2018初中数学竞赛勾股定理

初中数学竞赛专题选讲

勾股定理

一、内容提要

1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C ＝Rt ∠⇔a 2＋b 2=c 2

2. 勾股定理及逆定理的应用

① 作已知线段a 的2，3， 5……倍

② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题

③ 证明线段的平方关系等。

3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a 2＋b 2=c 2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数.

4. 勾股数的推算公式

① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853）

任取两个正整数m 和n(m>n),那么m 2-n 2，2mn, m 2+n 2是一组勾股数。

② 如果k 是大于1的奇数，那么k, 212-k ,2

12+k 是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于2的偶数，那么k, 122-⎪⎭⎫ ⎝⎛K ,122+⎪⎭

⎫ ⎝⎛K 是一组勾股数。 ④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。

5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。

二、例题

例1.已知线段a a 5a 2a 3a 5

a 求作线段5a a

分析一：5a ＝25a ＝224a a + 2a ∴5a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。

分析二：5a ＝2492a a -

∴5a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。

作图（略）

例2.四边形ABCD 中∠DAB ＝60 ，∠B ＝∠D ＝Rt ∠，BC ＝1，CD ＝2

求对角线AC 的长 解：延长BC 和AD 相交于E ，则∠E ＝30

∴CE ＝2CD ＝4，

在Rt △ABE 中

设AB 为x,则AE ＝2x

根据勾股定理x 2+52=(2x)2, x 2=3

25 在Rt △ABC 中，AC ＝221+x ＝13

25+＝2132 例3.已知△ABC 中，AB ＝AC ，∠B ＝2∠A

求证：AB 2－BC 2＝AB ×BC

证明：作∠B 的平分线交AC 于D ，

则∠A ＝∠ABD ，

∠BDC ＝2∠A ＝∠C

∴AD ＝BD ＝BC

作BM ⊥AC 于M ，则CM ＝DM AB 2－BC 2＝（BM 2＋AM 2）－（BM 2＋CM 2）

＝AM 2－CM 2＝（AM ＋CM ）（AM －CM ）

＝AC ×AD ＝AB ×BC

例4.如图已知△ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＋CD ＝AC ＋BD

求证：AB ＝AC

证明：设AB ，AC ，BD ，CD 分别为b,c,m,n

则c+n=b+m, c-b=m-n

∵AD ⊥BC ，根据勾股定理，得 AD 2＝c 2-m 2=b 2-n 2

∴c 2-b 2=m 2-n 2, (c+b)(c-b)=(m+n)(m-n)

(c+b)(c-b) =(m+n)((c-b) (c+b)(c-b) －(m+n)(c-b)＝0

(c-b)｛(c+b)－(m+n)｝＝0

∵c+b>m+n, ∴c-b=0 即c=b

∴AB ＝AC

例5.已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＞BC

求证：AC ＞BD

证明：作DE ∥AC ，DF ∥BC ，交BA 或延长线于点E 、F

ACDE 和BCDF 都是平行四边形

∴DE ＝AC ，DF ＝BC ，AE ＝CD ＝BF

作DH ⊥AB 于H AH ＝22-DH AD ，FH

∵AD ＞BC ，AD ＞DF

∴AH ＞FH ，EH ＞BH DE ＝22EH DH +，BD ＝2BH DH +

∴DE ＞BD

即AC ＞BD

C

H

例6.已知：正方形ABCD 的边长为1，正方形EFGH 内接于ABCD ，AE ＝a ，AF ＝b,且S EFGH ＝3

2

求：a b -的值

（2001年希望杯数学邀请赛，初二）

解：根据勾股定理

a 2+

b 2=EF 2＝S EFGH ＝3

2 ;① ∵4S △AEF ＝S ABCD －S EFGH ∴ 2ab=31 ② ① －②得 （a-b ）2=31 ∴a b -＝3

3

三、练习

1. 以下列数字为一边，写出一组勾股数：

① 7，＿＿，＿＿ ②8，＿＿，＿＿ ③9，＿＿，＿＿

④10，＿＿，＿＿ ⑤11，＿＿，＿＿ ⑥12，＿＿，＿＿

2. 根据勾股数的规律直接写出下列各式的值：

① 252－242＝＿＿， ②52＋122＝＿＿，

③22158+＝＿＿＿，④2

215-25＝＿＿＿ 3. △ABC 中，AB ＝25，BC ＝20，CA ＝15，CM 和CH 分别是中线和高。那么S △ABC ＝＿

＿，CH ＝＿＿，MH ＝＿＿＿

4. 梯形两底长分别是3和7，两对角线长分别是6和8，则S 梯形＝＿＿＿

5.已知：△ABC 中，AD 是高，BE ⊥AB ，BE ＝CD ，CF ⊥AC ，CF ＝BD

求证：AE ＝AF

6.已知：M 是△ABC 内的一点，MD ⊥BC ，ME ⊥AC ，MF ⊥AB ，

且BD ＝BF ，CD ＝CE

求证：AE ＝AF

7.在△ABC 中，∠C 是钝角，a 2-b 2=bc 求证∠A ＝2∠B

8.求证每一组勾股数中至少有一个数是偶数。（用反证法）

9.已知直角三角形三边长均为整数，且周长和面积的数值相等，求各边长

10等腰直角三角形ABC 斜边上一点P ，求证：AP 2＋BP 2＝2CP 2

11.已知△ABC 中，∠A ＝Rt ∠，M 是BC 的中点，E ，F 分别在AB ，AC

ME ⊥MF

求证：EF 2＝BE 2＋CF 2

G B F D