10
11.延长EM 到N ，使MN ＝EM ，连结CN ，
显然△MNC ≌△MEB ，NC ＝BE ，NF ＝EF ……
12. 可证DF ＝DE ＝23，
13. 400 (m i =4)
C a。